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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento. Origini e ruolo dell'algebra commutativa; interazione con altri settori della matematica.

Cenni alle algebre universali. Richiami sugli anelli; anelli commutativi. Anelli ed anelli unitari: omomorfismi di anelli unitari, sottoanelli unitari e non. Abbiamo discusso il caso dell'anello delle parti di un insieme e di suoi sottoanelli.

Premoduli su un anello commutativo e moduli su un anello commutativo unitario.

Operazioni puntuali e loro proprietà. Introdotto l'anello unitario degli endomorfismi di un gruppo abeliano.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Trovare, nell'anello $\Z_{6}$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $\Z_{6}$ (Suggerimento: partire da $[3]_{6}$).
3. Sia $S$ un insieme. Determinare gli ideali principali di dell'anello delle parti $\P(S)$. Provare che se $S$ è finito tutti gli ideali di $\P(S)$ sono principali. Cosa succede se $S$ è infinito? Come si possono caratterizzare gli ideali di $\P(S)$ in questo caso?
4. Nell'anello delle parti di $\N$, l'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale?
5. Sia $(G,\cdot)$ un semigruppo ad elementi tutti cancellabili (ad esempio, un gruppo), e siano $\alpha$ e $\beta$ due suoi endomorfismi. Se $X$ è un insieme, indicando con $\odot$ l'operazione puntuale definita da $\cdot$ in $G^X$, provare che $\alpha\odot\beta$ è un endomorfismo se e solo se $\im\alpha$ (l'immagine di $\alpha$) centralizza $\im\beta$.

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Notazioni in uso per applicazioni, immagini di elementi, applicazioni immagine e antiimmagine definite da un'applicazione.

Completata la verifica del fatto che gli endomorfismi di un gruppo abeliano costituiscono un anello unitario (in generale non commutativo). Azioni di premodulo ed azioni di modulo; definizione alternativa (equivalente a quella già data) di moduli e premoduli. I primi esempi di (pre)moduli e corrispondenti azioni: spazi vettoriali, gruppi abeliani visti come $\Z$-moduli (in un unico modo possibile), per un arbitrario anello commutativo $R$: il premodulo $R_R$; gruppi abeliani visti come $R$-premoduli con moltiplicazione esterna nulla. Alcune regole di calcolo per (pre)moduli.

Omomorfismi tra (pre)moduli su un fissato anello. Sotto(pre)moduli. Vari esempi. Immagini ed antiimmagini di sotto(pre)moduli mediante omomorfismi sono sotto(pre)moduli.

Congruenze e quozienti in (pre)moduli. Somme tra sotto(pre)moduli. Teoremi di corrispondenza e di omomorfismo per (pre)moduli. Il reticolo dei sotto(pre)moduli di un (pre)modulo.

Premoduli e moduli finitamente generati. Due lemmi: (1) l'unione di una catena non vuota di sottopremoduli è un sottopremodulo e, se finitamente generata, è il massimo della catena; (2) un premodulo finitamente generato e non nullo ha sempre sottopremoduli massimali.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli.
3. Decidere se il gruppo ciclico di ordine $4$ può essere riguardato come modulo (ovvero: spazio vettoriale) sul campo $\Z_2$.
4. Chiamiamo iniziale ogni anello unitario $S$ con questa proprietà: per ogni anello unitario $R$ esiste uno ed un solo omomorfismo di anelli unitari $S\to R$. Abbiamo visto a lezione che $\Z$ è iniziale; provare che ogni anello unitario iniziale è isomorfo a $\Z$. Suggerimento: se $S$ è iniziale esistono, e sono unici, omomorfismi di anelli unitari $\Z\to S$, $\Z \to \Z$, $S\to \Z$ e $S\to S$.
5. Sia $(R,+,\cdot)$ un anello, non necessariamente commutativo, e sia $X\sseq R$. Provare che il centralizzante di $X$ in $R$, cioè $C_R(X):=\set{r\in\ R\mid (\forall x\in X)(xr=rx)}$ è un sottoanello di $R$, unitario se $R$ è unitario. Provare che se $R$ è un anello commutativo e $M$ un $R$-premodulo, definito dall'azione $\rho\colon R\to \End(M,+)$, allora $C_{\End (M,+)}(\im\rho)$ è l'endomorfo di $M$ come $R$-modulo (cioè l'insieme degli $R$-omomorfismi da $M$ e $M$), che è così un sottoanello unitario di $\End(M,+)$.

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Per un premodulo $M$ su un anello commutativo $R$: il prodotto $XS$ tra una parte $X$ di $M$ ed una parte $S$ di $R$. Combinazioni lineari. Descrizione dei sottomoduli e dei sottopremoduli generati da una parte.

Annullatori di premoduli e di loro parti. Premoduli fedeli. Annullatori negli esempi standard di premoduli. L'ideale $(L:X)_R$ definito da una parte $X$ ed un sottopremodulo $L$ di un $R$-premodulo.

Premoduli ciclici. Caratterizzazione dei moduli ciclici su un fissato anello commutativo unitario. Caratterizzazione dei premoduli semplici su un fissato anello commutativo.

Ideali massimali e radicale di Jacobson. Per un anello commutativo unitario $R$: l'unione degli ideali massimali è il complemento di $\U(R)$; se $a\in R$ e $M\maxid R$, allora $a\in M$ se e solo se $1_R+ar\notin M$ per ogni $r\in R$; di conseguenza $\jac(R)=\set{a\in R\mid 1_R+aR\sseq\U(R)}$; per ogni $a\in \jac(R)$ si ha $|aR|\le |\U(R)|$, dunque $|R|=|\U(R)|$ se $\jac(R)$ contiene elementi cancellabili di $R$.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Siano $R$ un anello commutativo ed $M$ un $R$-premodulo. Allora:
   • se $X\subseteq Y\subseteq M$, $\ann_R(X)\supseteq\ann_R(Y)$;
   • per ogni famiglia $(X_i)_{i\in I}$ di parti di $M$ si ha $\ann_R(\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}\ann_R(X_i)$.
3. Fissato un anello commutativo $R$, sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra $R$-premoduli. Provare che $\ann_R(A)\subseteq \ann_R(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo di $R$-premoduli, provare che $\ann_R(A)\supseteq \ann_R(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.
4. Determinare $\jac(R)$ se $R$ è uno dei seguenti anelli: $\Z$, $\Z_4$, $\Z_6$, più in generale $\Z_m$ per un intero positivo $m$, $\P(S)$ per un arbitrario insieme $S$ (in quest'ultimo caso utilizzare, dopo averlo verificato, il fatto che $\U(\P(S))$ ha un solo elemento.)

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Anelli (commutativi unitari) locali e loro caratterizzazione in termini di elementi invertibili. Esempio (oltre ai campi): per ogni intero positivo primo $p$, il sottoanello unitario $\Q_{p'}=\set{a/b\mid a\in\Z \land b\in\Z\setminus p\Z}$ di $\Q$.

