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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento. Origini e ruolo dell'algebra commutativa in relazione con altri settori della matematica.

Richiami sugli anelli; anelli commutativi. Anelli ed anelli unitari; cenni alle algebre universali ed alla nozione generale di sottostruttura in algebra. Sottoanelli e sottoanelli unitari. Alcuni esempi di anelli commutativi unitari e loro sottoanelli: l'anello $\Z\times\Z$, l'anello delle parti di un insieme.

Introduzione ai premoduli su un anello commutativo.

Esercizi proposti:

1. Siano $S$ un insieme e $T$ una parte di $S$. $\P(T)$ è un ideale dell'anello delle parti di $S$?
2. Il sottoanello $\Z\times\set 0$ dell'anello $\Z\times\Z$ ne è un ideale?
3. Trovare, nell'anello $\Z_{6}$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $\Z_{6}$ (Suggerimento: partire da $[3]_{6}$).
4. Sia $S$ un insieme. Determinare gli ideali principali di dell'anello delle parti $\P(S)$. Provare che se $S$ è finito tutti gli ideali di $\P(S)$ sono principali. Cosa succede se $S$ è infinito? Come si possono caratterizzare gli ideali di $\P(S)$ in questo caso?
5. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello delle parti di $\N$?

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Operazioni puntuali. L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano, con alcuni esempi.

Omomorfismi di anelli unitari.

Azioni di premodulo ed azioni di modulo; premoduli e moduli. Alcuni esempi fondamentali: spazi vettoriali, gruppi abeliani visti come $\Z$-moduli (nell'unico modo possibile), per un arbitrario anello commutativo $R$: il premodulo $R_R$, gruppi abeliani visti come $R$-premoduli con moltiplicazione esterna nulla.

Sotto(pre)moduli; identificazione dei sottopremoduli nei premoduli appena menzionati.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.
2. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli.
3. Provare che se $A$ e $B$ sono anelli unitari e $f\colon A\to B$ è un isomorfismo di anelli tra essi, allora $f$ è un omomorfismo di anelli unitari.
4. Sia $(G,\cdot)$ un semigruppo ad elementi tutti cancellabili (ad esempio, un gruppo), e siano $\alpha$ e $\beta$ due suoi endomorfismi. Se $X$ è un insieme, indicando con $\odot$ l'operazione puntuale definita da $\cdot$ in $G^X$, provare che $\alpha\odot\beta$ è un endomorfismo se e solo se $\im\alpha$ (l'immagine di $\alpha$) centralizza $\im\beta$.
5. Nell'anello delle parti di $\N$, provare che $\set{\vuoto,\N}$ è un sottogruppo del gruppo additivo dell'anello ma non ne è un ideale.

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Alcune regole di calcolo in premoduli. Omomorfismi tra (pre)moduli su un fissato anello. Congruenze in premoduli; quozienti di premoduli. Somme tra sottopremoduli. Teoremi di omomorfismo e teorema di corrispondenza per premoduli (sottopremoduli di un quoziente).

Il reticolo dei sotto(pre)moduli di un (pre)modulo. La legge modulare di Dedekind ed un suo corollario (due sottopremoduli confrontabili coincidono se hanno stessa intersezione e stessa somma con un assegnato sottopremodulo).

Per un premodulo $M$ su un anello commutativo $R$: il prodotto $XS$ tra una parte $X$ di $M$ ed una parte $S$ di $R$. Combinazioni lineari. Descrizione del sottomodulo generato da una parte di un modulo.

Premoduli ciclici. Struttura dei moduli ciclici su un fissato anello commutativo unitario.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato (davvero molto, questa volta).
2. Confrontare la descrizione dei moduli ciclici data a lezione col teorema di caratterizzazione dei gruppi ciclici. Confrontare anche le relative dimostrazioni.
3. Vero o falso? Se $I$ e $J$ sono ideali dell'anello (commutativo) $R$, allora $IJ\sseq I\cap J$.
4. Se $X$ è una parte di un premodulo su un anello commutativo $R$, è necessariamente vero che $XR$ contiene $X$?

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Completamento della classificazione dei moduli ciclici. Annullatori di premoduli e di loro parti; alcuni esempi.

Descrizione del sottopremodulo generato da una parte $X$ di un premodulo. Il suo annullatore coincide con l'annullatore di $X$.

Osservazione: se $R$ è un anello commutativo e $a\in R$, alora $R=aR$ se e solo se $R$ è unitario e $a$ è invertibile in $R$.

Alcuni metodi per il cambio dell'anello degli scalari di un premodulo; discussione su come un cambio di scalari modifica gli insiemi dei sottopremoduli e degli omomorfismi; alcuni esempi.

Esercizi proposti:

1. Descrivere gli spazi vettoriali che (come moduli) siano ciclici.
2. Un premodulo $M$ su un anello $R$ si dice fedele se e solo se $\ann_R(M)=0$. Provare che:
   • Se $R$ è un anello commutativo unitario, a meno di isomorfismi, $R_R$ è l'unico $R$-modulo ciclico fedele,
   • Per ogni premodulo $M$ su un anello commutativo $R$, esiste un ideale $H$ di $R$ tale che, con un cambio di scalari, $M$ si possa riguardare come $(R/H)$-modulo fedele e gli insiemi degli $R$-sottomoduli e degli $(R/H)$-sottomoduli di $M$ coincidano.
3. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato.

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Moduli fedeli; esempi.

Premoduli finitamente generati. Cenno alla nozione di compattezza per insiemi ordinati. Alcuni lemmi: (1) l'unione di una catena non vuota di sottopremoduli è un sottopremodulo e, se finitamente generata, è il massimo della catena; (2) un premodulo finitamente generato e non nullo ha sempre sottopremoduli massimali (comparazione col teorema di Krull sugli ideali massimali); (3) l'insieme dei sottopremoduli non finitamente generati in un premodulo è induttivo.

Premoduli semplici (e moduli semplici); esempi; sottopremoduli massimali. Struttura dei premoduli semplici.

Ideali massimali e loro caratterizzazione.

