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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento.

Richiami sugli anelli. Anelli unitari: sottoanelli unitari e non, omomorfismi di anelli unitari. Esempi. Rapida discussione sulle notazioni in algebra universale; operazioni unarie ed operazioni nullarie. Cenno informale alla nozione di categoria.

Un esempio: l'anello $(\P(S),\ds,\cap)$ delle parti di un insieme $S$. Se $T\subset S$, $\P(T)$ è un sottoanello di $\P(S)$, che è unitario come anello ma non come sottoanello di $\P(S)$; l'immersione di $\P(T)$ in $\P(S)$ è un esempio di monomorfismo di anelli tra anelli (commutativi) unitari che non è un omomorfismo di anelli unitari.

Accenno all'immersione di un arbitrario anello in un anello unitario (si veda il relativo esercizo). Torneremo su questo punto, in una forma più generale, in futuro.

L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli su un anello (unitario): due definizioni equivalenti; una in termini operazione esterna $M\times R\to M$, l'altra tramite un omomorfismo di anelli unitari $R\to\End(M,+)$. (Promemoria: se $\bullet\colon M\times R\to M$ è l'operazione esterna, l'omomorfismo di struttura $\phi\colon R\to\End(M,+)$ è definito ponendo $a^{r^\phi}=a\bullet r$ per ogni $a\in m$ e $r\in R$.)

Annullatore di un modulo. Moduli fedeli.

Esempi di moduli: spazi vettoriali; gruppi abeliani come moduli sull'anello $\Z$ degli interi; per ogni anello commutativo unitario $R$, il modulo $R_R$, cioè $R$ visto come modulo su se stesso, utilizzando l'operazione moltiplicativa interna di $R$ anche come operazione esterna. Quest'ultimo è un esempio di modulo fedele, come lo sono gli spazi vettoriali non nulli.

Esercizi proposti:

1. (Immersione di un anello in un anello unitario.) Dato un anello (non necessariamente unitario) $S$, si definisce in $R=S\times\Z$ una struttura di anello unitario come segue: per ogni $x$, $y$ in $S$ ed ogni $n$, $m$ in $\Z$ si pone $(x,n)\oplus(y,m)=(x+y,n+m)$ e $(x,n)\odot(y,m)=(xy+ny+mx,nm)$; allora $(R,\oplus,\odot)$ è effettivamente un anello. Verificarlo in dettaglio. Verificare poi che questo anello è unitario e che l'applicazione $f\colon x\in S\mapsto (x,0)\in R$ è un monomorfismo di anelli, dunque $S$ è isomorfo ad un sottoanello di $R$. Più precisamente (l'esercizio continua), l'immagine $S\times\set{0}$ di $f$ è un ideale di $R$. $\set{0_S}\times\Z$ è un sottoanello, o addirittura un ideale, di $R$?
2. Verificare in dettaglio la correttezza della definizione dell'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano.
3. Quando è che un gruppo abeliano, visto come modulo su $\Z$, è un modulo fedele?
4. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello $\P(\N)$ delle parti di $\N$?
5. Per un insieme finito $S$, quali sono gli ideali dell'anello delle parti di $S$?

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Esercizio: descrizione degli ideali dell'anello delle parti di un insieme finito.

Alcune regole elementari di calcolo nei moduli; ad esempio: per un $R$-modulo $M$, per ogni $a,b\in M$ e $x\in R$, $a0_R=0_M x=0_M$, $-(ax)=(-a)x=a(-x)$, $(a-b)x=ax-bx$.

Omomorfismi tra moduli (su uno stesso anello). Sottomoduli; caratterizzazione di questi; somma tra due sottomoduli (visto anche come sottomodulo generato). Ideali di un anello $R$ come sottomoduli di $R_R$. Congruenze in un modulo; quozienti di moduli e loro sottomoduli. I teoremi di omomorfismo per moduli.

Moduli ciclici e loro caratterizzazione (a meno di isomorfismi) come quozienti dell'anello degli scalari.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio i teoremi di omomorfismo per i moduli.
2. Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $M$ un $R$-modulo ciclico. Allora $M\iso R_R/H$ per uno ed un solo ideale $H$ di $R$. Come si può descrivere tale $H$, in termini di $M$? Sotto quali condizioni $M$ è fedele?

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Discussione di un esercizio: moduli ciclici e loro annullatore. Moduli ciclici fedeli.

Moduli semplici (o irriducibili). Loro caratterizzazione (a meno di isomorfismi) come quozienti dell'anello degli scalari modulo un ideale massimale. Esempi (in spazi vettoriali; in gruppi abeliani).

Cambio degli scalari: dato un $R$-modulo $M$ ed un omomorfismo di anelli unitari $\xi\colon S\to R$, struttura di $S$-modulo su $M$ indotta da $\xi$. Casi particolari: struttura di modulo su un sottoanello unitario di $R$; struttura di $R/H$-modulo su $M$, dove $H$ è l'annullatore di $M$ o, più in generale, un ideale in esso contenuto. Con riferimento a quest'ultimo caso, gli $(R/H)$-sottomoduli di $M$ sono precisamente gli $R$-sottomoduli di $M$.

Per un modulo $M$ su un anello (commutativo unitario) $R$: prodotto tra una parte $X$ di $M$ ed una parte di $R$. Ad esempio: $XR$ è il sottomodulo generato da $X$.

L'annullatore di una parte arbitraria $X$ di un modulo: è l'annullatore del sottomodulo generato da $X$, quindi è un ideale.

Somme e prodotti tra parti di un anello. Associatività della moltiplicazione (tra parti) e distributività rispetto all'addizione. Il monoide moltiplicativo $\I(R)$ degli ideali di un anello commutativo unitario $R$.

Prodotti ed intersezioni tra ideali. Inizio della discussione; esempi nell'anello degli interi.

Esercizi proposti:

1. In quali casi un anello commutativo unitario, riguardato come modulo su se stesso, è semplice?
2. Siano $R$ una anello commutativo unitario, $M$ un $R$-modulo destro, $X\subseteq M$ ed $H$ un ideale di $R$. Allora $XH$ è un $R$-sottomodulo di $M$. Giusto?
3. Verificare in dettaglio l'associatività della moltiplicazione tra parti di un anello e la distributività di questa rispetto all'addizione.
4. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Mostrare che:
   1. un prodotto tra due ideali principali di $R$ è necessariamente principale;
   2. l'applicazione $a\in (R,\cdot)\mapsto aR\in \I(R)$ è un omomorfismo di monoidi.
5. Si descriva il sottoanello (unitario) $R$ di $\Q$ generato da $1/2$ (abitualmente questo anello viene indicato come $\Z[1/2]$). Sia $V$ un $\Q$-spazio vettoriale di dimensione 3, con base $\set{x,y,z}$. Riguardato $V$ come $R$-modulo (per restrizione del prodotto esterno), si descriva l'$R$-sottomodulo di $V$ generato da $\set{x,2y,3z}$.
6. Trovare un anello commutativo unitario $R$ e due ideali $H, K$ di $R$ tali che $HK\subset H\cap K$.

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Discussione di alcuni esercizi ed esempi dalla lezione precedente.

Prodotti ed intersezioni tra ideali; ideali comassimali (o coprimi) tra loro. Se due ideali $I$ e $J$ sono comassimali con un ideale $H$, allora anche $IJ$ è comassimale con $H$. Per ogni intero positivo $n$, se $H_1, H_2,\dots, H_n$ sono ideali a due a due comassimali, allora $H_1 H_2\cdots H_n=H_1\cap H_2\cap\cdots\cap H_n=$. A titolo di esempio, abbiamo interpretato queste nozioni nell'anello degli interi.

Richiamo: il teorema di Krull sugli ideali massimali. Generalizzazione: se $N$ è un sottomodulo proprio di un modulo finitamente generato $M$, allora $M$ ha un sottomodulo massimale contenente $N$. Questa è una forma del Lemma di Nakayama (che pure, dopo aver introdotto il radicale di Jacobson, abbiamo visto nella sua forma standard: cfr. Sharp, 8.24 o, meglio, Cohn vol. 2, Lemma 5.4.6). La nostra dimostrazione dipende dall'osservazione che se $\mathcal C$ è una catena non vuota di sottomoduli di un modulo $M$, allora $V:=\bigcup\mathcal C$ è un sottomodulo di $M$, e se $V$ è finitamente generato allora $V\in\mathcal C$.

