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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento.

Richiami sugli anelli. Anelli unitari: sottoanelli unitari e non, omomorfismi di anelli unitari. Ideali. Vari esempi. Rapida discussione generale sulle notazioni in algebra universale.

L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli (su un anello unitario): due definizioni equivalenti; una in termini operazione esterna $M\times R\to M$, l'altra tramite un omomorfismo di anelli unitari $R\to\End(M,+)$. Esempi: spazi vettoriali, gruppi abeliani come moduli sull'anello $\Z$ degli interi, anelli visti come moduli su se stessi. Alcune regole elementari di calcolo nei moduli. Sottomoduli (caratterizzazione) ed ideali in un anello; omomorfismi tra moduli. Quozienti di moduli.

Annullatore di un modulo. Cambio degli scalari: dato un $R$-modulo $M$ ed un omomorfismo di anelli unitari $\xi\colon S\to R$, struttura di $S$-modulo su $M$ indotta da $\xi$. Inoltre, struttura di $R/H$-modulo su $M$, dove $H$ è l'annullatore di $M$ o, più in generale, un ideale in esso contenuto.

Esercizi proposti:

1. Descrivere gli ideali dell'anello $(\P(S),\ds,\cap)$ delle parti di un insieme $S$. In particolare, come si possono descrivere questi ideali nel caso in cui $S$ sia finito? L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale di $\N$?
2. Verificare in dettaglio la correttezza della definizione dell'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano.
3. (Immersione di un anello in un anello unitario. Su questo esercizio torneremo durante il corso). Dato un anello (non necessariamente unitario) $S$, si definisce in $R=S\times\Z$ una struttura di anello unitario come segue: per ogni $x$, $y$ in $S$ ed ogni $n$, $m$ in $\Z$ si pone $(x,n)\oplus(y,m)=(x+y,n+m)$ e $(x,n)\odot(y,m)=(xy+ny+mx,nm)$; allora $(R,\oplus,\odot)$ è effettivamente un anello. Verificarlo in dettaglio. Verificare poi che questo anello è unitario e che l'applicazione $f\colon x\in S\mapsto (x,0)\in R$ è un monomorfismo di anelli, dunque $S$ è isomorfo ad un sottoanello di $R$. Più precisamente (l'esercizio continua), l'immagine $S\times\set{0}$ di $f$ è un ideale di $R$. $\set{0_S}\times\Z$ è un sottoanello, o addirittura un ideale, di $R$?

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Sottomoduli (caratterizzazione) ed ideali in un anello; omomorfismi tra moduli. Congruenze e quozienti di moduli. I teoremi di omomorfismo per moduli; sottomoduli di quozienti.

Per un modulo $M$ su un anello (commutativo unitario) $R$: prodotto tra una parte $X$ di $M$ ed una parte di $R$. Ad esempio, $XR$ è il sottomodulo generato da $X$.

Somme e prodotti di parti di un anello. Associatività della moltiplicazione (tra parti) e distributività rispetto all'addizione. Prodotti tra ideali principali. Esempi e controesempi.

Prodotti ed intersezioni tra ideali; ideali comassimali (o coprimi). Per un insieme finito di ideali a due a due comassimali, il prodotto e l'intersezione coincidono. Un prodotto tra ideali comassimali con un assegnato ideale $K$ è ancora comassimale con $K$.

Legge modulare (di Dedekind), anche nella forma: se due sottomoduli $A$ e $B$ di un modulo $M$ sono confrontabili ed hanno la stessa somma e la stessa intersezione con un assegnato un sottomodulo di $M$ allora $A=B$.

Annullatori di parti di un modulo. Moduli ciclici e moduli semplici (o irriducibili). Loro caratterizzazione come quozienti dell'anello; esempi. Ideali massimali.

Richiamo al teorema di Krull sull'esistenza di ideali massimali e sua estensione: ogni modulo non nullo che sia finitamente generato ha qualche sottomodulo massimale (si tratta di una forma del lemma di Nakayama).

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio l'associatività della moltiplicazione tra parti di un anello e la distributività di questa rispetto all'addizione.
2. Fornire un esempio di modulo non nullo privo di sottomoduli massimali.
3. (A proposito della legge modulare.) Costruire un esempio di modulo $M$ e suoi sottomoduli $A$, $B$, $C$ tali che $A+(B\cap C)$ e $(A+B)\cap C$ non siano confrontabili tra loro (rispetto all'inclusione). [Suggerimento: si può usare il gruppo $V_4$ di Klein. Oppure: scegliere come $M$ uno spazio vettoriale di dimensione 2. Il gruppo di Klein è proprio di questo tipo, giusto?]
4. Sia $N$ un sottomodulo proprio di un modulo $M$. Provare che se esiste una parte finita $F$ di $M$ tale che $M$ sia generato da $N\cup F$, allora $N$ è contenuto in un sottomodulo massimale di $M$.
5. Sia $\mathcal C$ una catena di sottomoduli di un modulo $M$. verificare che se il sottomodulo $\bigcup \mathcal C$ è finitamente generato, allora $\mathcal C$ ha massimo.

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Radicale di Jacobson e sua caratterizzazione (come, ad esempio, in Sharp, Lemma 3.17). Qualche esempio. Anelli locali (solo la definizione; di esempi ne vedremo in seguito).

Un'altra forma del Lemma di Nakayama (se un $R$-modulo finitamente generato $M$ verifica $M \jac(R)=0$, allora $M=0$).

Richiami sugli ideali primi; esempi; caratterizzazione tramite prodotti di ideali. Elementi nilpotenti. Nilradicale di un anello e sua descrizione come intersezione di ideali primi. Si è utilizzato come lemma il Teorema 3.44 di Sharp, (o 9.2.2 nel secondo volume di Cohn), dove l'ipotesi che $S$ contenga 1 è sovrabbondante e può essere sostituita da $S\ne\vuoto$. Qualche esempio in quozienti di $\Z$. Il radicale di un ideale in un anello (con un cenno al teorema degli zeri di Hilbert). La varietà di un ideale.

Sia l'unione che l'intersezione di una catena non vuota di ideali primi sono sempre ideali primi. Esistenza di ideali primi minimali.

Somme dirette (interne e esterne) di moduli. Proprietà universali. Cenno alla nozione di coprodotto (e a quella di prodotto; prodotto cartesiano di moduli). Moduli liberi; esempi. Le somme dirette di copie di $R_R$ sono $R$-moduli liberi, per ogni anello commutativo unitario $R$.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello commutativo unitario tale che $|\U(R)|=1$. Allora $\jac(R)=0$. È questo il caso che si verifica con l'anello $(\P(S),\ds\cap)$.
2. Fornire due diverse dimostrazioni del fatto che, in ogni anello commutativo unitario, la somma tra un elemento invertibile ed uno nilpotente è invertibile.
3. Per ogni intero positivo $m$, identificare gli elementi nilpotenti dell'anello $\Z_m$.
4. Identificare gli ideali primi dell'anello $(\P(S),\ds\cap)$. [Suggerimento: cercare i quozienti integri, tenendo presente che tutti gli elementi sono idempotenti.]
5. Vero o falso: tutti i moduli su un campo sono liberi?
6. Esistono domini di integrità locali che non sono campi. Dando questo per noto, si possono costruire anelli commutativi unitari in cui il nilradicale non coincida col radicale di Jacobson?