Radicale di Jacobson. Lemma di Nakayama.

Esercizi proposti:

1. Applicare la caratterizzazione dei moduli e dei premoduli semplici al caso degli $\Z$-moduli (ovvero: gruppi abeliani) semplici e degli $\Z$-premoduli semplici. Fare lo stesso per i (pre)moduli semplici su $\Q$ e su $\Z_4$.
2. Calcolare il radicale di Jacobson di $\Z_n$ nei casi $n=8$, $n=6$, $n=12$, $n=17$. Cosa succede nel caso generale?
3. Provare che il gruppo $(\Q,+)$ non è finitamente generato.

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Osservazioni su ideali ed elementi invertibili in anelli commutativi unitari. Per ogni tale anello $R$, $\U(R)$ è il complemento in $R$ dell'unione dell'insieme degli ideali massimali; inoltre $\jac(R)=\set{a\in R\mid 1_R+aR\sseq\U(R)}$; di conseguenza per ogni $a\in \jac(R)$ si ha $|aR|\le |\U(R)|$, dunque $|R|=|\U(R)|$ se $\jac(R)$ contiene elementi cancellabili di $R$. Alcuni esempi. Anelli locali (esempi: campi, anelli degli interi modulo potenze di numeri primi, per ogni primo $p$ il sottoanello di $\Q$ costituito dalle frazioni con denominatore un intero coprimo con $p$).

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario. Sottoalgebre ed omomorfismi di algebre. Algebre unitarie. Omomorfismo di struttura di un'algebra unitaria e, per fissati anelli commutativi unitari $R$ ed $A$, biezione canonica tra l'insieme degli omomorfismi di anelli unitari $R\to A$ e l'insieme delle operazioni esterne che strutturano $A$ come $R$-algebra unitaria. Caratterizzazione degli omomorfismi di algebre unitarie in termini degli omomorfismi di struttura. Esempi: gli anelli commutativi sono, in unico modo, $\Z$-algebre; ogni anello commutativo unitario ha un'ovvia struttura di algebra unitaria su se stesso. Estensioni di campi visti come come algebre.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria.

Esercizi proposti:

1. Siano $R$ un anello commutativo unitario ed $M$ un $R$-modulo. Verificare che, munendo $M$ della moltiplicazione interna costante $0_M$, $M$ si struttura come $R$-algebra.
2. Verificare in dettaglio che, come suggerito a lezione, se $A$ e $B$ sono anelli commutativi, e riguardati essi come $\Z$-algebre (nell'unico modo possibile):
   • le $\Z$-sottoalgebre di $A$ sono tutte e sole i sottoanelli di $A$;
   • gli omomorfismi di $\Z$-algebre da $A$ a $B$ sono tutti e soli gli omomorfismi di anelli da $A$ a $B$.
3. Sia $A$ un anello commutativo unitario e sia $R$ un suo sottoanello unitario. Verificare che la restrizione ad $A\times R$ della moltiplicazione interna di $A$ rende $A$ una $R$-algebra. Qual è in questo caso l'omomorfismo di struttura?
4. Siano $F$ un campo e $K$ un suo sottocampo. Si chiama gruppo di Galois dell'estesione $F/K$ il gruppo degli automorfismi $\alpha$ del campo $F$ tali che $k^\alpha=k$ per ogni $k\in K$. Provare che il gruppo di Galois di $F/K$ è precisamente il gruppo degli automorfismi di $F$ visto come algebra su $K$.
   Questo risultato si estende al caso descritto all'esercizio precedente?
5. Sia $p$ un intero positivo primo. Verificare in dettaglio che $\Q_{p'}:=\set{a/b\mid a\in\Z \land b\in\Z\setminus p\Z}$ è un sottoanello di $p$ e che $p\Q_{p'}$ ne è l'unico ideale massimale.

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Breve discussione generale sulle nozioni di trasferimento di struttura ed identificazione in matematica.

Osservazione: gli ideali di un'algebra unitaria sono sottoalgebre.

Approfondimento sull'immersione di un'algebra in un'algebra unitaria. algebra accresciuta. Un esempio (l'algebra $(\Z_2)_{\Z_2}\rtimes \Z_2$). Come caso particolare: l'anello accresciuto (immersione di un anello in un anello unitario).

Equivalenza tra lo studio dei premoduli su un anello commutativo e quello dei moduli sull'anello accresciuto definito da questo.

Esercizi proposti:

1. Descrivere l'anello accresciuto definito da $\Z$.
2. Siano $a=[2]_4$ e $A$ l'ideale generato da $a$ nell'anello $\Z_4$. Verificare che $A$ si può riguardare in un unico modo come algebra (non unitaria) su $\Z_2$. Immergere poi $A$ in una $\Z_2$-algebra unitaria $A_1$ e scrivere esplicitamente le tavole di addizione e moltiplicazione (interna) di $A_1$.
3. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $A$ e $B$ due $R$-algebre (associative e commutative), $\varphi\colon A\to B$ un omomorfismo di $R$-algebre. Dette $A_1$ e $B_1$ le $R$-algebre accresciute $A\rtimes R$ e $B\rtimes R$, verificare che $\varphi_1\colon (a,r)\in A_1\mapsto (a^\varphi, r)\in B_1$ è un omomorfismo di $R$-algebre unitarie.

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Breve discussione su alcuni degli esercizi dalla lezione precedente.

Descrizione del sottopremodulo generato da una parte di un premodulo e, quindi, dei premoduli ciclici.

Idealizzazione di un premodulo.

Alcune proprietà dei prodotto tra parti di un premodulo $M$ su un anello commutativo $M$ e parti di $R$: per ogni $A,B\sseq M$ e $X,Y\sseq R$, $(AX)Y=A(XY)$, $(A+B)X\sseq AX+BX$ (vale l'inclusione inversa se $0_M\in A\cap B$), $A(X+Y)\sseq AX+AY$ (vale l'inclusione inversa se $0_R\in X\cap Y$). Il semigruppo moltiplicativo degli ideali di un anello commutativo (è un monoide se l'anello è anche unitario).