Osservazione: se $(S,\cdot)$ è un semigruppo commutativo e $a\in S$, allora $S=aS$ se e solo se $S$ è un monoide e $a\in\U(S)$. Caratterizzazione degli ideali massimali negli anelli commutativi (non necessariamente unitari).

Caratterizzazioni degli ideali primi negli anelli commutativi. Lemma: se, in un anello commutativo $R$, $S$ è una parte non vuota che sia chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da un prefissato ideale $H$, allora l'insieme degli ideali di $R$ contenenti $H$ e disgiunti da $S$ è induttivo ed i suoi elementi massimali sono ideali primi.

Elementi nilpotenti in un anello commutativo $R$. L'insieme da essi costituito è il nilradicale $\nrad(R)$ dell'anello: l'intersezione dello spettro (l'insieme $\spec(R)$ degli ideali primi) di $R$, o, se $\spec(R)=\vuoto$, $R$ stesso. Alcuni esempi. Conseguenze: se $R$ è unitario $\nrad(R)\subseteq \jac(R)$; se $a$ è un elemento nilpotente e $u$ un elemento invertibile di $R$, allora $a+u$ è invertibile.

La varietà ed il radicale di un ideale in un anello commutativo $R$. Alcuni esempi e prime proprietà: se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; inoltre, se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$.

Esercizi proposti:

1. Provare che $\Q_{p'}$ è un anello principale e che i suoi ideali costituiscono una catena. Dimostrare poi che questo anello è fattoriale (ha un'unica classe di elementi irriducibili, a meno di associati) ed è addirittura euclideo.
2. Supposto assegnato un intero positivo $n$, descrivere in modo quanto più esplicito possibile la varietà ed il radicale dell'ideale $n\Z$ di $\Z$. Descrivere le varietà degli ideali dell'anello delle parti di un insieme.
3. Trovare un esempio di anello commutativo unitario $R$ tale che $\nrad(R)\ne \jac(R)$.
4. Dimostrare per via diretta che la somma tra due elementi nilpotenti in un anello commutativo è necessariamente nilpotente. Se, in un anello commutativo unitario, $a$ è un elemento nilpotente (e $n\in\N$ è tale che $a^n=0$) e $u$ è invertibile, trovare un'espressione esplicita per $(u+a)^{-1}$.

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Alcuni metodi per il cambio dell'anello degli scalari di un premodulo; discussione su come un cambio di scalari modifica gli insiemi dei sottopremoduli e degli omomorfismi; alcuni esempi.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario. Sottoalgebre ed omomorfismi di algebre. Algebre unitarie. Omomorfismo di struttura di un'algebra unitaria e, per fissati anelli commutativi unitari $R$ ed $A$, biezione canonica tra l'insieme degli omomorfismi di anelli unitari $R\to A$ e l'insieme delle operazioni esterne che strutturano $A$ come $R$-algebra unitaria. Caratterizzazione degli omomorfismi di algebre unitarie in termini degli omomorfismi di struttura. Gli ideali di un'algebra unitaria sono sottoalgebre. Esempi: gli anelli commutativi sono, in unico modo, $\Z$-algebre; assegnato un anello commutativo unitario $R$, hanno un'ovvia struttura di $R$-algebra unitaria $R$ stesso ed i suoi quozienti ed ogni anello commutativo unitario di cui $R$ sia un sottoanello unitario (cioè ogni ampliamento unitario di $R$); sono algebre con moltiplicazione interna nulla tutti gli $R$-moduli. Estensioni di campi visti come come algebre, e loro automorfismi.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria: l'algebra accresciuta. Come caso particolare: anello accresciuto definito da un anello commutativo (ogni anello commutativo $A$ è ideale (primo) di un anello commutativo unitario $A_1$ tale che $A_1/A\iso \Z$). Breve discussione generale sulla nozione di identificazione in matematica.

Ideali comassimali tra loro. Se, in un anello commutativo unitario, due ideali $I$ e $J$ sono comassimali con un ideale $H$, allora anche $IJ$ è comassimale con $H$. Visualizzazione di questa nozione e questa proprietà per ideali di $\Z$.

Si prenda nota dell'avviso nella pagina del corso: lunedì 7 non faremo lezione.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato, in particolare i dettagli mancanti nella costruzione dell'algebra accresciuta.
2. Descrivere l'anello accresciuto definito da $\Z$.
3. Siano $a=[2]_4$ e $A$ l'ideale generato da $a$ nell'anello $\Z_4$. Verificare che $A$ si può riguardare in un unico modo come algebra (non unitaria) su $\Z_2$. Immergere poi $A$ in una $\Z_2$-algebra unitaria $A_1$ e scrivere esplicitamente le tavole di addizione e moltiplicazione (interna) di $A_1$.
4. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $A$ e $B$ due $R$-algebre (associative e commutative), $\varphi\colon A\to B$ un omomorfismo di $R$-algebre. Costruite, come fatto a lezione, le $R$-algebre unitarie $A_1$ e $B_1$ in cui immergere $A$ e $B$, verificare che $\varphi_1\colon (a,r)\in A_1\mapsto (a^\varphi, r)\in B_1$ è un omomorfismo di $R$-algebre unitarie.

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Prodotti ed intersezioni tra ideali a due a due comassimali in anelli commutativi unitari, con esempi e controesempi.

Equivalenza tra lo studio dei premoduli su un anello commutativo e quello dei moduli sull'anello accresciuto definito da questo. Ancora sui sottopremoduli generati. Caratterizzazione dei sottopremoduli ciclici.

Legge modulare di Dedekind e suo corollario (due sottopremoduli confrontabili coincidono se hanno stessa intersezione e stessa somma con un assegnato sottopremodulo).

Idealizzazione di un premodulo.

Lemma di Nakayama in forma debole ed in forma forte (NAK) per moduli e per premoduli. Alla dimostrazione manca ancora un lemma.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Sia $M$ un premodulo finitamente generato sull'anello commutativo $R$ e sia $N\le_R M$. Supponiamo $M=N+M\jac(R)$. Che conclusione possiamo trarre su $N$?
3. Sia $M$ un modulo fedele finitamente generato sull'anello commutativo unitario $R$, e sia $H\n R$. Supponiamo $M=MH$. Che conclusione possiamo trarre su $H$?
4. Costruire un premodulo $M$ su un anello commutativo $R$ ed un ideale $H$ di $R$ tali che $R=H+\ann_R(M)$ ma $M\ne MH$.
5. Per il lemma di Nakayama in qualsiasi sua forma è necessaria l'ipotesi che il (pre)modulo coinvolto sia finitamente generato. Trovare dei contresempi a questo proposito.

14/10

Lemma (per il completamento della dimostrazione di NAK): se $a$ è un elemento di un premodulo su un anello commutativo $R$ e $L,K\n R$, allora $aL\sseq aK$ se e solo se $L\sseq K+\ann_R(a)$.

Prodotti diretti e somme dirette, esterne ed interne, di premoduli. Isomorfismo tra somme dirette esterne ed interne.

