Connettivi proposizionali e tavole di verità; tautologie e contraddizioni; idempotenza, associatività, commutatività distributività e leggi di De Morgan per i connettivi proposizionali. Quantificatori e loro uso; negazione di formule universali o esistenziali.
Principio di estensionalità per insiemi. Inclusione tra insiemi. Le operazioni insiemistiche fondamentali: unione e intersezione di arbitrarie famiglie di insiemi, complemento e differenza simmetrica tra due insiemi. Legami tra operazioni insiemistiche e connettivi proposizionali. Diagrammi di Euler-Venn.
Coppie ordinate, prodotto cartesiano tra due insiemi. Corrispondenze tra insiemi. Relazioni binarie in un insieme: proprietà riflessiva, antiriflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva; prodotto relazionale e sua associatività. Relazioni d'ordine (stretto o largo) e di equivalenza.
Insiemi ordinati: isomorfismi tra insiemi ordinati; ordinamento duale; insiemi totalmente ordinati (catene); minimo, massimo, elementi minimali, elementi massimali; minoranti, maggioranti, estremo inferiore, estremo superiore. Esistenza di elementi minimali e massimali in insiemi ordinati finiti non vuoti. Relazione di copertura associata ad un ordinamento; diagrammi di Hasse.
Applicazioni tra insiemi: famiglie; immagini e controimmagini; restrizioni e prolungamenti. Applicazioni iniettive, suriettive, biettive. Il caso particolare delle applicazioni tra insiemi finiti della stessa cardinalità. Applicazioni componibili, composizione di applicazioni (prodotto operativo). Diagrammi commutativi di applicazioni. Applicazioni invertibili a sinistra o a destra: retrazioni e sezioni, applicazioni invertibili, inversa di un'applicazione biettiva. Equipotenza tra insiemi.
Relazioni di equivalenza e partizioni di un insieme. Classi di equivalenza, insieme quoziente, proiezione canonica. Il nucleo di equivalenza di (o equivalenza associata a) un'applicazione. Coimmagine di un'applicazione, teorema fondamentale di omomorfismo per gli insiemi: fattorizzazione canonica di un'applicazione
Principio di induzione. Calcolo delle cardinalità per insiemi finiti: prodotti cartesiani; unioni tra insiemi; insieme delle applicazioni ed insieme delle applicazioni iniettive tra due insiemi, fattoriali e fattoriali discendenti; insieme delle parti ed insieme delle k-parti di un insieme, coefficienti binomiali e loro prime proprietà, il triangolo di Tartaglia-Pascal.
Operazioni nullarie, unarie, binarie (interne). Proprietà associativa e commutativa. Elementi neutri a destra o a sinistra, elementi neutri e loro unicità. Simmetrici destri e sinistri, elementi simmetrizzabili.
Definizioni delle strutture algebriche fondamentali: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, corpi, campi. Regole di calcolo nelle diverse strutture; multipli e potenze secondo interi. Parti stabili, strutture indotte; sottoalgebre generate. Omomorfismi ed isomorfismi. Equivalenze compatibili (a sinistra o a destra) con un'operazione binaria, congruenze in una struttura algebrica, struttura quoziente.
Traslazioni destre e sinistre determinate da un elemento in un semigruppo; cancellabilità. Relazioni tra simmetrizzabilità e cancellabilità in monoidi; il caso particolare dei semigruppi finiti. Il gruppo degli invertibili in un monoide e in un anello unitario. Il monoide delle trasformazioni ed il gruppo simmetrico su un insieme. Fattorizzazione nei monoidi commutativi, con particolare riguardo al caso dei monoidi regolari. Relazione di divisibilità, elementi irriducibili e primi, elementi associati. Nozioni di monoide fattoriale e di anello fattoriale. Massimi comuni divisori e minimi comuni multipli.
Il periodo (ordine) di un elemento in un gruppo. Gruppi ciclici. Partizione di un gruppo in laterali destri di un sottogruppo e teorema di Lagrange. Nozione di gruppo abeliano. Il gruppo simmetrico su un insieme finito: permutazioni tra loro disgiunte, permutazioni cicliche, trasposizioni, decomposizione di una permutazione in prodotto di cicli disgiunti (non è richiesta dimostrazione) e calcolo del suo periodo; espressione di una permutazione come prodotto di trasposizioni, permutazioni di classe pari e permutazioni di classe dispari (senza dimostrazione della disgiunzione tra le due classi), il gruppo alterno.
Elementi cancellabili (regolari) e divisori dello zero in un anello. Anelli integri e domini di integrità. Anelli commutativi, anelli unitari e loro elementi invertibili. Formula del binomio di Newton. Caratteristica di un anello unitario.
L'anello Z degli interi. Aritmetica in Z: teorema fondamentale dell'aritmetica (fattorialità di Z), interi primi, invertibili ed interi tra loro associati, interi coprimi; divisione aritmetica (con resto). Congruenze in Z e quozienti di Z, aritmetica modulare, elementi cancellabili ed invertibili nei quozienti di Z. Fuzione di Euler-Gauss. Teorema di Fermat-Euler e piccolo teorema di Fermat. Criteri di divisibilità.
L'anello dei polinomi ad una indeterminata su un anello commutativo unitario. Omomorfismo di sostituzione. Applicazioni polinomiali e radici di un polinomio. Grado di un polinomio. Grado del prodotto tra due polinomi; regola di addizione dei gradi per polinomi su domini di integrità e sue conseguenze. Polinomi monici. Divisione tra polinomi in un anello commutativo unitario; teorema del resto e teorema di Ruffini. Estensione del teorema di Ruffini nel caso dei domini di integrità; numero delle radici di un polinomio, principio di identità dei polinomi per domini di integrità infiniti.
Algoritmo euclideo per la ricerca di un massimo comun divisore, in Z e nell'anello dei polinomi ad una indeterminata su un campo; teorema di Bézout (in entrambi i casi). Equazioni lineari diofantee ed equazioni congruenziali.
Fattorialità di anelli di polinomi (su campi e su Z, senza dimostrazione). Polinomi irriducibili su un campo. Descrizione dei polinomi irriducibili sul campo complesso e sul campo reale, criterio di Eisenstein per polinomi a coefficienti interi considerati sul campo razionale (senza dimostrazioni). Radici razionali di polinomi a coefficienti interi.
Reticoli come particolari insiemi ordinati e come struttura algebrica: equivalenza tra le nozioni. Dualità. Isomorfismi tra reticoli. Reticoli limitati, reticoli completi. Intervalli e sottoreticoli. Complementi e reticoli complementati, reticoli distributivi, reticoli booleani. Enunciato del criterio di distributività di Birkhoff. Algebre di Boole, anelli booleani; equivalenza tra queste nozioni e quella di reticolo booleano. Enunciato del teorema di Stone e descrizione delle algebre di Boole finite.
Definizione di grafo (semplice) e di multigrafo. Relazione di adiacenza; incidenza. Isomorfismi tra grafi. Sottografi. Grado di un vertice. Relazioni aritmetiche fra numero dei lati, numero e grado dei vertici. Vertici pari e vertici dispari. Grafi completi. Cammini, circuiti, connessione, componenti connesse. Cammini e circuiti euleriani (non sono richieste dimostrazioni). Alberi, foreste e loro caratterizzazioni. Alberi con radice. Sottoalbero massimale (o albero di supporto) di un grafo connesso. Grafi planari (o piani): enunciato del teorema di Kuratowski.
Informazioni aggiuntive e materiale utile per la preparazione dell'esame sono all'indirizzo http://www.dma.unina.it/~cutolo/didattica/algebra_rec.php.