I centri di curvatura di tutte le sezioni normali in un punto della superficie percorrono un segmento della normale. Gli estremi di questo segmento sono chiamati fuochi. Al variare di tutti i punti sulla superficie, i due fuochi percorrono a loro volta due superfici che, prese insieme, formano la superficie focale. Nel caso in cui le due falde dell'evoluta degenerano in due curve, la superficie originaria è detta Ciclide di Dupin. Le ciclidi di Dupin sono delle superfici caratterizzate dalla condizione che tutte le linee di curvatura sono delle circonferenze o degli archi di circonferenza o dei segmenti di retta. Poiché una retta si può pensare come una circonferenza di raggio infinito, allora si può dire che le ciclidi di Dupin sono le uniche superfici di R3 ad avere unicamente delle circonferenze o degli archi di circonferenze come linee di curvatura. I più semplici esempi di ciclidi di dupin sono le ciclidi di tipo "toroidale", ovvero quelle descritte da una circonferenza che ruota intorno ad un asse che giace nel piano della circonferenza stessa. A seconda della posizione di tale asse rispetto alla circonferenza generatrice, si possono distinguere i seguenti tipi di Ciclidi di Dupin toroidali:
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Ciclidi totoidali ad anello, quando l’asse di rotazione è esterno alla circonferenza generatrice |
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Ciclidi toroidali a fuso, quando l’asse di rotazione è secante la circonferenza, dove il "fuso" è quella parte interna della superficie descritta dalla rotazione dell’arco di circonferenza più vicino all’asse di rotazione |
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Ciclidi toroidali a corno, quando l’asse di rotazione è tangente alla circonferenza |
