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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento. Origini e ruolo dell'algebra commutativa.

Richiami sugli anelli; anelli commutativi; anelli unitari: omomorfismi di anelli unitari, sottoanelli unitari e non. Esempi. Cenni alle algebre universali ed alle categorie.

L'anello $(\P(S),\ds,\cap)$ delle parti di un insieme $S$. Se $T\subset S$, $\P(T)$ è un sottoanello di $\P(S)$, che è unitario come anello ma non come sottoanello di $\P(S)$; l'immersione di $\P(T)$ in $\P(S)$ è un esempio di monomorfismo di anelli tra anelli (commutativi) unitari che non è un omomorfismo di anelli unitari.

Moduli su un anello (commutativo) unitario. Esempi. L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Equivalenza tra due definizioni di modulo: una in termini di operazione esterna $M\times R\to M$, l'altra tramite un omomorfismo di anelli unitari $\theta\colon R\to\End(M,+)$ (se $*\colon M\times R\to M$ è l'operazione esterna, $\theta$ è definito ponendo $a^{r^\theta}=a*r$ per ogni $a\in M$ e $r\in R$). $\theta$ prende il nome di omomorfismo di struttura o azione di modulo.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio la correttezza della definizione dell'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano.
2. Trovare, nell'anello $\Z_{10}$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $\Z_{10}$ (Suggerimento: partire da $[5]_{10}$).
3. Utilizzando la nozione di omomorfismo di struttura, verificare che, scelti comunque un anello commutativo unitario $R$ ed un $R$-modulo $M$, per ogni $a,b\in M$ e $x\in R$, si ha: $a0_R=0_M x=0_M$ e $-(ax)=(-a)x=a(-x)$.

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Unicità della struttura di $\Z$-modulo su un gruppo abeliano.

Rapido cenno alla nozione di "modulo non unitario".

Dagli esercizi: regole di calcolo nei moduli.

Omomorfismi tra moduli su un fissato anello (e diagrammi commutativi). Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi.

Sottomoduli; esempi, tra questi: ideali di un anello commutativo unitario $R$ come sottomoduli di $R_R$. Il sottomodulo generato da una parte di un modulo. In generale: il prodotto $AS$ tra una parte $A$ di un modulo su un anello (commutativo unitario) $R$ ed una parte $S$ di $R$ (è l'insieme delle somme tra elementi del modulo della forma $as$, dove $a\in A$ e $s\in S$: si tratta delle usuali 'combinazioni lineari'). Somme di sottomoduli. L'annullatore di un modulo; l'anullatore di una parte di un modulo (che coincide con l'annullatore del sottomodulo generato).

Congruenze nei moduli; quozienti. I teoremi di corrispondenza e di omomorfismo per moduli.

Moduli ciclici su un anello commutativo unitario $R$ e loro caratterizzazione (a meno di isomorfismi) come quozienti di $R_R$.

Esercizi proposti:

1. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $M$ un $R$-modulo, $\vuoto\ne X\subseteq M$ e sia $H$ un ideale di $R$. Provare che $XH$ è un sottomodulo di $M$. È possibile che $XH$ non sia il sottomodulo generato da $X$ in $M$?
2. Sia $A$ un gruppo abeliano. Riguardato $A$ come modulo su $\Z$, come si può descrivere nella terminologia della teoria dei gruppi l'annullatore di $A$?
   Si trovino esplicitamente gli annullatori (in $\Z$) dei seguenti gruppi abeliani: $(\Z,+)$, $\Z\oplus C_{8}$, $C_{8}\oplus C_{10}$, $\bigoplus_{n\in\N^+}C_n$, dove $N^+=\N\setminus\set 0$ e, per ogni $n\in\N^+$, $C_n$ è un gruppo ciclico di ordine $n$.
3. Sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra moduli. Provare che $\ann(A)\subseteq \ann(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo, provare che $\ann(A)\supseteq \ann(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.
4. Assegnato un campo $F$, descrivere i moduli (cioè spazi vettoriali) ciclici su $F$.

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$R_R$ come unico modulo ciclico fedele (a meno di isomorfismi) sull'anello commutativo unitario $R$. Moduli semplici (o irriducibili); loro caratterizzazione come moduli ciclici il cui annullatore sia un ideale massimale.

Moduli finitamente generati. Lemma: se $\mathcal C$ è una catena non vuota di sottomoduli di un modulo $M$, allora $V:=\bigcup\mathcal C$ è un sottomodulo di $M$, e se $V$ è finitamente generato allora $V\in\mathcal C$. Come conseguenza: ogni modulo finitamente generato e non nullo ha sottomoduli massimali (anzi, se il modulo $M$ è finitamente generato ed $N$ è un suo sottomodulo proprio, $M$ ha un sottomodulo massimale contenente $N$). Questa è una forma generalizzata del teorema di Krull dell'ideale massimale ed è una delle forme del Lemma di Nakayama (solo come notizia: la validità del teorema di Krull per gli anelli fattoriali è equivalente, in ZF, all'assioma di scelta).

Alcune osservazioni sugli ideali massimali: per ogni anello commutativo unitario $R$, l'unione degli ideali massimali di $R$ coincide con l'insieme degli elementi non invertibili di $R$. Il radicale di Jacobson $\jac(R)$ di una anello commutativo unitario $R$ e sua caratterizzazione: $\jac(R)=\set{a\in R\mid (\forall r\in R)(1_R+ar\in \U(R))}$ (come, ad esempio, in Sharp, Lemma 3.17). Diversi esempi. Osservazione: se $|\U(R)|=1$ allora $\jac(R)=0$. Anelli locali (fare attenzione alla terminologia: in Sharp questi anelli sono chiamati quasi-locali).

Lemma di Nakayama, nella sua formulazione standard (ad esempio, Sharp, 8.24; Atiyah-Macdonald, Prop. 2.6; Cohn, vol. 2, Lemma 4.6 e Corollary 4.7. Nei primi due casi le dimostrazioni sono diverse dalla nostra, gli enunciati palesemente equivalenti).

Esercizi proposti:

1. Siano $a\in R$ e $M\maxid R$ (questo simbolo sta per: $M$ è un ideale massimale di $R$); allora $a\in M\iff (\forall r\in R)(1+ar\notin M)$.
2. Per un insieme finito $S$, quali sono gli ideali dell'anello $\P(S)$? Quali sono quelli massimali?
3. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello $\P(\N)$?
4. Fissato un primo $p$, si provi che l'insieme $\Q_{p'}$ dei numeri razionali della forma $a/b$, dove $a$ e $b$ sono interi e $p$ non divide $b$, costituisce un sottoanello locale del campo razionale. Determinarne l'ideale massimale.
5. Si riguardi $\Q$ come modulo sul suo sottoanello $\Q_{p'}$ definito all'esercizio precedente, definendo l'operazione esterna per restrizione dalla moltiplicazione interna di $\Q$ (vale a dire, definendola come $(q,r)\in\Q\times\Q_{p'}\mapsto qr\in\Q$). Allora $\Q\jac(\Q_{p'})=\Q$. Dedurne che $\Q$ non è finitamente generato come $\Q_{p'}$-modulo e che, nel lemma di Nakayama, l'ipotesi che il modulo sia finitamente generato è essenziale.
6. Descrivere, per ogni intero positivo $n$, il radicale di Jacobson dell'anello $\Z_n$.

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Cambio degli scalari: dato un $R$-modulo $M$ ed un omomorfismo di anelli unitari $\sigma\colon S\to R$, struttura di $S$-modulo su $M$ indotta da $\sigma$. Come caso particolare: struttura di modulo indotta per restrizione ad un sottoanello unitario di $R$. Struttura di $R/H$-modulo su $M$, dove $H$ è un ideale di $R$ contenuto in $\ann_R(M)$. Con riferimento a quest'ultimo caso, gli $(R/H)$-sottomoduli di $M$ sono precisamente gli $R$-sottomoduli di $M$.

Somme e prodotti tra parti di un anello. Associatività della moltiplicazione (tra parti) e distributività rispetto all'addizione (per parti contenenti lo zero). Il monoide moltiplicativo $\I(R)$ degli ideali di un anello commutativo unitario $R$.

Prodotti ed intersezioni tra ideali; ideali comassimali tra loro. Se due ideali $I$ e $J$ sono comassimali con un ideale $H$, allora anche $IJ$ è comassimale con $H$. Per ogni intero positivo $n$, se $H_1, H_2,\dots, H_n$ sono ideali a due a due comassimali, allora $H_1 H_2\cdots H_n=H_1\cap H_2\cap\cdots\cap H_n=$. A titolo di esempio, abbiamo interpretato queste nozioni nell'anello degli interi.

Legge modulare (di Dedekind) per sottomoduli di un modulo. Corollario: se due sottomoduli $A$ e $C$ di un modulo $M$ sono confrontabili ed hanno la stessa somma e la stessa intersezione con un assegnato un sottomodulo di $M$ allora $A=C$.

Lemma di Nakayama in forma forte (NAK). Una delle formulazioni è: se $M$ è un modulo fedele finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale proprio di $R$, allora $MH\ne M$. Un'altra è: se $M$ è un modulo finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale di $R$, allora $MH=M$ se e solo se esiste $h\in H$ tale che $ah=a$ per ogni $a\in M$. Per dimostrarlo abbiamo usato il lemma: se $I$ ed $H$ sono ideali di un anello commutativo unitario $R$ e $a$ è un elemento di un $R$-modulo, allora $aI\subseteq aH$ se e solo se $I\subseteq H+\ann_R(a)$.

Esercizi proposti:

1. Siano $X$ e $Y$ sottoinsiemi di un insieme $S$. Allora $\P(X)$ e $\P(Y)$ sono ideali di $\P(S)$. Calcolarne somma e prodotto.
2. Trovare un esempio, in un opportuno anello commutativo unitario $R$, di ideali $I$ e $J$ tali che $IJ=I\cap J$ ma $I+J\ne R$.

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Somme dirette (esterne) e prodotti diretti tra moduli. Corrispondenti proprietà universali. Nozioni categoriali di prodotto e di coprodotto; unicità, a meno di isomorfismi, di prodotto e coprodotto. Queste nozioni sono discusse, ad esempio, in Sharp, cap. 6, ma meglio in Cohn, vol. 2, sez. 4.1, si veda in particolare pag. 129.