Moduli liberi. Definizione tramite proprietà universale. Unicità a meno di isomorfismi dei moduli liberi (su un fissato anello commutativo unitario) su basi equipotenti. Cenni al risultato inverso. Verifica a priori del fatto che, in un modulo libero, l'immagine dell'applicazione univerale genera il modulo. Costruzione di un modulo libero su un arbitrario insieme. Iniettività delle applicazioni universali. Comparazione con la nozione elementare di base di uno spazio vettoriale. Ogni modulo è immagine epimorfa di un modulo libero su un suo insieme di generatori. Esempio: rivisitazione dei moduli ciclici. Cenno ai premoduli liberi.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Provare per via diretta che un gruppo abeliano finito non identico non può essere uno $\Z$-modulo libero (dato un tale gruppo $A$, supposto questo libero su una base $X\sseq A$, costruire un gruppo abeliano $M$ ed un'applicazione $X\to M$ che non si possa estendere ad un omomorfismo $A\to M$).
3. Sia $V=\gen {a,b}$ il gruppo abeliano ciclico di ordine 4. Scrivere (magari in tutti i modi possibili) $V$ come somma diretta di suoi sottogruppi propri.

17/10

Proprietà universali per i prodotti diretti e le somme dirette (coprodotti) di premoduli.

Algebre (associative, commutative) unitarie libere. Discussione non dettagliata sulla costruzione, per un fissato anello commutativo unitario $R$, della $R$-algebra (associativa, commutativa) unitaria libera su un insieme $X$. Anelli di polinomi. Discussione sull'importanza degli anelli di polinomi. Esempi su come ottenere ampliamenti di anelli commutativi unitari come quozienti di anelli di polinomi. Se $R$ è un anello commutativo unitario, isomorfismi $R[X\cup Y]\iso (R[X])[Y]$ e $R[X\cup Y]/(Y)\iso R[X]$ (quelli indicati sono anelli di polinomi negli indicati insiemi di indeterminate).

Condizioni di catena (minimale e massimale) per insiemi ordinati. Definizioni tramite proprietà tra loro equivalenti. Premoduli artiniani e premoduli noetheriani. Anelli (commutativi) artiniani e noetheriani. Vari esempi. Sottomoduli, quozienti ed estensioni di premoduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani).

Esercizi proposti:

1. Costruire un anello commutativo unitario $R$ che abbia, tre elementi non nulli $a,b,c$ tali che $ab=0_r=c^7$.
2. Scrivere, nell'anello di polinomi ad una indeterminata $\Z_{12}[x]$, un polinomio invertibile di grado maggiore di 1.
3. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Nell'anello di polinomi a due indeterminate $R[x,y]$, esiste un automorfismo che scambi tra loro $x$ e $y$?
4. L'insieme $\N$, ordinato per divisibilità, verifica la condizione minimale? E quella massimale?
5. Il gruppo abeliano $(\Q,+)$ è artiniano? È noetheriano?

21/10

Le somme finite di sottopremoduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriane (risp. artiniane). Caratterizzazione dei premoduli che sono contemporaneamente artiniani e noetheriani come quelli dotati di una serie finita a fattori semplici. Osservazioni sulla persistenza o meno delle condizioni di catena per (pre)moduli in caso di cambio dell'anello degli scalari.

I quozienti degli anelli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani). Esempi: un anello artiniano ($\Q$) con un sottoanello unitario ($\Z$) non artiniano; un anello commutativo unitario artiniano e noetheriano con un ideale che, come anello, non è né artiniano né noetheriano. L'anello accresciuto definito da un anello commutativo noetheriano $R$ è ancora noetheriano (ma non artiniano) sia come anello che come $R$-premodulo. Cenno alla proprietà di Hopf; gli anelli di polinomi su insiemi infiniti di indeterminate non la verificano e quindi non sono noetheriani.

Caratterizzazione dei (pre)moduli e degli anelli (commutativi) noetheriani in termini di sottomoduli finitamente generati. I premoduli finitamente generati sugli anelli commutativi noetheriani sono sempre noetheriani. Osservazione: un (pre)modulo non noetheriano contiene sempre sotto(pre)moduli che siano massimali tra quelli non finitamente generati, perché l'insieme dei sotto(pre)moduli non finitamente generati è induttivo.

In un anello commutativo unitario, un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati. L'ipotesi che l'anello sia unitario è qui essenziale.

Il teorema della base di Hilbert (per anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate), con rapido inquadramento storico ed un cenno ad una sua interpretazione geometrica (ed al teorema degli zeri di Hilbert). Un corollario: se $A$ è un'algebra unitaria finitamente generata su un anello commutativo unitario noetheriano $R$, allora $A$, come anello, è noetheriano. È essenziale richiedere che $A$ sia unitaria (si veda uno degli esercizi).

Esercizi proposti:

1. Siano $A$ e $B$ sottopremoduli di un premodulo $M$ tali che $M/A$ e $M/B$ siano artiniani (risp. noetheriani). Allora anche $M/(A\cap B)$ è artiniano (risp. noetheriano).
2. Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $a\in R$. Provare che se $R/aR$ è artiniano, o noetheriano, per ogni $n\in\N^+$ anche $R/a^nR$ lo è.
3. Sotto quali condizioni l'anello delle parti di un insieme è artiniano o noetheriano?
4. Di ciascuno dei seguenti anelli dire se è artiniano e se è noetheriano: $\Z_{20}[x]$, $\Q[x]/x^2\Q[x]$, il sottoanello $\Z[i]=\set{a+ib\mid a, b\in\Z}$ del campo complesso (questo è l'anello degli interi di Gauss).
5. Sia $K$ un campo e sia $K[X]$ l'anello dei polinomi su $K$ su un insieme infinito di indeterminate. Individuare un ideale di $K[X]$ che sia massimale tra quelli non finitamente generati. Ripetere l'esercizio dopo aver sostituito $\Z$ a $K$.
6. Sia $A=\bigoplus_{i\in\N}\gen{a_i}$ un gruppo abeliano libero sulla base $\set{a_i\mid i\in\N}$ (dunque, per ogni $i\in\N$, $\gen{a_i}$ è un gruppo ciclico infinito). Si strutturi $A$ come modulo sull'anello di polinomi ad una indeterminata $\Z[x]$ tramite l'omomorfismo di anelli unitari $\Z[x]\to\End(A,+)$ che ad $x$ associa l'endomorfismo di $A$ definito da $a_i\mapsto a_{i+1}$ per ogni $i\in\N$. Si munisca poi $A$ del prodotto costante nullo; $A$ diventa così una $\Z[x]$-algebra non unitaria. Verificare che, come $\Z[x]$-algebra, $A$ è generata da un elemento, ma, benché $\Z[x]$ sia noetheriano, $A$ non è un anello noetheriano.

24/10

Solo a titolo di notizia: cenno all'anello delle serie formali di potenze su un anello commutativo unitario.