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Fissato un anello commutativo unitario $R$, unicità, a meno di isomorfismi, del modulo libero di assegnato rango. Completamento della caratterizzazione degli $R$-moduli liberi come somme dirette di moduli ciclici fedeli (cioè copie di $R_R$). Ogni $R$ modulo è immagine epimorfa di un modulo libero.

Prodotti diretti (esterni) di anelli. Identificazione degli elementi invertibili o nilpotenti. Fattori del prodotto come ideali (principali, tra loro ortogonali); sono isomorfi a quozienti di $R$, quindi anelli unitari. Nel caso in cui l'insieme di indici sia finito: prodotti diretti interni. Sempre in questo caso: corrispondenza tra le fattorizzazioni di $R$ in prodotto diretto e decomposizioni della sua unità in somma tra idempotenti ortogonali. In particolare: $R$ è decomponibile in prodotto diretto non banale se e solo se ha almeno un idempotente non banale.

Per una famiglia $(H_i)_{i\in I}$ di ideali di un anello commutativo unitario $R$, discussione dell'ovvio omomorfismo $R\to \prod_{i\in I}(R/H_i)$ (come ad esempio in Atiyah-Macdonald, Proposizione 1.10, ma con qualche dettaglio in più).

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello commutativo unitario. È vero che tutti gli $R$-moduli liberi non nulli sono fedeli?
2. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Verificare che $R$ è un campo se e solo se ogni modulo su $R$ è libero.
3. In un prodotto diretto (esterno) $\prod_{i\in I}(R_i)$ di anelli commutativi unitari, identificare gli elementi cancellabili.
4. Costruire un esempio di prodotto diretto (esterno) $\prod_{i\in I}(R_i)$ di anelli commutativi unitari che abbia un elemento non nilpotente $(r_i)_{i\in I}$ con la proprietà che ciascuna componente $r_i$ sia nilpotente nell'anello $R_i$.
5. Verificare in dettaglio l'isomorfismo tra prodotto diretto interno ed esterno di anelli commutativi unitari (nel caso in cui l'insieme dei fattori sia finito).
6. Studiare l'ovvio omomorfismo $\Z\to \prod_{n\in I}(\Z_n)$, dove $I$ è un insieme di numeri interi positivi. Discutere in particolare il caso in cui $|I|=2$.
7. Identificare gli elementi idempotenti in $\Z_6$ e le corrispondenti fattorizzazioni di $\Z_6$ in prodotto diretto di anelli. Fare lo stesso per $\Z_8$ al posto di $\Z_6$.

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Descrizione degli ideali, degli ideali massimali e degli ideali primi di un prodotto diretto $R$ di un numero finito di anelli; descrizione di $\jac(R)$ e di $\nrad(R)$.

Esempio importante (espansione dell'esercizio 6 dalla lezione precedente): decomposizioni dei quozienti di $\Z$ e teorema cinese del resto. Moltiplicatività della funzione $\varphi$ di Eulero; calcolo dei suoi valori, Teorema di Fermat-Eulero e Piccolo Teorema di Fermat.

Altro esempio: anelli di funzioni. Anello booleano $\P(S)$ di un insieme come anello di funzioni $\Z_2^S$. Anelli di funzioni continue.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario $R$ (Cohn, vol. 2, cap. 5). Algebre unitarie e loro descrizione equivalente tramite l'omomorfismo strutturale. Omomorfismi tra $R$-algebre. Esempi: anelli, visti come $\Z$-algebre; estensioni di campi; automorfismi di estensioni di campi come automorfismi di algebre. Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria (si veda l'ultimo degli esercizi di oggi).

Algebre unitarie libere: anelli di polinomi (proprietà universale per gli anelli di polinomi; si veda, ad esempio, Sharp, Lemma 1.13 e, più avanti, 1.16 e 1.17). Ogni estensione di un anello $R$ è isomorfa ad un quoziente di un anello di polinomi su $R$. Esempio: estensioni semplici di campi.

Esercizi proposti:

1. Dati due anelli commutativi unitari $R$ e $S$, descrivere gli elementi cancellabili ed i divisori dello zero nel prodotto diretto $R\times S$.
2. Determinare esplicitamente le decomposioni di $\Z_{60}$ in prodotto diretto di anelli, elencando nello stesso tempo gli idempotenti di $\Z_{60}$.
3. Calcolare $\varphi(10^6)$.
4. Siano $a$ e $b$ due interi positivi non coprimi. Provare che $\varphi(ab)\ne\varphi(a)\varphi(b)$.
5. Calcolare i resti di $841^{4567}$ e di $148^{4567}$ nella divisione per  9134. (Suggerimento: 4567 è primo, 9134 è il suo doppio.)
6. Verificare che, per ogni spazio topologico $X$, l'insieme delle funzioni continue da $X$ al campo $\R$ dei reali costituisce un sottoanello unitario dell'anello delle funzioni da $X$ a $\R$. Nell'ipotesi che $X$ sia compatto, descriverne gli ideali massimali. (Indicazioni su come procedere sono in Sharp, Esercizio 3.18).
7. Verificare in dettaglio tutte le affermazioni fatte, ma non completamente provate a lezione (a proposito di: isomorfismo tra gli anelli $\P(S)$ e $\Z_2^S$, omomorfismo strutturale per algebre unitarie, anelli di polinomi).
8. (Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria; si generalizza l'esercizio 3 della lezione dell'11 marzo). Siano dati un anello commutativo unitario $(R,+,\cdot)$ ed una $R$-algebra (associativa, commutativa, ma non necessariamente unitaria) $(A,+,\cdot)$, con operazione esterna $\bullet$. Sia $(B,+)$ la somma diretta esterna $(A,+) \oplus(R,+)$. Inoltre, definiamo in $B$ l'operazione binaria $*$ ponendo, per ogni $a,b\in A$ ed ogni $r,s\in R$, $(a,r)*(b,s)=(ab+a\bullet s+b\bullet r,rs)$. Allora $(B,+,*)$ è un anello unitario, di unità $(0_A,1_R)$. Inoltre $\rho\colon r\in R\mapsto (0_A,r)\in B$ è un monomorfismo di anelli unitari, che struttura $B$ come $R$-algebra unitaria, e $\alpha\colon a\in A\mapsto (a,0_R)\in B$ è un monomorfismo di $R$-algebre; inoltre $\im\alpha$ è un ideale di $B$. Verificare tutto ciò.

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Ancora sugli anelli di polinomi: cenno alle possibili costruzioni; unicità a meno di isomorfismi e considerazioni collegate.

Per un anello commutativo unitario $R$: elementi invertibili, nilpotenti, divisori dello zero nell'anello dei polinomi $R[x]$. Radicale di Jacobson e nilradicale di $R[x]$.

Condizioni di catena per insiemi ordinati. Moduli artiniani e moduli noetheriani. Esempi. Anelli artiniani e noetheriani. Sottomoduli, quozienti ed estensioni di moduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani). La somma di un numero finito di sottomoduli noetheriani (risp. artiniani) di un modulo è necessariamente noetheriana (risp. artiniana); i moduli finitamente generati sugli anelli noetheriani (risp. artiniani) sono noetheriani (risp. artiniani). Caratterizzazione dei moduli noetheriani in termini di sottomoduli finitamente generati. Osservazione: un modulo non noetheriano contiene sempre sottomoduli che siano massimali per la proprietà di non essere finitamente generati.

