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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento.

Richiami sugli anelli. Anelli unitari: sottoanelli unitari e non (con esempi), omomorfismo di anelli unitari. Rapida discussione generale sulle notazioni in algebra universale.

Richiamo: l'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli (su un anello unitario): due definizioni equivalenti. Esempi: spazi vettoriali, gruppi abeliani come moduli sull'anello Z degli interi, anelli visti come moduli su se stessi. Alcune regole elementari di calcolo nei moduli. Sottomoduli (caratterizzazione) ed ideali in un anello; omomorfismi tra moduli. Quozienti di moduli.

Escluse le osservazioni di carattere generale, il materiale discusso in questa lezione si trova davvero in ogni testo di algebra, ad esempio nelle prime pagine del sesto capitolo del libro di Sharp.

Esercizio proposto:

1. (Immersione di un anello in un anello unitario). Dato un anello (non necessariamente unitario) S, si definisce in R=S×Z una struttura di anello unitario come segue: per ogni x, y in S ed ogni n, m in Z si pone (x,n)⊕(y,m)=(x+y,n+m) e (x,n)·(y,m)=(xy+ny+mx,nm); allora (R,⊕,·) è effettivamente un anello. Verificarlo in dettaglio. Verificare poi che questo anello è unitario e che l'applicazione f: x∈S→(x,0)∈R è un monomorfismo di anelli, dunque S è isomorfo ad un sottoanello di R. Più precisamente (l'esercizio continua), l'immagine S×{0} di f è un ideale di R. {0_S}×Z è un sottoanello, o addirittura un ideale, di R?

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I teoremi di omomorfismo per moduli; sottomoduli di quozienti. Per un modulo M su un anello (commutativo unitario) R: prodotto tra una parte di M ed una di R. Ad esempio, XR è il sottomodulo generato da X. Moduli ciclici e moduli semplici (o irriducibili); esempi. Annullatori.

Somme e prodotti di parti di un anello. Associatività della moltiplicazione (tra parti) e distributività rispetto all'addizione. Prodotti ed intersezioni tra ideali; ideali comassimali (o coprimi). Prodotti tra ideali principali. Esempi e controesempi.

Richiami: ideali primi ed ideali massimali, ideali ed elementi invertibili in un anello, teorema di Krull sull'esistenza di ideali massimali. Estensione: ogni modulo non nullo che sia finitamente generato ha qualche sottomodulo massimale (si tratta di una forma del lemma di Nakayama).

Radicale di Jacobson e sua caratterizzazione (come, ad esempio, in Sharp, Lemma 3.17).

Esercizi proposti:

1. Verificare l'associatività della moltiplicazione tra parti di un anello e la distributività di questa rispetto all'addizione.
2. Determinare i radicali di Jacobson di Z e di Q[x]. Fornire qualche esempio di anello commutativo unitario con radicale di Jacobson non nullo.

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Caratterizzazione degli ideali primi in termini di prodotti tra ideali. Elementi nilpotenti; il nilradicale, visto come l'intersezione degli ideali primi. Si è utilizzato come lemma il Teorema 3.44 di Sharp, (o 9.2.2 nel secondo volume di Cohn), dove l'ipotesi che S contenga 1 è sovrabbondante e può essere sostituita da S≠∅. Qualche esempio in quozienti di Z. Il radicale di un ideale in un anello (con un cenno al teorema degli zeri di Hilbert).

Prodotti diretti di anelli (commutativi unitari). Prodotti diretti interni. Elementi invertibili nei prodotti diretti. Esempi ed applicazioni all'aritmetica modulare: quozienti di Z come prodotti diretti; il teorema cinese dei resti; la funzione φ di Eulero e la sua moltiplicatività. Teorema di Fermat-Eulero e Piccolo Teorema di Fermat.

Ideali massimali nel prodotto diretto tra due anelli.

Esercizi proposti:

1. Dati due anelli commutativi unitari R e S, come si possono descrivere gli elementi nilpotenti, quello cancellabili ed i divisori dello zero nel prodotto diretto R×S? E come si descrivono il nilradicale ed il radicale di Jacobson di R×S?
2. Calcolare il resto di 896⁴⁵⁶⁷ nella divisione per 9134. (Suggerimento: 4567 è primo, 9134 è il suo doppio.)

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Legge modulare (di Dedekind), anche nella forma: se due sottomoduli A e B di un modulo M sono confrontabili ed hanno la stessa somma e la stessa intersezione con un assegnato un sottomodulo di M allora A=B.

Idempotenti in un anello (commutativo unitario) e decomposizioni dell'anello in prodotto diretto.

Anelli di funzioni. Anelli di polinomi. Proprietà universale per gli anelli di polinomi (si veda, ad esempio, Sharp, Lemma 1.13 e, più avanti, 1.16 e 1.17). Algebre commutative su un anello commutativo unitario R (Cohn, vol. 2, cap. 5), descritte sia come anelli che siano anche R-moduli, con operazioni tra loro collegate da identità, che tramite l'omomorfismo strutturale. Omomorfismi tra R-algebre. Esempio: automorfismi di estensioni di campi come automorfismi di algebre. Richiami sui gruppi abeliani liberi; esempi di proprietà universale. Per cenni: anelli di polinomi visti come algebre libere. Ogni estensione di un anello R è isomorfa ad un quoziente di un anello di polinomi su R.