Anelli artiniani. Sia $R$ un anello commutativo artiniano. Se $R$ ha un elemento cancellabile $a$ allora $R$ è unitario e $a$ è invertibile; se $R$ è integro, allora $R$ è un campo; gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali e l'insieme degli ideali massimali di $R$ è finito; inoltre il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente. Lemma: se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano. Gli anelli commutativi unitari artiniani sono noetheriani (risultato che non vale per anelli non unitari).

Ideali primari. Definizione, esempi (descrizione degli ideali primari in $\Z$); descrizione dei divisori dello zero in un quoziente di un anello e varie caratterizzazioni degli ideali primari. Proprietà essenziali: gli ideali primi sono primari, il radicale di un ideale primario $H$ è o l'intero anello oppure primo (in questo caso è quindi il minimo primo contenente $H$). L'intersezione tra due ideali primari con lo stesso radicale è ancora primario (ed ha ancora lo stesso radicale). In un anello commutativo unitario, un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario.

Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo: l'ideale generato da $x$ e $y^2$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $x$ e $y$ a coefficienti in un campo.

Osservazione: per ogni ideale primo $P$ ed ogni intero positivo $n$, $P$ è il radicale di $P^n$.

Esercizi proposti:

1. Dimostrare che se $R$ è un anello commutativo unitario artiniano infinito, allora $R$ ha un sottogruppo massimale di indice infinito.
2. Provare che se $R$ è un anello principale gli ideali primari di $R$ sono tutte e sole le potenze (ad esponente positivo) degli ideali primi.
3. Osservare che gli ideali propri di un anello comutativo $R$ il cui radicale sia l'intero anello sono primari (in questo caso $R$ non è unitario).
4. Provare che gli ideali primari nell'anello delle parti di un insieme $S$ sono tutti e soli i suoi ideali massimali ed hanno indice 2.

28/10

Esempio di anello commutativo unitario noetheriano con un ideale primo $P$ il cui quadrato $P^2$ non sia primario; discussione generale sui metodi di costruzione di simili controesempi.

Decomposizioni primarie e ideali decomponibili (in intersezione finita di primari). Decomposizoni primarie minimali; ogni ideale decomponibile ne ha una. Esempio: nell'anello delle parti di un insieme (infinito) gli ideali di indice infinito non sono decomponibili.

Ideali irriducibili per intersezione (o $\cap$-irriducibili). Sia $R$ un anello commutativo noetheriano. Allora ogni ideale proprio $\cap$-irriducibile di $R$ è primario (ma non vale il viceversa); inoltre ogni ideale proprio di $R$ è intersezione di un insieme finito di ideali $\cap$-irriducibili, quindi è decomponibile.

Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie (per anelli non necessariamente unitari). Ideali associati ad un ideale decomponibile (primi se propri); ideali associati isolati ed ideali immersi.

Alcune osservazioni: ogni catena non vuota di ideali primi in un anello commutativo $R$ ha per intersezione un ideale primo; di conseguenza $(\spec(R),\supseteq)$ è induttivo e, per ogni $H\n R$, se non vuoto $\var(H)$ ha elementi minimali. Se $H$ è decomponibile, questi elementi minimali sono precisamente gli ideali primi isolati associati ad $H$.

Esercizi proposti:

1. Sotto quali condizioni l'intersezione tra due ideali primari è un ideale primario?
2. Costruire come segue un esempio di ideale irriducibile non primario in un anello commutativo unitario.

   Siano $p$ un numero naturale primo e $A$ un $p$-gruppo di Prüfer, visto come $\Z$-modulo. Sia $B=A\rtimes \Z$ l'idealizzazione di $A$. Avendo identificato $A$ con l'ideale $A\times\set 0$ di $B$, provare che ogni ideale di $B$ non contenuto in $A$ contiene $A$, e descrivere così l'insieme ordinato degli ideali di $B$. Dedurne che ogni sottogruppo proprio di $A$ costituisce un ideale irriducibile e verificare che nessuno di questi ideali è primario.

   Osservare che il modulo $B_B$ è estensione di un modulo artiniano mediante un modulo noetheriano.

3. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$, decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Trovare una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.

31/10

Secondo teorema di unicità. Un esempio di ideale, in un anello commutativo unitario noetheriano (e fattoriale) con infinite decomposizioni primarie minimali. Per anelli di dimensione zero e per anelli principali: unicità delle decomposizioni primarie minimali.

Gli anelli commutativi artiniani sono tutti soli quelli noetheriani di dimensione zero. Per dimostrarlo è stato usato il lemma: in un arbitrario anello commutativo, ogni ideale finitamente generato costituito da elementi nilpotenti è necessariamente nilpotente.

Il teorema dell'intersezione di Krull (per premoduli noetheriani); preceduto dall'osservazione che, per ogni premodulo noetheriano $M$ su un anello commutativo $R$, l'anello $R/\ann_R(M)$ è noetheriano.

Un'applicazione: se $R$ è un anello commutativo locale noetheriano con ideale massimale $M$, allora $\bigcap\set{M^n\mid n\in\N^+}=0$, e $R$ è artiniano se e solo se $M$ è nilpotente.

Prodotti diretti di anelli; definizione e proprietà essenziali. Prodotti diretti di una famiglia finita di anelli commutativi e somme dirette (interne) finite di ideali.

Elementi idempotenti in un anello commutativo unitario $R$; idempotenti ortogonali. Ad ogni decomposizione di un anello commutativo unitario in somma diretta finita di ideali corrisponde una decomposizione della sua unità come somma di idempotenti tra loro ortogonali.

Esercizi proposti:

1. Scrivere l'anello $\Z_{10}$ come somma diretta di due suoi ideali propri e poi scrivere la sua unità $[1]_{10}$ come somma di due idempotenti (ortogonali) non nulli.
2. Siano $p$ un primo e $A=\bigoplus_{i\in\N^+}\gen{a_i}$, una somma diretta di gruppi ciclici, dove ciascun $a_i$ ha ordine $p^i$. Siano $B=\gen{p^{i-1}a_i-a_1\mid i\in\N^+}$ e $M=A/B$. Posto $R=\Z$ e $H=p\Z$, verificare che $I:=\bigcap\set{MH^n\mid n\in\N}=\gen{a_1+B}\ne 0=IH$. Ciò mostra che il teorema dell'intersezione di Krull non vale necessariamente per moduli che non siano finitamente generati, anche su anelli noetheriani.

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Sia $R$ un anello commutativo unitario. Se $e$ è un idempotente in $R$, anche $1_R-e$ lo è, ed è ortogonale ad $e$. Biezione tra gli insiemi delle fattorizzazioni di $R$ in somma diretta di un numero finito di suoi ideali e quello delle decomposizioni della sua unità in somma di idempotenti ortogonali. Qualche esempio ed un'applicazione al caso dei quozienti di $\Z$.