Lemma di Nakayama in forma forte (NAK). Una delle formulazioni è: se $M$ è un modulo fedele finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale proprio di $R$, allora $MH\ne M$. Un'altra è: se $M$ è un modulo finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale di $R$, allora $MH=M$ se e solo se esiste $h\in H$ tale che $ah=a$ per ogni $a\in M$. Per dimostrarlo abbiamo usato il lemma: se $I$ ed $H$ sono ideali di un anello commutativo unitario $R$ e $M=aR$ è un $R$-modulo ciclico, allora $aI\subseteq aH$ se e solo se $I\subseteq H+\ann_R(M)$.

Esercizi proposti:

1. Trovare un anello commutativo unitario il cui radicale di Jacobson non sia nullo. (Suggerimento: cercare tra i quozienti di $\Z$.)
2. Provare che radicale di Jacobson di un anello principale è necessariamente nullo.
3. Siano $S$ un insieme e $A,B\subseteq S$. Come sappiamo, $\P(A)$ e $\P(B)$ sono ideali dell'anello delle parti di $S$. Determinare (e quindi confrontare tra loro) $\P(A)\cap\P(B)$ e $\P(A)\P(B)$ (il prodotto è ovviamente inteso nell'anello $(\P(S),\ds,\cap)$).
4. Sia $N$ un sottomodulo proprio di un modulo $M$. Provare che se esiste una parte finita $F$ di $M$ tale che $M$ sia generato da $N\cup F$, allora $N$ è contenuto in un sottomodulo massimale di $M$.

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Discussione su alcuni esercizi dalla lezione precedente. Calcolo del radicale di Jacobson nei quozienti di $\Z$.

Siano $R$ un anello commutativo unitario e $a\in R$. Allora $a\notin \U(R)$ se e solo e $aR\ne R$, ovvero se e solo se $R$ ha un ideale massimale a cui appartiene $a$. Dunque, $R\setminus \U(R)$ è l'unione degli ideali massimali di $R$. Per ogni ideale massimale $M$ di $R$, si ha $a\in M\iff (\forall r\in R)(1+ar\notin M)$. Da ciò segue la caratterizzazione del radicale di Jacobson di $R$ come $\set{a\in R\mid (\forall r\in R)(1+ar\in \U(R))}$ (come, ad esempio, in Sharp, Lemma 3.17). Osservazioni ulteriori: se $\U(R)=1$, allora $\jac(R)=0$ (ad esempio, questa situazione si verifica per l'anello delle parti di un insieme). Anelli locali (attenzione: Sharp usa una terminologia differente, e meno comune; i nostri anelli locali sono quelli che Sharp chiama anelli quasi-locali). Un anello commutativo unitario $R$ è locale se e solo $R\setminus \U(R)$ è un ideale di $R$. Diversi esempi. Tra questi il sottoanello $\Q_{2'}=\set{a/b\mid a\in\Z\land b\in\Z\setminus 2\Z}$ di $\Q$; è un anello locale.

Richiami: ideali primi e loro caratterizzazioni elementari. Tra queste (sempre con riferimento ad un anello commutativo unitario $R$): un ideale proprio $P$ di $R$ è primo se e solo se, scelti comunque ideali $I$, $J$ di $R$, se $IJ\subseteq P$ allora $P$ contiene almeno uno tra $I$ e $J$ (basta anche limitarsi al caso in cui $I$ e $J$ contengono $P$). Lo spettro primo $\spec(R)$ di $R$. Un lemma fondamentale: Teorema 3.44 di Sharp, (o 9.2.2 nel secondo volume di Cohn), dove l'ipotesi che $S$ contenga 1 è sovrabbondante e può essere sostituita da $S\ne\vuoto$. Elementi nilpotenti. Il nil-radicale (o radicale) $\nrad(R)=\bigcap\spec(R)$ di $R$ e sua descrizione come l'insieme degli elementi nilpotenti di $R$. Esempio: $\jac(\Q_{2'})\ne \nrad(\Q_{2'})$ (ovviamente $\nrad(R)=0$ per ogni dominio di integrità $R$). Osservazione: in ogni anello $R$ si ha $\nrad(R)\subseteq \jac(R)$, quindi la somma tra un elemento invertibile ed un elemento nilpotente è necessariamente invertibile.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio il fatto (menzionato a lezione) che, se $R$ è un anello commutativo unitario e $H$ ne è un ideale proprio, $\spec (R/H)=\set{P/H\mid H\subseteq P\in\spec(R)}$
2. Trovare un esempio di un gruppo abeliano (ovvero $\Z$-modulo) $M\ne 0$ e un ideale proprio $H$ di $\Z$ tali che $MH=M$.
3. Verificare con un calcolo diretto (come suggerito a lezione) che la somma tra un elemento invertibile ed un elemento nilpotente di un anello commutativo unitario è necessariamente invertibile.
4. Elencare gli elementi nilpotenti di $\Z_{60}$.

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Discussione su alcuni esercizi dalla lezione precedente.

La varietà $\var(H)=\var_R(H)$ di un ideale proprio $H$ di $R$; il radicale $\surd(H) = \bigcap\var(H)$. Un accenno al teorema degli zeri di Hilbert.

Sia $\mathcal C$ una catena non vuota di ideali primi di un anello $R$. Allora sia $\bigcup\mathcal C$ che $\bigcap\mathcal C$ sono ideali primi di $R$. Ideali primi minimali; elementi minimali nella varietà di un ideale proprio. (Cfr. Sharp, 3.52)

Prodotti diretti e somme dirette (interne e esterne) di moduli. Esempi. Proprietà universali. Cenno alla nozione categoriale di prodotto e di coprodotto. Queste nozioni sono discusse, ad esempio, in Sharp, cap. 6, ma meglio in Cohn, vol. 2, sez. 4.1, si veda in particolare pag. 129.

Prodotto diretto (esterno) di anelli unitari. Fattori del prodotto come ideali (principali, tra loro ortogonali, isomorfi a quozienti dell'anello prodotto). Nel caso in cui l'insieme di indici sia finito: prodotti diretti interni. Il teorema dimostrato è: sia $R$ un anello commutativo unitario il cui gruppo abeliano è decomponibile in somma diretta finita di ideali di $R$. Esistano dunque $n\in\N^+$ e $H_1,H_2,\dots, H_n\n R$ tali che $(R,+)=H_1\oplus H_2\oplus\cdots\oplus H_n$. Allora ciascuno degli $H_i$ è un anello unitario e $R$ è isomorfo (in modo canonico) al prodotto esterno di anelli unitari $H_1\times H_2\times\cdots\times H_n$.

Esercizi proposti:

1. In un anello commutativo unitario, cosa sono $\var (0)$ e $\surd(0)$?
2. Verificare in dettaglio la correttezza delle costruzioni di somme e prodotti diretti viste a lezione.
3. Identificare gli elementi invertibili, i divisori dello zero e gli elementi nilpotenti in un prodotto diretto $\prod_{i\in I}R_i$ di anelli unitari.
4. Siano $S$ un insieme e $X$ una sua parte. Verificare che $\P(S)=\P(X)\times\P(S\setminus X)$.
5. Decomporre $\Z_{15}$ come prodotto diretto di due suoi ideali propri.
6. Unicità, a meno di isomorfismi, di prodotti e coprodotti. Per coprodotti:
   fissato un anello commutativo $R$, sia $(M_i)_{i\in I}$ una famiglia di $R$-moduli. Supponiamo che esistano due $R$-moduli, $S$ e $T$, e due famglie di $R$-omomorfismi, $(\mu_i)_{i\in I}$ e $(\nu_i)_{i\in I}$ (dove, per ogni $i\in I$, $\mu_i\colon M_i\to S$ e $\nu_i\colon M_i\to T$), entrambe le quali verifichino la proprietà universale che definisce i coprodotti: per ogni $R$-modulo $A$ ed ogni famiglia $(\alpha_i)_{i\in I}$ di $R$-omomorfismi, dove $\alpha_i\colon M_i\to A$ per ogni $i\in I$, esistono: uno ed un solo $R$-omomorfismo $\phi\colon S\to A$ tale che $\mu_i\phi=\alpha_i$ per ogni $i\in I$, ed uno ed un solo $R$-omomorfismo $\psi\colon T\to A$ tale che $\nu_i\psi=\alpha_i$ per ogni $i\in I$. Usando la queste due proprietà, si costruiscano $R$-omomorfismi $\phi\colon S\to T$ e $\psi\colon T\to S$ tali che, per ogni $i\in I$, si abbia $\mu_i\phi=\nu_i$ e $\nu_i\phi=\mu_i$. Usando la clausola di unicità nelle proprietà universali, si deduca che $\phi\psi$ e $\psi\phi$ sono applicazioni identiche, quindi $\phi$ è un isomorfismo da $S$ a $T$.
   In questo modo si verifica l'unicità dei coprodotti a meno di isomorfismi; per i prodotti si procede in modo analogo (in verità, non ce ne sarebbe neanche bisogno).