Somme dirette di moduli; moduli liberi.

Esercizi proposti:

1. Verificare che, se un anello (commutativo unitario) R è prodotto diretto (interno) dei suoi ideali H e K, per ogni ideale I di R si ha I=(I∩H)+(I∩K). Questa osservazione generalizza quella fatta sugli ideali massimali di un prodotto diretto di anelli.
2. Costruire, in un prodotto diretto di anelli, due ideali I e J tra loro non comassimali ma tali che IJ=I∩J.
3. Verificare in tutti i dettagli l'equivalenza tra le due definizioni date di algebra commutativa su un anello commutativo unitario.
4. Sia X uno spazio topologico compatto. Descrivere gli ideali massimali nell'anello delle funzioni continue da X al campo dei reali. Indicazioni su come procedere sono in Sharp, Esercizio 3.18.
5. Vero o falso: tutti i moduli su un campo sono liberi.

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Ancora sui moduli liberi: dimostrazione della loro caratterizzazione. Cenno alla nozione di coprodotto.

Anelli di serie formali su un anello commutativo unitario. Elementi invertibili in R[[x]]; questo anello è locale se (e solo se) lo è R.

Elementi invertibili, nilpotenti, e radicale di Jacobson in R[x] (quest'ultimo coincide col nilradicale). Osservazione: la somma tra un elemento invertibile ed uno nilpotente è necessariamente invertibile (ciò vale in qualsiasi anello commutativo unitario).

Condizioni di catena per insiemi ordinati. Moduli artiniani e moduli noetheriani. Esempi. Anelli artiniani e noetheriani. Sottomoduli, quozienti ed estensioni di moduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani). Caratterizzazione dei moduli noetheriani. In ogni modulo non noetheriano esistono sottomoduli massimali per la proprietà di non essere finitamente generati. Nel caso in cui il modulo sia un anello non noetheriano (visto come modulo su se stesso), si è detto, ma non (ancora) dimostrato, che ogni ideale che sia massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è primo. Da ciò segue: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se ogni suo ideale primo è finitamente generato.

Esercizi proposti:

1. Trovare tutti gli idempotenti dell'anello Z₆₀ (suggerimento: se ne considerino le decomposizioni in prodotto diretto).
2. Sia, tanto per cambiare, R un anello commutativo unitario. Provare che:
   1. se f è un divisore dello zero in R[x], allora esiste c∈R[x]−0 tale che cf=0. (Un suggerimento si trova in Sharp, Esercizio 1.36(iii) o in Atiyah-Macdonald, Esercizio 2 a pag. 11);
   2. se f è un idempotente in R[[x]], allora f∈R. (Suggerimento: per un intero positivo t, opportunamente scelto, si scriva f come a+bx^t+ x^t+1g, dove a, b∈R e g∈R[[x]]. Calcolare il coefficiente t-esimo di f² …)
3. Dimostrare che i moduli finitamente generati sugli anelli noetheriani sono noetheriani (come osservato a lezione, ciò non vale per moduli su anelli non noetheriani).
4. Sia V uno spazio vettoriale. Sotto quali condizioni V è noetheriano? E sotto quali condizioni V è artiniano?
5. L'insieme Z[i] dei numeri complessi della forma a+ib al variare di a e b in Z è un sottoanello di C (è l'anello degli interi di Gauss). Z[i] è artiniano? Z[i] è noetheriano?

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Esame (ed estensione) di uno degli esercizi proposti nella lezione precedente: i moduli finitamente generati sugli anelli noetheriani (risp. artiniani) sono noetheriani (risp. artiniani). Si è anche osservato che la somma di un numero finito di sottomoduli noetheriani (risp. artiniani) di un modulo è necessariamente noetheriana (risp. artiniana).

Teorema della base di Hilbert, per anelli di polinomi e per anelli di serie formali su un anelli noetheriani. Conseguenza: ogni algebra (commutativa) finitamente generata su un anello noetheriano è un anello noetheriano. Le dimostrazioni fornite sono quelle che si trovano in Sharp (capitolo 8). È stata anche fornita una dimostrazione del fatto (solo enunciato nella lezione precedente) che, in ogni anello commutativo unitario, ogni ideale che sia massimale per non essere finitamente generato è primo.

Si è inoltre introdotta la notazione (N:X)=Ann_R(X+N/N) per sottomoduli N e parti X di un R-modulo.