Somma diretta interna di sottomoduli di un modulo; è isomorfa alla somma diretta (esterna).

Moduli liberi. Unicità, a meno di isomorfismi, del modulo libero di assegnato rango su un anello commutativo unitario $R$. Caratterizzazione degli $R$-moduli liberi come somme dirette di copie di $R_R$. Ogni modulo $M$ è isomorfo ad un quoziente di un modulo libero $F$; si può scegliere come base di $F$ un insieme di generatori di $M$, quindi, se $M$ è finitamente generato, anche $F$ può essere scelto finitamente generato. Alcuni esempi. I moduli liberi non nulli sono tutti fedeli; i moduli sui campi sono tutti liberi.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio le costruzioni di somma e prodotto diretto di moduli e le corrispondenti proprietà universali.
2. Verificare che, se $(M_i)_{i\in I}$ è una famiglia di moduli sull'anello commutativo unitario $R$, sia $\prod_{i\in I}M_i$ che $\coprod_{i\in I}M_i$ hanno per annullatore $\bigcap_{i\in I}\ann(M_i)$.
3. Se $a$ e $b$ sono elementi di un modulo $M$, allora $\ann(a+b)\supseteq\ann(a)\cap\ann(b)$. Usare questa oservazione per giustificare il fatto che, in un qualsiasi gruppo abeliano, l'insieme degli elementi periodici è un sottogruppo (notare: un elemento è periodico se e solo se il suo annullatore in $\Z$ non è nullo.)
   Verificare che, detto $\mathbb P$ l'insieme dei numero interi positivi primi, se, per ogni $p\in\mathbb P$, $C_p$ è un gruppo ciclico di ordine $p$, $\coprod_{p\in\mathbb P}C_p$ è il sottogruppo costituito dagli elementi periodici di $\prod_{p\in\mathbb P}C_p$.
4. Provare che per un anello commutativo unitario $R$ sono equivalenti: (1) ogni $R$-modulo non nullo è libero; (2) ogni $R$-modulo non nullo è fedele; (3) $R$ è un campo.
5. Rappresentare il gruppo $V_4$ di Klein ed il gruppo $V_4\oplus\Z$ come quozienti di $\Z$-moduli liberi (si tratta, in entrambi i casi, di scrivere un modulo libero $F$ ed un suo sottomodulo $K$ in modo che $F/K$ sia isomorfo al gruppo dato.)
6. Sia $F$ un modulo libero sull'anello commutativo unitario $R$ e sia $X$ una sua base. Detto $M$ un ideale massimale di $R$, si può riguardare $F/FM$ come spazio vettoriale su $R/M$, per cambio di scalari. Provare che la dimensione di questo spazio è $|X|$. Dedurne che due $R$-moduli liberi isomorfi devono necessariamente avere lo stesso rango.

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Prodotti diretti esterni di anelli e di anelli unitari (commutativi); si tratta di un prodotto in senso categoriale. Fattori del prodotto visti, a meno di isomorfismi, come ideali (tra loro ortogonali, isomorfi a quozienti dell'anello prodotto e principali nel caso degli anelli unitari). Idempotenti canonici in un prodotto diretto di anelli commutativi unitari; moltiplicazione per un idempotente canonico e corrispondente proiezione.

Anelli di funzioni. Per un insieme $S$, isomorfismo tra $(\P(S),\ds,\cap)$ e $\Z_2^S$ (descritto tramite le funzioni caratteristiche).

Somme dirette di anelli (commutativi, in generale non unitari). Nel caso in cui l'insieme di indici sia finito, prodotti diretti (o somme dirette) interni di anelli unitari: sia $R$ un anello commutativo unitario il cui gruppo abeliano è decomponibile in somma diretta finita di ideali di $R$, vale a dire, per $R_R$, in somma diretta interna di sottomoduli. Esistano dunque $n\in\N^+$ e $H_1,H_2,\dots, H_n\n R$ tali che $R_R=H_1\oplus H_2\oplus\cdots\oplus H_n$. Allora ciascuno degli $H_i$ è un anello unitario e $R$ è isomorfo (in modo canonico) al prodotto esterno di anelli unitari $H_1\times H_2\times\cdots\times H_n$. (Viceversa, un prodotto esterno di un numero finito dei anelli unitari si può sempre riguardare come prodotto diretto interno dei "sottoanelli fattori" del prodotto).

Idempotenti in anelli commutativi unitari; idempotenti ortogonali. Se $e$ è un idempotente, anche $1-e$ lo è, ed è ortogonale ad $e$. Corrispondenza tra le fattorizzazioni di $R$ in somma diretta di un numero finito di suoi ideali e decomposizioni della sua unità in somma di idempotenti ortogonali: se $R=H_1\oplus H_2 \oplus\cdots\oplus H_n$, allora $1_R=h_1+h_2+\cdots+h_n$, dove, per ogni $i$, $h_i$ è un idempotente in $H_i$ (generatore, come ideale, e unità, come anello, di $H_i$) ed è ortogonale ad $h_j$ per ogni $j\ne i$; viceversa, se $1_R=\sum_{i=1}^n h_i$, dove, per ogni $i$ e $j$ in $\set{1,2,\dots,n}$, $h_i^2=h_i$ e $h_i h_j=0_R$ se $i\ne j$, allora $R$ è somma diretta degli ideali $h_iR$: $R=h_1R\oplus h_2R \oplus\cdots\oplus h_nR$ (si veda, ad esempio, Cohn, vol. 2, Prop. 5.2.3, tenendo presente che in quel caso sono considerati anche anelli non commutativi). Conseguenza: un anello commutativo unitario è indecomponibile in somma diretta se e solo se è privo di idempotenti non banali. Esempi in quozienti di $\Z$.

Per una famiglia $(H_i)_{i\in I}$ di ideali di un anello commutativo unitario $R$, discussione dell'omomorfismo $\pi\colon R\to \prod_{i\in I}(R/H_i)$ indotto dagli epimorfismi canonici $R\epi R/H_i$, come ad esempio in Atiyah-Macdonald, Proposizione 1.10, ma con qualche dettaglio in più (si vedano le mie note; al momento in cui scrivo l'enunciato rilevante è il Lemma 2.4).

Applicazione importante ai quozienti di $\Z$ e conseguenze aritmetiche: teorema cinese dei resti, moltiplicatività della funzione $\varphi$ di Eulero; metodo di calcolo per quest'ultima. Piccolo teorema di Fermat e Teorema di Fermat-Eulero

Esercizi proposti:

1. Determinare tutti gli elementi idempotenti di $\Z_{12}$.
2. Determinare tutte le decomposizioni in prodotto diretto dell'anello $\Z_{30}$.
3. Assegnato un insieme $S$, si determinino gli elementi idempotenti dell'anello $(\P(S),\ds,\cap)$.
4. Siano $S$ un insieme e $X$ una sua parte. Facendo riferimento all'esercizio precedente e osservando che $1_{\P(S)}-X=1_{\P(S)}\ds X=S\setminus X$, provare che $\P(S)=\P(X)\oplus\P(S\setminus X)$.
5. La somma tra un numero finito di idempotenti tra loro ortogonali è ancora idempotente. Verificarlo ed interpretare questo fatto in termini di decomposizione di un anello commutativo unitario in prodotto diretto.
6. Sia $R=H_1\oplus H_2 \oplus\cdots\oplus H_n$ una somma diretta di un numero finito di anelli commutativi unitari. Provare che ogni ideale $I$ di $R$ ha la forma $I=I_1\oplus I_2\oplus\cdots\oplus I_n$, dove, per ogni $i$, $I_i=IH_i=I\cap H_i$ è un ideale di $H_i$.
7. Utilizzando l'esercizio precedente, descrivere gli ideali massimali e il radicale di Jacobson di un prodotto diretto di un numero finito di anelli commutativi unitari.
8. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo unitario $R$. Provare che se $H^2=H$ allora $H$ è un ideale principale, generato da un idempotente, e quindi $R=H\oplus K$ per un opportuno ideale $K$ (suggerimento: si applichi NAK a $H$.)
9. Calcolare $\varphi(4500)$. Utilizzando questo risultato, calcolare (a mente) il resto di $89^{1201}$ nella divisione per $4500$.
10. Calcolare il resto di $896^{4566}$ nella divisione per $9134$. (Suggerimento: $4567$ è primo, $9134$ è il suo doppio.)
11. Verificare che, per ogni spazio topologico $X$, l'insieme delle funzioni continue da $X$ al campo $\R$ dei reali costituisce un sottoanello unitario dell'anello delle funzioni da $X$ a $\R$. Nell'ipotesi che $X$ sia compatto, descriverne gli ideali massimali (indicazioni su come procedere sono in Sharp, Esercizio 3.18).
12. Verificare, per induzione su $b$, che, se $a$ e $b$ sono interi positivi tali che $a\equiv_b 1$, allora $a^{b^n}\equiv_{b^{n+1}} 1$ per ogni $n\in\N$.
13. Usando l'esercizio precedente, provare che, per ogni $n\in\N$, le classi di $5^{2^n}$ e di $6^{5^n}$ sono elementi idempotenti dell'anello $\Z_{10^{n+1}}$. Suggerimento: nel caso di $5^{2^n}$ questa affermazione equivale a richiedere che $10^{n+1}$ divida $5^{2^{n+1}}-5^{2^n}$, ovvero che $2^{n+1}$ divida $5^{2^n}-1$ (osservazione ulteriore: che quest'ultima relazione valga si può anche far seguire dal teorema di Fermat-Eulero, piuttosto che dal precedente esercizio). Utlilizando anche il fatto che l'anello $\Z_{10^k}$ ha, per ogni intero positivo $k$ una sola decomposizione non banale in somma diretta di ideali, dedurne questa conseguenza (dovuta ad uno studente): per ogni $n\in\N$, $5^{2^n}+6^{5^n}\equiv_{10^{n+1}}1$.

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Condizioni di catena per insiemi ordinati. Moduli artiniani e moduli noetheriani. Anelli artiniani e noetheriani. Diversi esempi. Sottomoduli, quozienti, estensioni (e quindi somme finite) di moduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani). Quozienti di anelli commutativi noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani); l'analogo non vale per sottoanelli.

Caratterizzazione dei moduli (e degli anelli) noetheriani in termini di sottomoduli finitamente generati. Osservazione: un modulo non noetheriano contiene sempre sottomoduli che siano massimali tra quelli non finitamente generati, perché l'insieme dei sottomoduli non finitamente generati è induttivo.

