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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento. Origini e ruolo dell'algebra commutativa.

Richiami sugli anelli; anelli commutativi; anelli unitari: omomorfismi di anelli unitari, sottoanelli unitari e non. Esempi. Cenni alle algebre universali ed alle categorie.

L'anello $(\P(S),\ds,\cap)$ delle parti di un insieme $S$. Se $T\subset S$, $\P(T)$ è un sottoanello di $\P(S)$, che è unitario come anello ma non come sottoanello di $\P(S)$; l'immersione di $\P(T)$ in $\P(S)$ è un esempio di monomorfismo di anelli tra anelli (commutativi) unitari che non è un omomorfismo di anelli unitari.

Premoduli su un anello commutativo e moduli su un anello commutativo unitario. Esempi (spazi vettoriali; il premodulo $R_R$, cioè l'anello commutativo $R$ visto come premodulo su sé stesso, i gruppi abeliani come moduli su $\Z$; gruppi abeliani come premoduli su un qualsiasi anello commutativo con moltiplicazione esterna costante nulla).

Esercizi proposti:

1. Trovare, nell'anello $\Z_{10}$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $\Z_{10}$ (Suggerimento: partire da $[5]_{10}$).
2. Nell'anello delle parti di $\N$, l'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale?

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Operazioni puntuali. L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Azioni di premodulo ed azioni di moduli e definizione alternativa di moduli e premoduli: fissati un anello commutativo $R$ ed un gruppo abeliano $M$, biezione canonica tra l'insieme degli omomorfismi di anelli (rispettivamente, di anelli unitari) $R\to \End M$ e l'insieme delle operazioni esterne $M\times R\to R$ che strutturano $M$ come $R$-premodulo (risp. $R$-modulo). Osservazioni sulla segnatura di un (pre)modulo e caratterizzazione dei sottomoduli.

Unicità dell'azione di $\Z$-modulo su un fissato gruppo abeliano.

Alcune regole di calcolo elementari nei premoduli.

Annullatori. Moduli fedeli. Alcuni metodi per il cambio dell'anello degli scalari di un premodulo.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli.
3. Decidere se il gruppo ciclico di ordine $8$ può essere riguardato come modulo sull'anello $\Z_4$.
4. Chiamiamo iniziale ogni anello unitario $S$ con questa proprietà: per ogni anello unitario $R$ esiste uno ed un solo omomorfismo di anelli unitari $S\to R$. Abbiamo visto a lezione che $\Z$ è iniziale; provare che ogni anello unitario iniziale è isomorfo a $\Z$. Suggerimento: se $S$ è iniziale esistono, e sono unici, omomorfismi di anelli unitari $\Z\to S$, $\Z \to \Z$, $S\to \Z$ e $S\to S$.
5. Sia $A$ un gruppo abeliano. Riguardato $A$ come modulo su $\Z$, come si può descrivere nella terminologia della teoria dei gruppi l'annullatore di $A$?
   Si trovino esplicitamente gli annullatori (in $\Z$) dei seguenti gruppi abeliani: $(\Z,+)$, $\Z\oplus C_{8}$, $C_{8}\oplus C_{10}$, $\bigoplus_{n\in\N^+}C_n$, dove $N^+=\N\setminus\set 0$ e, per ogni $n\in\N^+$, $C_n$ è un gruppo ciclico di ordine $n$.
6. Siano $R$ un anello commutativo ed $M$ un $R$-premodulo. Allora:
   • se $X\subseteq Y\subseteq M$, $\ann_R(X)\supseteq\ann_R(Y)$;
   • per ogni famiglia $(X_i)_{i\in I}$ di parti di $M$ si ha $\ann_R(\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}\ann_R(X_i)$.
7. Fissato un anello commutativo $R$, sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra $R$-premoduli. Provare che $\ann_R(A)\subseteq \ann_R(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo di $R$-premoduli, provare che $\ann_R(A)\supseteq \ann_R(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.
8. Siano $M$ un premodulo sull'anello commutativo $R$ e $H$ un ideale di $R$ contenuto in $\ann_R(M)$. In quale semplice modo si può rendere $M$ un $R/H$-premodulo in modo che gli insiemi degli $R$-sottopremoduli e degli $R/H$-sottopremoduli di $M$ coincidano?

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Discussione di un esercizio; ancora sul cambio degli scalari.

Dati un premodulo $M$ sull'anello commutativo $R$, prodotti tra parti di $M$ e di $R$ (e, come caso particolare, prodotti tra parti di $R$). Somme tra parti di $M$. Moduli e sottopremoduli generati. Il reticolo dei sottopremoduli di un premodulo.

Legge modulare di Dedekind e suo corollario (due sottopremoduli confrontabili coincidono se hanno stessa intersezione e stessa somma con un assegnato sottopremodulo).

Congruenze nei premoduli e quozienti di premoduli. I teoremi di corrispondenza e di omomorfismo per premoduli (con dimostrazioni lasciate per esercizio).

Premoduli ciclici. Caratterizzazione dei moduli ciclici su un fissato anello commutativo unitario.

Gli argomenti trattati finora sono in una bozza (parziale) di note. Sono graditissime le segnalazioni di sviste, errori di battuta ed altri commenti.

Esercizi proposti:

1. Dimostrare i teoremi di omomorfismo e di corrispondenza per premoduli.
2. Facendo riferimento all'esercizio discusso a lezione, si riguardi l'insieme delle parti di $\N$, con l'operazione di differenza simmetrica come operazione binaria interna, come modulo su $\Z_8$, e se ne individui l'annullatore in $\Z_8$.
3. Nell'anello delle parti di $\Z$, scrivere il prodotto tra l'ideale $\P(\N)$ e l'ideale costituito dalle parti finite di $\Z$ (sono ideali, vero?).
4. Siano $R$ un anello commutativo, $M$ un $R$-premodulo, $X,Y\subseteq M$ e $S,T\subseteq R$. Provare:
   • $(XS)T=X(ST)$;
   • $(X+Y)S\subseteq XS+YS$;
   • se $0_M\in X\cap Y$, allora $(X+Y)S=XS+YS$.
   Mostrare con un esempio che nella seconda formula può non valere l'uguaglianza.
5. Sia $X$ una parte del premodulo $M$ sull'anello commutativo $R$. Provare che $XR$ è un sottopremodulo di $M$ e che il sottopremodulo di $M$ generato da $X$ è $XR+\gen X$, dove $\gen X$ è il sottogruppo generato da $X$ in $(M,+)$.

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Premoduli e moduli semplici. Esempi. Caratterizzazioni.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario. sottoalgebre ed omomorfismi di algebre. Diversi esempi. Algebre unitarie. Omomorfismo di struttura di un'algebra unitaria e, per fissati anelli commutativi unitari $R$ ed $A$, biezione canonica tra l'insieme degli omomorfismi di anelli unitari $R\to A$ e l'insieme delle operazioni esterne che strutturano $A$ come $R$-algebra unitaria. Caratterizzazione degli omomorfismi di algebre unitarie in termini degli omomorfismi di struttura.

Estensioni di campi come algebre.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria: costruzione.

Esercizi proposti:

1. Verificare i dettagli mancanti nella costruzione dell'algebra unitaria in cui immergere un'algebra assegnata vista a lezione.
2. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $A$ e $B$ due $R$-algebre (associative e commutative), $\phi\colon A\to B$ un omomorfismo di $R$-algebre. Costruite, come fatto a lezione, le $R$-algebre unitarie $A_1$ e $B_1$ in cui immergere $A$ e $B$, verificare che $\phi_1\colon (a,r)\in A_1\mapsto (a^\phi, r)\in B_1$ è un omomorfismo di $R$-algebre unitarie.
   Chi conosce questa terminologia può verificare che le assegnazioni $A\mapsto A_1$ e $\phi\mapsto \phi_1$ definiscono un funtore dalla categoria delle $R$-algebre a quella delle $R$-algebre unitarie.
3. Siano $a=[2]_4$ e $A$ l'ideale generato da $a$ nell'anello $\Z_4$. Verificare che $A$ si può riguardare in un unico modo come algebra (non unitaria) su $\Z_2$. Immergere poi $A$ in una $\Z_2$-algebra unitaria $A_1$ e scrivere esplicitamente le tavole di addizione e moltiplicazione (interna) di $A_1$.
4. Sia $S$ un insieme tale che $|S|=3$. Quali sono gli interi positivi $n$ tali che l'anello $\P(S)$ possa essere strutturato come $\Z_n$-algebra? E in quanti modi? (Probabilmente questo esercizio è troppo difficile per ora, potrebbe convenire metterlo da parte.)