Divisione tra ideali; più in generale: ideale $(N:X)=\ann_R (X+N/N)$ per un sottomodulo $N$ ed una parte $X$ di un $R$-modulo. Osservazione: per ogni elemento $a$ ed ogni ideale $H$ di un anello commutativo unitario $R$, $a(H:a)=aR\cap H$.

Un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati (Teorema 8.12 in Sharp).

Esercizi proposti:

1. Estendendo quanto visto a lezione, descrivere gli elementi invertibili, nilpotenti, divisori dello zero nell'anello dei polinomi $R[X]$, per un anello commutativo unitario $R$ ed un arbitrario insieme $X$ di indeterminate. Descrivere gli elementi idempotenti in $R[X]$. (Suggerimento a proposito dell'ultima questione: nel caso $X=\set x$, sia $f$ un idempotente in $R[x]$; per un intero positivo $t$ opportunamente scelto, si scriva $f$ come $a+bx^t+x^{t+1}g$, dove $a,b\in R$ e $g\in R[x]$. Si calcoli il coefficiente $t$-esimo di $f^2$ …)
2. Dato un qualsiasi anello commutativo unitario $R$, provare che l'anello dei polinomi $R[X]$ su un insieme infinito $X$ di indeterminate non è noetheriano. (Suggerimento: abbiamo visto a lezione che $R[X]\iso R[X\setminus\set x]$ per ogni $x\in X$).
3. Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un prodotto diretto $\prod_{i\in I}R_i$ di anelli commutativi unitari? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) l'anello delle parti di un insieme?
4. Di ciascuno dei seguenti anelli dire se è artiniano e se è noetheriano: $\Z_3[x]$ (suggerimento: è un anello principale), $\Q[x]/x^2\Q[x]$,il sottoanello $\Z[i]=\set{a+ib\mid a, b\in\Z}$ del campo complesso (questo è l'anello degli interi di Gauss).
5. Si esibisca un esempio di modulo finitamente generato non noetheriano. (Si parta da un anello non noetheriano. Poi?)
6. Può un sottoanello (unitario) di un anello commutativo unitario artiniano o noetheriano non avere la stessa proprietà? (Si pensi ad un campo…)
7. Verificare che, come detto a lezione, nel reticolo dei sottomoduli di un modulo i compatti sono precisamente i sottomoduli finitamente generati. (In un insieme ordinato $(S,\le)$ un elemento $x$ è compatto se e solo se, scelta comunque una parte $X$ di $S$ tale che $x=\sup X$, esiste un sottoinsieme finito $X'$ di $X$ tale che $x=\sup X'$.
8. Siano $I$ un insieme, $R$ un anello commutativo unitario ed $M$ $R$-modulo.
   1. Per ogni $X\subseteq M$ e $N\le_R M$ si ha $(N:X)=(N:XR)$;
   2. se, per ogni $i\in I$, $X_i\subseteq M$, allora, per ogni $N\le_R M$, si ha $(N:\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}(N:X_i)$;
   3. se, per ogni $i\in I$, $N_i\le_R M$, allora, per ogni $X\subseteq M$, si ha $(\bigcap_{i\in I} N_i:X)=\bigcap_{i\in I} (N_i:X)$.

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Teorema della base di Hilbert per anelli di polinomi su un anelli noetheriani. Conseguenza: ogni algebra (commutativa, anche non unitaria) finitamente generata su un anello (commutativo unitario) noetheriano è un anello noetheriano.

L'anello $R[[x]]$ delle serie formali di potenze su un anello commutativo unitario. Invertibili in $R[[x]]$. Se $R$ è noetheriano, $R[[x]]$ è noetheriano; se $R$ è locale (ad esempio, se $R$ è un campo, $R[[x]]$ è locale. (Per tutti questi risultati, le dimostrazioni fornite sono, in essenza, quelle che si trovano nel capitolo 8 di Sharp).

Anelli di frazioni, definiti da una proprietà universale di diagrammi per omomorfismi (di anelli unitari) che invertano un assegnato sottoinsieme $S$ di un anello commutativo unitario $R$. Si può assumere che $S$ sia un sottomonoide moltiplicativo (saturo).

Sottomonoidi saturi di $R$. La saturazione di (cioè il sottomonoide saturo generato da) un sottomonoide $S$ di $R$: essa concide con l'insieme dei divisori di elementi di $S$. La caratterizzazione dei sottomonoidi saturi di $R$ come complementari di unioni di ideali primi è stata enunciata ma non ancora dimostrata.

Esercizi proposti:

1. (A proposito della dimostrazione del teorema della base.) Sia $R$ un anello commutativo unitario. Trovare ideali distinti $H$, $K$ di $R[x]$ tali che, per ogni $n\in\N$, l'ideale $C_n(H)$ di $R$ costituito dai coefficienti direttori dei polinomi in $H$ di grado al più $n$ coincida con l'ideale $C_n(K)$ definito in modo analogo a partire da $K$
2. $\Z[x]$ è artiniano?
3. Trovare in $\Z[x]$ un ideale primo non nullo e non massimale.
4. Il sottoanello $\Z[1/2]$ del campo razionale generato da $1/2$ è artiniano? È noetheriano? Descrivere questo anello, indicandone gli elementi.
5. È vero o falso che, per ogni anello commutativo unitario $R$:
   1. se $R[x]$ è artiniano, allora $R$ è artiniano;
   2. se $R[x]$ è noetheriano, allora $R$ è noetheriano;
   3. se $R[[x]]$ è artiniano, allora $R$ è artiniano;
   4. se $R[[x]]$ è noetheriano, allora $R$ è noetheriano.
6. Verificare che un anello commutativo unitario $R$ è locale se e solo se $R\setminus \U(R)$ è un ideale.
7. Descrivere, nell'anello degli interi, la saturazione del sottomonoide generato da $\set{100}$.

3/4

Dimostrazione della caratterizzazione dei sottomonoidi saturi come complementi di unione di ideali primi.

Costruzione dell'anello di frazioni $S^{-1}R$, per un anello commutativo unitario $R$ ed un suo sottomonoide $S$. Sua unicità (a meno di isomorfismi di $R$-algebre).

Nucleo dell'omomorfismo naturale $R\to S^{-1}R$. Condizioni necessarie e sufficienti affinché un elemento $x/s$ sia rispettivamente zero, l'unità, invertibile, divisore dello zero in $S^{-1}R$. Osservazione: se $x/s$ è un divisore dello zero in $S^{-1}R$ allora $x$ è un divisore dello zero in $R$.

Esempi: anelli di frazioni di domini di integrità, in particolare: di $\Z$. Anelli di frazioni di quozienti di $\Z$. Si è osservato che se $S$ è un sottomonoide moltiplicativo finito (o, più in generale, dotato di un multiplo comune a tutti i suoi elementi) dell'anello commutativo unitario $R$, allora l'omomorfismo naturale $R\to S^{-1}R$ è suriettivo.