Ideali comassimali. In un anello commutativo unitario, se due ideali sono comassimali con un terzo ideale, anche il loro prodotto lo è; il prodotto di un numero finito ideali a due comassimali coincide con la loro intersezione. Interpretazione di questi risultati nel caso degli ideali di $\Z$.

Lemma di Nakayama in forma forte (NAK) per premoduli. La dimostrazione è stata per ora fornita solo nel caso dei moduli, verrà completata nella lezione successiva.

Esercizi proposti:

1. Sia $M$ un premodulo finitamente generato sull'anello commutativo $R$ e sia $N\le_R M$. Supponiamo $M=N+M\jac(R)$. Che conclusione possiamo trarre su $N$?
2. Sia $M$ un premodulo fedele finitamente generato sull'anello commutativo $R$, e sia $H\n R$. Supponiamo $M=MH$. Che conclusione possiamo trarre su $H$?
3. Costruire un premodulo $M$ su un anello commutativo $R$ ed un ideale $H$ di $R$ tali che $R=H+\ann_R(M)$ ma $M\ne MH$.
4. Per il lemma di Nakayama in qualsiasi sua forma è necessaria l'ipotesi che il (pre)modulo coinvolto sia finitamente generato. Giustificare questa affermazione trovando dei contresempi a questo proposito.

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Breve discussione su uno degli esercizi dalla lezione precedente.

Completamento della dimostrazione del lemma NAK.

Ideali primi; alcune loro caratterizzazioni elementari. Il simbolo $(N:X)_R$ per parti $N$ ed $X$ di un $R$-premodulo. Ideali massimali ed ideali primi. Lemma: se, in un anello commutativo $R$, $S$ è una parte non vuota che sia chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da un prefissato ideale $H$, allora l'insieme degli ideali di $R$ contenenti $H$ e disgiunti da $S$ è induttivo ed i suoi elementi massimali sono ideali primi. Una forma di inversione di questo enunciato.

Elementi nilpotenti in un anello commutativo $R$. L'insieme da essi costituito è il nilradicale $\nrad(R)$ dell'anello: l'intersezione dello spettro (l'insieme $\spec(R)$ degli ideali primi) di $R$, o, se $\spec(R)=\vuoto$, $R$ stesso. Conseguenze: se $R$ è unitario $\nrad(R)\subseteq \jac(R)$; se $a$ è un elemento nilpotente e $u$ un elemento invertibile di $R$, allora $a+u$ è invertibile. Alcuni esempi e controesempi; nilradicali nei quozienti di $\Z$.

La varietà ed il radicale di un ideale in un anello commutativo $R$. Alcuni esempi e prime proprietà: se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; inoltre, se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$.

Esercizi proposti:

1. Dimostrare per via diretta (cioà senza usare il nilradicale) che gli elementi nilpotenti in un anello commutativo ne costituiscono in ideale. Se inoltre l'anello è unitario, ed in esso $a$ è un elemento nilpotente (e $n\in\N$ è tale che $a^n=0$) e $u$ è un elemento invertibile, trovare un'espressione esplicita per $(u+a)^{-1}$.
2. Dato un intero positivo $n$, descrivere l'intero positivo $m$ tale che $m\Z/n\Z$ sia il nilradicale di $\Z_n$.
3. Provare che se, in anello commutativo, $P$ è un ideale primo, allora per ogni intero positivo $n$ si ha $\sqrt {P^n}=P$.

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Breve discussione su uno degli esercizi dalla lezione precedente.

Condizioni di catena (minimale e massimale) in insiemi ordinati; definizioni tramite proprietà tra loro equivalenti. Premoduli artiniani e premoduli noetheriani. Anelli (commutativi) artiniani e noetheriani. Vari esempi. Sottomoduli, quozienti ed estensioni di premoduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani). Ulteriori proprietà di chiusura derivate dalle precedenti (per somme finite, per quozienti rispetto ad intersezioni finite di nuclei di quozienti). Risultati analoghi (più deboli) per anelli.

Caratterizzazione dei premoduli che sono contemporaneamente artiniani e noetheriani come quelli dotati di una serie finita a fattori semplici.

L'anello accresciuto definito da un anello commutativo $R$ non è mai artiniano, ma è noetheriano se $R$ lo è.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio che $\Q$, riguardato come $\Z$-modulo, non è né artiniano né noetheriano, mentre, riguardato come $\Q$-modulo, ha entrambe le proprietà.
2. Sia $M$ un premodulo sull'anello commutativo $R$. Decidere se sono vere o false:
   1. Se $H$ è un ideale di $R$ contenente $\ann_R(M)$, $M$ è artiniano (risp. noetheriano) come $(R/H)$-premodulo (con cambio degli scalari mod $H$) se e solo se lo è come $R$-premodulo.
   2. Sia $f\colon S\to R$ un omomorfismo di anelli (commutativi) e sia $M_S$ l'$S$-premodulo ottenuto da $M$ con il cambio degli scalari via $f$. Allora $M_S$ è artiniano (risp. noetheriano) se e solo se lo è $M$ (come $R$-premodulo).
   In entrambi i casi, se l'equivalenza non vale, stabilire se vale almeno una delle implicazioni.

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Caratterizzazione dei (pre)moduli e degli anelli (commutativi) noetheriani in termini di sottomoduli finitamente generati.

In un anello commutativo unitario, un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati. L'ipotesi che l'anello sia unitario è qui essenziale.

Prodotti diretti e somme dirette, esterne ed interne, di premoduli. Isomorfismo tra somme dirette esterne ed interne.

Premoduli liberi: definizione.

Esercizi proposti:

1. Per ogni intero positivo $n$, sia $C_n$ un gruppo ciclico di ordine $n$. Provare che, come detto a lezione, $\coprod_{n\in\N^+}C_n$ è periodico ma $\prod_{n\in\N^+}C_n$ non lo è.
2. Dati uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$ ed una base $B$ di $V$, verificare che, come suggerito a lezione, l'immersione di $B$ in $V$ è un'applicazione universale per $K$-spazi vettoriali.
3. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Verificare che $R_R$ è un $R$-modulo libero con l'immersione di $\set{1_R}$ in $R_R$ come applicazione universale.