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Idempotenti in anelli commutativi unitari; idempotenti ortogonali. Se $t$ è un idempotente, anche $1-t$ lo è, ed è ortogonale ad $t$. Corrispondenza tra le fattorizzazioni di $R$ in prodotto diretto di un numero finito di suoi ideali e decomposizioni della sua unità in somma tra idempotenti ortogonali: se $R=H_1\times H_2 \times\cdots\times H_n$, allora $1_R=h_1+h_2+\cdots+h_n$, dove, per ogni $i$, $h_i$ è un idempotente in $H_i$ (generatore e unità di $H_i$) ed è ortogonale ad $h_j$ per ogni $j\ne i$; viceversa, se $1_R=\sum_{i=1}^n h_i$, dove, per ogni $i$ e $j$ in $\set{1,2,\dots,n}$, $h_i^2=h_i$ e $h_i h_j=0_R$ se $i\ne j$, allora $R$ è prodotto diretto degli ideali $h_iR$: $R=h_1R\times h_2R \times\cdots\times h_nR$. Conseguenza: un anello commutativo unitario è indecomponibile in prodotto diretto se e solo se è privo di idempotenti non banali. Esempi in quozienti di $\Z$ e nell'anello delle parti di un insieme.

Descrizione degli ideali, degli ideali massimali e degli ideali primi di un prodotto diretto $R$ di un numero finito di anelli.

Per una famiglia $(H_i)_{i\in I}$ di ideali di un anello commutativo unitario $R$, discussione dell'omomorfismo $\varepsilon\colon R\to \prod_{i\in I}(R/H_i)$ indotto dagli epimorfismi canonici $R\epi R/H_i$, come ad esempio in Atiyah-Macdonald, Proposizione 1.10, ma con qualche dettaglio in più: $\ker\varepsilon=\bigcap_{i\in I}H_i$; se $\varepsilon$ è suriettiva gli ideali $H_i$ sono a due a due comassimali; vale anche il viceversa se $I$ è finito. Applicazione importante ai quozienti di $\Z$ e conseguenze aritmetiche: teorema cinese dei resti, moltiplicatività della funzione $\varphi$ di Eulero e calcolo dei suoi valori.

Esercizi proposti:

1. Determinare esplicitamente le decomposioni di $\Z_{60}$ in prodotto diretto di anelli, elencando nello stesso tempo gli idempotenti di $\Z_{60}$.
2. Provare che se $R=I\times J$ è un prodotto diretto di anelli commutativi unitari, $\jac(R)=\jac (I)\times \jac(J)$ e $\nrad(R)=\nrad (I)\times \nrad(J)$.
3. Calcolare $\varphi(12^5)$.
4. Siano $a$ e $b$ due interi positivi non coprimi. Provare che $\varphi(ab)\ne\varphi(a)\varphi(b)$. (Suggerimento: si ragioni per induzione e si consideri il massimo primo divisore di $ab$.)

23/10

Discussione di alcuni esercizi.

Anelli di funzioni. Alcuni esempi: anello booleano $\P(S)$ di un insieme come anello di funzioni su $\Z_2^S$. Anelli di funzioni continue.

Moduli liberi. Unicità, a meno di isomorfismi, del modulo libero di assegnato rango su un anello commutativo unitario $R$. Caratterizzazione degli $R$-moduli liberi come somme dirette di copie di $R_R$. Ogni modulo è isomorfo ad un quoziente di un modulo libero.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario $R$ (Cohn, vol. 2, cap. 5). Algebre unitarie e loro descrizione equivalente tramite l'omomorfismo strutturale. Omomorfismi tra $R$-algebre. Esempi: anelli (commutativi), visti come $\Z$-algebre, o come $\Z_c$-algebre se $c$ ne è la caratteristica; anelli unitari come algebre su se stessi; estensioni di anelli e di campi. Omomorfismi tra $R$-algebre. Se $A$ e $B$ sono algebre unitarie con omomorfismi di struttura $\phi_A\colon R\to A$ e $\phi_B\colon R\to B$ e $\sigma$ è un omomorfismo di anelli unitari $A\to B$, allora $\sigma$ è un omomorfismo di $R$-algebre se e solo se $\phi_B=\phi_A\sigma$.

Esercizi proposti:

1. Verificare che, per ogni spazio topologico $X$, l'insieme delle funzioni continue da $X$ al campo $\R$ dei reali costituisce un sottoanello unitario dell'anello delle funzioni da $X$ a $\R$. Nell'ipotesi che $X$ sia compatto, descriverne gli ideali massimali. (Indicazioni su come procedere sono in Sharp, Esercizio 3.18).
2. Provare che ogni modulo libero non nullo è fedele.
3. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Verificare che $R$ è un campo se e solo se ogni modulo su $R$ è libero.
4. Verificare che, per ogni anello commutativo $A$, l'applicazione $\rho\colon A\to \End(A,+)$, dove, per ogni $a\in A$, $a^\rho\colon b\in A\mapsto ba\in A$ è un omomorfismo di anelli (un monomorfismo di anelli unitari, se $A$ è unitario).
5. Siano $F$ un campo e $K$ ed $L$ due sue estensioni. Visti $K$ ed $L$ come algebre su $F$ tramite le immersioni $F\immersione K$ e $F\immersione L$, si verifichi che un omomorfismo di campi da $K$ a $L$ è un omomorfismo di $F$-algebre se e solo se fissa tutti gli elementi di $F$.
6. Nelle notazioni dell'esercizio precedente, si fornisca un esempio di automorfismo del campo $K$ che non sia un automorfismo di $K$ visto come $F$-algebra.

28/10

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria (si veda il primo degli esercizi di oggi).

Algebre unitarie commutative libere: anelli di polinomi (proprietà universale per gli anelli di polinomi; si veda, ad esempio, Sharp, Lemma 1.13 e, più avanti, 1.16 e 1.17). Unicità. Cenno alle possibili costruzioni.

L'anello delle serie formali di potenze su un anello commutativo unitario $R$. Caratterizzazione degli elementi invertibili in $R[[x]]$; se $R$ è un campo questo anello è locale. Caratterizzazione degli elementi invertibili in $R[x]$; descrizione del nilradicale e del radicale di Jacobson (che coincidono) in $R[x]$.

Esercizi proposti:

1. Verificare tutti i dettagli nella costruzione, presentata a lezione, e qui indicata, che permette di immergere ogni algebra in un'algebra unitaria.
   Siano dati un anello commutativo unitario $(R,+,\cdot)$ ed una $R$-algebra (associativa, commutativa, ma non necessariamente unitaria) $(A,+,\cdot)$, con operazione esterna $\bullet$. Sia $(B,+)$ la somma diretta esterna $(A,+) \oplus(R,+)$. Inoltre, definiamo in $B$ l'operazione binaria $*$ ponendo, per ogni $a,b\in A$ ed ogni $r,s\in R$, $(a,r)*(b,s)=(ab+a\bullet s+b\bullet r,rs)$. Allora $(B,+,*)$ è un anello unitario, di unità $(0_A,1_R)$. Inoltre $\rho\colon r\in R\mapsto (0_A,r)\in B$ è un monomorfismo di anelli unitari, che struttura $B$ come $R$-algebra unitaria, e $\alpha\colon a\in A\mapsto (a,0_R)\in B$ è un monomorfismo di $R$-algebre; inoltre $\im\alpha$ è un ideale di $B$.
2. (Moduli arbitrari riguardati come algebre e come ideali). Siano $(R,+,\cdot)$ un anello commutativo unitario e $A$ un $R$-modulo. La moltiplicazione interna in $A$, definita ponendo $xy=0_A$ per ogni $x,y\in A$, rende $A$ una $R$-algebra (verificarlo). Sia $B=A\times R$ l'algebra unitaria costruita come nell'esercizio precedente, e siano $\alpha$ e $\rho$ i monomorfismi lì definiti. Sia $A_1$ l'ideale $\im\alpha$ di $B$. In $B$ si ha $A_1^2=0$, ovvero $A_1\subseteq \ann_B(A_1)$, quindi $A_1$ si può riguardare come $B/A_1$-modulo. D'altra parte, componendo $\rho$ con l'epimorfismo canonico $B\epi B/A_1$ si ha un isomorfismo $\sigma\colon R\to B/A_1$. Ora, $A_1$ è un $B$-modulo, in quanto ideale di $B$, e dunque un $R$-modulo via l'isomorfismo $\sigma$. Verificare che la ridotta di $\alpha$ all'immagine, cioè l'applicazione $a\in A\mapsto (a,0_R) \in A_1$ è un isomorfismo di $R$-moduli.
   In sintesi, questa costruzione ha permesso di riguardare un arbitrario modulo $A$ su $R$ come ideale di un anello $B$ in modo che $A^2=0$ e si possa identificare $R$ con il quoziente $B/A$, e che la struttura di $(B/A)$-modulo che $A$ ha in quanto ideale di $B$ coincida con quella originale di $R$-modulo.
3. Estendendo quanto visto a lezione, descrivere gli elementi invertibili, nilpotenti, divisori dello zero nell'anello dei polinomi $R[X]$, per un anello commutativo unitario $R$ ed un arbitrario insieme $X$ di indeterminate.
4. Descrivere gli elementi idempotenti nell'anello delle serie formali $R[[x]]$. (Suggerimento: sia $f$ un idempotente in $R[[x]]$; per un intero positivo $t$ opportunamente scelto, si scriva $f$ come $a+bx^t+x^{t+1}g$, dove $a,b\in R$ e $g\in R[[x]]$. Si deduca che $a$ è idempotente e, calcolando il coefficiente $t$-esimo di $f^2$, che $2ab=b$. Se ne ricavi $ab=0$ e quindi $b=0$). Utilizzando questa descrizione, si provi che $R[[x]]$ (ovvero $R[x]$) è indecomponibile in prodotto diretto di anelli se e solo se lo è $R$.