Esercizi proposti:

1. Verificare tutti i dettagli nella costruzione dell'anello di frazioni discussa a lezione.
2. Verificare nei dettagli la descrizione data degli anelli di frazioni dei domini di integrità.
3. Siano $X$ un insieme e $Y\subseteq X$. Si descriva l'anello di frazioni $S^{-1}\P(X)$, dove $S=\set Y$.
4. Sia $R=H\times K$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari; sia $S$ il gruppo degli invertibili di $H$. Si descriva $S^{-1}R$. Si confronti questa descrizione con quanto ottenuto con l'esercizio precedente.
5. Posto, per ogni $n\in\Z$, $\bar n=[n]_{20}$, $R=\Z_{20}$ e $S=\set{\bar n\mid n\in\Z\setminus 2\Z}$, ogni elemento di $S^{-1}R$ si può rappresentare come $\bar n/\bar 1$ per qualche $n\in\set{0,1,2,3}$. Rappresentare in questa forma le frazioni $\bar 1/\bar 5$, $\bar 1/\bar 3$, $\bar 2/\overline {15}$ di $S^{-1}R$.

8/4

Espansioni (o estensioni) e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo naturale da un anello commutativo unitario $R$ ad un suo anello di frazioni $S^{-1}R$. Applicazioni $c$ (contrazione) ed $e$ (espansione) tra gli insiemi degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$. Per $H$ e $K$ ideali di $R$ e $S^{-1}R$ rispettivamente, descrizione esplicita di $K^c$, di $H^e$, e di $H^{ec}$; $ce$ è la funzione identica (si ha così una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ in quello degli ideali di $R$). Inoltre, $H^e=S^{-1}R$ se e solo se $H\cap S\ne\vuoto$, che equivale anche a $H\cap \hat S\ne \vuoto$, dove $\hat S$ è la saturazione di $S$.

Gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani, principali), sono artiniani (risp. noetheriani, principali).

Sia $H$ un ideale di $R$ e sia $\bar{\phantom{t}}\colon R\epi R/H$ l'epimorfismo canonico; allora $(\bar S)^{-1}\bar R\iso S^{-1}R/H^e$

Ideali primari. Definizione e proprietà essenziali; il radicale di un ideale primario $H$ è primo (il minimo primo contenente $H$). Descrizione degli ideali primari in un anello principale. Un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario. Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo.

Nelle stesse notazioni di sopra, se $H$ è un ideale primario, allora $H^{ec}=H$; inoltre $H^e$ è primario ed è primo se $H$ è primo.

Esercizi proposti:

1. Sia $P$ un ideale primo dell'anello commutativo unitario $R$. Provare che, per ogni $n\in\N^+$, $P=\sqrt {P^n}$.
2. Sia $p$ un elemento cancellabile e primo dell'anello commutativo unitario $R$. Provare che, per ogni $n\in\N^+$, l'ideale $p^n R$ è primario.
3. Con le notazioni usate a lezione, l'applicazione $e\colon \I(R)\to \I(S^{-1}R)$ è iniettiva se solo se $S\subseteq\U(R)$ (si tratta del caso banale in cui $S^{-1}R$ si può identificare con $R$).
4. Con le stesse notazioni, se $H$ è un ideale di $R$, allora $H^{ec}=H$ se è solo se $H$ è la contrazione di un ideale di $S^{-1}R$.
5. Costruire un esempio di ideale non primo $H$ in un anello commutativo unitario $R$ tale che, in un opportuno anello di frazioni $S^{-1}R$, l'ideale espanso $H^e$ sia primo. Questo risolve una questione lasciata in sospeso a lezione. (Suggerimento: si può lavorare in un quoziente di $\Z$).
6. Descrivere esplicitamente gli ideali dell'anello $\Z[1/2]$ (già considerato in un esercizio della lezione del primo aprile). Suggerimento: riguardare questo anello come anello di frazioni di $\Z$ e sfruttare la suriettività della funzione espansione. $\Z[1/2]$ è principale?

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L'antiimmagine di un ideale primo (risp. primario) mediante un omomorfismo di anelli (commutativi) unitari è un ideale primo (risp. primario). Di conseguenza, con le solite notazioni, $c$ ed $e$ inducono isomorfismi tra l'insieme ordinato $\spec(S^{-1}R)$ e quello degli ideali primi di $R$ disgiunti da $S$; l'analogo enunciato vale per gli ideali primari. Inoltre, per ogni ideale $H$ di $R$, $(\sqrt H)^e=\sqrt{H^e}$ (la dimostrazione è stata data solo nel caso in cui $H$ è primario, per il caso generale si vedano gli esercizi); da ciò segue che, per ogni ideale $P$ di $R$ disgiunto da $S$, $c$ ed $e$ inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra quello degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

L'applicazione espansione conserva le operazioni di somma (anche infinitaria) e di intersezione tra ideali, quindi è un omomorfismo di reticoli. Invece, l'applicazione contrazione conserva le intersezioni (arbitrarie) ma non, in generale, la somma (vedi esercizi).

Localizzazioni di un anello commutativo unitario, con qualche esempio.

Ancora sugli ideali primari: esempio di un ideale primo $P$ per il quale $P^2$ non è primario (un esempio molto simile si trova in Sharp, Esempio 4.12).

Per due arbitrari ideali $I$, $J$ si ha $\sqrt I\cap \sqrt J=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{IJ}$. Se $I$ e $J$ sono $P$-primari per un certo ideale primo $P$, allora $I\cap J$ è $P$- primario.

Decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di ideali. Sia $R$ un anello (commutativo unitario) noetheriano. Allora ogni ideale di $R$ è intersezione di un numero finito di ideali $\cap$-irriducibili. Inoltre, ogni ideale $\cap$-irriducibile di $R$ è primario, quindi ogni ideale di $R$ è decomponibile.

Esempio: gli ideali primari nell'anello delle parti di un insieme sono massimali ed hanno indice due. Di conseguenza, in un tale anello gli ideali di indice infinito sono indecomponibili.

Esercizi proposti:

1. Si consideri l'anello di frazioni $S^{-1}R$, dove $R=\Z[x]$ ed $S=\set{2^n\mid n\in\N}$. Se $I=xR$ e $J=(x+2)R$, verificare che $I=I^{ec}$ e $J=J^{ec}$, mentre $(I+J)^e=S^{-1}R$ (si può usare il fatto che $R$ è un anello fattoriale in cui $2$ è primo). Concludere che $(I^e+J^e)^c\ne I^{ec}+J^{ec}$, dunque, in generale, non è vero che la somma delle contrazioni di due ideali di un anello di frazioni sia la contrazione della somma.
2. Sia $f\colon R\to A$ un omomorfismo di anelli (commutativi). Provare che, per ogni $H\n R$, $(\sqrt H)^f\subseteq \sqrt {H^f}$.
3. Con le solite notazioni per un anello di frazioni $S^{-1}R$, provare che per ogni $H\n R$ si ha $(\sqrt H)^e=\sqrt {H^e}$. (Una inclusione è ovvia dall'esercizio precedente, per l'inversa si può ragionare in modo diretto sugli elementi di $\sqrt {H^e}$.
4. Si costruisca un esempio di ideali $I,J$ di un anello commutativo unitario $R$ per i quali $\sqrt{IJ}\ne \sqrt I \sqrt J$. (Suggerimento: cercare un anello il cui nilradicale $N$ verifichi $N^2=0\ne N$).
5. Sia $R=\prod_{i\in I}R_i$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari (non nulli). Provare che se $I$ è infinito l'ideale nullo non è decomponibile in $R$ (in intersezione finita di primari). Suggerimento: si provi che ogni ideale primario di $R$ contiene tutti i fattori $R_i$ tranne al pù uno di essi.