I moduli finitamente generati sugli anelli noetheriani (risp. artiniani) sono noetheriani (risp. artiniani).

Richiami: ideali primi e loro caratterizzazioni elementari. Tra queste (con riferimento ad un anello commutativo $R$): un ideale proprio $P$ di $R$ è primo se e solo se, scelti comunque ideali $I$, $J$ di $R$, se $IJ\subseteq P$ allora $P$ contiene almeno uno tra $I$ e $J$ (basta anche limitarsi al caso in cui $I$ e $J$ contengono $P$).

Un lemma fondamentale: se $H$ è un ideale di un anello commutativo $R$ ed $S$ una parte non vuota di $R$ chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da $H$, allora esistono in $R$ ideali massimali per contenere $H$ ed essere disgiunti da $S$; questi sono necessariamente primi (si confronti con il Teorema 3.44 di Sharp, o il 9.2.2 nel secondo volume di Cohn; l'ipotesi che $R$ sia unitario e $S$ contenga 1 è sovrabbondante).

Esercizi proposti:

1. Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un prodotto diretto $\prod_{i\in I}R_i$ di anelli commutativi unitari? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) l'anello delle parti di un insieme? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un modulo libero?
2. Un modulo $M$ è sia artiniano che noetheriano se e solo se si ottiene per estensioni successive, in numero finito, da moduli semplici, ovvero: se e solo se esistono $n\in\N$ e sottomoduli $H_0, H_1, H_2,\dots ,H_n$ tali che $0=H_0 \lt H_1\lt H_2\lt\cdots \lt H_n=M$ e $H_i/H_{i-1}$ è semplice per ogni $i\in\set{1,2,\dots,n}$.
3. Sia $\theta\colon S\to R$ un omomorfismo di anelli unitari (con $R$ e $S$ commutativi) e sia $M$ un $R$-modulo, visto $M$ anche come $S$-modulo via $\theta$. È vero che se $M$ è artiniano (risp. noetheriano) come $R$-modulo se lo è come $S$-modulo? E viceversa?
4. $\Q$, riguardato come modulo su se stesso, è artiniano e noetheriano; riguardato come modulo su $\Z$ non è né artiniano né noetheriano.
5. Trovare un gruppo abeliano che verifica la condizione massimale sull'insieme dei sottogruppi non finitamente generati ma non la condizione massimale sui sottogruppi.
6. Dimostrare il fatto che in un anello commutativo unitario tutti gli ideali massimali sono primi come applicazione del lemma dimostrato alla fine della lezione. (Suggerimento: il singleton dell'unità dell'anello è una parte chiusa rispetto alla moltiplicazione.)

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In un anello commutativo unitario, un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati (Teorema 8.12 in Sharp). L'ipotesi che l'anello sia unitario è qui essenziale.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario $R$ (Cohn, vol. 2, cap. 5). Omomorfismi di algebre. Algebre unitarie e loro descrizione equivalente tramite l'omomorfismo strutturale. Esempi: anelli (commutativi), visti come $\Z$-algebre; anelli unitari come algebre su se stessi; estensioni di anelli unitari e di campi.

Omomorfismi di algebre unitarie: interpretazione in termini di commutatività di diagrammi. Omomorfismi tra estensioni di campi come omomorfismi di algebre.

Algebre commutative unitarie libere: anelli di polinomi (proprietà universale per gli anelli di polinomi; si veda, ad esempio, Sharp, Lemma 1.13 e, più avanti, 1.16 e 1.17). Unicità; cenno ad una costruzione.

Introduzione al teorema della base di Hilbert (per anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate), con un inquadramento storico. Un lemma per la sua dimostrazione (Lemma 2.7 nelle mie note, appena aggiornate.)

Esercizi proposti:

1. Per un arbitrario insieme $S$, strutturare $\P(S)$ come algebra su $\Z_2$
2. Sia $R$ un anello commutativo unitario di caratteristica $c>0$. Provare che $R$ si può strutturare, in un unico modo, come algebra su $\Z_c$.
3. Effettuare, in dettaglio, la costruzione dell'anello di polinomi a cui si è accennato a lezione.
4. Sappiamo dal corso di Algebra 2 che un campo ottenuto come estensione di un campo $K$ mediante l'aggiunta di un elemento algebrico si può descrivere come quoziente dell'anello dei polinomi $K[x]$ (ad una indeterminata). È un caso? Rifletterci sopra.
5. Sia $R$ una anello commutativo unitario e sia $R[x]$ l'anello dei polinomi ad una indeterminata $x$ su $R$. Provare che l'applicazione $f\in R[x]\mapsto f(0)\in R$ è un omomorfismo suriettivo di anelli unitari. Considerandone immagine e nucleo, provare che $R[x]/(x)\iso R$.
6. Sia $R[X]$ un anello di polinomi costruito sull'anello commutativo unitario $R$ ed un insieme infinito $X$ di indeterminate. Provare che, per ogni $x\in X$, si ha $R[X]/(x)\iso R[X\setminus\set x]\iso R[X]$ e dedurne che $R[X]$ non è noetheriano. Suggerimento: si riguardi l'esercizio precedente.
7. Di ciascuno dei seguenti anelli dire se è artiniano e se è noetheriano: $\Z_{20}[x]$, $\Q[x]/x^2\Q[x]$, il sottoanello $\Z[i]=\set{a+ib\mid a, b\in\Z}$ del campo complesso (questo è l'anello degli interi di Gauss).
8. Sia $K$ un campo e sia $K[X]$ l'anello dei polinomi su $K$ su un insieme infinito di indeterminate. Individuare un ideale di $K[X]$ che sia massimale tra quelli non finitamente generati. Ripetere l'esercizio dopo aver sostituito $\Z$ a $K$.
9. (A proposito del lemma con cui abbiamo concluso la lezione.) Sia $R$ un anello commutativo unitario. Trovare ideali distinti $H$, $K$ di $R[x]$ tali che, per ogni $n\in\N$, l'ideale $C_n(H)$ di $R$ costituito dai coefficienti direttori dei polinomi in $H$ di grado al più $n$ coincida con l'ideale $C_n(K)$ definito in modo analogo a partire da $K$.

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Discussione di alcuni esercizi. Tra questi: un anello dei polinomi su un insieme infinito di indeterminate (su un anello commutativo unitario) non può essere noetheriano (cenni alla proprietà di Hopf). Metodi per la costruzione di ampliamenti di anelli commutativi unitari attraverso anelli di polinomi.

Dimostrazione del teorema della base di Hilbert e ulteriori osservazioni.

L'anello $R[[x]]$ delle serie formali (ad una indeterminata) su un anello commutativo unitario. Il teorema della base per questo anello (dimostrazione da completare).

Esercizi proposti:

1. Un anello (o, in alternativa, un modulo) ha la proprietà di Hopf se e solo se ogni suo endomorfismo suriettivo è un automorfismo.
2. Si dimostri il seguente corollario al teorema della base: se $A$ è un'algebra commutativa unitaria finitamente generata su un anello commutativo unitario noetheriano $R$, allora $A$, come anello, è noetheriano.
3. Sia $A=\bigoplus_{i\in\N}\gen{a_i}$ un gruppo abeliano libero sulla base $\set{a_i\mid i\in\N}$ (dunque, per ogni $i\in\N$, $\gen{a_i}$ è un gruppo ciclico infinito). Si strutturi $A$ come modulo sull'anello di polinomi ad una indeterminata $\Z[x]$ tramite l'omomorfismo di anelli unitari $\Z[x]\to\End(A,+)$ che ad $x$ associa l'endomorfismo di $A$ definito da $a_i\mapsto a_{i+1}$ per ogni $i\in\N$. Si munisca poi $A$ del prodotto costante nullo; $A$ diventa così una $\Z[x]$-algebra non unitaria. Verificare che, come $Z[x]$-algebra, $A$ è generata da un elemento, ma, benché $\Z[x]$ sia noetheriano, $A$ non è un anello noetheriano.

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Discussione di alcuni esercizi. Tra questi: un corollario al teorema dela base di Hilbert.

Dimostrazione del teorema della base per anelli di serie formali di potenze.

Elementi invertibili e radicale di Jacobson in un anello di serie formali di potenze $R[[x]]$. Tale anello è locale se $R$ è locale.

Elementi nilpotenti. Il nil-radicale (o radicale) $\nrad(R)$ di un anello commutativo $R$ e sua descrizione come $\bigcap\spec(R)$. Se $R$ è anche unitario, $\nrad(R)\subseteq\jac(R)$ e, di conseguenza sommando, un elemento invertibile ad uno nilpotente si ottiene un elemento invertibile. Alcuni esempi.

Per un anello commutativo unitario $R$: descrizione degli elementi invertibili, del nilradicale e del radicale di Jacobson (che coincidono) e degli elementi cancellabili in $R[x]$.

Esercizi proposti:

1. Sia, per un intero positivo $n$, $R=R_1\oplus R_2\oplus \cdots \oplus R_n$ un anello commutativo unitario, somma diretta dei suoi sottoanelli $R_1,\dots,R_n$. Utilizzando il fatto (discusso in un precedente esercizio) che tutti gli ideali di $R$ hanno la forma $I_1\oplus I_2\oplus \cdots \oplus I_n$, dove $I_i\n R_i$ per ogni $i$, descrivere gli ideali primi ed il nil-radicale di $R$.
2. Dimostrare per via diretta che la somma tra due elementi nilpotenti in un anello commutativo è necessariamente nilpotente. Se, in un anello commutativo unitario, $a$ è un elemento nilpotente (e $n\in\N$ è tale che $a^n=0$) e $u$ è invertibile, trovare una espressione esplicita per $(u+a)^{-1}$.
3. Trovare, in $\Z[[x]]$, l'inverso del polinomio $1+x+x^2$.
4. Provare che se $R$ è un anello commutativo unitario e $\sum_{n\in\N}a_i x^i$ è un elemento nilpotente di $R[[x]]$ (dove i coefficienti $a_i$ sono in $R$), allora ciascuno degli $a_i$ è nilpotente.
5. Descrivere gli elementi idempotenti nell'anello delle serie formali $R[[x]]$, per un anello commutativo unitario $R$. (Suggerimento: sia $f$ un idempotente in $R[[x]]$; per un intero positivo $t$ opportunamente scelto, si scriva $f$ come $a+bx^t+x^{t+1}g$, dove $a,b\in R$ e $g\in R[[x]]$. Si deduca che $a$ è idempotente e, calcolando il coefficiente $t$-esimo di $f^2$, che $2ab=b$. Se ne ricavi $ab=0$ e quindi $b=0$). Utilizzando questa descrizione, si provi che $R[[x]]$ (ovvero $R[x]$) è indecomponibile in prodotto diretto di anelli se e solo se lo è $R$.
6. Sia $R$ un campo. Provare che ogni elemento non nullo $f$ di $S:=R[[x]]$ si può scrivere come $x^n u$ per un opportuno $n\in\N$ e $u\in\U(S)$, e quindi $fS$=$x^n S$. Dedurne che l'insieme degli ideali non nulli si $S$ è $\set{x^n S\mid n\in\N}$ e quindi $S$ è un anello principale. Meglio ancora: dedurre che $S$ è euclideo.
7. Estendendo quanto visto a lezione, descrivere gli elementi invertibili, nilpotenti, divisori dello zero nell'anello dei polinomi $R[X]$, per un anello commutativo unitario $R$ ed un arbitrario insieme finit$X$ di indeterminate.