Omomorfismi $M\to\prod_{i\in I}M/N_i$ e $R\to\prod_{i\in I}R/H_i$ indotti dagli epimorfismi canonici, dove $M$ è un premodulo e $(N_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi sottopremoduli, o $R$ è un anello commutativo unitario e $(H_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi ideali. Nel caso degli anelli o delle algebre, condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la suriettività.

Applicazioni all'anello degli interi: teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione di Eulero.

Struttura degli anelli artiniani: decomposizione (unica) in prodotto diretto di anelli locali.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Verificare che se l'unità di un anello commutativo unitario è somma di un numero finito di elementi dell'anello a due a due ortogonali: $1_R=\sum_{i\in I}r_i$, dove $I$ è finito e $r_ir_j=0_r$ per ogni $i\in I$ e $j\in I\setminus\set i$, allora gli elementi $r_i$ sono tutti idempotenti.
3. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo $R$. Rivolto un pensiero a Nakayama, provare che se $H^2=H$, allora $H=eR=eH$ per un opportuno elemento idempotente $e\in H$ (quindi $H$ è principale e, come anello, unitario) e $R=H\oplus K$ per un opportuno $K\n R$.
4. In $\Z_{60}$, scrivere l'unità $[1]_{60}$ come somma di tre idempotenti non banali.
5. Verificare che se $p$ è un intero positivo primo e $n\in\N^+$, l'immagine $\varphi(p^n)$ di $p^n$ mediante la funzione di Eulero è $(p-1)p^{n-1}$. Calcolare $\varphi(10000)$.

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Per una parte non vuota $S$ di un anello commutativo $R$, omomorfismi $S$-inversivi (di dominio $R$). Se $R$ è unitario questi sono sempre omomorfismi di anelli unitari, come segue dal lemma: un omomorfismo di anelli tra due anelli unitari è un omomorfismo di anelli unitari se e solo se la sua immagine contiene qualche elemento cancellabile nel codominio. Inoltre sono equivalenti le proprietà di essere un omomorfismo $S$-inversivo, $S^\bullet$-inversivo, $\hat S$-inversivo, dove $S^\bullet$ è la parte chiusa generata da $S$ in $(R,\cdot)$ e $\hat S$ ne è la saturazione (definita appresso).

Parentesi: parti sature in un semigruppo ed in un anello commutativi; alcuni esempi, (tra i quali i complementi degli ideali); parte satura generata da un sottoinsieme. La saturazione (parte chiusa e satura generata) di una parte di un semigruppo commutativo. Nel semigruppo moltiplicativo di un anello commutativo, le parti chiuse e sature sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Anello di frazioni $S^{-1}R$ e corrispondente omomorfismo $S$-inversivo universale $f_S\colon R\to S^{-1}R$ (definiti, a meno di isomorfismi, da questa proprietà: per ogni omomorfismo $S$-inversivo $g$ esiste un unico omomorfismo $\varphi$ di anelli tale che $g=f_S \varphi$). Le nozioni di anello di frazioni e di omomorfismo inversivo universale relative ad $S$ coincidono con quelle relative a $S^\bullet$ o a $\hat S$, e non variano se vengono riferite ad omomorfisi di anelli unitari piuttosto che di anelli.

Costruzione dell'anello $S^{-1}R$ e dell'omomorfismo $f_S$. Quasi tutte le verifiche sono state lasciate per esercizio. Nucleo di $f_S$ e descrizione delle frazioni $r/s$ che siano lo zero, l'unità o un elemento invertibile di $S^{-1}R$. Le frazioni divisori dello zero in $S^{-1}R$ hanno per numeratore un divisore dello zero in $R$.

Espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo universale $S$-inversivo da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. L'applicazione $ce$ è l'applicazione identica in $\I(S^{-1}R)$. Dunque, $c$ è una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ in quello degli ideali di $R$, mentre $e$ è suriettiva. Conseguenza: gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani), sono artiniani (risp. noetheriani). Descrizione esplicita di $H^e$ e di $H^{ec}$ per un ideale $H\n R$; si ha poi $H^e\ne S^{-1}R\iff H\cap S=\vuoto$.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio che la saturazione di una parte non vuota $S$ di un semigruppo commutativo è l'insieme dei divisori degli elementi che siano prodotti di elementi di $S$.
2. Completare in dettaglio le verifiche relative alla costruzione degli anelli di frazioni.
3. Dimostrare che, con le notazioni usate in questo resoconto, se $r/s$ è un elemento di $S^{-1}R$, allora $r/s$ è un divisore dello zero in $S^{-1}R$ se e solo se $r+\ker f_S$ lo è in $R/\ker f_S$.
4. Verificare, usando direttamente la definizione, che se $R=\Z_{100}$ e $S=\set{[8]_{100}}$ allora $S^{-1}R$ è isomorfo a $\Z_{25}.$
5. Siano $S$ un insieme e $T\subseteq S$. Provare che l'anello di frazioni $\set T ^{-1}\P(S)$ è isomorfo a $\P(T)$, con omomorfismo universale $\set T$-inversivo $f_{\set{T}}\colon X\in\P(S)\mapsto X\cap T\in\P(T)$. Suggerimento: se $f\colon \P(S)\to A$ è un omomorfismo $\set T$-inversivo di anelli (commutativi), verificare che $T^f=1_A$ e che $Y^f=0_A$ per ogni parte $Y$ di $S$ disgiunta da $T$. A questo punto, provare che $f=f_{\set{T}} \varphi$ se $\varphi$ è la restrizione di $f$ a $\P(T)$ e concludere la dimostrazione.
6. Scrivere, in un opportuno anello di frazioni, l'unità come frazione $r/s$ con $r\ne s$.

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Altre osservazioni sugli anelli di frazioni: gli anelli di frazioni di anelli ad ideali principali conservano questa proprietà; gli anelli di frazioni di domini di integrità (risp. anelli principali) che non siano nulli sono domini di integrità (risp. anelli principali).

L'antiimmagine di un ideale $B$ mediante un omomorfismo è un ideale, ed primo (risp. primario) se è proprio e $B$ è primo (risp. primario). Inoltre l'antiimmagine del radicale di $B$ è il radicale dell'antiimmagine del radicale di $B$.

Se. con le notazioni già utilizzate, $S^{-1}R$ è un anelllo di frazioni di un anello commutativo $R$ e $H\n R$, indicando con $\varepsilon$ immagini mediante l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\varepsilon)^{-1}R^\varepsilon$. Se $H$ è un ideale primario di $R$ e $H\cap S=\vuoto$, allora $H^{ec}=H$, $H^e$ è primario, (precisamente $P^e$-primario se $H$ è $P$-primario) ed è primo se $H$ è primo. Dunque, $e$ e $c$ inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$; tra $\set{P\in \spec(R)\mid P\cap S=\vuoto}$ e $\spec(S^{-1}R)$; per ogni $P\in \spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Terminologia e notazione: se $R$ è un anello commutativo unitario e $P\in \spec(R)$, la localizzazione di $R$ a $P$, cioè $(R\setminus P)^{-1}R$ si indica anche con $R_P$; il suo ideale massimale è $P^e$. Osservazione: il campo residuo di $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo a $Q(R/P)$. Esempio: le localizzazioni di $\Z$, con descrizione dettagliata dei loro ideali. Altro esempio (solo per cenni): localizzazioni di quozienti di $\Z$.