15/4

Un esempio di ideale, in un anello fattoriale noetheriano, con infinite decomposizioni primarie (è l'ideale $(x^n,xy)$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $F[x,y]$ su un campo $F$, per un qualsiasi intero $n>1$; si vedano gli esempi 4.27 e 4.28 in Sharp).

Descrizione di $(Q:a)$ per un ideale primario $Q$ ed un elemento $a$ di un anello commutativo unitario (vedi Sharp, 4.14). Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Primi associati ad un ideale decomponibile; primi isolati e primi immersi. Per un ideale decomponibile $H$, $\bigcup {\rm ass}(H)$ e $\bigcap {\rm ass}(H)$ sono rispettivamente l'insieme dei divisori dello zero e quello degli elementi nilpotenti modulo $H$.

Decomposizioni primarie in anelli di frazioni: passaggio da una decomposizione primaria (minimale) di un ideale $H$ a decomposizioni primarie (minimali) di $H^e$ e $H^{ec}$. Come conseguenza: secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali.

Anelli artiniani (commutativi unitari). Loro caratterizzazione come anelli noetheriani di dimensione zero. Sono state fatte alcune osservazioni: un modulo annullato da un prodotto (finito) di ideali massimali è artiniano se e solo se è noetheriano; se il radicale $K$ di un ideale $H$ è finitamente generato allora $K^n\subseteq H$ per un opportuno $n\in\N$; se $R$ è un anello commutativo unitario è artiniano allora $R$ ha solo un numero finito di ideali primi, e questi sono tutti massimali. Teorema: ogni anello commutativo unitario si decompone come prodotto diretto di anelli locali (in numero finito). Tale decomposizione, intesa come prodotto diretto interno, è unica a meno dell'ordine dei fattori.

Esercizi proposti:

1. Si scriva, nell'anello di polinomi $\Z[x]$, una decomposizione primaria dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$, determinandone i primi associati.
2. Si scriva, nell'anello di polinomi $\Z[x,y]$, una decomposizione primaria dell'ideale $(9,xy)$. Se ne discuta l'unicità.
3. Si fornisca un esempio di anello artiniano infinito che non sia un campo.

29/4

Anelli booleani. Proprietà essenziali (commutatività, caratteristica, dimensione) ed esempi. Operazioni tra ideali principali in un anello booleano.

Immersione di un anello booleano $R$ nell'anello delle parti del suo spettro (massimale). Questo è un isomorfismo se $R$ è finito. Topologia (di Zariski) sullo spettro di $R$. Teorema di rappresentazione di Stone per anelli booleani (ogni anello booleano è isomorfo all'anello dei clopen di uno spazio topologico compatto, di Hausdorff e totalmente sconnesso). Cenni ai reticoli booleani ed alle algebre di Boole.

Sono disponibili alcune note su questa prima parte della lezione.

Lemma di Nakayama in forma forte (NAK, in diverse formulazioni; una di esse è: se $M$ è un modulo fedele finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale proprio di $R$, allora $MH\ne M$).

Esercizi proposti:

1. (Provare a) svolgere gli esercizi nelle note.
2. Si trovi uno $\Z$-modulo fedele $M$ ed un ideale proprio $H$ di $\Z$ tali che $MH=M$. (Dunque, in NAK non si può omettere l'ipotesi che il modulo sia finitamente generato.)
3. A proposito dell'esercizio precedente: quali gruppi abeliani sono fedeli come $\Z$-moduli?
4. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo unitario $R$. Provare che se $H^2=H$ allora $H$ è un ideale principale, generato da un idempotente, e quindi $R=H×K$ per un opportuno ideale $K$. (Suggerimento, si applichi NAK a $H$.)

13/5

Teorema dell'intersezione di Krull per ideali di un anello commutativo unitario noetheriano. Applicazione: se $R$ è un anello locale noetheriano, con anello massimale $M$, allora $\bigcap\set{M^n\mid n\in\N}=0$ (e $R$ è artiniano se e solo se $M^n=0$ per qualche $n\in\N$.)

Discussione generale sulla possibilità di riguardare ogni modulo $M$ su un anello $R$ come ideale su un (altro) anello $R_1$ in modo che $M$ annulli se stesso e $R\iso R_1/M$, preservando l'azione di $R$ su $M$. A titolo di esempio, abbiamo così provato il teorema dell'intersezione di Krull per moduli finitamente generati su anelli noetheriani.

Per due moduli $A$ e $B$ su un anello commutativo unitario $R$, il modulo $\Hom_R(A,B)$.

Il gruppo ${\rm Bil}_R(A\times B, M)$ delle applicazioni bilineari da $A\times B$ ad un ulteriore $R$-modulo $M$. Prodotti tensoriali: definizione e costruzione. Alcuni esempi e proprietà essenziali: omomorfismi indotti su prodotti tensoriali (ogni coppia di omomorfismi $f\colon A\to A'$, $g\colon B\to B'$ induce un omomorfismo $f\otimes g\colon (A\otimes B)\to (A'\otimes B')$. Con le ovvie notazioni, vale $\ann_R(A)+\ann_R(B)\subseteq \ann_R(A\otimes B)$ ed esistono isomorfismi naturali $A\otimes_R R\iso A$;   $A\otimes B\iso B\otimes A$;   $(A\otimes B)\otimes C\iso A\otimes (B\otimes C)$.

Esercizi proposti:

1. Siano $p$ un primo e $A=\bigoplus_{i\in\N^+}\gen{a_i}$, una somma diretta di gruppi ciclici, dove ciascun $a_i$ ha ordine $p^i$. Sia $B=\gen{p^{i-1}a_i-a_1\mid i\in\N^+}$. Sia $M=A/B$. Posto $R=\Z$ e $K=p\Z$, si ha $D:=\bigcap\set{MK^n\mid n\in\N}=\gen{a_1+B}\ne 0=DK$. Ciò mostra che il teorema dell'intersezione di Krull non continua a valere per moduli che non siano finitamente generati.
2. Assegnati un modulo $B$ ed una famiglia $(A_i)_{i\in I}$ di moduli, tutti sullo stesso anello commutativo unitario $R$, provare: $\Hom_R\left(\bigoplus_{i\in I}A_i, B\right)\iso\prod_{i\in I}\bigl(\Hom_R(A_i, B)\bigr)$ e $\Hom_R\left(B,\prod_{i\in I}A_i)\right)\iso \prod_{i\in I}\bigl(\Hom_R(B,A_i)\bigr)$.
3. Sia $A$ un gruppo abeliano, e sia $B$ un gruppo ciclico di ordine finito $n$. Descrivere $A\otimes_ \Z B$. (Suggerimento: si inizi con l'osservare che, fissato un generatore $b$ di $B$, ciascuno dei generatori standard di $A\ot B$ si può scrivere nella forma $a\ot b$ per un opportuno $a\in A$. Dedurne che $a\in A\mapsto a\ot b\in B$ è un epimorfismo).
4. Sia $a$ un elemento di periodo finito $n>1$ in un gruppo abeliano $A$. Provare che l'elemento $a\ot 1\in A\ot_\Z\Z$ ha periodo $n$, mentre in $A\otimes_\Z\Q$ si ha $a\otimes 1=0$. La prima affermazione segue da qualcosa visto a lezione, per la seconda affermazione si parta dal calcolo di $n(a\ot (1/n))$. Cosa sappiamo dire su $a\otimes 1=0$ in $A\otimes_\Q\Q$?