Esercizi proposti:

1. (A proposito della dimostrazione del teorema della base.) Sia R un anello commutativo unitario. Esistono ideali distinti H, K di R[x] tali che, per ogni n∈N, l'ideale C_n(H) di R costituito dai coefficienti direttori dei polinomi in H di grado al più n coincida con l'ideale C_n(K) definito in modo analogo a partire da K?
2. Z[x] è artiniano?
3. Il sottoanello del campo razionale Z[1/2], generato da 1/2, è artiniano? È noetheriano?
4. È vero o falso che, per ogni anello commutativo unitario R:
   1. se R [x] è artiniano, allora R è artiniano;
   2. se R [x] è noetheriano, allora R è noetheriano;
   3. se R [[x]] è artiniano, allora R è artiniano;
   4. se R [[x]] è noetheriano, allora R è noetheriano.
5. Sia M un modulo sull'anello commutativo unitario R e siano N un sottomodulo ed X una parte di M.
   1. Se X è l'unione di una famiglia (X_i)_i∈I di sue parti, si ha (N:X)=(N:XR)=∩{(N:X_i)|i∈I};
   2. se N è l'intersezione di una famiglia (N_i)_i∈I di sottomoduli di M, si ha (N:X)=∩{(N_i:X)|i∈I}.

9/4

Anelli di frazioni, visti come oggetti che verificano una proprietà universale di diagrammi per omomorfismi (di anelli unitari) che invertano un assegnato sottoinsieme S di un anello commutativo unitario R. Si può assumere che S sia un sottomonoide moltiplicativo (saturo). Costruzione dell'anello S⁻¹R. Sua unicità (a meno di isomorfismi di R-algebre).

Nucleo dell'omomorfismo naturale R→S⁻¹R. Condizioni necessarie e sufficienti affinché un elemento x/s di S⁻¹R sia rispettivamente lo zero, l'unità, invertibile in S⁻¹R.

Sottomonoidi saturi di R. La saturazione di (cioè il sottomonoide saturo generato da) un sottomonoide S di R: essa concide con l'insieme dei divisori di elementi di S.

Esempi: anelli di frazioni di domini di integrità (sono sottoanelli del campo dei quozienti); per R=Z₆ e S il sottomonoide generato da [2]₆, l'anello S⁻¹R è isomorfo a Z₃.

Esercizi proposti; le notazioni sono quelle usate sopra:

1. Se S è costituito da invertibili di R, S⁻¹R è isomorfo a R.
2. Siano x∈R e s∈S. Provare che x/s è nilpotente se e solo se x è nel radicale del nucleo dell'omomorfismo naturale f_S: x∈R→x/1∈S⁻¹R.
3. Sia l'anello (commutativo unitario) R=P×H prodotto diretto dei suoi ideali P e H. Supponiamo anche che P sia primo (cioè che, come anello, H sia un dominio di integrità), e sia S=H−0.
   1. Determinare la saturazione di S in R.
   2. Provare che S⁻¹R è isomorfo a campo dei quozienti di H.
   3. Determinare il nucleo dell'omomorfismo naturale x→x/1 da R a S⁻¹R.
4. Completare l'Esempio 5.8 in Sharp, identificando S⁻¹R nel caso lì considerato (cioè R=Z₆, S={1, 3, 5}).
5. Esercizi 5.11/5.12 in Sharp.

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Ulteriori esempi ed osservazioni sugli anelli di frazioni: con le notazioni usuali, valgono le implicazioni: S è finito ⇒ esiste un elemento di S che è multiplo di tutti gli elementi di S ⇒ l'omomorfismo naturale R→S⁻¹R è suriettivo.

Descrizione esplicita e completa degli anelli di frazioni dei quozienti di Z. Nel corso della discussione si è dimostrata la caratterizzazione dei sottomonoidi saturi di un anello commutativo unitario come complementi di unioni di ideali primi.

Estensioni e contrazioni di ideali rispetto ad un omomorfismo. La contrazione di un ideale primo è un ideale primo. Con riferimento all'omomorfismo naturale, applicazioni c (contrazione) ed e (estensione) tra gli insiemi degli ideali di R e di S⁻¹R. Per H e K ideali di R e S⁻¹R rispettivamente, descrizione esplicita di K^c, di H^e e di H^ec; ce è la funzione identica (si ha così una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di S⁻¹R in quello degli ideali di R). H^e=S⁻¹R ⇔ H∩S≠∅.

Anelli di frazioni di anelli artiniani, noetheriani, principali conservano le stesse proprietà.

Per ogni ideale H di R, l'anello di frazioni ottenuto da R/H rendendo invertibili le immagini modulo H degli elementi di S è isomorfo a S⁻¹R/H^e.

c ed e inducono isomorfismi tra l'insieme ordinato Spec(S⁻¹R) e quello degli ideali primi di R disgiunti da S.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario, con qualche esempio.