L'applicazione espansione (in un anello di frazioni) conserva intersezioni finite e somme (arbitrarie) tra ideali. L'applicazione contrazione conserva le intersezioni tra ideali.

Decomposizioni primarie in anelli di frazioni: passaggio da una decomposizione primaria minimale di un ideale $H$ a decomposizioni primarie minimali di $H^e$ e $H^{ec}$. Come applicazione: dimostrazione alternativa del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali (se $H$ è un ideale decomponibile e $P$ è un primo isolato associato ad $H$, con riferimento alla localizzazione di $R$ a $P$, $H^{ec}$ è la $P$-componente di qualsiasi decomposizione primaria minimale di $H$.

Per un fissato anello commutativo unitario $R$ e $R$-moduli $A$ e $B$: il modulo $\Hom_R(A,B)$, visto come sottomodulo del prodotto diretto $B^A$.

Esercizi proposti:

1. Calcolare l'anello di frazioni $S^{-1}\Z_{60}$, dove $S={[4]_{60}}$, e descriverne gli ideali.
2. Verificare in dettaglio quanto detto a lezione: per ogni $R$-modulo $A$,
   • $\alpha\in\Hom_R(R_R,A)\mapsto (1_R)^\alpha\in A$ è un isomorfismo;
   • se $(B_i)_{i\in I}$ è una famiglia di $R$-moduli, $\Hom(A,\prod_{i\in I}B_i)\iso \prod_{i\in I}\Hom(A,B_i)$ e $\Hom(\coprod_{i\in I}B_i,A)\iso \prod_{i\in I}\Hom(B_i,A)$ (le biezioni richieste sono suggerite dalle proprietà universali di prodotti e coprodotti).

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Sequenze di omomorfismi, quasi esattezza ed esattezza; complessi di catene (sequenze quasi-esatte), sequenze esatte. Estensioni di moduli, come sequenze esatte corte.

Estensioni spezzate di moduli; loro caratterizzazione in termini di decomposizione in somma diretta del termine centrale e di esistenza di un mono spezzante; cenno (vedi esercizi) agli epi spezzanti.

Il funtore covariante, $\Hom_R(M,-)$ (dalla categoria degli $R$-moduli in sé) definito da un $R$-modulo $M$. Detti $\alpha$ un omomorfismo di $R$-moduli e $\alpha_*$ la sua immagine in $\Hom_R(M,-)$, descrizione di $\ker\alpha_*$ ed isomorfismo $\ker\alpha_*\iso(\ker\alpha)_*$. Nozione di funtore esatto e di funtore esatto a sinistra; $\Hom_R(M,-)$ è esatto a sinistra ma, in generale, non esatto.

Moduli proiettivi e loro caratterizzazioni. Una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Se $A$ e $B$ sono sottomoduli di uno stesso modulo, allora esiste un'estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$. Se $A+B$ è proiettivo, allora $A\oplus B\iso (A\cap B)\oplus(A+B)$ e quindi $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Verificare che, come detto a lezione, un'estensione di moduli è spezzata se e solo se ha un epi spezzante.
3. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Provare che $R$ è principale se e solo se ogni suo ideale è libero (come $R$-modulo).
4. Sia $F=A\oplus B$ un modulo libero (su un anello commutativo unitario), dove $A$ è un sottomodulo (proiettivo ma) non libero. Posto $F^*=\coprod_{i\in\N} F$, provare che $A\oplus F^*\iso F^*$. Dunque $A$ fornisce un esempio di modulo proiettivo non libero con complemento libero in un modulo libero

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Il lemma della base duale (per moduli proiettivi).

Ideali frazionari di un dominio di integrità unitario $R$ in un suo campo dei quozienti $K$ (le notazioni per $K$ e $R$ restano fissate per il resto di questo resoconto). Ideali frazionari principali. Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari i sottomoduli non nulli di $A$ ed anche $A\cap B$, $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Di conseguenza, gli $R$-sottomoduli non nulli finitamente generati sono ideali frazionari.

Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, e $L\le_R K$, allora $(L:A)_K=LA^{-1}$; in particolare, $A^{-1}=(R:A)_K$. Un ideale frazionario $A$ di $R$ è invertibile se e solo se $1_R\in A(R:A)_K$.

Teorema: gli ideali frazionari invertibili sono tutti e soli quelli proiettivi; inoltre essi sono finitamente generati.

Esercizi proposti:

1. Costruire, per un opportuno dominio di integrità unitario $R$, un ideale frazionario di $R$ non finitamente generato contenente $R$.
2. Facendo uso del fatto che l'anello di polinomi $\Z[x]$ è fattoriale e che in esso sia $2$ che $x$ sono irriducibili, mostrare che, se $H$ è l'ideale $(2,x)$ di $\Z[x]$, si ha $(\Z[x] : H)_{Q(\Z[x])} = \Z[x]$, quindi $H$ non è invertibile.

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Richiami e approfondimenti sulla divisibilità nei monoidi commutativi. Preordinamenti e loro massimo quoziente ordinato. Divisibilità come preordinamento, relazione "essere elementi associati" ($\sim$) in un monoide commutativo $M$. Il quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$, come monoide ordinato dalla divisibilità. Se $\tilde M$ è a condizione minimale, in $M$ ogni elemento non invertibile è prodotto di irriducibili. Se $M$ è cancellativo e $\tilde M$ è un reticolo, allora tutti gli irriducibili in $M$ sono primi (cenni al fatto che $\tilde M$ è un reticolo se e solo se è un inf- o un sup-semireticolo). Dunque, se $M$ è cancellativo, $M$ è fattoriale se e solo se $\tilde M$ è un reticolo a condizione minimale.

Alcune applicazioni alla teoria degli anelli commutativi unitari: versioni generali del teorema di Bézout e del suo duale; una dimostrazione del fatto che gli anelli principali sono fattoriali; identificazione degli ideali principali generati da irriducibili.

Anelli Di Dedekind: definizione e prime, ovvie, caratterizzazioni.

Discussione di un esercizio: un esempio di ideale (massimale) non invertibile nell'anello di polinomi (noetheriano e fattoriale) $\Z[x]$.

Sia $R$ è un anello di Dedekind. Allora $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale in cui gli irriducibili sono tutti e soli gli ideali primi non nulli, che sono ideali massimali, e la relazione di divisibilità coincide con la duale di quella di inclusione. Dunque: ogni ideale non nullo è prodotto di ideali primi, in modo unico a meno dell'ordine dei fattori. Il gruppo degli ideali frazionari è libero sulla base costituita dagli ideali (interi) primi non nulli.

L'insieme degli ideali non invertibili di un dominio di integrità unitario $R$ ha certamente elementi massimali (rispetto all'inclusione), e questi sono tutti ideali primi. Dunque: $R$ è di Dedekind se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili. Ulteriore conseguenza: $R$ è un anello principale se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono principali.

Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Se $H\n R$ e $H$ è cancellabile in $\I^*(R)$, allora $H$ ha, a meno dell'ordine dei fattori, al più una decomposizione come prodotto di ideali primi.

Esercizi proposti:

1. Provare che, in un qualsiasi semigruppo commutativo, l'insieme degli elementi cancellabili costituisce una parte chiusa e satura.
2. Descrivere gli ideali primari e le decomposizioni primarie negli anelli di Dedekind.
3. Provare che un anello di polinomi $K[X]$ a coefficienti in un campo $K$ sull'insieme non vuoto $X$ di indeterminate è un anello di Dedekind se e solo se $|X|=1$.

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Discussione di un esercizio: ideali primari e decomposizioni primarie minimali in anelli di Dedekind.

I quozienti propri degli anelli di Dedekind hanno solo un numero finito di ideali.

Teorema: $R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale (intero) è prodotto di ideali primi. Come conseguenza: gli anelli di frazioni degli anelli di Dedekind, se non nulli, sono essi stessi di Dedekind.

Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Allora $R$ è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo diverso da zero. Inoltre, sono equivalenti: (1) $R$ è principale; (2) $R$ è fattoriale e di Dedekind; (3) $R$ è fattoriale e $\dim R\le 1$.

Alcune proprietà degli ideali di un anello di Dedekind $R$: per ogni $I,J\in\I^*(R)$ si ha che $I+J$ e $I\cap J$ sono, rispettivamente, l'unico MCD e l'unico mcm tra $I$ e $J$ in $\I^*(R)$, dunque $I$ e $J$ sono comassimali se e solo se sono coprimi in $\I^*(R)$ e, inoltre, per ogni $H\in\I^*(R)$, $HI\cap HJ=H(I\cap J)$. Si ha poi:

• Se $0\ne H\n R$ e $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$.
• Per ogni $I,J\in\I^*(R)$, esiste $H\n R$ tale che $IH$ sia principale e $J+H=R$.
• Ogni quoziente proprio di $R$ è ad ideali tutti principali. Dunque, per ogni ideale non nullo $H$ di $R$ ed ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=(a,b)$.
• Se $\spec (R)$ è finito, allora $R$ è principale.

Esercizi proposti:

1. Estendere così uno dei risultati provati a lezione: se $M$ è un monoide commutativo, il sottoinsieme di $M$ costituito dagli elementi invertibili e dai prodotti di primi cancellabili è un sottomonoide saturo di $M$; questo coincide con $M$ se e solo se $M$ è fattoriale.
2. Verificare per via diretta che se $H$ è un ideale invertibile di un dominio di integrità $R$ ed $S^{-1}R$ è un anello di frazioni non nullo di $R$, allora l'espansione di $H$ in $S^{-1}R$ è invertibile.
3. Provare che se $H$ è un ideale non nullo di un anello di Dedekind $R$ e $F$ è un insieme finito di ideali di $R$, allora $H\supset \bigcup\set{HI\mid I\in F}$.
4. Provare che un anello di polinomi $K[X]$ a coefficienti in un campo $K$ sull'insieme non vuoto $X$ di indeterminate è un anello di Dedekind se e solo se $|X|=1$.

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Interi su un anello (commutativo unitario); interi algebrici. Alcuni esempi e prime caratterizzazioni elementari. Sia $R$ un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$ e sia $c\in A$. Se $c$ è invertibile, $c$ è intero su $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$; in ogni caso sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ammette un modulo fedele che è finitamente generato come $R$-modulo. Corollario: se $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, allora $A$ è un ampliamento algebrico di $R$.

Se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. Di conseguenza, se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ è un ampliamento di $R$ e ciascuno dei $c_i$ è algebrico su $A=R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, quindi è un ampliamento intero di $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello. Transitività dell'integralità. Domini di integrità integralmente chiusi; lo sono gli anelli fattoriali. Esempio; $\Z[\sqrt 5]$ non è integralmente chiuso, quindi non è fattoriale.

Sia $A$ un ampliamento intero di un anello commutativo (unitario) $R$. Se $P$ e $Q$ sono ideali di $A$ tali che $P$ sia primo, $P\sseq Q$ e $P\cap R=Q\cap R$, allora $P=Q$. Di conseguenza la dimensione di $A$ non eccede quella di $R$. Ulteriore conseguenza: se, nella stessa situazione $A$ è un dominio di integrità, allora $A$ è un campo se e solo se $R$ è un campo.

Anelli di valutazione. Caratterizzazioni elementari. Esempi; sono di valutazione gli anelli locali di Dedekind (vale a dire: le localizzazioni degli anelli di Dedekind). Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare tramite MCD. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello fattoriale. Se due qualsiasi elementi irriducibili di $R$ sono associati, allora $R$ è un anello principale locale, cioè un anello di valutazione principale.
2. Dimostrare che gli anelli di Bézout fattoriali sono principali. Suggerimento: si tratta di provare che sono noetheriani, cioè che verificano la condizione massimale sugli ideali finitamente generati.
3. Verificare che se l'anello commutativo $A$ è un ampliamento intero del suo sottoanello (unitario) $R$, allora:
   • per ogni $H\n A$, $H/A$ è un ampliamento intero di $R+H/H$;
   • per ogni $S\sseq R$, $S^{-1}A$ si può riguardare (a meno di isomorfismi) come ampliamento intero di $S^{-1}R$.

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Solo menzione di due esempi di anelli di Bézout non principali (cioè non noetheriani): l'anello dei numeri complessi interi algebrici e il sottoanello $\Z+x\Q[x]$ di $\Q[x]$.

Valutazioni su un campo e corrispondenti anelli di valutazione; panoramica delle principali proprietà. Esempi, tra cui la valutazione $p$ -adica (per primi naturali $p$ nel campo razionale).

Gli anelli di valutazione sono integralmente chiusi.

Teorema: sia $K$ un campo e sia $\mathscr S$ l'insieme (non vuoto) delle coppie $(A,I)$ tali che $A$ sia un sottoanello di $K$ e $I$ ne sia un ideale proprio. Si ordini $\mathscr S$ per “inclusione componente per componente”. Allora l'insieme degli elementi di $\mathscr S$ maggioranti di un suo prefissato elemento è induttivo ed i suoi elementi massimali sono coppie costituite da un anello di valutazione $V$ e dal suo ideale massimale; inoltre $V$ ha $K$ come campo dei quozienti.

La chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione tra i sottoanelli di valutazione di $K$ contenenti $R$.

Lemma: se $R$ è un anello commutativo noetheriano, ogni ideale non nullo di $R$ contiene un prodotto di ideali primi non nulli di $R$.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione (principale); (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$. La dimostrazione va completata.