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Altri isomorfismi (naturali) per prodotti tensoriali: per ogni anello commutativo unitario $R$, moduli $A$, $B$, $M$ su $R$ e una famiglia $(A_i)_{i\in I}$ di $R$-moduli, si ha $\Hom_R(A,\Hom_R(B,M))\iso \Hom_R(A\otimes B,M)$; e $\left(\bigoplus_{i\in I}A_i\right) \otimes B\iso \bigoplus_{i\in I}(A_i \otimes B)$. Esempio: prodotti tensoriali tra moduli liberi e tra spazi vettoriali. Per spazi vettoriali di dimensione finita: prodotti tensoriali e spazi duali.

Moduli piatti. Ogni modulo piatto su un dominio di integrità è senza torsione. (L'analogo enunciato non vale per anelli non integri). Alcuni esempi di annullamento di elementi in prodotti tensoriali. Sempre con le notazioni di sopra, se $a$ è un elemento di $A$ annullato da un $r\in R$ e $b\in Br$, allora in $A\ot_R B$ si ha $a\ot b=0$. Ad esempio, il prodotto tensoriale (su $\Z$) di un gruppo abeliano periodico per uno divisibile è necessariamente 0. Osservazione generale: se, in un prodotto tensoriale $A\ot_R B$, per opportuni elementi $a_1, a_2,\dots,a_n$ di $A$, $b_1, b_2,\dots,b_n$ di $B$, $r_1, r_2,\dots,r_n$ di $R$ si ha $\sum_{i=1}^n(a_i\ot b_i)r_i=0$, allora esistono un sottomodulo finitamente generato $A_0$ di $A$ (contenente $a_1, a_2,\dots,a_n$) ed un sottomodulo finitamente generato $B_0$ di $B$, (contenente $b_1, b_2,\dots,b_n$) tali che valga $\sum_{i=1}^n(a_i\ot b_i)r_i=0$ anche in $A_0\ot_R B_0$. Da ciò: se $R$ è un anello principale, allora i moduli piatti su $R$ sono precisamente quelli senza torsione.

Esercizi proposti:

1. Sia $A$ un gruppo abeliano. Provare che $A$ non ha quozienti ciclici infiniti se e solo se $\Hom_\Z(A,\Z)=0$. Dedurne che se $A$ ha questa proprietà e $B$ è un qualsiasi gruppi abeliano, allora anche $A\otimes_\Z B$ non ha quozienti ciclici infiniti.
2. Sia $R[X]$ un anello di polinomi sull'anello commutativo unitario $R$. Visto come $R$-modulo, $R[X]$ è piatto?
3. Sia $A$ un gruppo abeliano periodico. Si descriva $A\otimes_\Z B$, per un gruppo abeliano $B$, in ciascuno dei casi:
   1. $B\iso \Z[\sqrt 2]$;
   2. $B\iso \Q$;
   3. $B$ è un gruppo di Prüfer;
   4. $|B|=p^n$, dove $p$ è un primo, $n\in\N$ e $A$ è privo di elementi di ordine $p$.
4. Dati due gruppi abeliani $A$ e $B$, verificare che $A\otimes_\Z B$, è divisibile (risp. $p$-divisibile) se lo è $A$.
5. Descrivere $\Q\ot_\Q\Q$, $\Q\ot_\Z\Q$, $\Q[\sqrt 2]\ot_\Z\Q[\sqrt 2]$, $\Q[\sqrt 2]\ot_\Q\Q[\sqrt 2]$, $P\ot_Z P$, dove $P$ è un gruppo si Prüfer.

20/5

Cenni alla applicazioni dei prodotti tensoriali in alcuni ambiti dell'algebra. Estensione degli scalari di un modulo tramite prodotti tensoriali, con qualche esempio. Moduli di frazioni, realizzati come prodotti tensoriali. La costruzione diretta è stata solo accennata, ma ne è stata osservata qualche importante conseguenza, come il fatto che gli anelli di frazioni su un anello commutativo unitario $R$ sono piatti come moduli su $R$.

Cenni ai prodotti tensoriali tra algebre ed ai composti tra campi, con esempi.

Cenni alla nozione di funtore, covariante e controvariante, con particolare riferimento alle categorie di moduli. Complessi di catene; sequenze esatte, sequenze esatte corte (ovvero, estensioni di moduli). Funtori esatti. Per un fissato modulo $M$ sull'anello commutativo unitario $R$, descrizione dei funtori $-\ot M$, $\Hom(M,-)$ e $\Hom(-,M)$. Nessuno di questi tre funtori è esatto (abbiamo visto esempi a riguardo). Il funtore $\Hom(M,-)$ è esatto a sinistra (degli altri due funtori si parlerà alla prossima lezione).

Esercizi proposti:

1. Fissati un anello $R$ ed un suo sottomonoide moltiplicativo $S$, verificare in dettaglio la costruzione del modulo delle frazioni $S^{-1}M$ per un $R$-modulo $M$; la costruzione è stata solo accennata a lezione. Partendo da questo, verificare che l'anello $S^{-1}R$ è piatto come $R$-modulo.
2. Provare a descrivere il campo complesso come prodotto tensoriale tra l'anello degli interi di Gauss ed il campo reale.
3. Descrivere la $\Q$-algebra $\Q(\sqrt[4]2)\ot \Q(\sqrt 2)$ ed i composti tra i campi $\Q(\sqrt[4]2)$ e $\Q(\sqrt 2)$.
4. Verificare che un funtore (tra categorie di moduli) è esatto se e solo se trasforma sequenze esatte corte in sequenze esatte corte.

22/5

Per un fissato modulo $M$ sull'anello commutativo unitario $R$, esattezza a sinistra del funtore (controvariante) $\Hom_R(-,M)$ ed esattezza a destra del funtore $-\ot_R M$.

Applicazioni di quest'ultimo risultato al calcolo di prodotti tensoriali; ad esempio, calcolo di $M\ot_R (R/H)$ per un $R$-modulo $M$ ed un ideale $H$ di $R$; calcolo di $A\ot_\Z B$ con $A$ e $B$ gruppi abeliani artiniani (cioè a condizione minimale).

Moduli proiettivi e moduli iniettivi. Si è iniziata la discussione di qualche caratterizzazione dei primi.

Esercizi proposti:

1. Un gruppo abeliano si dice minimax quando ha una serie finita in cui ciascuno dei fattori è o artiniano o noetheriano. È noto che ogni gruppo abeliano minimax $A$ ha un sottogruppo abeliano libero di rango finito $F$ tale che $A/F$ sia artiniano (cioè una somma diretta di un numero finito di gruppi ciclici finiti oppure di Prüfer). Provare che se $A$ e $B$ sono due gruppi abeliani minimax, allora $A\ot_\Z B$ è minimax.
2. Se $A$ e $B$ sono $R$-moduli finitamente generati, allora anche $A\ot_R B$ è finitamente generato. Vale anche il viceversa?

27/5

Estensioni (sequenze esatte corte) spezzate di moduli e loro caratterizzazione in termini di mono spezzante.