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Proprietà di unicità (a meno di isomorfismi) dei moduli e dei promoduli liberi. Esistenza e caratterizzazione dei moduli liberi, ed altre loro proprietà. Iniettività delle applicazioni universali. Ogni modulo libero è generato dall'immagine di (una qualsiasi delle) corrispondenti applicazioni universali. Comparazione con la nozione elementare di base di uno spazio vettoriale. Ogni modulo è immagine epimorfa di un modulo libero su un suo insieme di generatori. Esempio: rivisitazione dei moduli ciclici. Rapida descrizione dei premoduli liberi.

Se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, tutti gli $R$-moduli finitamemte generati sono noetheriani. Questo risultato non vale se $R$ non è noetheriano.

Altrettanto rapida discussione delle proprietà universali per i prodotti diretti (prodotti) e le somme dirette (coprodotti) di premoduli.

Algebre (associative) commutative unitarie libere. Interpretazione della proprietà universale che esse soddisfano in termini di omomorfismi di anelli unitari.

Esercizi proposti:

1. Abbiamo visto che i moduli finitamente generati sugli anelli commutativi unitari noetheriano sono noetheriani. Vale il risultato analogo per i premoduli?
2. Verificare questa proprietà universale per (il consueto) anello dei polinomi ad una indeterminata sull'anello commutativo unitario $R$: per ogni omomorfismo $\phi\colon R\to A$ di anelli (commutativi) unitari e ogni $c\in A$ esiste uno ed un solo omomorfismo di anelli unitari $\psi\colon R[x]\to A$ tale che la restrizione di $\psi$ e $R$ sia $\phi$ e $x^\psi=c$. Concludere che $R[x]$ è una $R$-algebra (associativa) commutativa unitaria libera di base $\set x$.

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Proprietà universale per anelli di polinomi ad una indeterminata e discussione del caso generale: anelli di polinomi su insiemi arbitrari di indeterminate (come algebre (associative, commutative) unitarie libere). Cenni alla costruzione. Per un anello commutativo unitario $R$, isomorfismi $R[X\cup Y]\iso (R[X])[Y]$ e $R[X\cup Y]/(Y)\iso R[X]$ (quelli indicati sono anelli di polinomi negli indicati insiemi di indeterminate).

Ogni algebra unitaria è ottenibile come immagine omomorfa di un anello di polinomi. Esempi su come ottenere ampliamenti di anelli commutativi unitari come quozienti di anelli di polinomi.

Esercizi proposti:

1. Costruire un anello commutativo unitario $R$ di caratteristica 3 che abbia due elementi $a$ e $b$ non identici e distinti tra loro tali che $a^2=b^3=ab=0_R$ e $a\ne 0_R\ne b^2$.

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Discussione dell'esercizio dalla lezione precedente.

Il teorema della base di Hilbert (per anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate), con rapido inquadramento storico ed un cenno ad una sua interpretazione geometrica (ed al teorema degli zeri di Hilbert). Un corollario: se $A$ è un'algebra unitaria finitamente generata su un anello commutativo unitario noetheriano $R$, allora $A$, come anello, è noetheriano. È essenziale richiedere che $A$ sia unitaria (si veda uno degli esercizi).

Prodotti diretti e somme dirette (esterne ed interne) di anelli e di anelli unitari. Ideali in una somma diretta di anelli unitari.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $a\in R$. Provare che se $R/aR$ è artiniano, o noetheriano, per ogni $n\in\N^+$ anche $R/a^nR$ lo è.
2. Sia $A=\bigoplus_{i\in\N}\gen{a_i}$ un gruppo abeliano libero sulla base $\set{a_i\mid i\in\N}$ (dunque, per ogni $i\in\N$, $\gen{a_i}$ è un gruppo ciclico infinito). Si strutturi $A$ come modulo sull'anello di polinomi ad una indeterminata $\Z[x]$ tramite l'omomorfismo di anelli unitari $\Z[x]\to\End(A,+)$ che ad $x$ associa l'endomorfismo di $A$ definito da $a_i\mapsto a_{i+1}$ per ogni $i\in\N$. Si munisca poi $A$ del prodotto costante nullo; $A$ diventa così una $\Z[x]$-algebra non unitaria. Verificare che, come $\Z[x]$-algebra, $A$ è generata da un elemento, ma, benché $\Z[x]$ sia noetheriano, $A$ non è un anello noetheriano.

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In una somma diretta di anelli unitari: ideali massimali, ideali primi, nilradicale e radicale di Jacobson.

Anelli di funzioni. Prodotti diretti di algebre.

Elementi idempotenti; idempotenti ortogonali. Se $e$ è un idempotente in un anello commutativo unitario $R$, anche $1_R-e$ lo è, ed è ortogonale ad $e$. Biezione tra gli insiemi delle fattorizzazioni di $R$ in somma diretta di un numero finito di suoi ideali e quello delle decomposizioni della sua unità in somma di idempotenti ortogonali. Qualche esempio nel caso di quozienti di $\Z$.

Omomorfismi $M\to\prod_{i\in I}M/N_i$ e $R\to\prod_{i\in I}R/H_i$ indotti dagli epimorfismi canonici, dove $M$ è un premodulo e $(N_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi sottopremoduli, o $R$ è un anello commutativo e $(H_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi ideali. Nel caso degli anelli unitari o delle algebre, condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la suriettività di questo omomorfismo.