Esercizi proposti:

1. Provare in modo diretto che, se P è un ideale primo di R e S=R−P, allora S⁻¹R è locale, ragionando in questo modo: stabilito che P^e è proprio, si osserva poi che gli elementi di S⁻¹R non in P^e sono invertibili.
2. Siano P e S come nell'esercizio precedente. Provare, con le notazioni solite, che S⁻¹R/P^e è isomorfo al campo dei quozienti di R/P.
3. Sia F l'anello delle frazioni S⁻¹Z[x] ottenuto scegliendo come S l'insieme dei polinomi a coefficienti in Z con termine noto non nullo (dunque, S=Z[x]−xZ[x]).
   1. F è un anello locale?
   2. Utilizzando l'esercizio precedente, si identifichi, a meno di isomorfismi, il quoziente F/(xZ[x])^e.
4. Con le notazioni usate sopra, provare che l'applicazione e è iniettiva se e solo se l'omomorfismo naturale R→S⁻¹R è un isomorfismo.
5. Si descrivano gli ideali del sottoanello A={n/m |  n,m∈Z, m è coprimo con 6} di Q. (Suggerimento: A è un anello di frazioni di Z).

16/4

Ideali primari in un anello commutativo unitario R. Definizione e proprietà essenziali; il radicale di un ideale primario H è primo (il minimo primo contenente H). Descrizione degli ideali primari in un anello principale.

Osservazione: l'intersezione di una catena di ideali primi è un ideale primo. Dunque: per ogni ideale proprio H di R esistono ideali primi che siano minimali per la proprietà di contenere H. La loro intersezione è il radicale di H.

Un ideale il cui radicale sia un ideale massimale è necessariamente primario.

Due esempi importanti:

• un ideale primario che non è potenza di un ideale primo;
• un ideale primo il cui quadrato non è primario

(si vedano in Sharp gli esempi 4.11 e 4.12, anche se il secondo differisce da quello discusso a lezione).

Nozione di decomposizione primaria; l'esempio degli anelli principali.

Ideali irriducibili per intersezione. Se R è un anello noetheriano gli ideali irriducibili di R sono tutti primari.

Esercizio proposto:

1. Descrivere gli ideali irriducibili in Z.

18/4

Decomposizioni primarie di ideali in un anello commutativo unitario R.

Se R è noetheriano, ogni suo ideale proprio è intersezione di un numero finito di ideali irriducibili, quindi ammette decomposizioni primarie.

Decomposizioni primarie minimali. Ogni ideale decomponibile ne ammette almeno una. Per provarlo si è osservato che, √(IJ)=√(I∩J)=√I∩√J per ogni coppia di ideali I, J di R (non vale, invece, in generale √(IJ)=(√I)(√J)).

Descrizione di (H:a) per un ideale primario H ed un elemento a di R (vedi Sharp, 4.14). Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Primi associati ad un ideale decomponibile.

Esempi: (1) nell'anello dei polinomi K[x,y] a due indeterminate su un campo K, per ogni intero n>1, l'ideale generato da xⁿ e xy ha infinite decomposizioni primarie minimali. (2) Il prodotto diretto di una famiglia infinita di anelli commutativi unitari non nulli è un anello in cui l'ideale nullo non ha alcuna decomposizione primaria.

Ogni contrazione di un ideale primario è primaria.

Se un anello (commutativo unitario) R ha la proprietà che ogni suo divisore dello zero è nilpotente (vale a dire: l'ideale nullo è primario), ogni anello di frazioni di R ha la stessa proprietà Usando questo fatto, abbiamo verificato che, con riferimento all'omomorfismo naturale da un anello commutativo unitario R ad un suo anello di frazioni S⁻¹R, se H è un ideale primario di R disgiunto da S, allora la sua estensione H^e è un ideale primario di S⁻¹R (inoltre: anche √H è disgiunto da S).

Esercizi proposti:

1. Caratterizzare i divisori dello zero negli anelli di frazioni.
2. Nell'anello dei polinomi K[x,y] a due indeterminate su un campo K, l'ideale generato da xy² è primario? Se ne scriva una decomposizione primaria.
3. Nell'anello dei polinomi Z[x,y] a due indeterminate su Z, si determini una decomposizione primaria dell'ideale generato da 6x² e y. Suggerimento: (3x,y) è primo?

23/4

Con le notazioni usuali, e con riferimento all'omomorfismo naturale R→S⁻¹R, isomorfismo (estensione/contrazione) tra l'insieme ordinato degli ideali primari di R disgiunti da S e quello degli ideali primari di S⁻¹R. Per ogni ideale primo P di R disgiunto da S, questo induce una biezione tra l'insieme degli ideali P-primari di R e quello degli ideali P^e-primari di S⁻¹R.

Sempre nello stesso contesto, l'estensione della intersezione tra due ideali è l'intersezione delle estensioni degli stessi. Per un arbitrario ideale decomponibile H di R disgiunto da S, decomposizione primaria di H^e e di H^ec. Come conseguenza: secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Discussione di un esempio dalla lezione precedente.

Ogni ideale primo contenente un ideale decomponibile H contiene un primo associato ad H. Primi minimali contenenti H, ovvero primi isolati.

Sia R un anello in cui l'ideale nullo è decomponibile. Allora l'unione e l'intersezione dell'insieme dei primi associati a 0 sono rispettivamente l'insieme dei divisori dello zero ed il nilradicale di R.

Se il radicale di un ideale H è finitamente generato, allora esiste un intero positivo n tale che (√H)ⁿ⊆H.