Caratterizzazione dei moduli proiettivi, come, ad esempio, in Cohn, vol. 2, Theorem 4.5.4. Tutti i moduli proiettivi sono piatti. Somme dirette e sommandi diretti di moduli proiettivi sono moduli proiettivi. Esempi, tra i quali alcuni di moduli proiettivi non liberi e di moduli piatti non proiettivi. Senza dimostrarlo, si è detto che ogni modulo proiettivo su anello principale è libero; in particolare questo è vero per i moduli su $\mathbb Z$, cioè i gruppi abeliani. Sempre senza dimostrazione: un modulo finitamente generato su un anello noetheriano è piatto se e solo se è proiettivo.

Cenni sui moduli iniettivi e sulle loro caratterizzazioni. Si è dimostrato solo il fatto che ogni modulo iniettivo su un dominio di integrità è divisibile.

Lemma della base duale (altra caratterizzazione dei moduli proiettivi). Ulteriore osservazione: se $A$ e $B$ sono sottomoduli di un modulo $M$, allora $A$ e $B$ sono proiettivi se lo sono sia $A+B$ che $A\cap B$.

Ideali frazionari di un dominio di integrità $R$. Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari di $R$. Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero (cioè ad un ideale non nullo di $R$. Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, il suo inverso è $(R:A)$.

Esercizi proposti:

1. Provare che una estensione $A\stackrel\alpha\mono B\stackrel\beta\epi C$ è spezzata se e solo se ammette un epi spezzante, cioè un omomorfismo $\sigma\colon B\to A$ tale che $\alpha\sigma=\id_A$.
2. Un modulo finitamente generato è proiettivo se e solo se è sommando diretto di un modulo libero di rango finito.
3. Trovare un anello commutativo unitario $R$ che si decomponga in un prodotto diretto non banale: $R=H\times K$ in modo che $H$ sia libero. Si può fare in modo che $K$ non sia libero?
4. Utilizzando uno degli esercizi precedenti, dimostrare che un $R$-modulo $I$ è iniettivo se e solo se ogni estensione di $R$-moduli della forma $I\mono B\epi C$ è spezzata.
5. Provare che ogni ideale frazionario principale di un dominio di integrità è invertibile. Dedurne che se $R$ è un anello principale il monoide $\F(R)$ è un gruppo.

29/5

Gli ideali frazionari invertibili sono esattamente quelli proiettivi, inoltre essi sono finitamente generati.

Anelli di Dedekind. Caratterizzazione come in Cohn, vol. 2, Prop. 9.5.1. Gli anelli di Dedekind sono noetheriani; gli anelli principali sono di Dedekind.

Parentesi sulla divisibilità nei monoidi commutativi cancellativi. Preordinamenti e loro massimo quoziente ordinato. Divisibilità come preordinamento, relazione "essere elementi associati" ($\sim$) in un monoide commutativo cancellativo $M$. Il quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$. $M$ è fattoriale se e solo se $\tilde M$, ordinato per divisibilità, è un reticolo a condizione minimale. Per questo ultimo risultato può essere utile consultare Jacobson, Basic Algebra, vol I, sez. 2.14. Esempio di applicazione: fattorialità e dimensione degli anelli principali.

Se $R$ è un dominio di integrità unitario, $I$ e $J$ sono ideali di $R$ tali che $I\subseteq J$ e $J$ è invertibile, allora $I=J(I:J)$, dove $(I:J)=IJ^{-1}\subseteq R$.

Sia $R$ un anello di Dedekind. Nel monoide $\I^*(R)$ degli ideali interi (non nulli) di $R$, la relazione di divisibilità è la relazione di inclusione inversa. Conseguenze: $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale, i cui elementi irriducibili sono gli ideali primi non nulli, che sono tutti massimali. Dunque: ogni ideale proprio e non nullo è prodotto di ideali primi (ovvero massimali) e tale decomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori.

Sia $S$ l'insieme degli ideali non invertibili di un dominio di integrità unitario $R$. Allora $S$ ha elementi massimali (rispetto all'inclusione), e questi sono tutti ideali primi. Dunque: $R$ è di Dedekind (risp. principale) se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili (risp. principali).

Se $R$ è un anello fattoriale, ogni suo ideale primo non nullo contiene un ideale primo principale non nullo (per il viceversa, si veda uno degli esercizi). Di conseguenza: sono equivalenti per un dominio di integrità unitario $R$: (1) $R$ è fattoriale e $\dim R\le 1$; (2) $R$ è fattoriale e di Dedekind; (3) $R$ è principale.

Discussione informale sul gruppo delle classi di un anello di Dedekind. A titolo di notizia: questo gruppo è finito nel caso degli anelli degli interi di campi di numeri; ha struttura del tutto arbitraria (nel senso che può essere isomorfo a qualsiasi gruppo abeliano) nel caso generale.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio tutte le affermazioni fatte a proposito di un monoide commutativo cancellativo $M$ e del suo quoziente $\tilde M$. (Per cominciare, perché $\tilde M$ è cancellativo? Perché la classe di un elemento $a$ di $M$ è irriducibile, o primo, in $\tilde M$ se e solo se $a$ ha la stessa proprietà in $M$?).
2. Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Provare che il sottomonoide di $R$ generato dagli elementi invertibili o primi di $R$ è saturo. Dedurne che $R$ è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo non nullo.

3/6

Sia $R$ un dominio di integrità unitario.

$R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale è prodotto di ideali primi. Alla dimostrazione è stato premesso un lemma: l'eventuale fattorizzazione di un ideale invertibile in prodotto di ideali primi è sempre unica a meno dell'ordine dei fattori. Si è osservato, come conseguenza, che anelli di frazioni di anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind,

Se $R$ è di Dedekind ed ha solo un numero finito di ideali primi, allora $R$ è principale. La dimostrazione è stata condotta come segue:

1. Siano $P_1, P_2,\dots P_n$ ideali primi non nulli a due a due distinti in $R$. Allora ogni ideale non nullo $H$ di $R$ contiene propriamente $\bigcup\set{HP_i \mid i\in\set{1,2,\dots,n}}$.
2. Scelti comunque $H,I\in\I^*(R)$, esiste $J\in \I^*(R)$ tale che $HI$ sia principale e $I+J=R$.
3. Conclusione: se $\spec(R)$ è finito, basta porre $I$ uguale al prodotto degli ideali primi di $R$ e applicare (ii): $J$ deve coincidere con $R$ e quindi $H$ deve essere principale.

Conseguenze: se $R$ è un anello di Dedekind, ogni quoziente proprio di $R$ è un anello ad ideali tutti principali; quindi ogni ideale di $R$ è generato da al più due elementi. Più precisamente, per ogni ideale $H$ di $R$ e per ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H$ sia l'ideale generato da $a$ e $b$. Si è fatto uso della seguente osservazione: se $H$ è un ideale dell'anello commutativo unitario $R$ e $S=R\setminus \bigcup\var(H)$, allora $R/H\iso S^{-1}R/H^e$.

Descrizione delle localizzazioni degli anelli di Dedekind: sono gli anelli principali di valutazione, cioè i domini di integrità locali in cui tutti gli ideali non banali sono potenze dell'ideale massimale, ovvero i campi ed i domini di integrità in cui il reticolo degli ideali non nulli è una catena isomorfa al duale di $(\N,\le)$. Per tali anelli, gli ideali frazionari costituiscono una catena isomorfa a $(\Z,\le)$.

Elementi interi su un anello commutativo unitario; interi algebrici. Caratterizzazione: se $R$ è un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$, per ogni $c\in A$ sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ha un modulo fedele che è finitamente generato come $R$-modulo.