30/10

Legge modulare (di Dedekind) per sottomoduli di un modulo, anche nella forma: se due sottomoduli $A$ e $B$ di un modulo $M$ sono confrontabili ed hanno la stessa somma e la stessa intersezione con un assegnato un sottomodulo di $M$ allora $A=B$.

Condizioni di catena per insiemi ordinati. Moduli artiniani e moduli noetheriani. Anelli artiniani e noetheriani. Esempi. Sottomoduli, quozienti ed estensioni di moduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani). La somma di un numero finito di sottomoduli noetheriani (risp. artiniani) di un modulo è necessariamente noetheriana (risp. artiniana); i moduli finitamente generati sugli anelli noetheriani (risp. artiniani) sono noetheriani (risp. artiniani).

Caratterizzazione dei moduli noetheriani in termini di sottomoduli finitamente generati. Esempio: un anello non noetheriano (anello dei polinomi su infinite indeterminate), come modulo su se stesso, è finitamente generato ma non noetheriano. Osservazione: un modulo non noetheriano contiene sempre sottomoduli che siano massimali tra quelli non finitamente generati.

Il teorema della base di Hilbert (per anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate).

Esercizi proposti:

1. Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un prodotto diretto $\prod_{i\in I}R_i$ di anelli commutativi unitari? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) l'anello delle parti di un insieme? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un modulo libero?
2. Sia $\theta\colon S\to R$ un omomorfismo di anelli unitari (con $R$ e $S$ commutativi) e sia $M$ un $R$-modulo. Visto $M$ anche come $S$-modulo via $\theta$, è vero che se $M$ è artiniano (risp. noetheriano) come $R$-modulo se lo è come $S$-modulo? E viceversa?
3. Di ciascuno dei seguenti anelli dire se è artiniano e se è noetheriano: $\Z_{20}[x]$, $\Q[x]/x^2\Q[x]$,il sottoanello $\Z[i]=\set{a+ib\mid a, b\in\Z}$ del campo complesso (questo è l'anello degli interi di Gauss).
4. Verificare che, come detto a lezione, nel reticolo dei sottomoduli di un modulo i compatti sono precisamente i sottomoduli finitamente generati. (In un insieme ordinato $(S,\le)$ un elemento $x$ è compatto se e solo se, scelta comunque una parte $X$ di $S$ tale che $x=\sup X$, esiste un sottoinsieme finito $X'$ di $X$ tale che $x=\sup X'$.
5. Sia $K$ un campo e sia $K[X]$ l'anello dei polinomi su $K$ su un insieme infinito di indeterminate. Individuare un ideale di $K[X]$ che sia massimale tra quelli non finitamente generati. Ripetere l'esercizio dopo aver sostituito $\Z$ a $K$.
6. (A proposito della dimostrazione del teorema della base.) Sia $R$ un anello commutativo unitario. Trovare ideali distinti $H$, $K$ di $R[x]$ tali che, per ogni $n\in\N$, l'ideale $C_n(H)$ di $R$ costituito dai coefficienti direttori dei polinomi in $H$ di grado al più $n$ coincida con l'ideale $C_n(K)$ definito in modo analogo a partire da $K$.

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Corollario al teorema della base di Hilbert: sia $A$ un'algebra commutativa su un anello commutativo unitario noetheriano $R$. Allora $A$ è noetheriana come $R$-algebra; se $A$ è unitaria, $A$ è noetheriano come anello.

Divisione tra ideali; più in generale: ideale $(N:X)=\ann_R (X+N/N)$ per un sottomodulo $N$ ed una parte $X$ di un $R$-modulo. Osservazione: per ogni elemento $a$ ed ogni ideale $H$ di un anello commutativo unitario $R$, $a(H:a)=aR\cap H$.

Un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati (Teorema 8.12 in Sharp).

Teorema della base per anelli di serie formali di potenze; se $R$ è un anello commutativo noetheriano, $R[[x]]$ è noetheriano.

Anelli di frazioni, definiti da una proprietà universale di diagrammi per omomorfismi (di anelli unitari) che invertano un assegnato sottoinsieme $S$ di un anello commutativo unitario $R$. Si può assumere che $S$ sia un sottomonoide moltiplicativo saturo.

Unicità dell'anello di frazioni $R_S$ (come $R$-algebra) e sua costruzione. Resta ancora da completare qualche verifica.

Esercizi proposti:

1. Sia $A$ uno spazio vettoriale di dimensione 1 su $\Q$. Munito $A$ del prodotto costante nullo ($ab=0$ per ogni $a,b\in A$), $A$ si struttura come $\Q$-algebra, non unitaria, finitamente generata (addirittura ciclica, come modulo), ma non è noetheriano come anello.
2. Siano $I$ un insieme, $R$ un anello commutativo unitario ed $M$ un $R$-modulo.
   1. Per ogni $X\subseteq M$ e $N\le_R M$ si ha $(N:X)=(N:XR)$;
   2. se, per ogni $i\in I$, $X_i\subseteq M$, allora, per ogni $N\le_R M$, si ha $(N:\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}(N:X_i)$;
   3. se, per ogni $i\in I$, $N_i\le_R M$, allora, per ogni $X\subseteq M$, si ha $(\bigcap_{i\in I} N_i:X)=\bigcap_{i\in I} (N_i:X)$.
3. Descrivere l'anello $\Z[1/2]$, già visto nel quinto esercizio del 7/10, come anello di frazioni di $\Z$.

6/11

Completamento delle verifiche relative alla costruzione degli anelli di frazioni. Notazione: $S^{-1}R$ (per una parte $S$ ell'anello commutativo unitario $R$).

Nucleo dell'omomorfismo $f_S\colon r\in R\mapsto r/1\in S^{-1}R$. Condizioni necessarie e sufficienti affinché un elemento $x/s$ di $S^{-1}R$ sia rispettivamente zero, l'unità, un elemento invertibile.

Esempi di anelli di frazioni $S^{-1}R$: il caso in cui $R$ è un dominio di integrità; il caso in cui $S$ è un sottomonoide moltiplicativo finito. In quest'ultimo caso, l'omomorfismo naturale $f_S$ è suriettivo; detto $p$ il prodotto degli elementi di $S$, si ha $S^{-1}R\iso \set p^{-1}R\iso R/\ann_R(p)\iso pR$. Descrizione degli anelli di frazioni dei quozienti propri di $\Z$.

La saturazione di (cioè il sottomonoide saturo generato da) un sottomonoide $S$ di un monoide commutativo: essa coincide con $\bigcup\set{\Div(s)\mid s\in S}$. I sottomonoidi (moltiplicativi) saturi di un anello commutativo unitario sono precisamente i complementari delle unioni di ideali primi.

Ideali primari. Definizione e proprietà essenziali; il radicale di un ideale primario $H$ è primo (è quindi il minimo primo contenente $H$). Un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario. Descrizione degli ideali primari in un anello principale. Un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario. Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo: l'ideale generato da $x$ e $y^2$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $x$ e $y$ a coefficienti in un campo.