Teorema dell'intersezione di Krull per ideali di un anello noetheriano; la versione dello stesso teorema per moduli sarà vista in seguito.

Immersione di una R-algebra (non necessariamente unitaria) A come ideale in un anello costruito su A⊕R (vedi Cohn, Algebra, vol. 2, pag. 166, oppure Cohn, Basic Algebra, pag. 132). Discussione sulla possibilità di riguardare ogni modulo su un anello come ideale su un tale (nuovo) anello. Questa discussione sarà approfondita nella prossima lezione.

Esercizi proposti:

1. Nell'anello dei polinomi K[x,y] a due indeterminate su un campo K, si determini l'insieme degli ideali primi minimali contenenti l'ideale H generato da x²y³. Si scriva una decomposizione primaria di H in K[x,y] e se ne discuta l'unicità.
2. Provare che l'ideale nullo dell'anello delle funzioni continue da [0,1] ad R non è decomponibile (esercizio 4.30 in Sharp).
3. Verificare in dettaglio la correttezza della costruzione, presentata a lezione, di un anello in cui immergere un'algebra su un anello R come ideale in un opportuno anello.

30/4

Discussione approfondita sul cambio dell'anello degli scalari per un modulo e sulla costruzione con cui si è conclusa la scorsa lezione.

Teorema dell'intersezione di Krull per moduli. Un controesempio: un p-gruppo abeliano per il quale il teorema fallisce, con riferimento all'ideale generato da p in Z.

Lemma di Nakayama nella sua formulazione classica e NAK (se M è un modulo fedele finitamente generato su un anello commutativo unitario R e H è un ideale proprio di R, allora MH<M).

Osservazione: se M è l'ideale massimale di un anello locale noetheriano, l'intersezione della potenze Mⁿ al variare di n in N è l'ideale nullo.

Esercizi proposti:

1. Siano M un modulo su un anello commutativo unitario R, a∈M e I, J ideali di R. Allora aI⊆aJ se e solo se I⊆J+Ann_R(a). [Questo fatto è stato usato nella dimostrazione di NAK.]
2. Sia H un ideale finitamente generato di un anello commutativo unitario R. Provare che se H²=H allora H è un ideale principale, generato da un idempotente, e quindi R=H×K per un opportuno ideale K. [Suggerimento, si applichi NAK a H, …]

2/5

Discussione del primo dei due esercizi proposti nella scorsa lezione.

Controesempi a NAK ed al lemma di Nakayama neli caso di moduli non finitamente generati.

Anelli artiniani (commutativi, unitari). Proprietà fondamentali: tali anelli hanno solo un numero finito di ideali primi. Teorema: un anello commutativo unitario è artiniano se e solo se è noetheriano e tutti i suoi ideali primi sono massimali. Si è usato il lemma: un modulo che sia annullato dal prodotto di un numero finito di ideali massimali è artiniano se e solo se è noetheriano.

Descrizione degli anelli artiniani come prodotti diretti di un numero finito di anelli artiniani locali (cfr. Atiyah-Macdonald, Theorem 8.7, ed anche, sempre nello stesso testo, Proposition 1.10).

Esercizi proposti:

1. Provare che un modulo M è sia artinano che noetheriano se e solo se tutte le catene di sottomoduli in M sono finite.

7/5

Richiami sulla fattorialità nei monoidi. Alcune osservazioni di carattere generale. Se ρ è un preordinamento (cioè una relazione riflessiva e transitiva) in un insieme S, definita la relazione di equivalenza ∼ in S ponendo, per ogni x,y∈S, x∼y se e solo se xρy e yρx, si ha che ρ induce un ordinamento in S/∼.

Nel caso particolare in cui ρ sia la relazione di divisibilità in un monoide commutativo M, ∼ è la relazione ``essere elementi associati", che è una congruenza in M. La divisibilità in M induce (come preordinamento) la divisibilità nel monoide quoziente M/∼ che è così ordinato per divisibilità. Teorema: Nell'ipotesi che sia regolare, M è fattoriale se e solo se (M/∼, | ) è un reticolo a condizione minimale. Per quest'ultimo risultato può essere utile consultare il libro di Jacobson (Basic Algebra, vol I, sez 2.14).

Sia M un monoide commutativo regolare. Se a e b sono elementi di M per i quali esista in M un minimo comune multiplo, allora esiste in M anche un massimo comun divisore tra a, e b. Il viceversa non vale, in generale, ma se in M tutte le coppie di elementi ammettono MCD, allora tutte ammettono mcm.

Sequenze esatte di moduli. Estensioni di moduli come sequenze esatte corte. Discussione e qualche esempio. Estensioni spezzate (definite tramite l'esistenza di un `mono spezzante'). Se un'estensione, definita dal monomorfismo μ e l'epimorfismo ε, è spezzata, allora il termine centrale è somma diretta delle immagini di μ e del mono spezzante. Questo risultato si inverte, come sarà dimostrato alla prossima lezione (prevista per martedì 21). [Invece no, questa dimostrazione è stata data nella lezione del 23 maggio.]