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Completamento della discussione sull'immersione di un'algebra $A$ in un'algebra unitaria: l'algebra accresciuta definita da $A$. Rapido cenno al funtore definito da questa costruzione. Come caso particolare: anello accresciuto definito da un anello commutativo (ogni anello commutativo $A$ è ideale (primo) di un anello commutativo unitario $A_1$ tale che $A_1/A\iso \Z$).

Siano $R$ un anello commutativo; $R_1$ l'anello accresciuto da questo definito; $S$ un anello unitario (non necessariamente commutativo). Allora, detti rispettivamente $H(R,S)$ e $H_1(R_1,S)$ gli insiemi degli omomorfismi di anelli da $R$ a $S$ e di anelli unitari da $R_1$ a $S$, l'applicazione che ad ogni $\varphi\in H_1(R_1,S)$ associa la restrizione di $\varphi$ a $R$, appartenente ad $H(R,S)$ è biettiva. Di conseguenza abbiamo, per ogn fissato gruppo abeliano $M$, una biezione tra le strutture di $R$-premodulo e quelle di $R_1$-modulo su $M$. Equivalenza tra lo studio degli $R$-premoduli e quello degli $R_1$-moduli (conservazione delle nozioni di sottostruttura e di omomorfismo). Un esempio: caratterizzazione degli $R$-premoduli ciclici.

Breve discussione generale sulla nozione di identificazione in matematica.

Altra applicazione delle algebre accresciute: idealizzazione di un premodulo.

Fare riferimento, per questi argomenti, alla nuova versione della bozza (parziale) di note. Continuano ad essere graditissimi commenti e segnalazioni di errori: almeno mostrate di averne letto qualche pagina. Questa versione contiene anche un capitolo sulla divisibilità che certamente non tratteremo per intero nel corso, ma dalla quale consiglio di leggere, per ora, le piccola sezione 2.1.1 sui reticoli.

Esercizi proposti:

1. Ridiscutere la descrizione del sottopremodulo generato da una parte di un premodulo alla luce dei contenuti delle lezione di oggi.
2. Descrivere esplicitamente (specificando elementi e operazioni) l'anello accresciuto $(2\Z)_1$ definito dall'anello non unitario $2\Z$.
3. Svolgere l'esercizio che nella versione corrente delle note è il numero 1.J.4 e riguarda l'algebra accresciuta definita da $\Z_2$, visto come algebra su sé stesso, e l'idealizzazione di un gruppo di ordine 2 visto come modulo su $\Z_2$.

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Premoduli e moduli finitamente generati. Un'osservazione di carattere generale: questi sono precisamente i compatti del reticolo dei sotto(pre)moduli di un modulo. Due lemmi: (1) l'unione di una catena non vuota di sottopremoduli è un sottopremodulo e, se finitamente generata, è il massimo della catena; (2) un premodulo finitamente generato e non nullo ha sempre sottopremoduli massimali (o, equivalentemente, quozienti semplici).

Il radicale di Jacobson $\jac(R)$ di un anello commutativo $R$. Se $R$ è unitario, $\jac(R)$ è l'insieme degli elementi di $R$ che annullano ogni $R$-modulo semplice; descrizione dell'analogo insieme nel caso non unitario.

Lemma di Nakayama nella sua forma classica (debole): se $R$ è un anello comutativo unitario e $M$ un $R$-modulo finitamente generato, allora $M=0$ se e solo se $M\jac(R)=M$.

Moduli e premoduli liberi. Discussione generale sugli oggetti liberi in una categoria, con diversi esempi. Unicità a meno di isomorfismi dei (pre)moduli liberi su una base di fissata cardinalità. Ogni (pre)modulo generato da una sua parte $X$ è isomorfo ad un quoziente di un (pre)modulo libero su $X$. Esemplificazione: il caso dei moduli ciclici.

Esercizi proposti:

1. Calcolare il radicale di Jacobson dell'anello delle parti di un insieme $S$ (suggerimento: per ogni $x\in S$, $\P(S\setminus\set x)$ è un ideale massimale).
2. Abbiamo visto a lezione che $\jac(\Z)$ è l'ideale nullo di $\Z$. Provare a descrivere $\jac(\Z_n)$ per un arbitario $n\in\Z$. In quali casi questo è nullo? In quali casi $\jac(\Z_n)$ è massimale in $\Z_n$?
3. Per il lemma di Nakayama, come riportato qui, quanto è rilevante l'ipotesi che $R$ sia unitario e $M$ un $R$-modulo e non solo un $R$-premodulo?
4. Sia $M$ un (pre)modulo finitamente generato sull'anello commutativo $R$ e sia $N\le_R M$. Supponiamo $M=N+M\jac(R)$. Che conclusione possiamo trarre su $N$?

15/10

Altre proprietà dei (pre)moduli liberi. I (pre)moduli liberi su un anello commutativo $R$ sono precisamente i moduli liberi sull'anello accresciuto definito da $R$. Se $\sigma$ è un'applicazione universale nella categoria dei (pre)moduli su un anello commutativo, ogni composta $f\sigma\alpha$ dove $f$ è un'applicazione biettiva e $\alpha$ un isomorfismo di (pre)moduli è ancora universale. Dimostrazione 'a priori' del fatto che se $(\sigma, F)$ descrive un (pre)modulo libero allora $\im f$ genera $F$. Si è usato il lemma: se $\alpha$ e $\beta$ sono omomorfismi da un premodulo $M$ ad un premodulo $N$ e $M$ è generato da una sua parte $X$, allora $\alpha=\beta$ se e solo se $\alpha$ e $\beta$ hanno la stessa restrizione a $X$.

Prodotto diretto e somma diretta esterna di una famiglia di moduli o premoduli. Proiezioni ed immersioni canoniche. Somme dirette interne di (pre)moduli; caratterizzazioni; corrispondenza tra somme dirette esterne e somme dirette interne.

Esistenza e costruzione dei moduli liberi su un anello commutativo unitario $R$ su una base arbitraria come somme dirette esterne di copie di $R_R$. Di conseguenza: esistenza e descrizione dei premoduli liberi. Ulteriori conseguenze; se $F$ è un (pre)modulo libero non nullo con applicazione universale $\sigma$, allora $F$ è fedele e $\sigma$ è iniettiva, quindi si può riguardare $F$ come (pre)modulo libero su $\im\sigma\subseteq F$

Lemma: se $R$ è un anello commutativo ed $a\in R$, allora $R=aR$ se e solo se $R$ è unitario e $a$ è invertibile. Caratterizzazione degli ideali massimali in un anello commutativo $R$ come gli ideali $H$ tali che $R/H$ sia un campo oppure $R^2\subseteq H$ e $|R/H|$ è un numero primo.

Appena possibile aggiornerò il file delle note al corso con l'aggiunta di nuovi capitoli che coprano il materiale di cui stiamo parlando. Fatto.

Esercizi proposti:

1. Dimostrare, senza far uso della descrizione esplicita dei moduli liberi, il fatto che se $F$ è un modulo libero con applicazione universale $\sigma$ allora l'immagine di $\sigma$ genera $F$, ragionando secondo queste linee: detto $F'$ il sottomodulo di $F$ generato da $\im\sigma$, posto $M=F/F'$ e detta $c$ l'applicazione costante $0_M$ da $X$ a $M$, esiste un unico omomorfismo $\varphi\colon F\to M$ tale che $\sigma\varphi=c$. …
2. Provare che se $R$ è un anello commutativo unitario, $H\maxid R$ e $F$ è un $R$-modulo libero su una base $X$, allora $F/FH$ è (via cambio di scalari mod $H$) un $R/H$ modulo libero con base $X$, quindi uno spazio vettoriale di dimensione $|X|$ su $R/H$. Dedurne che se $F$ e $G$ sono $R$-moduli liberi su basi, rispettivamente, $X$ e $Y$, allora $F\iso G$ se e solo se $|X|=|Y|$.

18/10

In un anello commutativo unitario $R$ l'unione degli ideali massimali ha per complemento il gruppo degli invertibili; di conseguenza il radicale di Jacobson è l'insieme degli elementi $a$ tali che $1+aR$ sia costituito da elementi invertibili. Alcune conseguenze sul numero degli invertibili in un anello commutativo unitario.

Operazioni (somma, prodotto, divisione) tra parti ed ideali di un anello commutativo (la divisione è stata definita anche in premoduli) e loro proprietà. Caratterizzazioni degli ideali primi in termini di queste.