Esercizi proposti:

1. Svolgere l'esercizio 4.B.1 dalle note.
2. Sia $I$ un insieme. Ad ogni $x\in\P(I)$, si associ la funzione caratteristica di $x$ in $S$ a valori in $\Z_2$, vale a dire la famiglia $(x_i)_{i\in I}$ definita ponendo, per ogni $i\in I$, $x_i=[1]_2$ se $i\in x$ e $x_i=[0]_2$ se $i\notin x$. Provare che in questo modo si è costruito un isomorfismo dall'anello $(\P(S),\ds,\cap)$ al prodotto diretto $\prod_{i\in S} \Z_2$.
3. Verificare che se l'unità di un anello commutativo unitario è somma di un numero finito di elementi dell'anello a due a due ortogonali: $1_R=\sum_{i\in I}r_i$, dove $I$ è finito e $r_ir_j=0_r$ per ogni $i\in I$ e $j\in I\setminus\set i$, allora gli elementi $r_i$ sono tutti idempotenti.
4. In $\Z_{30}$, scrivere l'unità $[1]_{30}$ come somma di tre idempotenti non banali.
5. Sia $e$ un elemento idempotente in un anello commutativo (non necessariamente unitario) $R$. Provare che $R=eR\oplus K$ per un opportuno $K\n R$.
6. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo $R$. Rivolto un pensiero a Nakayama ed ai suoi amici, provare che se $H^2=H$, allora $H=eR=eH$ per un opportuno elemento idempotente $e\in H$ (quindi $H$ è principale e, come anello, unitario) e $R=H\oplus K$ per un opportuno $K\n R$.

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Applicazione dell'ultimo risultato dela lezione precedente: teorema cinese dei resti. La funzione di Eulero; calcolo dei suoi valori.

Ideali primari. Definizione, esempi (descrizione degli ideali primari negli anelli principali); descrizione dei divisori dello zero in un quoziente di un anello e varie caratterizzazioni degli ideali primari. Proprietà essenziali: gli ideali primi sono primari, il radicale di un ideale primario $H$ è o l'intero anello oppure primo (in questo caso è quindi il minimo primo contenente $H$). In un anello commutativo unitario, un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario (questo non è necessariamente vero se l'anello non è unitario).

Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo: l'ideale generato da $x$ e $y^2$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $x$ e $y$ a coefficienti in un campo.

Osservazione: per ogni ideale primo $P$ ed ogni intero positivo $n$, $P$ è il radicale di $P^n$.

Esempio di anello commutativo unitario noetheriano con un ideale primo $P$ il cui quadrato $P^2$ non sia primario; discussione generale sui metodi di costruzione di simili controesempi.

Esercizi proposti:

1. Siano $R$ un anello commutativo e $H\n R$. Provare che gli ideali primari di $R/H$ sono tutti e soli quelli della forma $Q/H$ al variare di $Q$ tra gli ideali di primari di $R$ contenenti $H$.
2. Provare che gli ideali primari nell'anello delle parti di un insieme $S$ sono tutti e soli i suoi ideali massimali ed hanno indice 2.

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Decomposizioni primarie e ideali decomponibili (in intersezione finita di primari). L'intersezione tra due ideali primari con lo stesso radicale è ancora primario (ed ha ancora lo stesso radicale). Decomposizoni primarie minimali; ogni ideale decomponibile ne ha una.

Ideali irriducibili per intersezione (o $\cap$-irriducibili). Sia $R$ un anello commutativo noetheriano. Allora ogni ideale proprio $\cap$-irriducibile di $R$ è primario (ma non vale il viceversa); inoltre ogni ideale proprio di $R$ è intersezione di un insieme finito di ideali $\cap$-irriducibili, quindi è decomponibile.

Lemma: se $Q$ è un ideale primario in un anello commutativo $R$ e $a\in R\setminus Q$, allora o $(Q:a)_R$ è $R$ o un ideale primario di $Q$ (con lo stesso radicale di $Q$).

Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie (per anelli non necessariamente unitari). Ideali associati ad un ideale decomponibile (primi se propri); ideali associati isolati ed ideali immersi.

Alcune osservazioni: ogni catena non vuota di ideali primi in un anello commutativo $R$ ha per intersezione un ideale primo (dimostrazione lasciata per esercizio); di conseguenza $(\spec(R),\supseteq)$ è induttivo e, per ogni $H\n R$, se non vuoto $\var(H)$ ha elementi minimali. Se $H$ è decomponibile, questi elementi minimali sono precisamente gli ideali isolati associati ad $H$. Esempio (dimostrazione lasciata per esercizio): nell'anello delle parti di un insieme infinito gli ideali di indice infinito non sono decomponibili e la loro varietà ha infiniti elementi minimali.

Secondo teorema di unicità. Un esempio di ideale, in un anello commutativo unitario noetheriano (e fattoriale) con infinite decomposizioni primarie minimali.

Quanto annotato su tavoletta grafica durante la lezione di oggi è disponibile nella sezione materiale didattico della mia area nella piattaforma web docenti.

Esercizi proposti:

1. Completare le dmostrazioni relative agli esempi visti a lezione.
2. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$, decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Trovare una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.
3. Sotto quali condizioni l'intersezione tra due ideali primari è un ideale primario?
4. Costruire come segue un esempio di ideale irriducibile non primario in un anello commutativo unitario.

   Siano $p$ un numero naturale primo e $A$ un $p$-gruppo di Prüfer, visto come $\Z$-modulo. Sia $B=A\mathbin{{}_0\!\rtimes} \Z$ l'idealizzazione di $A$. Avendo identificato $A$ con l'ideale $A\times\set 0$ di $B$, provare che ogni ideale di $B$ non contenuto in $A$ contiene $A$, e descrivere così l'insieme ordinato degli ideali di $B$. Dedurne che ogni sottogruppo proprio di $A$ costituisce un ideale irriducibile e verificare che nessuno di questi ideali è primario.

   Osservare che il modulo $B_B$ è estensione di un modulo artiniano mediante un modulo noetheriano.

23/11

Anelli artiniani. Sia $R$ un anello commutativo artiniano. Se $R$ ha un elemento cancellabile $a$ allora $R$ è unitario e $a$ è invertibile; se $R$ è integro, allora $R$ è un campo; gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali e l'insieme degli ideali primi di $R$ è finito (lo stesso vale per l'insieme degli ideali massimali, ma questo non l'abbiamo dimostrato); inoltre il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente.

Due lemmi: (1) se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano; (2) in ogni anello commutativo gli ideali finitamete generati contenuti nel nilradicale sono nilpotenti; come caso particolare: se un ideale $J$ è compreso tra un ideale $H$ ed il suo radicale, ed inoltre $J/H$ è finitamente generato, allora $J/H$ è nilpotente.

