Esercizi in aritmetica modulare
Introduciamo una notazione (di uso corrente).$
\let\Implica\Longrightarrow
\newcommand\N{\mathbb N}
\newcommand\Z{\mathbb Z}
\newcommand\modbin{\mathbin {\rm mod}}
\def\U{\mathscr U}
\let\phi\varphi
$
Se $a$ ed $m$ sono numeri
interi e $m\ne 0$, si indica con $a\modbin m$ il resto di $a$ nella divisione
per $m$, cioè, ricordiamo, il più piccolo numero naturale
(vale a dire: intero non negativo) congruo ad $a$ modulo $m$.
Nel secondo incontro abbiamo calcolato:
- $12345678905 \modbin 9$;
- $12345678905 \modbin 3$;
- $12345678905 \modbin 11$;
- $-10 \modbin 7$;
- $(2^{1000000}+13^{77}-14\cdot 6784365) \modbin 7$.
Altri esercizi:
- Calcolare il più piccolo intero positivo $n$ tale che
$7^n\equiv_{25}1$ (è quello che si chiama il periodo
di $7$ modulo 25). Fatto ciò, calcolare
$(7^{250}+7^{400}+ 5^{77})\mod 25$;
- Se in questo momento sono le 15:30, che ora sarà tra $5^{56515469145}$ ore?
(Fingendo che, dopo tanto tempo, ci sia ancora qualcuno a conteggiare giorni ed
ore come facciamo adesso). E se invece facciamo passare solo un milione
di ore?
- Oggi è domenica. E tra $3^{10}\cdot 5^3$ giorni (escludendo riforme del
calendario)?
- In aula abbiamo visto un criterio di divisibilità (di interi
positivi) per $7$.
Usarlo per stabilire se 302488 è o meno divisibile per $7$.
- [Questo non è facilissimo]
Ragionando come fatto per $7$, provare a formulare un criterio
di divisibilità per $13$. (Suggerimento: si può partire
dal fatto che $39$ è multiplo di $13$). Se ci si è
riusciti, usarlo per stabilire se $302488$ è o meno divisibile
per $13$.