Ideali comassimali tra loro. Se due ideali $I$ e $J$ sono comassimali con un ideale $H$, allora anche $IJ$ è comassimale con $H$. Per ogni intero positivo $n$, se $H_1, H_2,\dots, H_n$ sono ideali a due a due comassimali, allora $H_1 H_2\cdots H_n=H_1\cap H_2\cap\cdots\cap H_n=$. A titolo di esempio, abbiamo interpretato queste nozioni nell'anello degli interi.

Lemma di Nakayama in forma forte (NAK) per premoduli (come nelle note).

Esercizi proposti:

1. Dimostrare che se $M$ è un premodulo su un anello commutativo $R$, $I$ un insieme, $N\le_R M$, $X\subseteq M$, per ogni $i\in I$, $X_i\subseteq M$ e $N_i\le_R M$, allora, si ha $(N:\bigcup_{i\in I}X_i)_R=\bigcap_{i\in I}(N:X_i)_R$ e $(\bigcap_{i\in I} N_i:X)_R=\bigcap_{i\in I} (N_i:X)_R$. Inoltre, se $H\n R$ e $a,b\in R$, allora $(H:a)\subseteq (H:ab)$.
2. Costruire un esempio di ideali distinti $I,J$ in un anello commutativo unitario tali che $IJ\subset I\cap J$ ed un esempio in cui valga invece $IJ= I\cap J$ pur non essendo $I$ e $J$ comassimali.
3. Spiegare perché, basandosi sui contenuti della lezione di oggi, è possibile concludere che il radicale di Jacobson dell'anello dei polinomi ad una indeterminata sul campo $\Z_{17}$ è sicuramente nullo.
4. Trovare un esempio di anello commutativo unitario il cui radicale di Jacobson abbia esattamente 17 elementi.
5. Per il lemma di Nakayama in qualsiasi sua forma è necessaria l'ipotesi che il (pre)modulo coinvolto sia finitamente generato. Trovare dei contresempi a questo proposito.

22/10

Osservazioni supplementari sulle diverse versioni già viste del lemma di Nakayama. Controesempi ed un corollario (se $M$ è un premodulo finitamente generato su un anello commutativo $R$ e $H$ è un ideale proprio di $R$, allora $MH < M$)

Nozione generale (categoriale) di prodotto e di coprodotto di una famiglia; unicità a meno di isomorfismi. Nel caso dei (pre)moduli su un anello commutativo, il prodotto è descritti dal prodotto diretto ed il coprodotto dalla somma diretta.

Lemma: se, in un anello commutativo $R$, $S$ è una parte non vuota che sia chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da un prefissato ideale $H$, allora l'insieme degli ideali di $R$ contenenti $H$ e disgiunti da $S$ è induttivo ed i suoi elementi massimali sono ideali primi.

Elementi nilpotenti in un anello commutativo $R$. L'insieme da essi costituito è il nilradicale $\nrad(R)$ dell'anello: l'intersezione dello spettro (l'insieme $\spec(R)$ degli ideali primi) di $R$. Alcuni esempi. Conseguenze: se $R$ è unitario $\nrad(R)\subseteq \jac(R)$; se $a$ è un elemento nilpotente e $u$ un elemento invertibile di $R$, allora $a+u$ è invertibile.

Anelli (commutativi) locali; loro caratterizzazione come anelli commutativi unitari in cui gli elementi non nilpotenti costituiscono un ideale. Un esempio importate: per ogni primo $p$, il sottoanello $\Q_{p'}=\set{a/b\mid a\in\Z\land b\in\Z\setminus p\Z}$ di $\Q$ è locale.

Esercizi proposti:

1. Descrivere e confrontare tra loro il radicale di Jacobson ed il nilradicale in un arbitrario quoziente di $\Z$.
2. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $M$ un $R$-modulo e $S=M\rtimes R$ la sua idealizzazione. Provare che $\jac(S)=M+\jac(R)$. Costruire un esempio di anello commutativo unitario $R$ tale che $0\ne \nrad(R)\ne\jac(R)$.
3. Dimostrare per via diretta che la somma tra due elementi nilpotenti in un anello commutativo è necessariamente nilpotente. Se, in un anello commutativo unitario, $a$ è un elemento nilpotente (e $n\in\N$ è tale che $a^n=0$) e $u$ è invertibile, trovare un'espressione esplicita per $(u+a)^{-1}$.
4. Tra i quozienti di $\Z$, quali sono gli anelli locali?
5. Verificare, per ogni primo $p$, che $\Q_{p'}$ è un anello fattoriale in cui ogni elemento irriducibile è associato a $p$. Dedurne che ogni suo elemento diverso da 0 ha la forma $up^n$ per opportuni $u\in\U(\Q_{p'})$ e $n\in\N$, l'insieme dei suoi ideali è totalmente ordinato per inclusione (descrivendo esplicitamente gli ideali) e $\Q_{p'}$ è euclideo.

25/10

Richiami su elementi nilpotenti e nilradicale. La varietà ed il radicale di un ideale in un anello commutativo $R$. Prime proprietà e diversi esempi. Se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$. Inoltre, se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$.

Prodotti diretti e somme dirette (esterne) di anelli e di algebre. I prodotti diretti di anelli o di anelli unitari, o di algebre, descrivono i prodotti nelle corrispondenti categorie. Anelli di funzioni.

Somme dirette interne di anelli; loro caratterizzazione. Corrispondenza tra somme dirette esterne e somme dirette interne. Le somme dirette di infiniti anelli non nulli sono unioni di ideali propri e non sono mai unitarie. Descrizione degli ideali, degli ideali massimali e del radicale di Jacobson di una somma diretta di anelli unitari.

Esercizi proposti:

1. Descrivere per un arbitrario $n\in\Z$, il radicale di $n\Z$ in $\Z$.
2. Verificare in dettaglio che i prodotti diretti di anelli o di anelli unitari descrivono i prodotti delle corrispondenti categorie.
3. (Per chi ha familiarità con la nozione di coprodotto) Sia $R$ un anello somma diretta di suoi ideali $A$ e $B$ isomorfi, come anelli, a $\Z$, con isomorfismi $\alpha\colon A\to \Z$ e $\beta\colon B\to \Z$. Mostrare che non esistono omomorfismi di anelli $R\to\Z$ che abbiano sia $\alpha$ che $\beta$ come restrizioni. Dedurne che le somma dirette di anelli commutativi non descrivono, in generale, coprodotti.
4. Verificare in dettaglio l'isomorfismo tra l'anello delle parti di un arbtrario insieme $X$ e l'anello di funzioni $\Z_2^X$ che è stato menzionato a lezione.
5. Sia l'anello commutativo $R$ una somma diretta di suoi ideali: $R=\bigoplus_{i\in N}H_i$. Descrivere, nell'ipotesi che ciascuno degli $H_i$ sia $\nrad(R)$ in termini dei nilradicali degli ideali $H_i$, gli ideali primi di $R$ e, per ogni ideale $H\n R$, il radicale di $H$ in $R$.
6. Sia $R=\prod_{i\in I} R_i$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari. Provare che $\U(R)=\prod_{i\in I} \U(R_i)$ (inteso come prodotto diretto di gruppi abeliani) e quindi $\jac(R)=\prod_{i\in I} \jac(R_i)$.
7. Provare che se l'anello commutativo $R=\bigoplus_{i\in N}H_i$ è una arbitraria somma diretta di suoi ideali $H_i$, si ha $\jac(R)=\bigoplus_{i\in N}H_i$.
8. Costruire un esempio di anello commutativo $R$ tale che $\jac(R)$ e $\nrad(R)$ non siano confrontabili.

29/10

Ulteriori osservazioni sui prodotti diretti di anelli unitari.

Elementi idempotenti in un anello commutativo unitario $R$; idempotenti ortogonali. Se $e$ è un idempotente, anche $1_R-e$ lo è, ed è ortogonale ad $e$. Corrispondenza tra le fattorizzazioni di $R$ in somma diretta di un numero finito di suoi ideali e decomposizioni della sua unità in somma di idempotenti ortogonali. Qualche esempio ed un'applicazione al caso dei quozienti di $\Z$.

Omomorfismi $M\to\prod_{i\in I}M/N_i$ e $R\to\prod_{i\in I}R/H_i$ indotti dagli epimorfismi canonici, dove $M$ è un premodulo e $(N_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi sottopremoduli, o $R$ è un anello commutativo unitario e $(H_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi ideali. Nel caso degli anelli (ovvero $R$-algebre), condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la suriettività. Come applicazioni all'anello degli interi: teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione di Eulero.

Algebre (associative, commutative) unitarie libere: anelli di polinomi (introduzione all'argomento, con esemplificazione sul caso degli anelli dei polinomi ad una indeterminata).