Teorema: un anello commutativo unitario è artiniano se e solo se è noetheriano e di dimensione zero (cioè: tutti i suoi ideali primi sono massimali).

Struttura degli anelli artiniani unitari: loro decomposizione (unica) in somma diretta (finita) di sottoanelli locali.

Parti sature in un semigruppo ed in un anello commutativi; alcuni esempi, (tra i quali i complementi degli ideali); parte satura generata da un sottoinsieme. La saturazione (parte chiusa e satura generata) di una parte di un semigruppo commutativo. Nel semigruppo moltiplicativo di un anello commutativo, le parti chiuse e sature sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Introduzione agli anelli di frazioni. Per una parte non vuota $S$ di un anello commutativo $R$, omomorfismi $S$-inversivi (di dominio $R$). Omomorfismi $S$-inversivi universali. Sono equivalenti le proprietà di essere un omomorfismo $S$-inversivo (o $S$-inversivo universale), $S^\bullet$-inversivo (o $S^\bullet$-inversivo universale), $\hat S$-inversivo (o $\hat S$-inversivo universale); qui $S^\bullet$ e $\hat S$ indicano la parte chiusa generata e la saturazione di $S$.

Esercizi proposti:

1. Dimostrare che se $M$ è un premodulo artiniano, l'insieme dei suoi sottopremoduli di indice finito è finito. Dedurne che l'insieme degli ideli massimali di un anello comutativo artiniano è necessariamente finito.
2. Costruire un anello commutativo artiniano $R$ tale che $\jac(R)$ non coincida con $\nrad (R)$.
3. Sia $M$ un semigruppo commutativo, siano $S$ una parte e $z$ un elemento di $M$. Verificare che $x$ appartiene alla saturazione di $S$ in $M$ se e solo se $x$ divide, in $M$, un qualche prodotto di elementi di $S$.

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Lemma: se $f\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli tra due anelli unitari, $f$ è unitario se e solo se ad $\im f$ appartiene almeno un elemento cancellabile di $A$. Conseguenza: se $S$ è una parte non vuota di un anello commutativo unitario $R$, tutti gli omomorfismi $S$-inversivi di dominio $R$ sono unitari.

Per una parte non vuota $S$ di un anello commutativo $R$, costruzione dell'anello di frazioni $S^{-1}R$ e dell'omomorfismo $S$-inversivo universale $f_S$ (quasi tutte le verifiche sono state lasciate per esercizio). Nucleo di $f_S$. I divisori dello zero in $S^{-1}R$ hanno per numeratore un divisore dello zero in $R$.

Antiimmagini di ideali, ideali primi ideali primari mediante omomorfismi di anelli commutativi. Anche i radicali sono preservati dall'applicazione antiimagine.

Espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo universale $S$-inversivo da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. L'applicazione $ce$ è l'applicazione identica in $\I(S^{-1}R)$. Dunque, $c$ è una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ in quello degli ideali di $R$, mentre $e$ è suriettiva. Conseguenza: gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani), sono artiniani (risp. noetheriani). Similmente, il passaggio ad anelli di frazioni conserva le proprietà di essere ad ideali principali, domini di integrità, anelli principali (a condizione che l'anello di frazioni non sia nullo). Descrizione esplicita di $H^e$ e di $H^{ec}$ per un ideale $H\n R$; sono poi equivalenti: $H^e=S^{-1}R$, $H\cap S\ne\vuoto$, $\sqrt H\cap S\ne\vuoto$, $(\sqrt H)^e=S^{-1}R$.

Con le stesse notazioni,se $H\n R$, indicando con $\varepsilon$ immagini mediante l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\varepsilon)^{-1}R^\varepsilon$. Se $H$ è un ideale primario di $R$ e $H\cap S=\vuoto$, allora $H^{ec}=H$, $H^e$ è primario, (precisamente $P^e$-primario se $H$ è $P$-primario) ed è primo se $H$ è primo. Dunque, $e$ e $c$ inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$; tra $\set{P\in \spec(R)\mid P\cap S=\vuoto}$ e $\spec(S^{-1}R)$; per ogni $P\in \spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Terminologia e notazione: se $R$ è un anello commutativo unitario e $P\in \spec(R)$, la localizzazione di $R$ a $P$, cioè $(R\setminus P)^{-1}R$ si indica anche con $R_P$; il suo ideale massimale è $P^e$.

Esercizi proposti:

1. Completare in dettaglio le verifiche relative alla costruzione degli anelli di frazioni.
2. Scrivere, in un opportuno anello di frazioni, l'unità come frazione $r/s$ con $r\ne s$.
3. Dimostrare che, con le notazioni usate in questo resoconto, se $r/s$ è un elemento di $S^{-1}R$, allora $r/s$ è un divisore dello zero in $S^{-1}R$ se e solo se $r+\ker f_S$ lo è in $R/\ker f_S$.
4. Verificare, usando direttamente la definizione, che se $R=\Z_{100}$ e $S=\set{[8]_{100}}$ allora $S^{-1}R$ è isomorfo a $\Z_{25}.$
5. Siano $S$ un insieme e $T\subseteq S$. Provare che l'anello di frazioni $\set T ^{-1}\P(S)$ è isomorfo a $\P(T)$, con omomorfismo universale $\set T$-inversivo $f_{\set{T}}\colon X\in\P(S)\mapsto X\cap T\in\P(T)$. Suggerimento: se $f\colon \P(S)\to A$ è un omomorfismo $\set T$-inversivo di anelli (commutativi), verificare che $T^f=1_A$ e che $Y^f=0_A$ per ogni parte $Y$ di $S$ disgiunta da $T$. A questo punto, provare che $f=f_{\set{T}} \varphi$ se $\varphi$ è la restrizione di $f$ a $\P(T)$ e concludere la dimostrazione.

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Osservazione: se $P$ è un ideale primo dell'anello commutativo $R$, il campo residuo di $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo a $Q(R/P)$.