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio tutte le affermazioni (elementari) fatte nella prima parte della lezione e non dimostrate in dettaglio (ad esempio, con le notazioni usate sopra, le proprietà della relazione ∼ di associazione e del monoide M/∼).
2. Sia M il sottomonoide di (N,·) costituito da 1 e dagli interi positivi pari. Determinarne gli elementi irriducibili e quelli primi. Mostrare che ogni elemento di M diverso da 1 è prodotto di irriducibili, ma esistono elementi per i quali questa fattorizzazione non è (neanche essenzialmente) unica.

21/5

Per un dominio di integrità unitario R, abbiamo esaminato l'ovvio antiisomorfismo di insiemi ordinati tra R, quozientato rispetto alla relazione di associazione ed ordinato per divisibilità, e l'insieme degli ideali principali di R, ordinato per inclusione. Come applicazione, si sono ritrovati il teorema secondo il quale gli anelli principali sono fattoriali, il teorema di Bézout e la sua versione duale.

Sia R un anello fattoriale. Allora ogni anello di frazioni su R è fattoriale; inoltre l'anello dei polinomi R[x] è fattoriale. Nel corso della dimostrazione di questo secondo enunciato sono stati introdotte le nozioni di contenuto di un polinomio e di polinomio primitivo. Si è osservato che un polinomio di grado positivo in R[x] è irriducibile se e solo se è primitivo ed irriducibile in K[x], dove K è il campo dei quozienti di R. La dimostrazione fornisce un metodo effettivo per ottenere una fattorizzazione in irriducibili di un polinomio in R[x] a condizione che si sappiano fatorizzare elementi in R ed in K[x].

Esercizi proposti:

1. Se R è un anello fattoriale, ogni anello di polinomi R[x₁,x₂,…,x_n] ad un numero finito di indeterminate è fattoriale.
2. Sia R un dominio di integrità unitario. Si provi che R[x] è principale se e solo se R è un campo. Suggerimento: Si consideri, in Z[x], l'ideale generato da x e da un intero primo p. Questo ideale è principale? Si generalizzi questa situazione.

23/5

Completamento della caratterizzazione delle estensioni spezzate come quelle sequenze esatte corte in cui l'immagine del monomorfismo a sinistra è un sommando diretto del modulo che appare al centro.

Assegnati due moduli A e B sull'anello commutativo unitario R, struttura di R-modulo su Hom(A,B) (la verifica è stata lasciata come esercizio; da fare). Vaghi cenni alla nozione di funtore, con riferimento al funtore (covariante) Hom(M,–), per un fissato modulo M. Omomorfismo α*: Hom(M,A)→Hom(M,B) indotto da un α∈Hom(A,B). α* è un monomorfismo se lo è α (esattezza a sinistra del funtore Hom(M,–)). Qualche controesempio, che mostra come non sempre α* sia un epimorfismo se lo è α (vale a dire: Hom(M,–) non è in generale esatto a destra) e come α* possa essere un monomorfismo anche se non lo è α.

Moduli proiettivi. Definizione e prime caratterizzazioni (come in, ad esempio, Cohn, vol. 2, Theorem 4.5.4). Somme dirette e sommandi diretti di moduli proiettivi sono moduli proiettivi. Esempi vari, tra i quali quelli di moduli proiettivi non liberi. Senza dimostrarlo, si è detto che ogni modulo proiettivo su anello principale è libero; in particolare questo è vero per i moduli su Z, cioè i gruppi abeliani. Un lemma: dati due sottomoduli P e Q di un modulo, se P∩Q e P+Q sono entrambi proiettivi, allora anche P e Q lo sono.

Enunciato il Lemma della base duale (in Cohn, vol. 2, è la Proposizione 4.5.5); la dimostrazione è rimandata alla prossima lezione (lunedì 27).

Esercizi proposti:

1. Sia E una sequenza esatta corta definita dal monomorfismo μ: A→B e dall'epimorfismo ε: B→C. Provare che E è una estensione spezzata se e solo se ammette un epi spezzante, cioè un omomorfismo (necessariamente suriettivo) θ: B→A tale che μθ sia l'identità di A.
2. Con le notazioni usate a lezione, verificare in dettaglio la buona definizione della struttura di modulo su Hom(A,B) ed il fatto che l'omomorfismo indotto α*: Hom(M,A)→Hom(M,B) effettivamente è un omomorfismo di moduli.
3. Trovare esempi di sottomoduli e di quozienti di un modulo proiettivo, e di estensioni tra moduli proiettivi, che non siano proiettivi.

27/5

Dimostrazione del Lemma della base duale. Esempio di un modulo proiettivo non libero P e di un modulo libero F tali che P⊕F sia libero.

Fissati un dominio di integrità R ed il suo campo dei quozienti K, ideali frazionari di R (cioè R-sottomoduli non nulli A di K tali che A+R/R non sia fedele, cioè aA⊆R per qualche a diverso da 0 in R). Esempi di sottomoduli di K che sono e che non sono ideali frazionari. Osservazioni: sono ideali frazionari le somme ed i prodotti tra due ideali frazionari; ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero.