Esercizi proposti:

1. Verificare, che se $R=\prod_{i\in I}R_i$ è, un prodotto diretto di anelli commutativi unitari, $\jac(R)=\prod_{i\in I}\jac(R_i)$, utilizzando il risultato analogo per $\U(R)$.
2. Verificare che se l'unitè di un anello commutativo unitario è somma di un numero finito di elementi dell'anello a due a due ortogonali: $1_R=\sum_{i\in I}r_i$, dove $I$ è finito e $r_ir_j=0_r$ per ogni $i\in I$ e $j\in I\setminus\set i$, allora gli elementi $r_i$ sono tutti idempotenti.
3. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo $R$. Rivolgere un pensiero a Nakayama e provare che se $H^2=H$, allora $H=eR=eH$ per un opportuno elemento idempotente $e\in H$ (quindi $H$ è principale e, come anello, unitario) e $R=H\oplus K$ per un opportuno $K\n R$.
4. In $\Z_{60}$, scrivere l'unità $[1]_{60}$ come somma di tre idempotenti non banali.
5. Verificare che se $p$ è un intero positivo primo e $n\in\N^+$, l'immagine $\varphi(p^n)$ di $p^n$ mediante la funzione di Eulero è $(p-1)p^{n-1}$. Calcolare $\varphi(10000)$.

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Discussione non dettagliata sulla costruzione, per un fissato anello commutativo unitario $R$, della $R$-algebra (associativa, commutativa) unitaria libera su un insieme $X$.

Discussione sull'importanza degli anelli di polinomi. Esempi su come ottenere ampliamenti di anelli commutativi unitari come quozienti di anelli di polinomi.

Terminologia essenziale e alcune proprietà degli anelli di polinomi: se $R$ è un anello commutativo unitario, isomorfismi $R[X\cup Y]\iso (R[X])[Y]$ e $R[X\cup Y]/(Y)\iso R[X]$ (quelli indicati sono anelli di polinomi negli indicati insiemi di indeterminate); se $R$ è un dominio di integrità anche $R[X]$ lo è e $\U(R[X])=\U(R)$. Senza dimostrazione: nel caso generale, se $f\in R[X]$, $f$ è invertibile se e solo se il suo termine noto è invertibile e tutti gli altri suoi coefficienti sono nilpotenti. Abbiamo però dimostrato questa conseguenza: se $x\in X$ allora sono equivalenti: $f$ è nilpotente; $1+xf$ è invertibile; ogni coefficiente di $f$ è nilpotente. Ulteriore conseguenza: se $X\ne\vuoto$, $\jac(R[X])=\nrad(R[X])$.

Esercizi proposti:

1. Verificare i dettagli della costruzione di un'algebra unitaria libera proposta a lezione (e nelle note).
2. Per un insieme $S$, determinare gli elementi invertibili nell'anello $\P(S)[x]$ degli anelli di polinomi ad una indeterminata, $x$, sull'anello delle parti di $S$, e determinare poi $\jac(\P(S)[x])$.
3. Descrivere, nell'anello di polinomi $\Z_6[x]$, elementi invertibili di grado arbitrariamente alto.

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Una proprietà, non dimostrata, dell'anello di polinomi $R[X]$ sull'anello commutativo unitario $R$ in un insieme di indeterminate $X$: se $S\sseq R[X]$ e $\ann_{R[X]}(S)\ne 0$, allora $\ann_{R}(S)\ne 0$. In particolare: se $f$ è un divisore dello zero in $R[X]$ esiste un $r\in R\setminus 0$ tale che $rf=0$.

Con le stesse notazioni: se $p\in R$, $p$ è primo in $R$ se e solo se $p$ è primo in $R[X]$. Teorema: $R[X]$ è fattoriale se e solo se lo è $R$. Nel corso delle dimostrazione di questo teorema sono state introdotte, con riferimento a polinomi ad una indeterminata $x$ su un anello fattoriale $R$, le nozioni di polinomio primitivo e di contenuto di un polinomio; sono stati dimostrate varie proprietà dei polinomi primitivi (tra cui: il prodotto tra due polinomi primitivi è sempre primitivo, se $f$ è un polinomio primitivo e $g$ un suo multiplo in $Q(R)[x]$ che appartenga a $R[x]$, allora $g$ è multiplo di $f$ in $R[x]$) e sono stati caratterizzati i polinomi irriducibili in $R[x]$. Esempi.

Introduzione alle condizoni di catena.

Esercizi proposti:

1. Nell'anello di polinomi $\Z_8[x]$ si determini $\ann_{\Z_8[x]}([2]_8x)$.
2. Siano $R$ un anello fattoriale $K$ il suo campo dei quozienti, $R[x]$ e $K[x]$ anelli di polinomi ad una indeterminata. Si provi che se $f\in R[x]$ e $g,h\in K[x]$ sono tali che $f=gh$, allora esistono $g_1, h_1\in R[x]$ tali che $f=g_1 h_1$ e, in $K[x]$, $g_1$ e $h_1$ siano associati rispettivamente a $g$ e $h$.
3. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Si provi che se l'anello di polinomi $R[x]$ ad una indeterminata è principale, se e solo se $R$ è un campo. Suggerimenti a riguardo sono in un esercizio nelle note.
4. Sia $f$ il polinomio $80x^5-20x^3+120x^2-30\in\Z[x]$. Dopo aver verificato che $1/2$ e $-1/2$ sono radici di $f$, si decomponga $f$ come prodotto di polinomi irriducibili in $\Z[x]$.
5. L'insieme $\N$ ordinato per divisibilità verifica la condizione minimale? E quella massimale?

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Condizioni di catena (minimale e massimale). Definizioni tramite proprietà tra loro equivalenti. (Pre)moduli artiniani e (pre)moduli noetheriani. Anelli (commutativi) artiniani e noetheriani. Vari esempi. Sottomoduli, quozienti, estensioni (e quindi somme finite) di moduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani). Somme dirette (e quindi prodotti diretti) di famiglie infinite di (pre)moduli non nulli non possono essere né artiniani né noetheriani. Caratterizzazione dei premoduli che sono contemporaneamente artiniani e noetheriani come quelli dotati di una serie finita a fattori semplici. Osservazioni sulla persistenza o meno delle condizioni di catena per (pre)moduli in caso di cambio dell'anello degli scalari.

Esempi: un anello artiniano ($\Q$) con un sottoanello unitario ($\Z$) non artiniano; un anello commutativo unitario $R$ artiniano e noetheriano con un ideale che, come anello, non è né artiniano né noetheriano.

Premoduli ed anelli hopfiani e co-hopfiani. Quelli noetheriani sono hopfiani, quelli artiniani sono co-hopfiani. Gli anelli di polinomi su un insieme infinito di indeterminate non sono hopfiani, quindi non sono noetheriani.

Caratterizzazione dei (pre)moduli e degli anelli (commutativi) artiniani in termini di sottomoduli finitamente generati. Osservazione: un (pre)modulo non noetheriano contiene sempre sotto(pre)moduli che siano massimali tra quelli non finitamente generati, perché l'insieme dei sotto(pre)moduli non finitamente generati è induttivo.

In un anello commutativo unitario, un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati. L'ipotesi che l'anello sia unitario è qui essenziale.

Aggiornerò il file delle note appena possibile. Fatto!

Esercizi proposti:

1. La classe degli anelli (commutativi) artiniani (risp. noetheriani) è chiusa per quozienti.
2. Verificare questa ulteriore proprietà di chiusura: se $A$ e $B$ sono sotto(pre)moduli di un (pre)modulo $M$ e sia $M/A$ che $M/B$ sono artiniani (risp. noetheriani), allora $M/(A\cap B)$ ha la stessa proprietà.
3. Siano $R$ un anello commutativo e $H\n R$. Verificare che $R/H$ è artiniano (o noetheriano) come anello se e solo se lo è come $R$-premodulo.
4. Sia $R$ un anello commutativo noetheriano e sia $R_1$ l'anello accresciuto definito da $R$. Verificare che $R_1$ è noetheriano. Vale l'analogo enunciato per l'artinianità?
5. Si verifichi che un (pre)modulo è hopfiano se e solo se tutti i suoi endomorfismi suriettivi sono automorfismi. Si enunci e verifichi anche la condizione analoga per i (pre)moduli co-hopfiani.
6. Gli anelli principali sono ovviamente noetheriani. E gli anelli fattoriali?
7. Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $a\in R$. Provare che se $R/aR$ è artiniano, o noetheriano, per ogni $n\in\N^+$ anche $R/a^nR$ lo è. Questo generalizza un esempio visto a lezione.