Esercizi proposti:

1. Provare che se $R$ è un dominio di integrità unitario, l'intersezione delle sue localizzazioni ad ideali massimali (realizzate in un fissato campo dei quozienti di $R$) è $R$ stesso.
2. Completare la verifica di un'osservazione fatta a lezione: se $R$ è un dominio di integrità unitario ed il suo monoide moltiplicativo degli ideali non nulli è cancellativo, allora $R$ è integralmente chiuso.

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Completamento della dimostrazione del teorema di Emmy Noether non terminato nella scorsa lezione.

Applicazioni alle teoria dei numeri: campi di numeri e loro anelli degli interi algebrici. Alcune osservazioni: (1): il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Di conseguenza, se $K$ è un campo di numeri e $Z_K$ è il suo anello degli interi algebrici, allora $K=Q(Z_K)$; inoltre $K$ ha una $\Q$-base contenuta in $Z_K$; (2, non dimostrata): un numero complesso è un intero algebrico se e solo se è algebrico (su $\Q$) ed il suo polinomio minimo su $\Q$ è in $\Z[x]$.

Richiami di teoria dei campi e di Galois; discriminante di una base. $K$ (definito come sopra) ha una base intera (cioè una $\Q$-base che è anche una $\Z$-base di $Z_K$. Di conseguenza, $Z_K$ è un anello di Dedekind.

Cenni al gruppo delle classi di un anello di Dedekind; teoremi (senza dimostrazione) di Kummer e di Claborn (questo gruppo è finito nel caso degli anelli $Z_K$ qui discussi, arbitrario per anelli di Dedekind arbitrari).

Norma e traccia in $K$; alcune proprietà elementari (in $Z_k$ ogni elemento divide la sua norma; 0 è l'unico elemento di norma 0); per ogni $a\in\Z\setminus\set 0$, l'indice dell'ideale generato da $a$ in $\Z_k$ è $|N_{K/\Q}(a)|$. Di conseguenza, tutti i quozienti propri di $\Z_K$ sono finiti.

Esercizi proposti:

1. Calcolare il discriminante di una base $\set{a+ib,c+id}$ del campo $\Q[i]$ rispetto a $\Q$ (dove $i$ è l'unità immaginaria).
2. Con riferimento alla norma definita nello stesso campo $\Q[i]$ rispetto a $\Q$, individuare gli elementi di $\Z[i]$ che abbiano norma 1, 2 o 3.

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Se $I$ e $H$ sono ideali non nulli in un anello di Dedekind $R$, allora $H/HI\iso_R R/I$, quindi $|R/HI|=|R/H|\cdot|R/I|$.

Ancora applicazioni alla teoria dei numeri: per un campo di numeri $K$ ed il suo anello $Z_K$ degli interi algebrici, norma di un ideale non nullo di $Z_K$; la norma di un ideale principale non nullo coincide col valore assoluto della norma (rispetto a $K/\Q$) di un suo generatore (dimostrazione vista solo nel caso in cui $K$ sia di Galois su $\Q$). Ancora su norma e divisibilità: gli elementi invertibili di $Z_K$ sono precisamente quelli di norma $1$ o $-1$; gli elementi di norma un intero primo (non nullo) sono irriducibili in $Z_K$.

Descrizione dell'anello degli interi delle estensioni quadratiche (cioè di grado 2) di $\Q$ e di una loro base intera. Notizie sulle proprietà di questi anelli di essere fattoriali o addirittura (euclidei).

Enunciato del teorema degli invertibili di Dirichlet e, come conseguenza, struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri, con qualche esempio.

Fattorizzazioni (non sempre uniche) di elementi e (uniche) di ideali in anelli di interi algebrici. Un esempio di fattorizzazione: quella dell'ideale generato da $6$ in $\Z[\sqrt{-5}]=Z_{\Z(\sqrt{-5})}$ in prodotto di primi e corrispondenti fattorizzazioni di $6$ in prodotto di irriducibili nello stesso anello.

Esercizi proposti:

1. Per ogni intero negativo $d$ libero da quadrati, calcolare gli elementi invertibili dell'anello degli interi algebrici di $\Z[\sqrt{d}]$.
2. Posto $R=\Z[\sqrt{-5}]$, utilizzando quanto visto a lezione a proposito della fattorizzazione di $6R$ in prodotto di ideali primi, scrivere $9R$ come prodotto di ideali primi e, in quanti più modi possibile, $9$ come prodotto di irriducibili in $R$.

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Anelli prebooleani (cioè ad elementi tutti idempotenti) ed anelli booleani. Esempio: l'anello delle parti di un insieme.

Gli anelli prebooleani sono commutativi e, se non nulli, di caratteristica 2. Proprietà elementari della divisibilità in un anello prebooleano $R$: è una relazione d'ordine; scelti comunque due elementi $a$ e $b$ in $R$, $a$ divide $b$ se e solo se $ab=b$; inoltre $aR\cap bR=abR$ quindi $ab$ è l'unico mcmc tra $a$ e $b$, e $aR+bR=dR$, dove $d=ab+a+b$ è l'unico MCD tra $a$ e $b$. Gli ideali finitamente generati in un anello prebooleano sono tutti principali. Se $R$ è un anello prebooleano, i suoi ideali primari sono tutti e soli gli ideali massimali, ed hanno indice 2, determinando come quoziente il campo di ordine 2. Conseguenza: gli anelli prebooleani noetheriani sono tutti finiti.

Ogni anello prebooleano è un ideale massimale di un anello booleano (la corrispondente $\Z_2$-algebra accresciuta) ed ha radicale di Jacobson nullo. Un esempio: l'anello prebooleano (non unitario) delle parti finite di un insieme infinito $S$ ha per algebra accresciuta l'anello (booleano) delle parti finite o cofinite di $S$. Se $S$ è numerabile, quest'ultimo anello non è isomorfo all'anello delle parti di alcun insieme.

Descrizione degli ideali dell'anello delle parti di un insieme. Legami con le nozioni di filtro, di ultrafiltro e di (ultra)filtro principale.

Teorema di Stone: ogni anello booleano è isomorfo all'anello dei clopen di uno spazio topologico compatto, di Hausdorff e totalmente sconnesso. Un cenno alla topologia di Zariski per arbitrari anelli commutativi.

Casi particolari e corollari: ogni anello booleano finito è isomorfo all'anello delle parti di un insieme finito (ed ha ordine potenza di 2); due anelli booleani finiti equipotenti sono necessariamente isomorfi; ogni anello prebooleano finito è booleano.

Cenno ad altre strutture booleane ed alla loro occorrenza in diversi settori delle matematica.

Il contenuto di questa lezione apparirà in una prossima versione delle note, che sostituirà interamente la versione precedente.

Esercizi proposti:

1. Provare che ogni ideale proprio di un anello prebooleano è contenuto in un ideale massimale.
2. Dimostrare che, per ogni anello commutativo $R$, la topologia di Zariski sullo spettro di $R$ (definita dichiarando come chiusi le varietà degli ideali di $R$) è compatta.
3. Descrivere la topologia di Zariski definita per l'anello $\Z$.