Le localizzazioni di $\Z$, con descrizione dettagliata dei loro ideali.

Ideali frazionari di un dominio di integrità unitario $R$ in un suo campo dei quozienti $K$ (le notazioni per $K$ e $R$ restano fissate per la prima parte di questo resoconto). Ideali frazionari principali. Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari i sottomoduli non nulli di $A$ ed anche $A\cap B$, $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Di conseguenza, gli $R$-sottomoduli non nulli finitamente generati sono ideali frazionari.

Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, e $M\le_R K$, allora $(M:A)_K=MA^{-1}$; in particolare, $A^{-1}=(R:A)_K$. Un ideale frazionario $A$ di $R$ è invertibile se e solo se $1_R\in A(R:A)_K$.

Moduli proiettivi (per un arbitrario anello commutativo unitario). A differenza di quanto nelle note, abbiamo tralasciato gli aspetti omologici: ci siamo limitati a dimostrare l'equivalenza tra le proprietà proiettiva, la proprietà di sollevamento e quella di essere sommando diretto di un gruppo libero; chiamando proiettivi i moduli che verificano queste. Può essere utile consultare le note della lezione caricate nella sezione materiale didattico della mia area nel sito web docenti. Il lemma della base duale.

Teorema: gli ideali frazionari invertibili sono tutti e soli quelli proiettivi; inoltre essi sono finitamente generati.

Anelli di Dedekind; definizione e primissime osservazioni: sono noetheriani; gli anelli principali sono di Dedekind.

Esercizi proposti:

1. Fornire un esempio di modulo proiettivo non libero.
2. Costruire, per un opportuno dominio di integrità unitario $R$, un ideale frazionario di $R$ non finitamente generato contenente $R$.
3. Facendo uso del fatto che l'anello di polinomi $\Z[x]$ è fattoriale e che in esso sia $2$ che $x$ sono irriducibili, mostrare che, se $H$ è l'ideale $(2,x)$ di $\Z[x]$, si ha $(\Z[x] : H)_{Q(\Z[x])} = \Z[x]$, quindi $H$ non è invertibile.

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Rapidissimi richiami sulla divisibilità in monoidi commutativi e sui monoidi fattoriali. Indicando con $\sim$ la relazione "essere elementi associati" in un monoide commutativo $M$, il quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$, come monoide ordinato dalla divisibilità. Se $\tilde M$ è a condizione minimale, in $M$ ogni elemento non invertibile è prodotto di irriducibili. Se $M$ è cancellativo e $\tilde M$ è un reticolo, allora tutti gli irriducibili in $M$ sono primi (dimostrazione basata su un lemma non dimostrato). Dunque, se $M$ è cancellativo, $M$ è fattoriale se e solo se $\tilde M$ è un reticolo a condizione minimale.

Sia $R$ un dominio di integrità unitario e siano $I,J$ suoi ideali. Se $I$ divide $J$ (in $\I(R)$), allora $I\supseteq J$, nel caso in cui $I$ sia invertibile vale anche il viceversa.

Sia $R$ è un anello di Dedekind. Allora $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale in cui gli irriducibili sono tutti e soli gli ideali primi non nulli, che sono ideali massimali, e la relazione di divisibilità coincide con la duale di quella di inclusione. Dunque: ogni ideale non nullo è prodotto di ideali primi, in modo unico a meno dell'ordine dei fattori. Il gruppo degli ideali frazionari è libero sulla base costituita dagli ideali (interi) primi non nulli. Gli ideali primari di $R$ sono tutti e sole le potenze degli ideali primi e le decomposizioni primarie minimali degli ideali non nulli di $R$ corrispondono precisamente alle loro fattorizzazioni in prodotti di ideali primi. Per ogni $H\ne R$, se $H\ne 0$ l'anello $R/H$ ha solo un numero finito di ideali.

L'insieme degli ideali non invertibili di un dominio di integrità unitario $R$ ha certamente elementi massimali (rispetto all'inclusione), e questi sono tutti ideali primi. Dunque: $R$ è di Dedekind se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili.

Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Allora $R$ è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo diverso da zero (abbiamo verificato solo la necessità della condizione). Conseguenza: in un anello fattoriale gli ideali minimali tra i primi non nulli sono principali. Sono equivalenti: (1) ogni ideale primo di $R$ è principale; (2) $R$ è principale; (3) $R$ è fattoriale e di Dedekind; (4) $R$ è fattoriale e $\dim R\le 1$.

Sia $R$ un dominio di integrità unitario. Lemma: se $H\n R$ e $H$ è cancellabile in $\I^*(R)$, allora $H$ ha, a meno dell'ordine dei fattori, al più una decomposizione come prodotto di ideali primi. Teorema: $R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale (intero) è prodotto di ideali primi.

Alcune proprietà degli ideali di un anello di Dedekind $R$: per ogni $I,J\in\I^*(R)$ si ha che $I+J$ e $I\cap J$ sono, rispettivamente, l'unico MCD e l'unico mcm tra $I$ e $J$ in $\I^*(R)$; di conseguenza, per ogni $H\n R$ si ha $HI\cap HJ=H(I\cap J)$. Si ha poi che ogni quoziente proprio di $R$ è ad ideali tutti principali (dimostrazione omessa). Dunque, per ogni ideale non nullo $H$ di $R$ ed ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=(a,b)$.

Può essere utile consultare le note della lezione caricate nella sezione materiale didattico della mia area nel sito web docenti.

Esercizi proposti:

1. Verificare che in ogni monoide commutativo la relazione "essere elementi associati" è effettivamente una congruenza.
2. Sia $K$ un campo e sia $R=K[x,y]$ un anello di polinomi a due indeterminate si K. Posto $M=xR+yR$ e $H=xR+y^2R$, verificare che $M\supseteq H$ ma $M$ non divide $H$ in $\I(R)$.
3. Verificare che in ogni anello di Dedekind ogni ideale ha esattamente una decomposizione primaria minimale.
4. Verificare due qualsiasi ideali non nulli di un anello di Dedekind $R$ sono coprimi (in $\I^*(R)$) se e solo se sono comassimali (in $R$).
5. Se $K$ è un campo, in quali casi un anello di polinomi $K[X]$ è un campo?