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Sia $R$ un anello commutativo noetheriano. Se $M$ è un $R$-premodulo, allora $M$ è noetheriano se e solo se è finitamente generato.

Il teorema della base di Hilbert (per anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate), con rapido inquadramento storico ed un cenno ad una sua interpretazione geometrica (ed al teorema degli zeri di Hilbert). Un corollario: se $A$ è un'algebra unitaria finitamente generata su un anello commutativo unitario noetheriano $R$, allora $A$, come anello, è noetheriano. È essenziale richiedere che $A$ sia unitaria; lo abbiamo visto con un controesempio.

Anelli artiniani. Sia $R$ un anello commutativo artiniano. Se $R$ ha un elemento cancellabile $a$ allora $R$ è unitario e $a$ è invertibile; se $R$ è integro, allora $R$ è un campo; gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali e l'insieme degli ideali massimali di $R$ è finito; inoltre il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente. Lemma: se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano. Gli anelli commutativi unitari artiniani sono noetheriani (risultato che non vale per anelli non unitari).

Esercizi proposti:

1. $\Z_2[x]$ èun anello artiniano?
2. Sotto queli condizioni l'anello delle parti di un insieme è artiniano?
3. Dimostrare che se $R$ è un anello commutativo unitario artiniano infinito, allora $R$ ha un sottogruppo massimale di indice infinito.

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Ideali primari. Definizione, esempi (descrizione degli ideali primari in $\Z$), varie caratterizzazioni e proprietà essenziali: gli ideali primi sono primari gli ideali propri il cui radicale sia l'intero anello sono primari (in questo caso l'anello non è unitario), il radicale di un ideale primario $H$ è o l'intero anello oppure primo (in questo caso è quindi il minimo primo contenente $H$). L'intersezione tra due ideali primari con lo stesso radicale è ancora primario (ed ha ancora lo stesso radicale).

In un anello commutativo unitario, un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario. Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo: l'ideale generato da $x$ e $y^2$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $x$ e $y$ a coefficienti in un campo.

Discussione sui metodi di costruzione di controesempi, esemplificato su quella di un anello commutativo unitario (noetheriano) con un ideale primo $P$ il cui quadrato $P^2$ non sia primario.

Decomposizioni primarie e ideali decomponibili (in intersezione finita di primari). Decomposizoni primarie minimali; ogni ideale decomponibile ne ha una; alcuni esempi.

Esercizi proposti:

1. Provare che se $R$ è un anello principale gli ideali primari di $R$ sono tutte e sole le potenze (ad esponente positivo) degli ideali primi.
2. Sia $R$ un anello commutativo e sia $p$ un suo elemento cancellabile tale che $pR$ sia primo. Si verifichi che, per ogni intero positivo $n$, l'ideale $p^n R$ è $pR$-primario.
3. Se $R=K\times M$ è il prodotto diretto di un campo $K$ per un anello $M$ tale che $M^2=0\ne M$, provare che l'ideale nullo di $R$ ha l'deale massimale $M$ come radicale ma non è primario.
4. Provare che gli ideali primari nell'anello delle parti di un insieme $S$ sono tutti e soli i suoi ideali massimali. Dedurne che gli ideali decomponibili di $\P(S)$ hanno indice finito e quindi, ad esempio, se $S$ è infinito, l'ideale nullo non è decomponibile in $\P(S)$.
5. Sia $(R_i)_{i\in I}$ una famiglia di anelli commutativi unitari e $R=\prod_{i\in I}R_i$ il suo prodotto diretto. Per ogni $i\in I$, sia $\mu_i$ l'immersione canonica di $R_i$ in $R$. Dimostrare che se $H$ è un ideale primario di $R$, esiste al massimo un $i\in I$ tale che $\im\mu_i$ non sia contenuto in $H$. (Suggerimento: utilizzare gli idempotenti canonici di $R$.) Usare questo fatto per costruire esempi di ideali non decomponibili.
   Descrivere gli ideali primari di una somma diretta finita di anelli commutativi unitari.

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Un esercizio dalla lezione precedente: nell'anello delle parti di un qualsiasi insieme gli ideali primari sono massimali di indice 2; di conseguenza gli ideali decomponibili hanno indice finito.

Ideali irriducibili per intersezione (o $\cap$-irriducibili). Sia $R$ un anello commutativo noetheriano. Allora ogni ideale $\cap$-irriducibile di $R$ è primario; inoltre ogni ideale proprio di $R$ è intersezione di un insieme finito di ideali $\cap$-irriducibili, quindi è decomponibile.

Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie (per anelli non necessariamente unitari). Ideali associati ad un ideale decomponibile (primi se propri); ideali isolati ed ideali immersi. Secondo teorema di unicità.

Un esempio di ideale, in un anello commutativo unitario noetheriano (e fattoriale) con infinite decomposizioni primarie minimali.

Esercizi proposti:

1. Si costruisca un esempio di ideale primario in un anello commutativo unitario noetheriano che non sia $\cap$-irriducibile.
2. Sotto quali condizioni l'intersezione tra due ideali primari è un ideale primario?
3. Sia $X$ un intervallo compatto non degenere della retta reale e sia $C$ l'anello delle funzioni continue da $X$ a $\R$. Dando per noto (o, magari, dopo aver dimostrato) che gli ideali massimali di $C$ sono tutti e soli gli insiemi $M_a:=\set{f\in C\mid f(a)=0}$ al variare di $a$ in $X$, dopo aver osservato che per ogni $a,b\in X$, se $a\ne b$ esistono $f\in C\setminus M_a$ e $g\in C\setminus M_b$ tali che $fg=0$, concludere che ogni ideale primario di $C$ è contenuto in esattamente un ideale massimale di $C$ e che, in $C$, l'ideale nullo non è decomponibile.
4. Costruire come segue un esempio di ideale irriducibile non primario in un anello commutativo unitario.

   Siano $p$ un numero naturale primo e $A$ un $p$-gruppo di Prüfer, visto come $\Z$-modulo. Sia $B=A\rtimes \Z$ l'idealizzazione di $A$. Avendo identificato $A$ con l'ideale $A\times\set 0$ di $B$, provare che ogni ideale di $B$ non contenuto in $A$ contiene $A$, e descrivere così l'insieme ordinato degli ideali di $B$. Dedurne che ogni sottogruppo proprio di $A$ costituisce un ideale irriducibile e verificare che nessuno di questi ideali è primario.

   Osservare che il modulo $B_B$ è estensione di un modulo artiniano mediante un modulo noetheriano.

5. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$, decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Trovare una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.

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Se $H$ è un ideale decomponibile in un anello commutativo $R$, ogni primo in $\var(H)$ contiene un ideale primo associato ad $H$, quindi gli elementi minimali di $\var(H)$ sono tutti e soli gli ideali primi isolati associati ad $H$. La loro intersezione è $\sqrt H$; abbiamo menzionato (ma lasciato al più come esercizio) il fatto che $\bigcup\ass(H)$ è invece l'insieme degli elementi che sono divisori dello zero modulo $H$.

Lemma: un ideale finitamente generato costituito da elementi nilpotenti è necessariamente nilpotente. Teorema: Sia $R$ un anello commutativo unitario. Allora $R$ è artiniano se e solo se è noetheriano e di dimensione zero. (La necessità delle condizione era già stata dimostrata). Inoltre un tale anello è, in modo unico a meno dell'ordine dei sommandi, somma diretta di un numero finito di ideali che, come anelli, sono locali.

Il teorema dell'intersezione di Krull (per premoduli noetheriani); preceduto dall'osservazione che, per ogni premodulo noetheriano $M$ su un anello commutativo $R$, l'anello $R/\ann_R(M)$ è noetheriano.

Un'applicazione: se $R$ è un anello commutativo locale con ideale massimale $M$, allora $\bigcap\set{M^n\mid n\in\N}=0$, e $R$ è artiniano se e solo se $M$ è nilpotente.