Il monoide F(R) degli ideali frazionari di R ed il suo sottomonoide I*(R) degli ideali interi non nulli. Ideali invertibili: se A∈U(F(R)) allora A⁻¹=(R:A)_K. Gli ideali principali non nulli sono invertibili, un esempio di ideale frazionario non invertibile. Teorema: gli ideali frazionari invertibili sono esattamente quelli proiettivi, inoltre essi sono finitamente generati.

Anelli di Dedekind. Caratterizzazione come in Cohn, vol. 2, Prop. 9.5.1. Se R è un anello di Dedekind, e I, J∈I*(R), allora I divide J se e solo se I⊇J. Da ciò, e dal fatto che R è noetheriano, usando risultati discussi nella lezione del 7/5 segue subito che I*(R) è fattoriale. I primi in I*(R) sono gli ideali primi non nulli, quindi, in R, ogni ideale primo non nullo è massimale e ogni ideale non nullo è prodotto di ideali primi, in modo unico a meno dell'ordine dei fattori.

Esercizio proposto:

1. Provare che se R è un anello di Dedekind, allora F(R) è abeliano libero, con l'insieme deli ideali (interi) primi non nulli come base.

28/5

I riferimenti tra parentesi quadre sono agli enunciati che appaiono col corrispondente numero in Cohn, vol. 2. Ad esempio, [9.5.9] indica la proposizione 5.9 del capitolo 9 di quel volume.

Discussione dell'esercizio proposto alla lezione precedente: se R è un anello di Dedekind, il gruppo degli ideali frazionari di R è libero sull'insieme degli ideali primi ([9.5.9]).

Gli anelli di frazioni di anelli di Dedekind sono a loro volta di Dedekind [9.5.2].

Sia R un dominio di integrità unitario non nullo. R possiede ideali massimali per la proprietà di non essere invertibili, e questi sono tutti primi. Di conseguenza, R è di Dedekind se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili. Teorema: se ogni ideale non nullo di R è prodotto di ideali primi, allora R è di Dedekind (vedi [9.5.6], (c)⇒(a)). Per questa dimostrazione si è utilizzato il lemma: l'eventuale decomposizione di un ideale invertibile in prodotto di ideali primi è unica, a meno dell'ordine dei fattori.

Sia R un dominio di integrità unitario. Allora R è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo [9.2.6]. Di conseguenza, se R è fattoriale, i suoi ideali primi non nulli minimali sono principali. Da ciò: R è principale se e solo se è fattoriale e di Dedekind, ovvero: se e solo se è fattoriale ed ogni suo ideale primo non nullo è massimale, ovvero: se e solo se tutti i suoi ideali primi sono principali [9.5.7/8].

Cenni al gruppo delle classi di un anello di Dedekind.

Esercizio proposto:

1. Provare, in modo rapido, che, per ogni campo K, un anello dei polinomi su K con più di una indeterminata non può essere di Dedekind.

30/5

Se R un anello di Dedekind in cui l'insieme degli ideali primi è finito, allora R è principale. La dimostrazione è stata condotta come segue:

1. Siano P₁, P₂, …,P_n ideali primi non nulli a due a due distinti in R. Allora ogni ideale non nullo J di R contiene propriamente ∪{JP_i| i∈{1,2,…,n}}.
2. Scelti comunque I,J∈I*(R), esiste H∈I*(R) tale che HJ sia principale e H+I=R.
3. Conclusione: se Spec(R) è finito, basta porre I uguale al prodotto degli ideali primi di R e applicare 2: H deve coincidere con R e quindi  J deve essere principale.

Conseguenze: se R è un anello di Dedekind, ogni quoziente proprio di R è un anello ad ideali tutti principali; quindi ogni ideale di R è generato da al più due elementi. Più precisamente, per ogni ideale H di R e per ogni a∈H, esiste b∈H tale che H sia l'ideale generato da a e b. Si è fatto uso dellla seguente osservazione: se H è un ideale dell'anello commutativo unitario R e S è il complemento in R dell'unione dell'insieme degli ideali primi di R contenenti H, allora R/H è isomorfo ad un quoziente di S⁻¹R.

Cenni agli anelli di valutazione. Un dominio di integrità unitario R è un anello di valutazione se e solo se verifica una delle seguenti proprietà tra loro equivalenti:

• per ogni a, b∈R o a divide b oppure b divide a;
• l'insieme degli ideali di R, ordinato per inclusione, è una catena;
• R è un anello locale di Bézout.

(Un anello di Bézout è un dominio di integrità unitario in cui ogni ideale finitamente generato sia principale).

Valutazioni definite in un campo (per la definizione si veda, ad esempio, Cohn, o Atiyah-MacDonald). Se v è una valutazione definita sul gruppo moltiplicativo del campo K, il sottoinsieme di K costituito da 0 dagli elementi con immagine (mediante v) non negativa costituiscono un sottoanello di K, l'anello della valutazione v. Esempi di valutazioni (vedi Cohn, pagg. 255–256). Valutazioni e divisibilità (rispetto ad elementi dell'anello della valutazione).