Esercizi proposti:

1. Siano $X$ un insieme e $Y\subseteq X$. Si descriva l'anello di frazioni $S^{-1}\P(X)$, dove $S=\set Y$.
2. Sia $R=H\times K$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari; sia $S$ il gruppo degli invertibili di $H$. Si descriva $S^{-1}R$. Si confronti questa descrizione con quanto ottenuto con l'esercizio precedente.
3. Posto, per ogni $n\in\Z$, $\bar n=[n]_{20}$, $R=\Z_{20}$ e $S=\set{\bar n\mid n\in\Z\setminus 2\Z}$, ogni elemento di $S^{-1}R$ si può rappresentare come $\bar n/\bar 1$ per qualche $n\in\set{0,1,2,3}$. Spiegare perché, e rappresentare in questa forma le frazioni $\bar 1/\bar 5$, $\bar 1/\bar 3$, $\bar 2/\overline {15}$ di $S^{-1}R$.
4. Sia $P$ un ideale primo dell'anello commutativo unitario $R$. Provare che, per ogni $n\in\N^+$, $P=\sqrt {P^n}$.
5. Sia $p$ un elemento cancellabile e primo dell'anello commutativo unitario $R$. Provare che, per ogni $n\in\N^+$, l'ideale $p^n R$ è primario.

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Ampia discussione sulla costruzione di un esempio di ideale primo $P$ il cui quadrato $P^2$ non sia primario (un esempio molto simile si trova in Sharp, Esempio 4.12).

Espansioni (o estensioni) e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo naturale da un anello commutativo unitario $R$ ad un suo anello di frazioni $S^{-1}R$ (dove $S$ indica un sottomonoide moltiplicativo di $S$). Applicazioni $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ (si veda, ad esempio, Sharp, 5.23 e sgg.). Per $H$ e $K$ ideali di $R$ e $S^{-1}R$ rispettivamente, descrizione esplicita di $K^c$, di $H^e$ e di $H^{ec}$, quest'ultimo coincide con $\bigcup_{s\in S}(H:s)$ (per cui, ad esempio, $0^{ec}$ è il nucleo dell'omomorfismo naturale $f_S$). L'applicazione $ce$ è una funzione identica; $c$ è così una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ in quello degli ideali di $R$, mentre $e$ è suriettiva. Se $H\n R$, si ha $H^e=S^{-1}R$ se e solo se $H\cap S\ne\vuoto$, che equivale anche a $H\cap \hat S\ne \vuoto$, dove $\hat S$ è la saturazione di $S$.

Gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani, principali), sono artiniani (risp. noetheriani, principali).

Sia $Q$ un ideale primario di $R$ disgiunto da $S$, Allora: $Q^{ec}=Q$, inoltre $Q^e$ è primario e, se $Q$ è primo, anche $Q^e$ è primo. Per dimostrare la seconda parte di questo risultato abbiamo utilizzato il fatto che se, nelle consuete notazioni, $r/s$ è un divisore dello zero in $S^{-1}R$ allora $r$ è un divisore dello zero in $R$, ed inoltre: se $H$ è un ideale di $R$ e $\nu\colon R\epi R/H$ è l'epimorfismo canonico; allora $(S^\nu)^{-1}R^\nu\iso S^{-1}R/H^e$.

Esercizi proposti:

1. Con le notazioni usate a lezione, l'applicazione $e\colon \I(R)\to \I(S^{-1}R)$ è iniettiva se solo se $S\subseteq\U(R)$ (si tratta del caso banale in cui $S^{-1}R$ si può identificare con $R$).
2. Con le stesse notazioni, se $H$ è un ideale di $R$, allora $H^{ec}=H$ se è solo se $H$ è la contrazione di un ideale di $S^{-1}R$.
3. Sempre con le stesse notazioni, caratterizzare i divisori dello zero in $S^{-1}R$ come quelle frazioni $x/s$ tali che $x+\ker f_S$ sia un divisore dello zero in $R/\ker f_S$.
4. Costruire un esempio di ideale non primario $H$ in un anello commutativo unitario $R$ tale che, in un opportuno anello di frazioni $S^{-1}R$, l'ideale espanso $H^e$ sia primo. (Suggerimento: si può scegliere come $R$ un opportuno quoziente di $\Z$ e come $H$ il suo ideale nullo).
5. Descrivere esplicitamente gli ideali dell'anello $\Z[1/2]$, già considerato in esercizi passati. Suggerimento: riguardare questo anello come anello di frazioni di $\Z$ e sfruttare la suriettività della funzione espansione. $\Z[1/2]$ è principale?

13/11

Discussione di un esercizio su un anello di frazioni di $\Z_{20}$.

Riprendendo le notazioni della lezione scorsa, la funzione espansione conserva somme arbitrarie ed intersezioni binarie (se $(H_i)_{i\in I}$ è una famiglia di ideali di $R$, allora $\bigl(\sum_{i\in I} H_i\bigr){}^e=\sum_{i\in I} H_i^e$, se $I,J\n R$ allora $(I\cap J)^e=I^e\cap J^e$), ma non, in generale, intersezioni arbitrarie. La funzione contrazione conserva le intersezioni (arbitrarie) ma, in generale, non le somme. Per controesempi a questo riguardo, si vedano gli esercizi. Dunque, $e$ è un omomorfismo di reticoli.

L'antimmagine, mediante un omomorfismo di anelli (commutativi) unitari di un ideale primo (risp. primario) è sempre primo (risp. primario).

Biezioni (isomorfismi di insiemi ordinati) indotti da $e$ e $c$ tra $\set{P\in \spec(R)\mid P\cap S=\vuoto}$ e $\spec(S^{-1}R)$; tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$; per ogni $P\in \spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$. Esempio: gli ideali, gli ideali primi e gli ideali primari di $\Z[1/2]$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Terminologia e notazione: se $R$ è un anello commutativo unitario e $P\in \spec(R)$, la localizzazione di $R$ a $P$, cioè $(R\setminus P)^{-1}R$ si indica anche con $R_P$; il suo ideale massimale è $P^e$. Osservazione: il campo residuo di $R_P$, cioè $R_P/P^e$ è isomorfo a $Q(R/P)$. Esempio: descrizione degli ideali di $\Q_{2'}=\Z_{2\Z}$.

Decomposizione primaria. Il caso degli anelli principali. Ideali decomponibili (in intersezioni finite di primari) e non decomponibili. Esempio: per ogni insieme $S$, gli ideali primari di $(\P(S),\ds,\cap)$ hanno indice 2, (si può leggere qualcosa, a questo proposito, in alcune note sugli anelli booleani) quindi gli ideali decomponibili hanno indice primo. Se $S$ è infinito, dunque, l'ideale nullo di $(\P(S),\ds,\cap)$ non è decomponibile.

Esercizi proposti:

1. Nel caso generale, la funzione espansione definita da un arbitrario omomorfismo di anelli unitari (commutativi) non conserva le intersezioni tra ideali. Ad esempio, sia $K$ un qualsiasi anello commutativo unitario, sia $R=K[x,y]$ un anello di polinomi a due indeterminate su $K$ e sia $f$ l'omomorfismo di $K$-algebre $R\to K[x]$ definito da $x^f=y^f=x$. Allora, posto $I=xR$ e $J=yR$, si ha che $(I\cap J){}^{\vec f}$ è un ideale di $R[x]$ propriamente contenuto in $I^{\vec f} \cap J^{\vec f}$.
2. Si consideri l'anello di frazioni $S^{-1}R$, dove $R=\Z[x]$ ed $S=\set{2^n\mid n\in\N}$. Se $I=xR$ e $J=(x+2)R$, verificare che $I=I^{ec}$ e $J=J^{ec}$, mentre $(I+J)^e=S^{-1}R$ (si può usare il fatto che $R$ è un anello fattoriale in cui $2$, $x$ e $x+2$ sono irrriducibili). Concludere che $(I^e+J^e)^c\ne I^{ec}+J^{ec}$, dunque, in generale, non è vero che la somma delle contrazioni di due ideali di un anello di frazioni sia la contrazione della somma.

18/11

Due osservazioni: se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; se inoltre $P$ èun ideale primo e $I$ e $J$ sono $P$-primari, allora $I\cap J$ è $P$-primario. Decomposizioni primarie minimali di ideali decomponibili.

Se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, ogni ideale proprio è intersezione finita di ideali irriducibili (per intersezione), ed ogni ideale irriducibile è primario. Quindi, ogni ideale proprio di $R$ è decomponibile.

Osservazioni: gli ideali primi sono sempre irriducibili; anche in un anello (commutativo unitario) noetheriano (e fattoriale) possono esistere ideali primari non irriducibili. In un anello commutativo unitario arbitrario, possono esistere ideali irriducibili non primari (vedi esercizi).