Esercizi proposti:

1. Verificare che in un anello commutativo unitario che sia o di dimensione zero oppure integro e di dimensione 1 gli ideali decomponibili hanno esattamente una decomposizione primaria minimale.
2. Costruire un esempio di ideale $H$ (in un anello commutativo unitario) tale che $\sqrt H/H$ non sia nilpotente. Lo si può fare in modo che $\sqrt H$ sia l'ideale generato dalle indeterminate (che devono essere costituire un insieme infinito) in un anello di polinomi.
3. Nell'anello di polinomi $\Q[x]$, si considerino i polinomi $f=x^2+1$ e $g=x^3-2$. Sia $R$ l'anello quoziente $\Q[x]/(f^2g)$. Stabilire se $R$ è o meno artiniano e, nel caso, rappresentarlo come prodotto diretto di anelli locali.
4. Provare che se $J$ è il radicale di Jacobson di un anello commutativo $R$, allora $\bigcap\set{J^n\mid n\in\N}=0$.
5. Partendo dall'esercizio precedente, mostrare che ogni anello commutativo noetheriano unitario semilocale (cioè con solo un numero finito di ideali massimali) in cui il radicale di Jacobson è nilpotente è artiniano. Esibire un esempio di anello commutativo unitario noetheriano ma non artiniano in cui il radicale di Jacobson sia nilpotente.
6. Dimostrare che, se $R$ è un dominio di integrità unitario noetheriano di dimensione 1 e $0\ne H\n R$, allora $R/H$ è artiniano.
7. Siano $p$ un primo e $A=\bigoplus_{i\in\N^+}\gen{a_i}$, una somma diretta di gruppi ciclici, dove ciascun $a_i$ ha ordine $p^i$. Siano $B=\gen{p^{i-1}a_i-a_1\mid i\in\N^+}$ e $M=A/B$. Posto $R=\Z$ e $H=p\Z$, verificare che $I:=\bigcap\set{MH^n\mid n\in\N}=\gen{a_1+B}\ne 0=IH$. Ciò mostra che il teorema dell'intersezione di Krull non vale necessariamente per moduli che non siano finitamente generati, anche su anelli noetheriani.

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Parti sature in un semigruppo commutativo $M$; esempi (tra i quali i complementi degli ideali); parte satura generata da un sottoinsieme. La saturazione (parte chiusa e satura generata) di una parte di un semigruppo commutativo. Nel semigruppo moltiplicativo di un anello commutativo $R$, le parti chiuse e sature sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Per una parte non vuota $S$ di un anello commutativo $R$, omomorfismi $S$-inversivi (di dominio $R$). Anello di frazioni $S^{-1}R$ e corrispondente omomorfismo $S$-inversivo universale $R\to S^{-1}R$ (definiti, a meno di isomorfismi, da questa proprietà: per ogni omomorfismo $S$-inversivo $g$ esiste un unico omomorfismo $\varphi$ di anelli tale che $g=f_S \varphi$).

Due osservazioni: (1) se $\varphi\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli tra due anelli (commutativi) unitari, allora $\varphi$ è un omomorfismo di anelli unitari se e solo se $\im\varphi$ ha almeno un elemento cancellabile in $A$; (2) un omomorfismo di anelli di dominio $R$ è $S$-inversivo se e solo se è $S^\bullet$-inversivo, dove $S^\bullet$ è la parte chiusa generata da $S$ in $(R,\cdot)$ o anche se e solo se è $\hat S$-inversivo, dove $\hat S$ ne è la saturazione. Conseguenze: le nozioni di anello di frazioni e di omomorfismo inversivo universale relative ad $S$ coincidono con quelle relative a $S^\cdot$ o a $\hat S$, e non variano se vengono riferite ad omomorfisi di anelli unitari piuttosto che di anelli.

Costruzione dell'anello $S^{-1}R$ e dell'omomorfismo $f_S$. Quasi tutte le verifiche sono state lasciate per esercizio. Nucleo di $f_S$ e descrizione delle frazioni $r/s$ che siano lo zero, l'unità o un elemento invertibile di $S^{-1}R$. Osservazione: $r/s$ è associato a $r/s$. Se $r/s$ è un divisore dello zero in $S^{-1}R$, $r$ lo è in $R$.

L'antiimmagine di un ideale $B$ mediante un omomorfismo è un ideale, ed primo (risp. primario) se è proprio e $B$ è primo (risp. primario). Inoltre l'antiimmagine del radicale di $B$ è il radicale dell'antiimmagine del radicale di $B$.

Esercizi proposti:

1. Nel monoide $(\P(\Z),\cap)$ determinare la saturazione di $\set{\set{1,2,3},2\Z}$
2. Completare in dettaglio le verifiche relative alla costruzione degli anelli di frazioni.
3. Dimostrare che, con le notazioni usate in questo resoconto, $r/s$ è un elemento di $S^{-1}R$, allora $r/s$ è un divisore dello zero in $S^{-1}R$ se e solo se $x+\ker f_S$ lo è in $R/\ker f_S$.
4. Verificare, usando direttamente la definizione, che se $R=\Z_{100}$ e $S=\set{[8]_{100}}$ allora $S^{-1}R$ è isomorfo a $\Z_{25}.$
5. Siano $S$ un insieme e $T\subseteq S$. Provare che l'anello di frazioni $\set T ^{-1}\P(S)$ è isomorfo a $\P(T)$, con omomorfismo universale $\set T$-inversivo $f_{\set{T}}\colon X\in\P(S)\mapsto X\cap T\in\P(T)$. Suggerimento: se $f\colon \P(S)\to A$ è un omomorfismo $\set T$-inversivo di anelli (commutativi), verificare che $T^f=1_A$ e che $Y^f=0_A$ per ogni parte $Y$ di $S$ disgiunta da $T$. A questo punto, provare che $f=f_{\set{T}} \varphi$ se $\varphi$ è la restrizione di $f$ a $\P(T)$ e concludere la dimostrazione.
6. Scrivere, in un opportuno anello di frazioni, l'unità come frazione $r/s$ con $r\ne s$.

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Per un anello commutativo $R$ ed un suo sottosemigruppo moltiplicativo $S$, espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo universale $S$-inversivo da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. L'applicazione $ce$ è l'applicazione identica in $\I(S^{-1}R)$. Dunque, $c$ è una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ in quello degli ideali di $R$, mentre $e$ è suriettiva. Conseguenza: gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani, principali), sono artiniani (risp. noetheriani, principali). Descrizione esplicita di $H^e$, di $H^{ec}$ per un ideale $H\n R$; si ha poi $H^e\ne S^{-1}R\iff H\cap S=\vuoto\iff (\sqrt H)^e \ne S^{-1}R$.

Con le stesse notazioni, indicando con $\epsilon$ l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\epsilon)^{-1}R^\epsilon$. Se $H$ è un ideale primario di $R$ e $H\cap S=\vuoto$, allora $H^{ec}=H$, $H^e$ è primario, (precisamente $P^e$-primario se $H$ è $P$-primario) ed è primo se $H$ è primo. Dunque, $e$ e $c$ inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$; tra $\set{P\in \spec(R)\mid P\cap S=\vuoto}$ e $\spec(S^{-1}R)$; per ogni $P\in \spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Terminologia e notazione: se $R$ è un anello commutativo unitario e $P\in \spec(R)$, la localizzazione di $R$ a $P$, cioè $(R\setminus P)^{-1}R$ si indica anche con $R_P$; il suo ideale massimale è $P^e$. Osservazione: il campo residuo di $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo a $Q(R/P)$. Esempio: le localizzazioni di $\Z$ ai suoi ideali massimali; descrizione dei loro ideali.

Il “Prime Avoidance Lemma”. Anelli semilocali e “semilocalizzazioni”.

L'applicazione espansione (in un anello di frazioni) conserva intersezioni finite e somme (arbitrarie) tra ideali. L'applicazione contrazione conserva le intersezioni tra ideali.

Decomposizioni primarie in anelli di frazioni: passaggio da una decomposizione primaria minimale di un ideale $H$ a decomposizioni primarie minimali di $H^e$ e $H^{ec}$. Come applicazione: dimostrazione alternativa del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali (se $H$ è un ideale decomponibile e $P$ è un primo associato ad $H$ isolato, in ogni decomposizione primaria minimale di $H$ l'ideale $P$-primario che appare nella decomposizione è $H^{ec}$, dove espansione e contrazione sono riferite alla localizzazione di $R$ a $P$).

Estensioni di moduli, come sequenze esatte corte.

Esercizi proposti:

1. Siano fissati un anello commutativo $R$ ed un suo sottosemigruppo moltiplicativo $S$. Provare che, per ogni $H\n R$ e $P\in\spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, si ha $H\subseteq P\iff H^e\subseteq P^e\iff H^{ec}\subseteq P$ (dove ovviamente $e$ e $c$ indicano espansione e contrazione con riferimento all'anello di frazioni $S^{-1}R$).
2. Con le stesse notazioni, provare $\sqrt {H^e}=(\sqrt H)^e$.
3. Nelle note sono suggeriti, tra gli esercizi, degli esempi che mostrano, tra le altre cose, che la funzione espansione non conserva, in generale, le intersezioni infinite tra ideali e che la contrazione non conserva somme né prodotti.
4. Provare che l'applicazione espansione conserva i prodotti tra ideali.
5. Descrivere la localizzazione di $\Z$ al suo ideale nullo.
6. Descrivere l'anello di frazioni $S^{-1}\Z$ sove $S=\set{n\in\N\mid 5\le n\lt 10}$.
7. Costruire un dominio di integrità unitario infinito che abbia esattamente 12 ideali primi.