Esercizi proposti:

1. Dimostrare, in modo alternativo, che gli ideali dei quozienti propri di un anello di Dedekind sono sempre principali ragionando come segue: se H∈I*(R) e J/H è un ideale di R/H, allora H=IJ per un opportuno I∈I*(R). Si può poi scegliere un ideale L coprimo con I tale che JL sia principale. Ne segue J=H+JL, quindi l'asserto.
2. Verificare in dettaglio che l'esempio di valutazione proposto in Cohn, vol. 2, pag. 266 come numero 2 è effettivamente una valutazione.

4/6

• R è un anello di valutazione;
• per ogni c∈K−R, c⁻¹∈R;
• R è l'anello di una valutazione definita in K*.

Per un anello di valutazione sono equivalenti le proprietà di essere (a) noetheriano, (b) principale, (c) definito da una valutazione discreta (cioè a valori in Z). Gli anelli locali di Dedekind (e quindi tutte le localizzazioni degli anelli di Dedekind) sono esempi di anelli di valutazione discreta. In altri termini, queste localizzazioni, se non sono campi, hanno come insieme degli ideali non nulli una catena isomorfa all'insieme ordinato degli interi negativi. Esempio: le valutazioni p-adiche in Q (relative a primi p) e le localizzazioni di Z.

Elementi interi su un anello. Definizione, caratterizzazione e prime proprietà (vedi [8.4.1–2]; Atiyah-Macdonald, capitolo 5 sino a 5.5,; Sharp, da 13.16 a 13.24). Qualche esempio; transitività dell'integrità (dimostrata utilizzando, tra l'altro, il lemma: se R è un anello commutativo unitario e A è una R-algebra che sia finitamente generata come R-modulo, allora ogni A-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come R-modulo. Anelli integralmente chiusi. Z, e, più in generale, tutti gli anelli fattoriali, sono integralmente chiusi.

Esercizi proposti:

1. Sia R l'anello di una valutazione v. Provare che due elementi non nulli a e b di R sono associati se e solo se a^v=b^v. Se v è una valutazione discreta, descrivere gli ideali di R termini di v.
2. La proprietà di essere un'estensione integrale si conserva nel passaggio a quozienti e ad anelli di frazioni.
3. Usando il `trucco del determinante' introdotto per caratterizzare gli elementi interi su un anello, fornire una dimostrazione alternativa del lemma di Nakayama in forma forte (NAK).

6/6

Caratterizzazione della chiusura integrale come intersezione di anelli di valutazione ([8.4.3/4]). (Da questo risultato segue, di nuovo, che gli anelli fattoriali sono integralmente chiusi).

Interi algebrici, cioè elementi interi su Z.

Caratterizzazione degli anelli di Dedekind, tra i domini di integrità noetheriani come quelli: (a) in cui ogni localizzazione è un anello di valutazione (discreta); ovvero: (b) che siano integralmente chiusi e di dimensione 1 (vedi [9.5.4]).

Anelli degli interi algebrici in campi di numeri: sono anelli di Dedekind. Questo fatto è stato dimostrato usando l'informazione (non dimostrata) che questi anelli sono noetheriani ed il seguente lemma: se A è una estensione integrale dell'anello commmutativo unitario R, e P, Q sono ideale primi di A tali che P⊂Q, allora P∩R⊂Q∩R.

Qualche esempio: anelli degli interi delle estensioni quadratiche di Q. Si è accennato alla descrizione dell'anello degli interi su tali estensioni, alla nozione di norma (solo per questi anelli) ed al suo uso per lo studio di problemi di fattorizzazione. Si è analizzata la fattorizzazione in prodotto di ideali primi dell'ideale generato da 6 in Z[√−5]; se ne parla in dettaglio in una breve nota distribuita anche in aula (sono ben accette le segnalazioni di errori di battuta e tutti i tipi di osservazioni).

Esercizi proposti:

1. Se R è un anello fattoriale e a appartiene alla chiusura algebrica di K:=Q(R), allora a è intero su R se e solo se il polinomio minimo di a su K appartiene a R[x].
2. Verificare che (1+√5)/2 è un intero algebrico e che (1+√3)/2 non lo è.
3. Sia R un dominio di integrità unitario. Provare che R è un anello di Dedekind se e solo se R è noetheriano, ha dimensione 1 e tutti i suoi ideali primari sono potenze di primi.
4. Completare la dimostrazione del seguente, ben noto, enunciato, già discusso per grandi linee a lezione: se d è un numero intero libero da quadrati, allora l'anello degli interi del campo Q(√d) è Z[δ], dove δ=(1+√d)/2 se d≡₄1 e δ=√d altrimenti. In entrambi i casi, il gruppo additivo di Z[δ] è abeliano libero sulla base {1,δ}. Dedurre da ciò che Z[δ] è un anello noetheriano. Risulta così completamente dimostrato che l'anello degli interi algebrici di Q(√d) è di Dedekind.