Se $Q$ un ideale $P$-primario di un anello commutativo unitario $R$ ed $a\in R\setminus Q$, allora $(Q:a)$ è $P$-primario (vedi Sharp, 4.14). Conseguenza: primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. L'insieme $\ass(H)$ degli ideali primi associati ad un ideale decomponibile $H$; primi isolati e primi immersi. I primi isolati sono gli elementi minimali di $\ass(H)$, ovvero di $\var(H)$. Sempre con riferimento ad un ideale decomponibile $H$, $\bigcup \ass(H)$ e $\bigcap \ass(H)$ sono rispettivamente l'insieme dei divisori dello zero e quello degli elementi nilpotenti modulo $H$.

Un esempio di ideale, in un anello fattoriale noetheriano, con infinite decomposizioni primarie (è l'ideale $(x^n,xy)$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $K[x,y]$ su un campo $K$, per un qualsiasi intero $n>1$; si vedano gli esempi 4.27 e 4.28 in Sharp).

Esercizi proposti:

1. Sia $f\colon R\to A$ un omomorfismo di anelli (commutativi). Provare che, per ogni $H\n R$, $(\sqrt H)^f\subseteq \sqrt {H^f}$.
2. Con le solite notazioni per un anello di frazioni $S^{-1}R$, provare che per ogni $H\n R$ si ha $(\sqrt H)^e=\sqrt {H^e}$. (Una inclusione è ovvia dall'esercizio precedente, per l'inversa si può ragionare in modo diretto sugli elementi di $\sqrt {H^e}$.)
3. Si costruisca un esempio di anello commutativo unitario $R$ con ideali $I,J$ per i quali $\sqrt{IJ}\ne \sqrt I \sqrt J$. (Suggerimento: cercare un anello il cui nilradicale $N$ verifichi $N^2=0\ne N$).
4. Sia $R=\prod_{i\in I}R_i$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari (non nulli). Provare che se $I$ è infinito l'ideale nullo non è decomponibile in $R$ (in intersezione finita di primari). Suggerimento: si provi che ogni ideale primario di $R$ contiene tutti i fattori $R_i$ tranne al pù uno di essi. In alternativa: si provi che $\var_R(0)$ ha infiniti elementi minimali.
5. Costruire, come segue, un esempio di ideale ideale irriducibile non primario in un anello commutativo unitario.
   Siano $p$ un numero naturale primo e $A$ un $p$-gruppo di Prüfer, qui visto come $\Z$-modulo. Sia $B$ la idealizzazione di $A$, cioè l'anello sul prodotto cartesiano $A\times \Z$ costruito come nell'esercizio nr. 2 della lezione del 28/10. Avendo identificato $A$ con l'ideale $A\times\set 0$ di $B$, provare che ogni ideale di $B$ non contenuto in $A$ contiene $A$; dedurne che ogni ideale non nullo di $B$ contiene il sottogruppo di ordine $p$ di $A$ e quindi che l'ideale nullo è irriducibile in $B$. Verificare infine che l'ideale nullo non è primario in $B$, osservando che $(0,p)$ è un divisore dello zero non nilpotente in $B$.
6. Si scriva, nell'anello di polinomi $\Z[x]$, una decomposizione primaria dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$, determinandone i primi associati.

20/11

Decomposizioni primarie in anelli di frazioni: passaggio da una decomposizione primaria (minimale) di un ideale $H$ a decomposizioni primarie (minimali) di $H^e$ e $H^{ec}$ (si veda Sharp, pag. 97 e seguenti). Come conseguenza: secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Riconsiderazione di esempi già visti.

L'intersezione tra due ideali primari i cui radicali non siano tra loro confrontabili non può essere un ideale primario.

Se $H$ è un ideale di un anello commutativo unitario $R$ e $\sqrt H$ è finitamente generato, esiste un intero positivo $n$ tale che $(\sqrt H)^n\subseteq H$.

Anelli artiniani (commutativi unitari). Se $R$ è un anello commutativo unitario artiniano, allora $R$ ha solo un numero finito di ideali primi e questi sono tutti massimali; il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente. Caratterizzazione degli anelli (commutativi unitari) come anelli noetheriani di dimensione zero. È stato usato il lemma: un modulo annullato da un prodotto (finito) di ideali massimali è artiniano se e solo se è noetheriano;.

Esercizi proposti:

1. Si scriva, nell'anello di polinomi $\Z[x]$, una decomposizione primaria dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$, determinandone i primi associati.
2. Si scriva, nell'anello di polinomi $\Z[x,y]$, una decomposizione primaria dell'ideale $(9,xy)$. Se ne discuta l'unicità.
3. Si fornisca un esempio di anello artiniano infinito che non sia un campo.

25/11

Ogni anello commutativo unitario artiniano si decompone in prodotto diretto di anelli locali non nulli (in numero finito). Tale decomposizione, intesa come prodotto diretto interno, è unica a meno dell'ordine dei fattori.

Teorema dell'intersezione di Krull per ideali di un anello commutativo unitario noetheriano e per moduli finitamente generati su anelli noetheriani.

Applicazione: se $R$ è un anello locale noetheriano, con anello massimale $M$, allora $\bigcap\set{M^n\mid n\in\N}=0$ (e $R$ è artiniano se e solo se $M^n=0$ per qualche $n\in\N$). Immersione di $R$ in $\prod_{i\in\N^+}R/M^i$.

Per due moduli $A$ e $B$ su un anello commutativo unitario $R$, il modulo $\Hom_R(A,B)$.

Vaghi cenni alla nozione di funtore, covariante e controvariante, con particolare riferimento alle categorie di moduli; i funtori $\Hom_R(A,-)$ e $\Hom_R(-,A)$, per un $R$-modulo $A$.

Complessi di catene; sequenze esatte, sequenze esatte corte (ovvero, estensioni di moduli).

Esercizi proposti:

1. Siano $p$ un primo e $A=\bigoplus_{i\in\N^+}\gen{a_i}$, una somma diretta di gruppi ciclici, dove ciascun $a_i$ ha ordine $p^i$. Siano $B=\gen{p^{i-1}a_i-a_1\mid i\in\N^+}$ e $M=A/B$. Posto $R=\Z$ e $K=p\Z$, si ha $D:=\bigcap\set{MK^n\mid n\in\N}=\gen{a_1+B}\ne 0=DK$. Ciò mostra che il teorema dell'intersezione di Krull non continua a valere per moduli che non siano finitamente generati. Ricaviamo da ciò anche un esempio di anello non noetheriano in cui non valga il teorema dell'intersezione di Krull per ideali?
2. Verificare in dettaglio la corretta definizione della struttura di $R$-modulo su $\Hom_R(A,B)$ (notazioni come sopra) e, per un $R$-omomorfismo $\phi\colon B\to C$, degli $R$-omomorfismi $\phi_*\colon \Hom_R(A,B)\to\Hom_R(A,C)$ e $\phi^*\colon \Hom_R(A,C)\to\Hom_R(A,B)$.
3. Sia $A$ un modulo sull'anello commutativo unitario $R$. Scrivere un isomorfismo tra $A$ e $\Hom_R(R_R,A)$.
4. Assegnati un modulo $B$ ed una famiglia $(A_i)_{i\in I}$ di moduli, tutti sullo stesso anello commutativo unitario $R$, provare: $\Hom_R\left(\bigoplus_{i\in I}A_i, B\right)\iso\prod_{i\in I}\bigl(\Hom_R(A_i, B)\bigr)$ e $\Hom_R\left(B,\prod_{i\in I}A_i)\right)\iso \prod_{i\in I}\bigl(\Hom_R(B,A_i)\bigr)$.

27/11

Estensioni spezzate di moduli (definite tramite l'esistenza di un mono spezzante) e loro caratterizzazione in termini di decomposizione in somma diretta del termine centrale.

Proprietà di esattezza a sinistra del funtore Hom covariante $\Hom(M,-)$ per un modulo $M$. Moduli proiettivi. Abbiamo fatto solo un cenno all'esattezza a sinistra del funtore Hom controvariante ed alla nozione di modulo iniettivo.

Caratterizzazione dei moduli proiettivi, come, ad esempio, in Cohn, vol. 2, Theorem 4.5.4. Lemma della base duale (Cohn, vol. 2, Proposition 4.5.5).