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Estensioni spezzate di moduli; loro caratterizzazione in termini di decomposizione in somma diretta del termine centrale e di esistenza di un mono spezzante; cenno (vedi esercizi) agli epi spezzanti.

Per un fissato anello commutativo unitario $R$ e $R$-moduli $A$ e $B$ il modulo $\Hom_R(A,B)$, visto come sottomodulo del prodotto diretto $B^A$.

Il funtore covariante, $\Hom_R(M,-)$ (dalla categoria degli $R$-moduli in sé) definito da un $R$-modulo $M$. Detti $\alpha$ un omomorfismo di $R$-moduli e $\alpha_*$ la sua immagine in $\Hom_R(M,-)$, descrizione di $\ker\alpha_*$. Se $\alpha$ è mono allora $\alpha_*$ è mono. Nozione di funtore esatto e di funtore esatto a sinistra; $\Hom_R(M,-)$ è esatto a sinistra ma, in generale, non esatto.

Moduli proiettivi. Caratterizzazione dei moduli proiettivi (più o meno come in Cohn, vol. 2, Theorem 4.5.4). Conseguenza: una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Lemma della base duale.

Ideali frazionari di un dominio di integrità unitario $R$ in un suo campo dei quozienti $K$. Ideali frazionari principali. Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari anche $A\cap B$, $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Di conseguenza, gli $R$-sottomoduli non nulli finitamente generati sono ideali frazionari.

Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, il suo inverso è $(R:A)_K$; più in generale, se $L\le_R K$, allora $(L:A)_K=LA^{-1}$.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio che, come detto, se $A$ e $B$ sono moduli sull'anello commutativo unitario $R$, $\Hom_R(A,B)$, costituisce un sottomodulo del prodotto diretto $B^A$.
2. Provare che, per ogni $R$-modulo $A$:
   • $\alpha\in\Hom_R(R_R,A)\mapsto (1_R)^\alpha\in A$ è un isomorfismo;
   • se $(B_i)_{i\in I}$ è una famiglia di $R$-moduli, $\Hom(A,\prod_{i\in I}B_i)\iso \prod_{i\in I}\Hom(A,B_i)$ e $\Hom(\coprod_{i\in I}B_i,A)\iso \prod_{i\in I}\Hom(B_i,A)$ (le biezioni richieste sono suggerite dalle proprietà universali di prodotti e coprodotti).
3. Tutti i moduli liberi non nulli sono fedeli. Vale lo stesso per i moduli proiettivi?
4. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Provare che $R$ è principale se e solo se ogni suo ideale è libero (come $R$-modulo).
5. Sia $F=A\oplus B$ un modulo libero (su un anello commutativo unitario), dove $A$ è un sottomodulo (proiettivo ma) non libero. Posto $F^*=\coprod_{i\in\N} F$, provare che $A\oplus F^*\iso F^*$. Dunque $A$ fornisce un esempio di modulo proiettivo non libero con complemento libero in un modulo libero
6. Verificare che ogni sottomodulo non nullo di un ideale frazionario è un ideale frazionario.
7. Leggere la definizione di ideale frazionario fornita in Cohn (vol. 2, pag. 321) e verificare che è equivalente a quella fornita a lezione.
8. Provare che il sottoanello $\Q_{2}=\Z[1/2]$ di $\Q$ non è un ideale frazionario di $\Z$.
9. Costruire, per un opportuno dominio di integrità unitario $R$, un ideale frazionario di $R$ non finitamente generato contenente $R$.
10. Ricordando che l'anello di polinomi $\Z[x]$ è fattoriale e che in esso sia $2$ che $x$ sono irriducibili, mostrare che, se $H=(2,x)$ (ideale di $\Z[x]$), si ha $(\Z[x] : H)_{Q(\Z[x])} = \Z[x]$, quindi $H$ non è invertibile.

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Lemma: siano $A$ e $B$ sottomoduli di uno stesso modulo, allora esiste un'estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$. Se $A+B$ è proiettivo, allora $A\oplus B\iso (A\cap B)\oplus(A+B)$, dunque $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo.

Richiami e approfondimenti sulla divisibilità nei monoidi commutativi; preordinamenti e loro massimo quoziente ordinato. Indicata con $\sim$ la relazione "essere elementi associati" ($\sim$) in un monoide commutativo cancellativo $M$, il quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$ è un monoide cancellativo ordinato dalla divisibilità. $M$ è fattoriale se e solo se $\tilde M$ è un reticolo a condizione minimale.

Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Gli ideali frazionari invertibili di $R$ sono esattamente quelli proiettivi, inoltre essi sono finitamente generati. Se $I,J\in\I^*(R)$ e $I$ è invertibile, allora $I$ divide $J$ in $\I^*(R)$ se e solo se $I$ contiene $J$.

Anelli Di Dedekind: definizione e prime, ovvie, caratterizzazioni.

Sia $R$ è un anello di Dedekind. Allora $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale in cui gli irriducibili sono tutti e soli gli ideali primi non nulli, che sono ideali massimali, e la relazione di divisibilità coincide con la duale di quella di inclusione. Dunque: ogni ideale non nullo è prodotto di ideali primi, in modo unico a meno dell'ordine dei fattori. Il gruppo degli ideali frazionari è libero sulla base costituita dagli ideali (interi) primi non nulli (dimostrazione da completare per esercizio).

A titolo di notizia: un dominio di integrità $R$ è fattoriale se e solo se $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale.

L'insieme degli ideali non invertibili di un dominio di integrità unitario $R$ ha certamente elementi massimali (rispetto all'inclusione), e questi sono tutti ideali primi. Dunque: $R$ è di Dedekind se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili.

Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Se $H\n R$ , $H$ ha, a meno dell'ordine dei fattori, al più una decomposizione come prodotto di ideali primi cancellabili rispetto alla moltiplicazione di ideali. Teorema: $R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale (intero) è prodotto di ideali primi. Come conseguenza: gli anelli di frazioni non nulli degli anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Per un dominio di integrità unitario $R$ sono equivalenti: (1) $R$ è principale; (2) $R$ è fattoriale e di Dedekind; (3) $R$ è fattoriale e $\dim R\le 1$; (4) ogni ideale di $R$ è principale. Nel corso della dimostrazione si è anche menzionato il fatto che $R$ è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo diverso da zero, ma di questo secondo enunciato si è dimostrata solo l'implicazione banale (la necessità della condizione).

Alcune proprietà degli ideali di un anello di Dedekind $R$: per ogni $I,J\in\I^*(R)$ si ha che $\I(R/I)$ è finito; $I+J$ e $I\cap J$ sono, rispettivamente, l'unico MCD e l'unico mcm tra $I$ e $J$ in $\I^*(R)$, dunque $I$ e $J$ sono comassimali se e solo se sono coprimi in $\I^*(R)$.

Se $R$ è un anello di Dedekind, valgono:

• Se $0\ne H\n R$ e $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$.
• Per ogni $I,J\in\I^*(R)$, esiste $H\n R$ tale che $IH$ sia principale e $J+H=R$.
• Se $R$ è semilocale (che in questo caso equivale a dire: se $\spec (R)$ è finito), allora $R$ è principale.
• Ogni quoziente proprio di $R$ è ad ideali tutti principali. Dunque, per ogni ideale non nullo $H$ di $R$ ed ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=(a,b)$.

I contenuti di questa lezione (e non solo), con ulteriori informazioni, osservazioni ed esercizi sono nella vecchia versione delle mie note. Appena possibile li riverserò nella versione in aggiornamento.

Esercizi proposti:

1. Verificare per via diretta che se $H$ è un ideale invertibile di un dominio di integrità $R$ ed $S^{-1}R$ è un anello di frazioni non nullo di $R$, allora l'espansione di $H$ in $S^{-1}R$ è invertibile.
2. Dimostrare in dettaglio quanto affermato a lezione circa gli ideli primari e le decomposizioni primarie negli anelli di Dedekind (gli ideali primari sono tutte e sole le potenze di ideali primi; ogni ideale non nullo ha come unica decomposizione primaria minimale quella ottenuta dalla decomposizione dell'ideale stesso come prodotto di ideali primi.)
3. Provare che se $H$ è un ideale non nullo di un anello di Dedekind $R$ e $F$ è un insieme finito di ideali di $R$, allora $H\supset \bigcup\set{HI\mid I\in F}$.
4. Provare che un anello di polinomi $K[X]$ a coefficienti in un campo $K$ sull'insieme non vuoto $X$ di indeterminate è un anello di Dedekind se e solo se $|X|=1$.