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Per un ideale $H$ di un anello commutativo $R$: il radicale $\sqrt H$ e la varietà $\var(H)=\var_R(H)=\set{P\in\spec(R)\mid H\subseteq P}$ di $H$. Alcuni esempi. Cenni al Teorema degli zeri di Hilbert. Se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$. Inoltre, se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$.

Immersione di un'algebra (commutativa) in un'algebra unitaria (si veda la costruzione in uno degli esercizi). Caso particolare: immersione di un anello in un anello unitario (come ideale primo). Discussione generale sulle nozioni di immersione e identificazione per strutture matematiche.

Rapida discussione sui “moduli non unitari” e sulla possibilità di riguardarli come definiti da azioni di moduli ristrette ad un ideale (primo).

Idealizzazione di un modulo.

Ideali primari. Definizione e proprietà essenziali; gli ideali primi sono primari, il radicale di un ideale primario $H$ è necessariamente primo (è quindi il minimo primo contenente $H$). Descrizione degli ideali primari in $\Z$ e nell'anello delle parti di un insieme.

Un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario. Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo: l'ideale generato da $x$ e $y^2$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $x$ e $y$ a coefficienti in un campo.

Esercizi proposti:

1. Sia $f\colon R\to A$ un omomorfismo di anelli (commutativi). Provare che, per ogni $H\n R$, $(\sqrt H)^f\subseteq \sqrt {H^f}$.
2. Sia $P$ un ideale primo di un anello commutativo $R$. Provare che, per ogni intero positivo $n$, $P=\sqrt{P^n}$.
3. Mostrare con un controesempio che, per ideali $I, J$ di un anello commutativo unitario, non si ha sempre $\sqrt {IJ}=\sqrt I \sqrt J$. Suggerimento: si cerchi un anello in cui il nil-radicale $H$ verifica $H^2=0\ne H$.
4. Verificare tutti i dettagli nella costruzione, presentata a lezione, e qui indicata, che permette di immergere ogni algebra in un'algebra unitaria.
   Siano dati un anello commutativo unitario $(R,+,\cdot)$ ed una $R$-algebra (associativa, commutativa, ma non necessariamente unitaria) $(A,+,\cdot)$, con operazione esterna $\bullet$. Sia $(A^*,+)$ la somma diretta esterna $(A,+) \oplus(R,+)$. Inoltre, definiamo in $A^*$ l'operazione binaria $*$ ponendo, per ogni $a,b\in A$ ed ogni $r,s\in R$, $(a,r)*(b,s)=(ab+a\bullet s+b\bullet r,rs)$. Allora $(A^*,+,*)$ è un anello unitario, di unità $(0_A,1_R)$. Inoltre $\rho\colon r\in R\mapsto (0_A,r)\in A^*$ è un monomorfismo di anelli unitari, che struttura $A^*$ come $R$-algebra unitaria, e $\alpha\colon a\in A\mapsto (a,0_R)\in A^*$ è un monomorfismo di $R$-algebre; infine $\im\alpha$ è un ideale di $A^*$ e $A^*/\im\alpha\iso R$.
5. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $A$ e $B$ due $R$-algebre (associative e commutative), $\phi\colon A\to B$ un omomorfismo di $R$-algebre. Costruite le $R$-algebre unitarie $A^*$ e $B^*$ come all'esercizio precedente, verificare che $\phi^*\colon (a,r)\in A^*\mapsto (a^\phi, r)\in B^*$ è un omomorfismo di $R$-algebre unitarie.
   Chi conosce questa terminologia può verificare che le assegnazioni $A\mapsto A^*$ e $\phi\mapsto \phi^*$ definiscono un funtore dalla categoria delle $R$-algebre a quella delle $R$-algebre unitarie.
6. (Sui "moduli non unitari"; a verifica di quanto detto a lezione.) Siano $A$ un anello commutativo e $\theta\colon A\to \End(M,+)$, dove $M$ è un gruppo abeliano. Immerso, secondo la costruzione canonica, $A$ nell'anello unitario $A^*$ (costruito su $A\times\Z$), verificare che $\hat\theta\colon (a,n)\in A^*\mapsto a^\theta+n\id_M\in \End(M,+)$ è un omomorfismo di anelli unitari e definisce, quindi, una struttura di $A^*$-modulo su $M$.
   Si potrebbe anche aggiungere che ogni omomorfismo di $A$-"moduli non unitari" risulta essere un omomorfismo di $A^*$-moduli; abbiamo così un funtore dalla categoria degli $A$-"moduli non unitari" a quella degli $A^*$-moduli, molto facile da descrivere. Quale?
7. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Nell'anello dei polinomi $R[x]$, sia $I$ l'ideale $x^2R[x]$; sia poi $R^*$ l'idealizzazione $R_R\rtimes R$. Verificare che $b+ax+I\in R[x]/I\mapsto (a,b)\in R^*$ è un isomorfismo (di $R$-algebre). Spiegare questo isomorfismo in termini di proprietà universale.
8. Sia $(R_i)_{i\in I}$ una famiglia di anelli commutativi unitari e $R=\prod_{i\in I}R_i$ il suo prodotto diretto. Per ogni $i\in I$, sia $\mu_i$ l'immersione naturale di $R_i$ in $R$ (dunque, per ogni $a\in R_i$, $a^{\mu_i}$ è la famiglia che ha $a$ come $i$-esima componente e tutte le altre componenti zero). Dimostrare che se $H$ è un ideale primario di $R$, esiste al massimo un $i\in I$ tale che $\im\mu_i$ non sia contenuto in $H$. (Suggerimento: utilizzare gli idempotenti canonici di $R$.)
   A questo punto, descrivere gli ideali primari di una somma diretta finita di anelli commutativi unitari.
9. Sia $R$ un anello commutativo unitario, e sia $p$ un suo elemento cancellabile primo. Si verifichi che, per ogni intero positivo $n$, l'ideale $p^n R$ è $pR$-primario.
10. Provare che, in ogni anello principale, gli ideali primari non nulli sono tutti e soli quelli della forma $p^n R$, dove $p$ è un elemento primo ed $n$ un intero positivo.

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Costruzione, in un anello commutativo unitario, di un ideale primo $P$ il cui quadrato $P^2$ non sia primario (un esempio molto simile si trova in Sharp, Esempio 4.12).

Ideali decomponibili (in intersezione finita di primari). Ideali irriducibili (per intersezione). Se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, ogni suo ideale proprio è intersezione finita di ideali irriducibili, e ogni suo ideale irriducibile è primario, quindi: ogni ideale proprio di $R$ è decomponibile. Meglio: se $R$ è un anello commutativo unitario e $R\ne H\n R$, se $R/H$ è noetheriano allora $H$ è decomponibile. Esempi di ideali non decomponibili (nell'anello delle parti di un insieme infinito, più in generale in prodotti diretti di anelli commutativi unitari).

Se $P$ è un ideale primo e $I$ e $J$ sono ideali $P$-primari, allora $I\cap J$ è $P$-primario. Decomposizioni primarie minimali di ideali decomponibili.

Se $Q$ è un ideale $P$-primario di un anello commutativo unitario $R$ ed $a\in R\setminus Q$, allora $(Q:a)$ è $P$-primario (vedi Sharp, 4.14). Descrizione di $(H:a)$ per un ideale decomponibile $H$ di $R$ e $a\in R\setminus H$. L'insieme $\ass(H)$ degli ideali primi associati ad un ideale decomponibile $H$ ed il primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Se $H$ è decomponibile, ogni elemento di $\var(H)$ contiene un elemento di $\ass(H)$. Inoltre, $\bigcup \ass(H)$ e $\bigcap \ass(H)$ sono rispettivamente l'insieme dei divisori dello zero e quello degli elementi nilpotenti modulo $H$.

Esercizi proposti:

1. Ogni ideale primo è $\cap$-irriducibile.
2. Si costruisca un esempio di ideale primario in un anello commutativo unitario noetheriano che non sia $\cap$-irriducibile.
3. Sotto quali condizioni una decomposizione primaria in un anello principale è minimale?
4. Sia $X$ un intervallo compatto non degenere della retta reale e sia $C$ l'anello delle funzioni continue da $X$ a $\R$. Sapendo che gli ideali massimali di $C$ sono tutti e soli gli insiemi $M_a:=\set{f\in C\mid f(a)=0}$ al variare di $a$ in $X$ (si veda un esercizio del 9/10 a questo proposito), dopo aver osservato che per ogni $a,b\in X$, se $a\ne b$ esistono $f\in C\setminus M_a$ e $g\in C\setminus M_b$ tali che $fg=0$, concludere che ogni ideale primario di $C$ è contenuto in esattamente un ideale massimale di $C$ e che, in $C$, l'ideale nullo non è decomponibile.
5. Costruire come segue un esempio di ideale irriducibile non primario in un anello commutativo unitario.