Esercizi proposti:

1. Provare che una estensione $A\stackrel\alpha\mono B\stackrel\gamma\epi C$ è spezzata se e solo se ammette un epi spezzante, cioè un omomorfismo $\sigma\colon B\to A$ tale che $\alpha\sigma=\id_A$.
2. Un modulo finitamente generato è proiettivo se e solo se è sommando diretto di un modulo libero di rango finito.
3. Estendendo l'esempio di $\Z_p$ visto a lezione, si costruisca, per ogni gruppo abeliano finito $F\ne 0$, un epimorfismo $\phi\colon B\to C$ di gruppi abeliano tale che l'omomorfismo $\phi_*\colon \Hom(F,B)\to \Hom(F,C)$ (definito dal funtore $\Hom(F,-)$) non sia suriettivo.
4. Verificare che, per ogni anello commutativo unitario $R$ ed ogni $R$-modulo $M$, il funtore controvariante $\Hom(-,M)$ è esatto a sinistra. Mostrare, con un esempio, che questo funtore non è sempre esatto.
5. Fornire un esempio di modulo proiettivo non libero.

2/12

Completata la dimostrazione del lemma della base duale. Somme e sommandi diretti di moduli proiettivi sono a loro volta proiettivi. Esempi di moduli proiettivi non liberi.

Ideali frazionari di un dominio di integrità $R$. Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari di $R$ ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Ideali invertibili (sono tra questi gli ideali principali non nulli). Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, il suo inverso è $(R:A)$.

Gli ideali frazionari invertibili sono esattamente quelli proiettivi, inoltre essi sono finitamente generati.

Anelli di Dedekind. Caratterizzazione come in Cohn, vol. 2, Prop. 9.5.1. Gli anelli di Dedekind sono noetheriani; gli anelli principali sono di Dedekind.

Parentesi sulla divisibilità nei monoidi commutativi. Questo materiale è (propriamente) contenuto in una bozza di note sulla fattorizzazione, che attende ancora di essere riguardata e sistemata (sono molto bene accette le segnalazioni di errori di battuta e di altro genere) e che contiene più di quanto richiesto ai fini del corso. Preordinamenti e loro massimo quoziente ordinato. Divisibilità come preordinamento, relazione "essere elementi associati" ($\sim$) in un monoide commutativo $M$. Il quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$. $M$ è fattoriale se e solo se $\tilde M$, ordinato per divisibilità, è un reticolo a condizione minimale. Esempio di applicazione: fattorialità e dimensione degli anelli principali.

Esercizi proposti:

1. Verificare che gli anelli di frazioni degli anelli fattoriali sono a loro volta fattoriali.
2. Descrivere il gruppo degli ideali frazionari di $\Z$; cercando di identificarne il tipo di isomorfismo.
3. Verificare in dettaglio le affermazioni fatte a proposito di un monoide commutativo $M$ e del suo quoziente $\tilde M$. (Per cominciare, se $M$ è cancellativo, perché lo è anche $\tilde M$? Perché la classe di un elemento $a$ di $M$ è irriducibile, o primo, in $\tilde M$ se e solo se $a$ ha la stessa proprietà in $M$?).

4/12

Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Se $I, H\n R$ e $I$ è invertibile, allora $I$ divide $H$ in $\I(R)$ se e solo se $I\supseteq H$. Dunque, se $R$ è un anello di Dedekind, nel monoide $\I^*(R)$ degli ideali interi (non nulli) di $R$, la relazione di divisibilità è la relazione di inclusione inversa. Conseguenze: $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale i cui elementi irriducibili sono gli ideali massimali, che sono precisamente gli ideali primi non nulli. Dunque: ogni ideale non banale di $R$ è prodotto di ideali primi (ovvero massimali) e tale decomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori. Di conseguenza, il gruppo degli ideali frazionari $\F(R)$ di $R$ è abeliano libero, con l'insieme degli ideali massimali come base.

Sia $S$ l'insieme degli ideali non invertibili di un dominio di integrità unitario $R\ne 0$. Allora $S$ ha elementi massimali (rispetto all'inclusione), e questi sono tutti ideali primi. Dunque: $R$ è di Dedekind se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili. Del fatto che gli elementi massimali di $S$ sono ideali primi abbiamo dato due dimostrazioni: la prima parte dall'osservazione che un tale elemento massimale $H$ ha la proprietà che $H=HI$ per ogni $I$ tale che $H\subset I\n R$; la seconda sfrutta invece il seguente lemma: se $A$ e $B$ sono sottomoduli di un modulo $M$, allora $A$ e $B$ sono proiettivi se lo sono sia $A+B$ che $A\cap B$ (si veda Cohn, dimostrazione di 9.5.4, (c)$\implica$(d)).

Ancora: un dominio di integrità unitario $R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale proprio è prodotto di ideali primi (Cohn, 9.5.6, (c)$\implica$(a)). Alla dimostrazione è stato premesso un lemma: l'eventuale fattorizzazione di un ideale invertibile in prodotto di ideali primi è sempre unica a meno dell'ordine dei fattori. Si è osservato, come conseguenza, che anelli di frazioni di anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Esercizi proposti:

1. Sia $H$ un ideale non banale di un anello di Dedekind $R$. Essendo $R$ noetheriano, $H$ ha certamente una decomposizione primaria minimale. Questa è unica? Come la si può comparare con la fattorizzazazione di $H$ in prodotto di ideali primi?
2. L'anello di polinomi $\Z[x]$ non è di Dedekind. Giustificare questa affermazione utilizzando le nozioni già acquisite sino a questo momento. Uno dei modi possibili (ma ce ne sono di più rapidi) consiste nell'osservare che, se $p$ è un intero primo, l'ideale massimale $(p,x)$ non divide $(x)$ e quindi non è invertibile.

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Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Allora $R$ è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo (non nullo). Di conseguenza, in un anello fattoriale, un ideale che sia minimale per la proprietà di essere primo e non nullo è necessariamente principale (si veda Cohn, Theorem 9.2.6).

Per un dominio di integrità unitario $R$ sono equivalenti: (1) $R$ è principale; (2) $R$ è fattoriale e di Dedekind; (3) $R$ è fattoriale e $\dim R\le 1$; (4) ogni ideale primo di $R$ è principale.

Cenni al gruppo delle classi di un anello di Dedekind. A titolo di notizia: questo gruppo è finito nel caso degli anelli degli interi di campi di numeri; ha struttura del tutto arbitraria (nel senso che può essere isomorfo a qualsiasi gruppo abeliano) nel caso generale.

Se $R$ è di Dedekind ed ha solo un numero finito di ideali primi, allora $R$ è principale. La dimostrazione è stata condotta come segue:

1. Siano $P_1, P_2,\dots P_n$ ideali primi di $R$. Allora ogni ideale non nullo $H$ di $R$ contiene propriamente $\bigcup\set{HP_i \mid i\in\set{1,2,\dots,n}}$.
2. Scelti comunque $H,I\in\I^*(R)$, esiste $J\in \I^*(R)$ tale che $HI$ sia principale e $I+J=R$.
3. Conclusione: se $\spec(R)$ è finito, basta porre $I$ uguale al prodotto degli ideali primi di $R$ e applicare (ii): $J$ deve coincidere con $R$ e quindi $H$ deve essere principale.

Conseguenze: se $R$ è un anello di Dedekind, ogni quoziente proprio di $R$ è un anello ad ideali tutti principali; quindi ogni ideale di $R$ è generato da al più due elementi. Più precisamente: per ogni ideale $H$ di $R$ e per ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H$ sia l'ideale generato da $a$ e $b$. Si è fatto uso della seguente osservazione: se $H$ è un ideale dell'anello commutativo unitario $R$ e $S=R\setminus \bigcup\var(H)$, allora $R/H\iso S^{-1}R/H^e$.

Descrizione dell'insieme degli ideali in un anello locale di Dedekind (ogni tale anello è, in particolare, noetheriano). Anelli di valutazione (definiti come i domini di integrità unitari in cui l'insieme degli ideali è totalmente ordinato per inclusione). Alcune caratterizzazioni: per un dominio di integrità unitario $R$ sono equivalenti: (1) $R$ è di valutazione; (2) l'insieme degli ideali principali di $R$ è totalmente ordinato per inclusione; (3) per ogni $a,b\in R$, in $R$ si ha $a|b$ o $b|a$; (4) per ogni $c$ nel campo dei quozienti di $R$, si ha $c\notin R\implica c^{-1}\in R$; (5) $R$ è un anello di Bézout locale. A questo proposito, per definizione, un anello di Bézout è un dominio di integrità unitario in cui ogni ideale finitamente generato è principale. Naturalmente, gli anelli di Bézout noetheriani sono tutti e soli gli anelli principali. Gli anelli locali di Dedekind sono anelli di valutazione principali.