Esercizi proposti:

1. L'anello di polinomi $\Z[x]$ non è di Dedekind; lo si può dedurre molto rapidamente dal fatto che è fattoriale. Detto $H$ il suo ideale generato da $\set{4,x}$, verificare che $\var(H)=\set M$, dove $M$ è l'ideale generato da $\set{2,x}$. Dedurne che $H$ non è prodotto di ideali primi in $\Z[x]$. Un'ulteriore osservazione: $(H:M)_R=M$; trarne la conseguenza che $M$ non è invertibile.
2. Estendendo il ragionamento suggerito nell'esercizio precedente, determinare gli ideali primi invertibili in $\Z[x]$.
3. Dimostrare, in modo alternativo, che gli ideali dei quozienti propri di un anello di Dedekind sono sempre principali ragionando come segue: se $H\in\I^*(R)$ e $J/H$ è un ideale di $R/H$, allora $H=IJ$ per un opportuno $I\in\I^*(R)$. Si può poi scegliere un ideale $L$ coprimo con $I$ tale che $JL$ sia principale. Ne segue $J=H+JL$, quindi l'asserto.
4. Un anello di Bézout è un dominio di integrità unitario in cui ogni ideale finitamente generato è principale. Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Provare che l'insieme degli ideali di $R$, ordinato per inclusione, è una catena se e solo se $R$ è un anello locale di Bézout. I domini di integrità unitari con questa proprietà si chiamano anelli di valutazione. Provare che gli anelli principali di valutazione (cioè le localizzazioni degli anelli di Dedekind agli ideali massimali, come introdotti a lezione) sono proprio gli anelli di valutazione che siano principali.
5. Provare che un dominio di integrità unitario $R$ è un anello di valutazione se e solo se, scelti comunque $a,b\in R$, si ha che $a$ divide $b$ (in $R$) oppure $b$ divide $a$.
6. Usando il `trucco del determinante', introdotto per caratterizzare gli elementi interi su un anello, fornire una dimostrazione alternativa del lemma di Nakayama in forma forte (NAK).

4/6

Ancora sugli elementi interi su un anello: se $R$ è un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$ e $c$ è un elemento invertibile di $A$, allora $c$ è intero su $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$. Qualche esempio. Ampliamenti interi (o integrali). Proprietà essenziali: transitività dell'integralità — per dimostrarla si è usato un semplicissimo lemma: se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. In particolare, se $R\le A$ ed $A$ è generato da elementi interi su $R$ allora $A$ è intero su $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello. L'anello degli interi algebrici (nel campo complesso). Anelli (domini di integrità) integralmente chiusi (esempi: $\Z$ e tutti gli anelli fattoriali sono integralmente chiusi, $\Z[\sqrt 5]$ invece no.).

Gli anelli di Dedekind sono integralmente chiusi; più precisamente abbiamo la caratterizzazione dovuta a E. Noether: per un dominio di integrità noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è di Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è un anello principale di valutazione; (iii) $R$ è integralmente chiuso ed ha dimensione al più 1.

Una proprietà importante degli ampliamenti interi: se l'anello commutativo unitario $A$ è un ampliamento intero del suo sottoanello unitario $R$, e $P$ e $Q$ sono ideali primi di $A$ tali che $Q\subseteq P$, allora $P=Q$ se e solo se $P\cap R=Q\cap R$.

L'anello degli interi $\mathcal O_K$ di un campo di numeri (cioè un campo estensione finita di $\Q$) $K$. Osservzioni: è integralmente chiuso (si veda uno degli esercizi) ed ha dimensione 1. Non abbiamo dimostrato che è anche noetheriano, ma da ciò segue che è di Dedekind. Alcune osservazioni: il quoziente $K/\mathcal O_K$ è periodico (come gruppo abeliano). $K$ si può sempe descrivere come $\Q(c)$ per un opportuno intero algebrico $c$; ovviamente $\Z[c]\subseteq\mathcal O_K$, ma l'inclusione può essere stretta. $\Z[c]$ ha comunque indice finito in $\mathcal O_K$: $(\mathcal O_K,+)$ è abeliano libero di rango $[K:\Q]$.

Esercizi proposti:

1. Provare che se $c$ è un numero complesso, allora il suo complesso coniugato $\bar c$ è un intero algebrico se e solo se lo è $c$. Usando quest'osservazione, provare che l'anello degli interi algebrici in $\Q[i]$ coincide con l'anello $\Z[i]$ degli interi di Gauss.
2. Completare la giustificazione (dimenticata a lezione) del fatto che, con le notazioni di sopra, $K$ è campo dei quozienti di $\mathcal O_K$.

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Panoramica sulle principali proprietà degli anelli degli interi algebrici $\mathcal O_K$ di un campo di numeri $K$, a completamento di quanto iniziato a mostrare nell'ultima parte della lezione scorsa. Immersioni di $K$ in $\mathbb C$ e omomorfismo moltiplicativo norma da $K$ a $\Q$ e da $\mathcal O_K$ a $\Z$. Norma e divisibilità: gli elementi invertibili di $\mathcal O_K$ sono quelli di norma 1 o $-1$; elementi associati hanno norme dello stesso valore assoluto. Norma di un ideale in $\mathcal O_K$. Se $R$ è un arbitrario anello di Dedekind e $I,J\in\I^*(R)$, allora $|R/IJ|=|R/I|\cdot|R/J|$.

Senza dimostrare nulla, si è illustrato, anche con qualche esempio, il teorema degli invertibili di Dirichlet. Come conseguenza: struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.

Campi quadratici. Descrizione del loro anello degli interi algebrici. Questa descrizione contiene anche una dimostrazione del fatto che questi anelli sono noetheriani, quindi completa, in questo caso, la dimostrazione del fatto che questi anelli sono di Dedekind. Un esempio dettagliato (e riportato in una nota: le fattorizzazioni in prodotti di irriducibili di 6 (non unica) e dell'ideale da esso generato (in prodotto di ideali primi) nell'anello degli interi di $\Q[\sqrt{-5}]$.

Esercizi proposti:

1. Una nota proprietà di $\Z[x]$ (e, più in generale, degli anelli di polinomi ad una indeterminata degli anelli fattoriali) è che, se $f=gh\in\Z[x]$, con $g,h\in\Q[x]$, allora $f=g^* h^*$ per opportuni $g^*, h^*\in\Z[x]$, tali che (in $\Q[x]$), $g^*$ sia associato a $g$ e $h^*$ sia associato a $h$. Usando ciò, si provi che un numero algebrico è e un intero algebrico se e solo se il suo polinomio minimo su $\Q$ appartiene a $\Z[x]$.
2. Nell'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt{-17}]$ si osservino le fattorizzazioni (essenzialmente distinte) di 18 in prodotto di irriducibili: $18=2\cdot 3^2=(1+\sqrt{-17})(1-\sqrt{-17})$. Si fattorizzi in prodotto di primi l'ideale generato da 18. Si confrontino queste fattorizzazioni.
3. Verificare, facendo i conti in modo diretto, tutte le fattorizzazioni di ideali nella nota a proposito di $\Z[\sqrt{-5}]$ e, magari, quelle dell'esercizio precedente.
4. Trovare un elemento invertibile di periodo (moltiplicativo) infinito in $\Z[\sqrt 2]$.