   Siano $p$ un numero naturale primo e $A$ un $p$-gruppo di Prüfer, visto come $\Z$-modulo. Sia $B=A\rtimes \Z$ l'idealizzazione di $A$. Avendo identificato $A$ con l'ideale $A\times\set 0$ di $B$, provare che ogni ideale di $B$ non contenuto in $A$ contiene $A$, e descrivere così l'insieme ordinato degli ideali di $B$. Dedurne che ogni sottogruppo proprio di $A$ costituisce un ideale irriducibile e verificare che nessuno di questi ideali è primario.

   Osservare che il modulo $B_B$ è estensione di un modulo artiniano mediante un modulo noetheriano.

6. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$, decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Scrivere una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.

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Un esempio di ideale, in un anello fattoriale noetheriano, con infinite decomposizioni primarie minimali (è l'ideale $(x^n,xy)$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $K[x,y]$ su un campo $K$, per un qualsiasi intero $n>1$; si vedano gli esempi 4.27 e 4.28 in Sharp). Primi isolati e primi immersi (associati ad un ideale). Enunciato del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali.

Parti sature in un semigruppo commutativo $M$; parte satura generata da un sottoinsieme. La saturazione (sottomonoide saturo generato) di una parte di un monoide commutativo. I complementi di unioni di ideali primi in anelli commutativi sono sottosemigruppi saturi. Nel caso degli anelli unitari vale anche il viceversa: i sottomonoidi (moltiplicativi) saturi di un anello commutativo unitario sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi. Per questo argomento e per quello che segue è possibile fare riferimento alle mie note.

Anelli di frazioni, definiti da una proprietà universale di diagrammi per omomorfismi (di anelli unitari) che invertano un assegnato sottoinsieme $S$ di un anello commutativo unitario $R$ (omomorfismi $S$-inverting). Riduzione al caso in cui $S$ sia un sottomonoide moltiplicativo (saturo). Alcuni esempi banali: il caso in cui $0_R\in S$, quello in cui $R$ è un dominio di integrità e $0\notin S$. Unicità dell'anello di frazioni (a meno di isomorfismi di $R$-algebre unitarie).

Costruzione degli anelli di frazioni su un anello commutativo unitario. L'omomorfismo naturale ed il suo nucleo.

Caratterizzazione delle frazioni che valgono zero, l'unità, che siano invertibili, o divisori delo zero, o nilpotenti in un anello di frazioni.

Se $f\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli unitari (commutativi) e $B\n A$, allora l'antiimmagine di $B$ mediante $f$ è un ideale proprio (in $R$) se e solo se $B$ lo è in $A$; è primo se $B$ lo è in $A$.

Esercizi proposti:

1. Provare che ogni catena non vuota di ideali primi in un anello commutativo unitario $R$ ha sia per unione che per intersezione un ideale primo; dedurne che la varietà di ogni ideale proprio (anche non decomponibile) in $R$ ha elementi minimali.
2. Verificare tutti i dettagli della costruzione degli anelli di frazioni.
3. Sia $S$ una parte di un anello commutativo unitario $R$ e sia $f_S$ l'omomorfismo naturale da $R$ al suo anello di frazioni $S^{-1}R$. Sotto quali condizioni $f_S$ è iniettivo?
4. Siano $n$ un intero positivo, $a\in \Z$ e $S=\set{[a]_n}$. Verificare che $S^{-1}\Z_n\iso\Z_m$, dove $m$ è il massimo divisore di $n$ coprimo con $a$. Suggerimento: ragionare in termini della proprietà universale. Esiste un $\lambda\in\N$ tale che $d=n/m$ divida $a^\lambda$. Se $\varepsilon\colon\Z\epi \Z_n$ è l'epimorfismo canonico e $\phi\colon \Z_n\to A$ è un omomorfismo $S$-inverting (di anelli commutativi unitari), si può dedurre $m\in\ker(\varepsilon\phi)$ da $(dm)^{\varepsilon\phi}=0_A$. Dunque, $\varepsilon\phi$ induce un omomorfismo da $\Z_m$ ad $A$…
5. Siano $S$ un insieme e $T\subseteq S$. Provare che l'anello di frazioni $\set T ^{-1}\P(S)$ è isomorfo a $\P(T)$, con omomorfismo naturale $f_{\set{T}}\colon X\in\P(S)\mapsto X\cap T\in\P(T)$. Suggerimento: se $f\colon \P(S)\to A$ è un omomorfismo $\set T$-inverting di anelli (commutativi) unitari, verificare che $T^f=1_A$ e che $Y^f=0_A$ per ogni parte $Y$ di $S$ disgiunta da $T$. A questo punto, provare che $f=f_{\set{T}} \phi$ se $\phi$ è la restrizione di $f$ a $\P(T)$ e concludere la dimostrazione.
6. Scrivere, in un opportuno anello di frazioni, l'unità come frazione $r/s$ con $r\ne s$.
7. Trovare esempi, in opportuni anelli di frazioni $S^{-1}R$, di frazioni $r/s$ che non siano divisori dello zero, (risp. che siano nilpotenti), benché $r$ sia divisore dello zero (risp. non nilpotente) in $R$.
8. Siano $f\colon R\to A$ è un omomorfismo suriettivo di anelli unitari (commutativi) e $B\n A$. Mostrare che $B$ è primo (rispettivamente, primario) in $A$ se e solo se l'antiimmagine di $B$ mediante $f$ ha la stessa proprietà in $R$.
9. Mostrare che l'enunciato dell'esercizio precedente non vale per abitrari omomorfismi (non suriettivi). Suggerimento: si consideri l'immersione di un dominio di integrità unitario $R$ in un prodotto diretto della forma $R\times S$ per un opportuno anello commutativo unitario $S$.

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Se $f\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli unitari (commutativi), $B\n A$ e $H$ è l'antiimmagine di $B$ mediante $f$ è, allora $\sqrt H$ è l'antiimmagine di $\sqrt B$, se inoltre $B$ è primario (in $R$) se $H$ lo è in $A$.

Per un anello commutativo unitario $R$ ed un suo sottomonoide moltiplicativo $S$, espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo naturale da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. Per $H$ e $K$ ideali di $R$ e $S^{-1}R$ rispettivamente, descrizione esplicita di $K^c$, di $H^e$, di $H^{ec}$. L'applicazione $ce$ è l'applicazione identica in $\I(S^{-1}R)$. Dunque, $c$ è una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ in quello degli ideali di $R$, mentre $e$ è suriettiva. Conseguenza: gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani, principali), sono artiniani (risp. noetheriani, principali). Il nucleo dell'omomorfismo naturale coincide con $0^{ec}$. Si ha $H^e=S^{-1}R\iff H\cap S\ne\vuoto\iff H\cap \hat S\ne \vuoto$, dove $\hat S$ è la saturazione

Con le stesse notazioni, indicando con $\epsilon$ l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\epsilon)^{-1}R^\epsilon$. Se $H$ è un ideale primario di $R$ e $H\cap S=\vuoto$, allora $H^{ec}=H$, $H^e$ è primario, (precisamente $P^e$-primario se $H$ è $P$-primario) ed è primo se $H$ è primo. Dunque, $e$ e $c$ inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra $\set{P\in \spec(R)\mid P\cap S=\vuoto}$ e $\spec(S^{-1}R)$; tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$; per ogni $P\in \spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Terminologia e notazione: se $R$ è un anello commutativo unitario e $P\in \spec(R)$, la localizzazione di $R$ a $P$, cioè $(R\setminus P)^{-1}R$ si indica anche con $R_P$; il suo ideale massimale è $P^e$. Osservazione: il campo residuo di $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo a $Q(R/P)$. Esempio: le localizzazioni di $\Z$ ai suoi ideali massimali; descrizione dei loro ideali.

Il “Prime Avoidance Lemma”. Anelli semilocali e “semilocalizzazioni”.

Esercizi proposti:

1. Sotto quali condizioni l'applicazione contrazione (tra ideali) è suriettiva (ovvero: l'applicazione espansione è iniettiva)?
2. Con le stesse notazioni utilizzate a lezione, dimostrare che vale, per un ideale $H$ di $R$, l'uguaglianza $H=H^{ec}$ se e solo se $H$ è la contrazione di un ideale di $S^{-1}R$.
3. Sia $S$ l'insieme degli interi positivi minori di 10. Descrivere l'anello di frazioni $S^{-1}\Z$ ed i suoi ideali primi.
4. Costruire un esempio di ideale non primario $H$ in un anello commutativo unitario $R$ tale che, in un opportuno anello di frazioni $S^{-1}R$, l'ideale espanso $H^e$ sia primo. (Suggerimento: si può scegliere come $R$ un opportuno quoziente di $\Z$ e come $H$ il suo ideale nullo).
5. Mostrare con un opportuno esempio che il Prime Avoidance Lemma fallisce per unioni infinite di primi. Suggerimento: costruire una successione strettamente crescente di ideali primi.
6. Costruire un esempio di anello commutativo unitario $R$ e di un suo insieme $\P$ di ideali primi con la proprietà che, se $S=R\setminus\bigcup\P$, in $S^{-1}R$ esista un ideale primo non contenuto nell'espansione di alcun elemento di $\P$.
7. Fornire un esempio di dominio di integrità unitario con esattamente cinque ideali primi.

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L'applicazione espansione (in un anello di frazioni) conserva intersezioni finite, prodotti finiti e somme (arbitrarie) tra ideali. L'applicazione contrazione conserva le intersezioni tra ideali.

Decomposizioni primarie in anelli di frazioni: passaggio da una decomposizione primaria minimale di un ideale $H$ a decomposizioni primarie minimali di $H^e$ e $H^{ec}$ (si veda Sharp, pag. 97 e seguenti). Dimostrazione del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali (se $H$ è un ideale decomponibile e $P$ è un primo associato ad $H$ isolato, in ogni decomposizione primaria minimale di $H$ l'ideale $P$-primario che appare nella decomposizione è $H^{ec}$, dove espansione e contrazione sono riferite alla localizzazione di $R$ a $P$).

Anelli commutativi artiniani. Se $R$ è un tale anello, lo spettro di $R$ è finito ed ogni ideale primo di $R$ è massimale, inoltre $\jac R$ è nilpotente.

Due lemmi: (1) se $H$ è un ideale dell'anello commutativo $R$ e $\sqrt H$ è finitamente generato allora $\sqrt H/H$ è nilpotente; (2) se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano.

Teorema di Hopkins-Levitzki per anelli commutativi: un anello commutativo unitario è artiniano se e solo se è noetheriano di dimensione 0.

