Euclide, per costruire la sua geometria, partì da alcune premesse (postulati) da cui dedusse col ragionamento tutti quei risultati che, sistemati e ordinati costituirono l’ossatura della geometria cosiddetta euclidea.

Il quinto postulato ("Per un punto esterno ad una retta data si può condurre una ed una sola retta parallela alla retta data") fu per duemila anni oggetto di discussioni per la sua difficile verificabilità, da parte dei matematici. Sembrava comunque evidente che la sua dimostrazione dovesse basarsi sui primi quattro postulati e sugli enunciati da essi deducibili. Nel 1733 il gesuita Geronimo Saccheri provò a dimostrare il quinto postulato per assurdo; nonostante ciò, esso può essere considerato in pratica il primo costruttore di una geometria non euclidea.

Bolyai e soprattutto Lobacevskij, intorno al 1700-1800 svilupparono una nuova geometria, detta geometria iperbolica, il cui quinto postulato è sostituito con l’affermazione che per un punto esterno ad una retta data passano più di una parallela alla retta stessa. Nel 1854 Riemann mise a punto un terzo sistema geometrico, detto geometria ellittica, che nega l’esistenza di parallele ed in cui non sono soddisfatti gli assiomi dell’ordine.

Geometria ellittica: Le costruzioni più semplici della geometria piana si possono eseguire tracciando delle rette e trasportando segmenti ed angoli; se vogliamo, per estensione, eseguire costruzioni analoghe sulle superfici curve, incontriamo una differenza sostanziale: nelle costruzioni piane abbiamo considerato il piano nella sua totalità, mentre sulle superfici curve generalmente si considerano solo regioni di piccola estensione. Se prendessimo la sfera, che gode della proprietà di essere a curvatura gaussiana costante e positiva, verrebbe a cadere l’analogia con il piano, in quanto per due punti diametralmente opposti della sfera passano infiniti cerchi massimi (le sue linee geodetiche), mentre per due punti del piano passa una sola retta. Inoltre due rette nel piano hanno al massimo un punto in comune, mentre due cerchi massimi della sfera si tagliano sempre in due punti diametralmente opposti. Eliminiamo questa proprietà perturbatrice della sfera con un artificio: consideriamo un solo emisfero, ed ogni coppia di punti diametralmente opposti al cerchio massimo che lo limita, come un punto unico.

La geometria che regola questo modello di superficie è la geometria ellittica, e la superficie stessa è chiamata modello del piano ellittico. In essa non sono soddisfatti gli assiomi dell’ordine, sostituiti da assiomi di separazione tra quattro punti

Geometria iperbolica: Le superfici di rotazione aventi curvatura costante negativa, possono assumere tre forme diverse.

Costruiamo un piano iperbolico e la sua geometria, detta geometria iperbolica. Come punti di questo piano consideriamo i punti situati all’interno di un cerchio in un piano ordinario, e come rette iperboliche le corde di questo cerchio fuorché gli estremi. Ogni regione F di una superficie avente curvatura costante negativa –(1/c²) può essere rappresentata in una regione G del piano interna al cerchio in modo tale che le linee geodetiche di F siano sempre trasformate nei segmenti di retta contenuti in G. Se A e B sono le immagini di due punti P e Q di F, e se R e S sono i punti estremi della corda passante per A e per B, la distanza geodetica s dei punti P e Q è data da:

detta "distanza iperbolica" per tutte le coppie di punti AB del modello di piano iperbolico.