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Interi su un anello (commutativo unitario); interi algebrici. Alcuni esempi e prime caratterizzazioni elementari. Sia $R$ un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$ e sia $c\in A$. Se $c$ è invertibile, $c$ è intero su $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$; in ogni caso sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ammette un modulo fedele che è finitamente generato come $R$-modulo. Corollario: se $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, allora $A$ è un ampliamento algebrico di $R$.

Se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. Di conseguenza, se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ è un ampliamento di $R$ e ciascuno dei $c_i$ è algebrico su $A=R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, quindi è un ampliamento intero di $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello. Transitività dell'integralità. Domini di integrità integralmente chiusi; lo sono gli anelli fattoriali.

Anelli di valutazione. Caratterizzazioni elementari; gli anelli di vautazione sono integralmente chiusi. Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare tramite MCD. Solo menzione di due esempi di anelli di Bézout non principali (cioè non noetheriani): il sottoanello $\Z+x\Q[x]$ di $\Q[x]$ e l'anello dei numeri complessi interi algebrici. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Gli anelli locali di Dedekind (vale a dire: le localizzazioni degli anelli di Dedekind) sono di valutazione. Essi sono, precisamente, gli anelli principali di valutazione (anche detti anelli di valutazione discreta). Esempio: le localizzazioni $\Q_{p'}$ di $\Z$.

Solo enunciato: sia $K$ un campo e sia $\mathscr S$ l'insieme delle coppie $(A,I)$ tali che $A$ sia un sottoanello di $K$ e $I$ ne sia un ideale proprio. Si ordini $\mathscr S$ per “inclusione componente per componente”. Allora l'unione di ogni catena non vuota di elementi di $\mathscr S$ è in $\mathscr S$. Se $(R,H)\in\mathscr S$, allora esisteranno elementi massimali $(V,M)$ di $\mathscr S$ tali che $R\subseteq V$ e $H\subseteq M$; per ciascuna tale coppia $V$ è un anello di valutazione che ha $K$ come campo dei quozienti, e $M$ è il suo ideale massimale.

La chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione dei sottoanelli di $K$ contenenti $R$ che siano di valutazione.

Due lemmi: (1) se $R$ è un anello commutativo noetheriano, ogni ideale non nullo di $R$ contiene un prodotto di ideali primi non nulli di $R$. (2) Se $R$ è un dominio di integrità unitario, l'intersezione delle sue localizzazioni ad ideali massimali (realizzate in un fissato campo dei quozienti di $R$) è $R$ stesso.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ (ad un ideale massimale) è di valutazione (principale); (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$.

Esercizi proposti:

1. Verificare che $\Z[\sqrt 5]$ non è integralmente chiuso.
2. Sia $R$ un anello fattoriale. Se due qualsiasi elementi irriducibili di $R$ sono associati, allora $R$ è un anello principale locale (cioà un anello di valutazione principale).
3. Dimostrare che gli anelli di Bézout fattoriali sono principali. Suggerimento: si tratta di provare che sono noetheriani, cioè che veriificano la condizione massimale sugli ideali finitamente generati.
4. Verificare la proprietà di chiusura per unioni di catene non vuote dell'insieme $\mathscr S$ che appare in uno dei teoremi enunciati a lezione.
5. Sia $A$ un dominio di integrità unitario, ampliamento intero del suo sottoanello unitario $R$. Provare che $A$ è un campo se e solo se $R$ è un campo. (Suggerimento: può essere utile osservare che se $R$ è un campo $Q(A)$ ne è un'estensione algebrica).

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Osservazione: un numero complesso algebrico è un intero algebrico se e solo se il suo polinomio minimo su $\Q$ è in $\Z[x]$. (Più in generale: se $R$ è un anello fattoriale e $K=Q(R)$, se $f$ è un polinomio monico in $R[x]$, allora ogni divisore monico di $f$ in $K[x]$ appartiene a $R[x]$.)

Campi di numeri e loro anelli degli interi algebrici. Alcune osservazioni: il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Di conseguenza, se $K$ è un campo di numeri e $Z_K$ è il suo anello degli interi algebrici, allora $K=Q(Z_K)$ (quindi $Z_K$ è integralmente chiuso), inoltre $K$ ha una $\Q$-base contenuta in $Z_K$. Senza dimostrazione: esiste una tale base che genera il gruppo additivo di $Z_K$, cioè una base intera.

Sia $R$ un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$. Sia $A$ intero su $R$. Se $Q$ e $H$ sono ideali di $A$ tali che $Q$ sia primo, $Q\sseq H$ e $H\cap R=Q\cap R$, allora $H=Q$. Di conseguenza la dimensione di $A$ non eccede quella di $R$ (solo a titolo di notizia: $\dim(A)=\dim(R)$). Come caso particolare: gli anelli di interi dei campi di numeri hanno sempre dimensione 1, di conseguenza essi sono anelli di Dedekind.

Descrizione dell'anello degli interi delle estensioni quadratiche (cioè di grado 2) di $\Q$.

Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind e sua importanza in questioni di fattorialità. (Solo enunciati dei) teoremi di Kummer e di Claborn a questo riguardo (il gruppo delle classi di $Z_K$ è finito, per ogni campo di numeri $K$, è totalmente arbitrario per anelli di Dedekind arbitrari). Enunciato del teorema degli invertibili di Dirichlet e, come conseguenza, struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.

Norma (e traccia) in un campo di numeri $K$. Alcune proprietà della norma e loro applicazioni a questioni di divisibilità in $Z_K$; ad esempio: gli elementi invertibili sono quelli di norma $1$ o $-1$. Notizie sulla fattorialità o meno degli anelli degli interi delle estensioni quadratiche di $\Q$.

Se $I$ e $J$ sono arbitrari ideali non nulli di un anello di Dedekind $R$, $I/IJ\iso_R R/J$ e quindi $|R/IJ|=|R/I||R/J|$. Con le stesse notazioni di sopra, ogni quoziente proprio di $Z_K$ è finito. Norma di un ideale di $Z/K$; se $0\ne a\in Z_K$, allora $|Z_K/aZ_K|=|N_K(a)|$ (lo abbiamo verificato solo nel caso in cui $a\in\Z$; per il caso generale si veda uno degli esercizi).

Un esempio di fattorizzazione di ideali in prodotto di ideali primi: quella dell'ideale generato da $6$ in $\Z[\sqrt{10}]=Z_{\Q(\sqrt{10})}$. Comparazione, in questo caso specifico, tra le fattorizzazioni di 6 in prodotto di irriducibili e quelle dell'ideale generato da 6 in prodotto di ideali primi.

Esercizi proposti:

1. Verificare che, come accennato a lezione, l'anello degli interi di un campo di numeri non può essere un campo.
2. Verificare che se $d$ è un intero minore di $-3$ l'anello degli interi di $\Q(\sqrt d)$ ha solo $1$ e $-1$ come elementi invertibili. Determinare gli invertibili dello stesso anello nei casi $d=-1$, $d=-2$ e $d=-3$.
3. Se $K$ è un campo di numeri e $Z_K$ ne è l'anello degli interi, provare che $|Z_K/aZ_K|=|N_K(a)|$ per ogni $a\in Z_K\setminus 0$, ragionando nel modo seguente: se $S$ è l'insieme dei monomorfismi da $K$ in $\C$, dunque $n:=|S|=[K:\Q]$, e $\ell=N_K(a)$, allora già sappiamo che $|Z_K/\ell Z_K|=|N_K(\ell)|=|\ell^n|$. A questo punto, osservare che $\ell Z_K$ è il prodotto degli ideali principali $a^\sigma Z_K$ al variare di $\sigma$ in $S$ ed utilizzare la proprietà relativa agli indici degli ideali in un anello di Dedekind dimostrata a lezione per arrivare alla conclusione.
4. Trovare un elemento invertibile di periodo moltiplicativo infinito in $\Z[\sqrt 3]$.
5. Fattorizzare in prodotto di ideali primi l'ideale generato da 14 nell'anello $\Z[\sqrt{-10}]$ degli interi algebrici di $\Q[\sqrt{-10}]$ e descrivere quindi le fattorizzazioni di 14 in prodotto di elementi irriducibili. Partire dall'osservazione che 14 è la norma di $2+\sqrt{-10}$.