Esercizi proposti:

1. Siano fissati un anello commutativo unitario $R$ ed un suo sottomonoide moltiplicativo $S$. Provare che, per ogni $H\n R$ e $P\in\spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, si ha $H\subseteq P\iff H^e\subseteq P^e\iff H^{ec}\subseteq P$ (dove ovviamente $e$ e $c$ indicano espansione e contrazione con riferimento all'anello di frazioni $S^{-1}R$). Utilizzando questa osservazione, provare che $\sqrt {H^e}=(\sqrt H)^e$.
2. Costruire un esempio di omomorfismo di anelli unitari commutativi $f\colon R\to A$ e di un ideale $H$ di $R$ tali che $(\sqrt H)^{\vec f}\subset \sqrt{H^{\vec f}}$.
3. Nelle note sono suggeriti, tra gli esercizi, degli esempi che mostrano, tra le altre cose, che la funzione espansione non conserva, in generale, le intersezioni infinite tra ideali e che la contrazione non conserva somme né prodotti. Al momento in cui scrivo, questi esercizi sono quelli tra il 4.C.5 ed il 4.C.9.
4. Se un anello commutativo artiniano $R$ ha un elemento cancellabile $a$, allora $R$ è unitario ed ogni tale $a$ è invertibile.
5. Di ciascuno dei seguenti anelli dire se è artiniano e se è noetheriano: $\Z_{20}[x]$, $\Q[x]/x^2\Q[x]$, il sottoanello $\Z[i]=\set{a+ib\mid a, b\in\Z}$ del campo complesso (questo è l'anello degli interi di Gauss).

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Discussione di alcuni esercizi.

Unicità delle decomposizioni primarie minimali in anelli di caratteristica zero. Struttura degli anelli commutativi unitari artiniani: sono, in modo unico, prodotto diretto di un numero finito di anelli locali.

Il teorema dell'intersezione di Krull (per moduli noetheriani); preceduto dall'osservazione che, per ogni modulo noetheriano $M$ su un anello commutativo unitario $R$, l'anello $R/\ann_R(M)$ è noetheriano.

Un'applicazione: se $J$ è il radicale di Jacobson di un anello commutativo unitario noetheriano $R$, allora $\bigcap\set{J^n\mid n\in\N}=0$. Nel caso in cui $R$ sia anche locale, si ha poi che $R$ è artiniano se e solo se $J^n=0$ per qualche $n\in\N$.

Esercizi proposti:

1. Nell'anello di polinomi $\Q[x]$, si considerino i polinomi $f=x^2+1$ e $g=x^3-2$. Sia $R$ l'anello quoziente $\Q[x]/(f^2g)$. Stabilire se $R$ è o meno artiniano e, nel caso, rappresentarlo come prodotto diretto di anelli locali.
2. Mostrare che ogni anello commutativo unitario noetheriano semilocale in cui il radicale di Jacobson è nilpotente è artiniano. Esibire un esempio di anello commutativo unitario noetheriano ma non artiniano in cui il radicale di Jacobson sia nilpotente.
3. Costruire un esempio di ideale $H$ (in un anello commutativo unitario) tale che $\sqrt H/H$ non sia nilpotente. Lo si può fare in modo che $\sqrt H$ sia l'ideale generato dalle indeterminate (che devono essere infinite) in un anello di polinomi.
4. Dimostrare che, se $R$ è un dominio di integrità unitario noetheriano di dimensione 1 e $0\ne H\n R$, allora $R/H$ è artiniano.
5. Siano $p$ un primo e $A=\bigoplus_{i\in\N^+}\gen{a_i}$, una somma diretta di gruppi ciclici, dove ciascun $a_i$ ha ordine $p^i$. Siano $B=\gen{p^{i-1}a_i-a_1\mid i\in\N^+}$ e $M=A/B$. Posto $R=\Z$ e $H=p\Z$, verificare che $D:=\bigcap\set{MH^n\mid n\in\N}=\gen{a_1+B}\ne 0=DH$. Ciò mostra che il teorema dell'intersezione di Krull non vale necessariamente per moduli che non siano finitamente generati, anche su anelli noetheriani.
6. A proposito di un esercizio dela lezione scorsa: utilizzando le solite notazioni per espansioni e contrazioni da un anello commutativo unitario $R$ ad un suo anello di frazioni $S^{-1}R$, provare che $\sqrt {H^e}=\sqrt H^e$ per ogni $H\n R$ come conseguenza dell'uguaglianza $\sqrt{H^{ec}}=\sqrt{H}^{ec}$ (naturalmente altre dimostrazioni elementari dirette sono anche possibili).

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Discussione approfondita di alcuni esercizi.

Moduli di omomorfismi: per moduli $A$ e $B$ sull'anello commutativo unitario $R$, $\Hom_R(A,B)$, come sottomodulo del prodotto diretto $B^A$. Alcuni esempi: per ogni $R$-modulo $A$, $\Hom_R(R_R,A)\iso A$; se inoltre $(B_i)_{i\in I}$ è una famiglia di $R$-moduli, $\Hom(A,\prod_{i\in I}B_i)\iso \prod_{i\in I}\Hom(A,B_i)$ e $\Hom(\coprod_{i\in I}B_i,A)\iso \prod_{i\in I}\Hom(B_i,A)$ (la verifica di alcuni dettagli è stata lasciata per esercizio).

Complessi di catene (sequenze quasi-esatte); sequenze esatte, sequenze esatte corte (ovvero estensioni di moduli).

Estensioni spezzate di moduli e loro caratterizzazioni (in termini di decomposizione in somma diretta del termine centrale, di esistenza di un mono spezzante, di esistenza di un epi spezzante).

Definizione di categoria, con qualche esempio.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio gli isomorfismi per moduli di omomorfismi presentati a lezione.
2. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $A$ un $R$-modulo e $(B_i)_{i\in I}$ una famiglia di $R$-moduli. Provare che esiste un monomorfismo $\coprod_{i\in I}\Hom_{R}(A,B_i)\mono \Hom_{R}(A,\coprod_{i\in I}B_i)$. In generale, non si ha qui un isomorfismo: un controesempio è al prossimo esercizio.
3. Sia $A$ un gruppo abeliano libero di base numerabile, sia $p$ un numero naturale primo e sia, per ogni $i\in\N$, $B_i$ un gruppo ciclico di ordine $p^i$. Provare che $\coprod_{i\in\N}\Hom_{\Z}(A,B_i)$ è periodico mentre $\Hom_{\Z}(A,\coprod_{i\in\N}B_i)$ non lo è. Concludere che questi due gruppi di omomorfismi non sono isomorfi tra loro. (Suggerimento: date per buone le usuali identificazioni, indicata come $\set{a_i\mid i\in\N}$ (con $a_i\ne a_j$ se $i\ne j$) una base di $A$, esiste un omomorfismo $a\to\coprod_{i\in\N}B_i$ che manda ciascun elemento $a_i$ in un generatore di $B_i$.)
4. Siano $A$ e $B$ due moduli, e sia $C$ un sottomodulo di $A$. Provare che $\set{\alpha\in\Hom(A,B)\mid C\le\ker\alpha}$ è un sottomodulo di $\Hom(A,B)$ isomorfo a $\Hom(A/C,B)$.
5. Indicando, per ogni $i\in\N^+$, con $C_i$ un gruppo ciclico di cardinalità $i$, descrivere $\Hom_\Z(C_2,C_4)$, $\Hom_\Z(C_5,C_4)$ e $\Hom_\Z(C_{7000},\Z)$. Trovare un gruppo abeliano $A$ non isomorfo a $C_2$ tale che $\Hom_\Z(A,C_4)\iso\Hom(C_2,C_4)$.

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Panoramica introduttiva ad alcuni aspetti della teoria delle categorie. Diversi esempi, categorie concrete e non concrete, categoria opposta e dualità; sottocategorie (piene e non piene). Isomorfismi, morfismi mono ed epi; esempi e controesempi.

Oggetti iniziali ed oggetti finali, unicità a meno di isomorfismi. Oggetti zero (cioè oggetti iniziali e finali). Diversi esempi. Alcuni esempi: moduli liberi come oggetti iniziali (in una opportuna categoria); prodotti e coprodotti in categorie arbitrarie come oggetti finali e iniziali. Oggetti finali ed iniziali come prodotti e coprodotti di una famiglia vuota.

Funtori covarianti e controvarianti. Esempi. Per un fissato anello commutativo unitario $R$ ed un $R$-modulo $M$, funtori Hom (dalla categoria degli $R$-moduli in sé) definiti da $M$: quello covariante, $\Hom_R(M,-)$, e quello controvariante $\Hom_R(-,M)$.

Cenno alle categorie additive, a quelle abeliane, ai funtori additivi.

Con le stesse notazioni usate sopra, detto $\alpha$ un omomorfismo di $R$-moduli e $\alpha_*$ la sua immagine in $\Hom_R(M,-)$, descrizione di $\ker\alpha_*$. Se $\alpha$ è mono allora $\alpha_*$ è mono. Nozione di funtore esatto; funtori esatti a sinistra.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello unitario. Si può riguardare $R$ come classe dei morfismi di una categoria preadditiva con un solo oggetto. Questa ha oggetti zero?
2. Verificare che, per ogni anello commutativo unitario $R$, nella categoria degli $R$-moduli i monomorfismi sono precisamente gli omomorfismi iniettivi e gli epimorfismi sono precisamente gli omomorfismi suriettivi.
3. Per un intero $n$ maggiore di 1, si consideri l'epimorfismo canonico $\alpha\colon\Z\epi\Z_n$. Provare che l'immagine di $\alpha$ mediante il funtore $\Hom_\Z(\Z_n,-)$ non è un epimorfismo. Dedurne che $\Hom_\Z(\Z_n,-)$ non è un funtore esatto.
4. Per un anello commutativo unitario $R$, dati un $R$-modulo $M$ ed un omomorfismo $\alpha\colon X\to Y$ di $R$-moduli, indicando con $\alpha^*$ l'immagine di $\alpha$ rispetto al funtore controvariante $\Hom_R(-,M)$, descrivere $\ker\alpha^*$ e provare che $\alpha^*$ è mono se $\alpha$ è epi.