Esercizi proposti:

1. Fornire un esempio di anello di Dedekind con esattamente cinque ideali primi.
2. Dimostrare, in modo alternativo, che gli ideali dei quozienti propri di un anello di Dedekind sono sempre principali ragionando come segue: se $H\in\I^*(R)$ e $J/H$ è un ideale di $R/H$, allora $H=IJ$ per un opportuno $I\in\I^*(R)$. Si può poi scegliere un ideale $L$ comassimale con $I$ tale che $JL$ sia principale. Ne segue $J=H+JL$, quindi l'asserto.
3. Sia $R$ un anello di valutazione principale. Descrivere il tipo d'ordine di $\I(R)$ e quello di $\F(R)$, ordinati per inclusione.

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Un esempio di anello di Bézout non principale: il sottoanello di $\Q[x]$ costituito dai polinomi a termine noto intero. Altri esempi si ottengono da costruzioni (appena accennate) di anelli di valutazione.

Cenni alla nozione di valutazione (definita su un campo) ed al legame tra questa nozione e quella di anello di valutazione, senza alcuna verifica. Esempio: le valutazioni $p$-adiche su $\Q$.

Elementi interi su un anello commutativo unitario; interi algebrici (si vedano Cohn, sezione 8.4; Atiyah-Macdonald, capitolo 5 sino a 5.5,; Sharp, da 13.16 a 13.24). Se $R$ è un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$, per ogni $c\in A$ sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ha un modulo fedele che è finitamente generato come $R$-modulo. Inoltre, se $c\in\U(A)$, $c$ è intero su $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$.

Ampliamenti interi (o integrali). Se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. Di conseguenza, un ampliamento $R$ ottenuto per successive aggiunte di (un numero finito di) elementi interi sull'anello precedentemente ottenuto è finitamente generato come $R$-modulo e quindi un ampliamento intero di $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello. Transitività dell'integralità. Domini di integrità integralmente chiusi. Esempi: $\Z$ e tutti gli anelli fattoriali sono integralmente chiusi, $\Z[\sqrt 5]$ invece no.

Esercizi proposti:

1. Provare che un anello di Bézout è principale se e solo se è fattoriale.
2. Verificarew in dettaglio che le valutazioni $p$-adiche sul campo razionale sono, appunto, valutazioni.
3. Fornire un esempio di numero complesso algebrico su $\Q$ che non sia né razionale né un intero algebrico.
4. La proprietà di essere un ampliamento intero si conserva nel passaggio a quozienti e ad anelli di frazioni: supponiamo che $A$ sia un'ampliamento intero di $R$. Allora, se $B\n A$, $A/B$ è un ampliamento intero di $(R+B)/B\iso R/(R\cap B)$. Se $S$ è una parte di $R$, allora $S^{-1}R$ is immerge naturalmente in $S^{-1}A$ e, a meno di questa identificazione, $S^{-1}A$ è un ampliamento intero di $S^{-1}R$.

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Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Allora la chiusura intera di $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ coincide con l'intersezione dell'insieme dei sottoanelli di $K$ contenenti $R$ che siano anelli di valutazione. Abbiamo dimostrato solo l'inclusione del primo anello nel secondo (chi è interessato può trovare una dimostrazone completa del risultato in Cohn, 8.4.4).

Una proprietà importante degli ampliamenti interi: se l'anello commutativo unitario $A$ è un ampliamento intero del suo sottoanello unitario $R$, e $P$ e $Q$ sono ideali primi di $A$ tali che $Q\subseteq P$, allora $P=Q$ se e solo se $P\cap R=Q\cap R$ (si veda, in Cohn, la dimostrazione di 9.5.5).

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti:

• $R$ è di Dedekind;
• ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è un anello di valutazione;
• $R$ è integralmente chiuso ed ha dimensione al più 1.

Anelli di interi algebrici in campi di numeri. Sia $K$ un campo di numeri (cioè un campo che sia estensione finita del campo razionale) e sia $Z_K=K\cap \Z^*$, l'anello degli interi algebrici su $K$ (indichiamo con $\Z^*$ l'anello degli interi algebrici nel campo complesso). Allora il quoziente $K/Z_K$ del gruppo additivo di $K$ è periodico, quindi $K$ è il campo dei quozienti di $Z_K$. $Z_K$ è integralmente chiuso e ha dimensione 1. Allo scopo di dimostrare che $Z_K$ è noetheriano, abbiamo citato, senza dimostrarli, alcuni risultati elementari della dei campi: il Lemma di Dedekind (Cohn, 3.5.1) ed il fatto che, se $n=\dim_\Q(K)$, esistono esattamente $n$ omomorfismi (ovvero monomorfismi) $\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_n$ di campi da $K$ e $\C$ (le immagini di questi omomorfismi sono contenute nella chiusura normale di $K$ in $\C$). Abbiamo dimostrato che $K$ ha una $\Q$-base (ordinata) $(b_1,b_2,\dots,b_n)$ costituita da elementi di $Z_K$ e che, per una tale base, la matrice $D=(b_j^{\sigma_i})$ non è degenere. Usando la teoria di Galois abbiamo iniziato a provare che il discriminante della base, $(\det(D))^2$ appartiene a $\Z$ (lo abbiamo fatto nel caso in cui $K$ sia un'estensione normale, ovvero di Galois, di $\Q$). La dimostrazione sarà completata nella prossima lezione, e con essa la dimostrazione del fatto che $Z_K$ è di Dedekind.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello noetheriano di dimensione 1. Provare che $R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale primario è potenza di un ideale primo.
2. Stabilire quali tra questi numeri complessi sono algebrici: $(1/3)-\sqrt 2$, $1-3\sqrt 2$, $i+\pi$, $\sqrt 3+\sqrt[4] 2$.
3. Sia $d$ un numero intero che non sia un quadrato perfetto. Dopo aver osservato che $K:=\Q(\sqrt d)$ ha dimensione 2 su $\Q$ e che i due monomorfismi da $K$ in $\C$ sono l'immersione e l'applicazione definita da $a+b\sqrt d \mapsto a-b\sqrt d$, calcolare il discriminante della base (costituita da interi algebrici) $(1,\sqrt d)$ e, per ogni $k\in\Z\setminus\set 0$, quello della base $(1,k\sqrt d)$ di $K$.
4. Sia $f$ il polinomio $x^2+bx+c\in\Z[x]$ e sia $\alpha=(-b+\sqrt{\Delta})/2$ una sua radice in $\C$, dove $\Delta=b^2-4c$. Dopo aver osservato che $\Q(\alpha)=\Q(\Delta)$ e che $(1,\alpha)$ è una base di $\Q(\alpha)$ costituita da interi algebrici, calcolare il discriminante di questa base.

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Completata la dimostrazione del fatto che l'anello degli interi $Z_K$ di un arbitrario campo di numeri $K$ è noetheriano, e quindi un anello di Dedekind. Aggiornamento: La dimostrazione è ora disponibile in questo sito. Spero di poter mettere presto a disposizione altro materiale.

Norma e traccia in campi di numeri; gli elementi invertibili di $Z_K$ sono precisamente quelli di norma 1 o $-1$; Alcune proprietà di $Z_K$: il suo gruppo delle classi è finito (non lo abbiamo dimostrato); ogni suo ideale non nullo contiene un numero intero non nullo e quindi ha indice finito in $Z_K$. Senza dimostrarlo, si è aggiunto che l'indice di un ideale principale non nullo coincide con il valore assoluto della norma di un suo generatore.

Come applicazione, utilizzando anche il teorema degli invertibili di Dirichlet (non dimostrato): struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.

Menzionato ma non dimostrato: un numero algebrico su $\Q$ è un intero algebrico se e solo se il suo polinimio minimo su $\Q[x]$ appartiene a $\Z[x]$.

Descrizione dell'anello degli interi di una estensione quadratica del campo razionale. Una tale estensione ha necessariamente la forma $\Q[\sqrt d]$ per un intero $d$ libero da quadrati; il suo anello degli interi è $\Z[\sqrt d]$ se $d\not\equiv_4 1$, $\Z[(1+\sqrt d)/2]$ se $d\equiv_4 1$.

Un esempio: fattorizzazione in prodotto di ideali primi dell'ideale generato da 6 in $\Z[\sqrt{-5}]$, l'anello degli interi di $\Q[\sqrt{-5}]$. Per i dettagli, si veda una mia nota.

Esercizi proposti:

1. Se $R$ è un arbitrario anello di Dedekind e $I,J\in\I^*(R)$, allora $I/IJ\iso R/J$, quindi $|R/IJ|=|R/I|\cdot|R/J|$.
2. Sia $R$ l'anello degli interi di $\Q[\sqrt{-17}]$. Si provi che $R$ non è fattoriale, partendo dalle fattorizzazioni $2\cdot 3^2$ e $(1+\sqrt{-17})(1-\sqrt{-17})$ di 18. Si fattorizzi l'ideale $18R$ in prodotto di ideali primi di $R$.