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Complessi di cocatene. Ancora sui funtori esatti: un funtore tra categorie di moduli è esatto se e solo se trasforma sequenze esatte corte in sequenze esatte corte (quindi se e solo se è esatto sia a destra che a sinistra). Esempio di un funtore (covariante, dalla categoria dei gruppi abeliani in sé) che trasforma monomorfismi in monomorfismi ed epimorfismi in epimorfismi ma non è esatto (si veda a questo proposito uno degli esercizi).

Esattezza a sinistra dei funtori Hom covarianti (abbiamo solo enunciato l'analoga proprietà per i funtori Hom controvarianti). In entrambi i casi abbiamo verificato, tramite controesempi, che questi funtori non sono in generale esatti a destra.

Moduli proiettivi e moduli iniettivi. Caratterizzazione dei moduli proiettivi (più o meno come in Cohn, vol. 2, Theorem 4.5.4). Conseguenza: una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Per sottomoduli $A$ e $B$ di uno stesso modulo, estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$. Se $A+B$ è proiettivo, allora $A\oplus B\iso (A\cap B)\oplus(A+B)$, dunque $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo.

Esercizi proposti:

1. Sia $r$ un elemento di un anello commutativo unitario $R$. Estendendo un esempio fatto a lezione, verificare quanto segue. Si definisce un funtore covariante $F_r$ dalla categoria degli $R$-moduli in sé associando ad ogni $R$-modulo $A$ il suo sottomodulo $Ar$, e ad ogni omomorfismo $\alpha\colon A\to B$ di $R$-moduli l'omomorfismo $Ar\to Br$ indotto per restrizione e riduzione da $\alpha$. Questo funtore trasforma monomorfismi in monomorfismi ed epimorfismi in epimorfismi, ma, in generale, non è esatto.
2. Con riferimento all'esercizio precedente, dimostrare che $F_r$ è esatto se e solo se $r^2$ divide $r$ in $R$. Suggerimento: considerare in primo luogo l'estensione di $R$-moduli $rR\immersione R\epi R/rR$.
3. Sfruttando uno degli esercizi della lezione precedente, dimostrare che, per ogni anello commutativo unitario $R$ ed ogni $R$-modulo $M$, il funtore $\Hom(-,M)$ è esatto a sinistra.
4. Siano $R$ un anello commutativo unitario ed $r$ un suo elemento cancellabile. Provare che ogni $R$-modulo iniettivo $M$ è $r$-divisibile, cioè verifica $Mr=M$. (Suggerimento: per ogni $x\in M$ si può considerare un omomorfismo $rR\to M$ che manda $r\in x$; l'iniettività di $M$ consente di estendere questo a $R_R$.) Di conseguenza, se $R$ è un dominio di integrità unitario, ogni $R$-modulo iniettivo è divisibile (cioè $r$-divisibile per ogni $r\in R\setminus 0$).
5. Tutti i moduli liberi non nulli sono fedeli. Vale lo stesso per i moduli proiettivi?
6. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Provare che $R$ è principale se e solo se ogni suo ideale è libero (come $R$-modulo).
7. Sia $F=A\oplus B$ un modulo libero (su un anello commutativo unitario), dove $A$ è un sottomodulo (proiettivo ma) non libero. Posto $F^*=\coprod_{i\in\N} F$, provare che $A\oplus F^*\iso F^*$. Dunque $A$ fornisce un esempio di modulo proiettivo non libero con complemento libero in un modulo libero

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Lemma della base duale.

Ideali frazionari di un dominio di integrità unitario $R$ in un suo campo dei quozienti $K$. Ideali frazionari principali. Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari tutti gli $R$-sottomoduli non nulli di $A$, quindi $A\cap B$, ma anche $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Di conseguenza, gli $R$-sottomoduli non nulli finitamente generati sono ideali frazionari.

Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, il suo inverso è $(R:A)_K$; più in generale, se $B$ ed $A$ sono ideali frazionari e $A$ è invertibile, allora $(B:A)_K=BA^{-1}$. Gli ideali frazionari invertibili sono esattamente quelli proiettivi, inoltre essi sono finitamente generati.

Anelli Di Dedekind: definizione e prime, ovvie, caratterizzazioni.

Richiami e approfondimenti sulla divisibilità nei monoidi commutativi. Preordinamenti e loro massimo quoziente ordinato. Divisibilità come preordinamento, relazione "essere elementi associati" ($\sim$) in un monoide commutativo $M$. Il quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$, come monoide ordinato dalla divisibilità. Se $M$ è fattoriale, $\tilde M$ è un reticolo a condizione minimale.

Esercizi proposti:

1. Leggere la definizione di ideale frazionario fornita in Cohn (vol. 2, pag. 321) e verificare che è equivalente a quella fornita a lezione.
2. Provare che il sottoanello $\Q_{2}=\Z[1/2]$ di $\Q$ non è un ideale frazionario di $\Z$.
3. Costruire, per un opportuno dominio di integrità unitario $R$, un ideale frazionario di $R$ non finitamente generato contenente $R$.
4. Provare che ogni anello principale è di Dedekind.
5. Dando per noto il fatto che l'anello di polinomi $\Z[x]$ è fattoriale e che in esso sia $2$ che $x$ sono irriducibili, mostrare che se $H=(2,x)$ è l'ideale di $\Z[x]$ generato da $\set{2,x}$, si ha $(\Z[x] : H)_{Q(\Z[x])} = \Z[x]$, quindi $H$ non è invertibile (e $\Z[x]$ non è di Dedekind, e $H$ non è principale).
6. Verificare le proprietà menzionate a lezione su: preordinamenti e relazione di associazione; relazione di associazione rispetto alla divisibilità in un monoide commutativo (è una congruenza); con le notazioni usate sopra, la divisibilità nel monoide $\tilde M$ coincide con l'ordinamento indotto dal preordinamento divisibilità in $M$.
7. Verificare in dettaglio come il massimo quoziente ordinato di un insieme preordinato verifichi una proprietà universale e si possa così riguardare come oggetto iniziale di una opportuna categoria.
8. Le note contengono diversi esercizi e osservazioni su questioni di divisibilità e fattorialità. Darci un'occhiata.

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Rapidi commenti su un esercizio.

Ancora sul quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$ (ordinato per divisibilità), di un monoide commutativo rispetto alla relazione 'essere elementi associati'. Se $\tilde M$ è a condizione minimale, in $M$ ogni elemento non invertibile è prodotto di irriducibili. Se $M$ è cancellativo e $\tilde M$ è un reticolo, allora tutti gli irriducibili in $M$ sono primi (cenni al fatto che $\tilde M$ è un reticolo se e solo se è un inf- o un sup-semireticolo). Dunque, se $M$ è cancellativo, $M$ è fattoriale se e solo se $\tilde M$ è un reticolo a condizione minimale.

Alcune applicazioni alla teoria degli anelli commutativi unitari: versioni generali del teorema di Bézout e del suo duale; una dimostrazione del fatto che gli anelli principali sono fattoriali ed hanno dimensione al più 1; identificazione degli ideali principali generati da irriducibili.

Come applicazione ulteriore: se $R$ è un anello di Dedekind, $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale in cui gli irriducibili sono tutti e soli gli ideali primi non nulli, che sono ideali massimali, e la relazione di divisibilità coincide con la duale di quella di inclusione. Dunque: ogni ideale non nullo è prodotto di ideali primi, in modo unico a meno dell'ordine dei fattori. Il gruppo degli ideali frazionari è libero sulla base costituita dagli ideali (interi) primi non nulli.

L'insieme degli ideali non invertibili di un dominio di integrità unitario $R$ ha certamente elementi massimali (rispetto all'inclusione), e questi sono tutti ideali primi. Dunque: $R$ è di Dedekind (risp. principale) se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili (risp. principali). Solo a titolo di notizia: più in generale, per un arbitrario anello commutativo unitario $R$: se ogni ideale primo di $R$ è principale, ogni ideale di $R$ è principale.

Lemma: se $R$ è un anello commutativo ed $H$ è un suo ideale cancellabile rispetto alla moltiplicazione di ideali, $H$ ha, a meno dell'ordine dei fattori, al più una decomposizione come prodotto di ideali primi.

Esercizi proposti:

1. Provare che, in un qualsiasi monoide commutativo $M$, due elementi sono associati se e solo se hanno gli stessi multipli in $M$, ovvero se e solo se hanno gli stessi divisori in $M$.
2. Provare che, in un qualsiasi semigruppo commutativo, l'insieme degli elementi cancellabili costituisce una parte chiusa e satura.
3. Siano $I$ e $J$ due ideali dell'anello di Dedekind $R$. Provare che, nel monoide $\I(R)$, $I+J$ è il massimo comun divisore tra $I$ e $J$. Provare anche che $I$ e $J$ sono coprimi (in $\I(R)$) se e solo se sono comassimali (come ideali). Cosa sappiamo dire sul minimo comune multiplo tra $I$ e $J$?
4. Descrivere gli ideali primari e le decomposizioni primarie negli anelli di Dedekind.

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Nel resoconto di questa lezione, ad eccezione dell'ultimo paragrafo, $R$ indica sempre un dominio di integrità unitario.

Teorema: $R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale (intero) è prodotto di ideali primi. Come conseguenza: gli anelli di frazioni non nulli degli anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Discussione di alcuni esercizi e di alcune proprietà degli ideali di $R$ nel caso in cui $R$ sia di Dedekind: per ogni $I,J\in\I^*(R)$ si ha che $\I(R/I)$ è finito; $I+J$ e $I\cap J$ sono, rispettivamente, l'unico MCD e l'unico mcm tra $I$ e $J$ in $\I^*(R)$, dunque $I$ e $J$ sono comassimali se e solo se sono coprimi in $\I^*(R)$. Ideali primari e decomposizione primaria per ideali di $R$.

Sono equivalenti: (1) $R$ è principale; (2) $R$ è fattoriale e di Dedekind; (3) $R$ è fattoriale e $\dim R\le 1$; (4) ogni ideale di $R$ è principale. Nel corso della dimostrazione si è anche menzionato il fatto che $R$ è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo diverso da zero. Di questo secondo enunciato si è dimostrata solo l'implicazione banale (la necessità della condizione).

Se $R$ è un anello di Dedekind, valgono:

• Se $0\ne H\n R$ e $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$.
• Per ogni $I,J\in\I^*(R)$, esiste $H\n R$ tale che $IH$ sia principale e $J+H=R$.
• Se $R$ è semilocale (che in questo caso equivale a dire: se $\spec (R)$ è finito), allora $R$ è principale.
• Ogni quoziente proprio di $R$ è ad ideali tutti principali. Dunque, per ogni ideale non nullo $H$ di $R$ ed ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=(a,b)$.

Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare tramite MCD. Solo menzione di due esempi di anelli di Bézout non principali (cioè non noetheriani): il sottoanello $\Z+x\Q[x]$ di $\Q[x]$ e l'anello dei numeri complessi interi algebrici.

Anelli di valutazione. Caratterizzazioni elementari; gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Gli anelli locali di Dedekind (vale a dire: le localizzazioni degli anelli di Dedekind) sono di valutazione. Essi sono, precisamente, gli anelli principali di valutazione (anche detti anelli di valutazione discreta). Esempio: le localizazioni $\Q_{p'}$ di $\Z$.

Cenni alla nozione di valutazione (come particolare omomorfismo dal gruppo moltiplicativo di un campo ad un gruppo abeliano totalmente ordinato); anello di una valutazione; questa nozione equivale a quella di anello di valutazione da noi definita. Esempio: valutazioni $p$-adiche in $\Q$ (per primi $p$) e, più in generale, nel campo dei quozienti di un anello fattoriale.

Solo enunciato: sia $K$ un campo e sia $\mathscr S$ l'insieme delle coppie $(A,I)$ tali che $A$ sia un sottoanello di $K$ e $I$ ne sia un ideale proprio. Si ordini $\mathscr S$ per “inclusione componente per componente”. Allora l'unione di ogni catena non vuota di elementi di $\mathscr S$ è in $\mathscr S$. Se $(R,H)\in\mathscr S$, allora esisteranno elementi massimali $(V,M)$ di $\mathscr S$ tali che $R\subseteq V$ e $H\subseteq M$; per ciascuna tale coppia $V$ è un anello di valutazione che ha $K$ come campo dei quozienti e $M$ è il suo ideale massimale.

Interi su un anello (commutativo unitario); interi algebrici. Prime caratterizzazioni elementari. Un elemento invertibile è intero su un anello commutativo unitario $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$. Alcuni esempi. Se $R$ è un anello fattoriale, i soli interi su $R$ in $Q(R)$ sono gli elementi di $R$ (vale a dire, anche se la terminologia non è stata ancora compiutamente introdotta: gli anelli fattoriali sono integralmente chiusi).

Esercizi proposti:

1. Dimostrare il fatto che gli anelli di frazione non nulli degli anelli di Dedekind sono di Dedekind utilizzando direttamente la definizione, provando cioè che tutti i loro ideali non nulli sono invertibili.
2. Sia $R$ un anello fattoriale. Se due qualsiasi elementi irriducibili di $R$ sono associati, allora $R$ è un anello principale locale (cioà un anello di valutazione principale).
3. Dimostrare che gli anelli di Bézout fattoriali sono principali. Suggerimento: si tratta di provare che sono noetheriani, cioè che veriificano la condizione massimale sugli ideali finitamente generati.
4. Verificare la proprietà di chiusura per unioni di catene non vuote dell'insieme $\mathscr S$ che appare in uno dei teoremi enunciati a lezione.

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Discussione di uno degli esercizi proposti: ogni anelli fattoriale di Bézout è principale.

Se $R$ è un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$, per ogni $c\in A$ sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ammette un modulo fedele che è finitamente generato come $R$-modulo. Corollario: se $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, allora $A$ è un ampliamento algebrico di $R$.

Se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. Di conseguenza, se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ è un ampliamento di $R$ e ciascuno dei $c_i$ è algebrico su $A=R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, quindi è un ampliamento intero di $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello. Transitività dell'integralità.

Domini di integrità integralmente chiusi; $\Z[\sqrt 5]$ non lo è. La chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione dei sottoanelli di $K$ contenenti $R$ che siano di valutazione.

Se l'anello commutativo $A$ è un ampliamento intero del suo sottoanello unitario $R$, se $P$ e $Q$ sono due ideali di $R$, $P\subseteq Q$ e $P$ è primo, allora $P\cap R=Q\cap R$ implica $P=Q$; di conseguenza la dimensione di $A$ non eccede quella di $R$ (solo a titolo di notizia: $\dim(A)=\dim(R)$).

Due lemmi: (1) se $R$ è un anello commutativo noetheriano, ogni ideale non nullo di $R$ contiene un prodotto di ideali primi non nulli di $R$. (2) Se $R$ è un dominio di integrità unitario, l'intersezione delle sue localizzazioni ad ideali massimali (realizzate in un fissato campo dei quozienti di $R$) è $R$ stesso.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ (ad un ideale massimale) è di valutazione (principale); (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$.

Campi di numeri e loro anelli degli interi algebrici. Alcune osservazioni: il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Di conseguenza, se $K$ è un campo di numeri e $Z_K$ è il suo anello degli interi algebrici, allora $K=Q(Z_K)$ (quindi $Z_K$ è integralmente chiuso) e $K$ ha una $\Q$-base costituita da interi algebrici. Inoltre, $\dim Z_K=1$.

Descrizione dell'anello degli interi di un'estensione quadratica (cioè di grado 2) di $\Q$; la dimostrazione è ancora da completare.

Esercizi proposti:

1. Provare che ogni anello di valutazione è integralmente chiuso.
2. Sia $A$ un dominio di integrità unitario, ampliamento intero del suo sottoanello unitario $R$. Provare che $A$ è un campo se e solo se $R$ è un campo. (Suggerimenti in alternativa: se $R$ è un campo e $M\maxid A$, allora $M\cap R=0$… Oppure: si possono usare risultati elementari della teoria dei campi, lavorando in $Q(A)$.)
3. Verificare che, come accennato a lezione, l'anello degli interi di un campo di numeri non può essere un campo.

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Dimostrazione del teorema che descrive l'anello degli interi di un'estensione quadratica di $\Q$.

Richiami di alcune nozioni di teoria dei campi e di teoria di Galois. Relativamente ad un campo di numeri $K$: gli omomorfismi da $K$ alla sua chiusura normale; il discriminante di una base di $K$: è un numero razionale non nullo, intero se la base è costituita da interi algebrici. Una base di $K$ per la quale il discriminante assume, in valore assoluto, il valore minimo possibile è necessariamente una base intera (ovvero, genera $(Z_K,+)$). Dunque: l'anello degli interi di un campo di numeri $K$ ha per gruppo additivo un gruppo abeliano libero di rango $[K:\Q]$. Come conseguenza: l'anello degli interi algebrici di ogni campo di numeri è un anello di Dedekind.

Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind e sua importanza in questioni di fattorialità. (Solo enunciati dei) teoremi di Kummer e di Claborn a questo riguardo (il gruppo delle classi di $Z_K$ è finito, per ogni campo di numeri $K$, è totalmente arbitrario per anelli di Dedekind arbitrari). Enunciato del teorema degli invertibili di Dirichlet e, come conseguenza, struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.

Norma e traccia in un campo di numeri $K$. Norma e divisibilità in $Z_K$: l'unico elemento di norma 0 è 0; se $a,b\in Z_K$e $a$ divide $b$ in $Z_K$ allora $N_K(a)$ divide $N_K(b)$ in $\Z$ e, in ogni caso, $a$ divide $N_K(a)$ in $Z_K$. Di conseguenza gli elementi di norma $\pm 1$ sono esattamente quelli invertibili; gli elementi di norma un intero primo $\ne 0$ sono irriducibili.

Alcune notizie sulla fattorialità o meno degli anelli degli interi delle estensioni quadratiche di $\Q$.

Con le stesse notazioni di sopra, ogni quoziente proprio di $Z_K$ è finito. Se $0\ne a\in Z_K$, allora $|Z_K/aZ_K|=|N_K(a)|$, lo abbiamo verificato solo nel caso in cui $a\in\Z$ (per il caso generale si veda uno degli esercizi).

Un esempio di fattorizzazione di ideali in prodotto di ideali primi: quella dell'ideale generato da $6$ in $\Z[\sqrt{-5}]=Z_{\Q(\sqrt{-5})}$. Confronto tra fattorizzazione di elementi e fattorizzazione di ideali.

Esercizi proposti:

1. Verificare che se $d$ è un intero minore di $-3$ l'anello degli interi di $\Q(\sqrt d)$ ha solo $1$ e $-1$ come elementi invertibili. Determinare gli invertibili dello stesso anello nei casi $d=-1$, $d=-2$ e $d=-3$.
2. Siano $I$ e $J$ ideali (interi) non nulli di un anello di Dedekind $R$. Provare che $I/IJ$ è isomorfo, come $R$-modulo, a $R/J$. (Suggerimento: $M:=I/IJ$ è ciclico, quindi isomorfo $R/\ann_R(M)$…). Dedurne che $|R/IJ|=|R/I|\cdot|R/J|$.
3. Se $K$ è un campo di numeri e $Z_K$ ne è l'anello degli interi, provare che $|Z_K/aZ_K|=|N_K(a)|$ per ogni $a\in Z_K\setminus 0$, ragionando nel modo seguente: se $S$ è l'insieme dei monomorfismi da $K$ in $\C$, dunque $n:=|S|=[K:\Q]$, e $\ell=N_K(a)$, allora già sappiamo che $|Z_K/\ell Z_K|=|N_K(\ell)|=|\ell^n|$. A questo punto, osservare che $\ell Z_K$ è il prodotto degli ideali principali $a^\sigma Z_K$ al variare di $\sigma$ in $S$ ed utilizzare l'esercizio precedente per arrivare alla conclusione.
4. Fornire un esempio di anello di Dedekind (magari principale) che abbia un quoziente proprio infinito.
5. Verificare che, come accennato a lezione, in $\Z[\sqrt{-5}]$, se $\alpha=1+\sqrt{-5}$, l'ideale generato da $\alpha$ è il prodotto degli ideali primi $(2,\alpha)$ e $(3,\alpha)$.
6. Fattorizzare in prodotto di ideali primi l'ideale generato da 18 nell'anello $\Z[\sqrt{-17}]$ degli interi algebrici di $\Q[\sqrt{-17}]$ e descrivere quindi le fattorizzazioni di 18 in prodotto di elementi irriducibili. Partire dall'osservazione che 18 è la norma di $1+\sqrt{-17}$.