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Anelli di valutazione. Caratterizzazioni elementari. Esempi; sono di valutazione i campi e le localizzazioni degli anelli di Dedekind (osservazione: gli anelli di frazioni degli anelli di Dedekind sono o nulli o anelli di Dedekind).

Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare tramite MCD. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Dunque: gli anelli di valutazione noetheriani sono principali.

Teorema (non dimostrato): sia $K$ un campo e sia $\mathscr S$ l'insieme (non vuoto) delle coppie $(A,I)$ tali che $A$ sia un sottoanello di $K$ e $I$ ne sia un ideale proprio. Si ordini $\mathscr S$ per “inclusione componente per componente”. Allora l'insieme degli elementi di $\mathscr S$ maggioranti di un suo prefissato elemento è induttivo ed i suoi elementi massimali sono coppie costituite da un anello di valutazione $V$ e dal suo ideale massimale; inoltre $V$ ha $K$ come campo dei quozienti.

Interi su un anello (commutativo unitario); interi algebrici. Alcuni esempi e prime caratterizzazioni elementari. Sia $R$ un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$ e sia $c\in A$. Se $c$ è invertibile, $c$ è intero su $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$; in ogni caso sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ammette un modulo fedele che è finitamente generato come $R$-modulo. Corollario: se $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, allora $A$ è un ampliamento algebrico di $R$.

Se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. Di conseguenza, se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ è un ampliamento di $R$ e ciascuno dei $c_i$ è algebrico su $A=R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, quindi è un ampliamento intero di $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello. Transitività dell'integralità. Domini di integrità integralmente chiusi; lo sono gli anelli fattoriali e gli anelli di valutazione. La chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione tra i sottoanelli di valutazione di $K$ contenenti $R$.

Sia $A$ un ampliamento intero di un anello commutativo unitario $R$. Se $P$ e $Q$ sono ideali di $A$ tali che $P$ sia primo, $P\sseq Q$ e $P\cap R=Q\cap R$, allora $P=Q$. Di conseguenza la dimensione di $A$ non eccede quella di $R$.

Due lemmi: (1) se $R$ è un anello commutativo noetheriano, ogni ideale non nullo di $R$ contiene un prodotto di ideali primi non nulli di $R$; (2) se $R$ è un dominio di integrità unitario, l'intersezione delle sue localizzazioni ad ideali massimali (realizzate in un prefissato campo dei quozienti di $R$) è $R$ stesso.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione (principale); (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$. Resta ancora da dimostrare l'implicazione (iii)$\implica$(i).

Esercizi proposti:

1. Verificare che $\Z[\sqrt 5]$ non è integralmente chiuso, quindi non è fattoriale (suggerimento: si consideri il polinomio $x^2-x-1$…).
2. Provare che se $A$ è un dominio di integrità, ampliamento di un suo sottoanello unitario $R$, allora $A$ è un campo se e solo se lo è $R$.

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Completamento della dimostrazione del teorema di E. Noether dalla lezione scorsa.

Applicazioni alle teoria dei numeri: campi di numeri e loro anelli degli interi algebrici. Il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Di conseguenza, se $K$ è un campo di numeri e $Z_K$ è il suo anello degli interi algebrici, allora questo ha $K$ come campo dei quozienti, dunque $Z_K$ è integralmente chiuso. Inoltre $Z_K$ ha dimensione 1. Infine (ma non l'abbiamo dimostrato) $(Z_K,+)$ è finitamente generato, dunque $Z_K$ è un anello di Dedekind. Cenni alle basi intere.

Inquadramento storico: la teoria dei numeri e le origini della teoria degli anelli; Kummer ed i 'numeri ideali'. Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind; enunciati dei teoremi di Kummer e di Claborn (il gruppo delle classi di un anello di interi algebrici è sempre finito; ha struttura arbitraria per arbitrari anelli di Dedekind).

Il teorema degli invertibili di Dirichlet (solo enunciato) e (come conseguenza) la struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.

Se $J$ e $H$ sono ideali non nulli in un anello di Dedekind $R$, allora $H/HJ\iso_R R/J$, quindi $|R/HJ|=|R/H|\cdot|R/J|$.

Esercizi proposti:

1. Siano $R$ un anello commutativo unitario e $n$ un numero naturale. Provare che $R$ ha dimensione $n$ (cioè ha una catena di ideali primi di lunghezza $n$, ma non ne ha di lunghezza $n+1$) se e solo se $n$ è il massimo tra le dimensioni delle localizzazioni di $R$ ad ideali massimali.
2. Descrivere la struttura del gruppo moltiplicativo del campo $\Q(\xi)$, dove $\xi$ è una radice dell'unità nel campo complesso.

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Per un campo di numeri $K$ ed il suo anello $Z_K$ degli interi algebrici: norma di elementi e proprietà relative alla divisibilità (invertibilità ed irriducibilità). Gli ideali non nulli di $Z_K$ hanno indice (norma) finito. Senza dimostrazione: la norma di un ideale principale non nullo coincide col valore assoluto della norma (rispetto a $K/\Q$) di un suo generatore.

Descrizione dell'anello degli interi delle estensioni quadratiche (cioè di grado 2) di $\Q$ e di una loro base intera.

Fattorizzazioni di elementi e fattorizzazioni di ideali in anelli degli interi di campi di numeri. Un esempio: fattorizzazione in prodotto di primi di un ideale (quello generato da 6) nell'anello degli interi di $\Z[\sqrt{-5}]$ e determinazione dei divisori di 6 in questo anello.

Alcune proprietà degli ideali in anelli di Dedekind. Dimostrazione (omessa in una lezione precedente) del fatto che gli ideali dei quozienti propri degli anelli di Dedekind sono principali. Gli anelli di Dedekind il cui spettro è finito sono principali.

Esercizi proposti:

1. Facendo uso della fattorizzazione dell'ideale genrato da 6, determinare i divisori di 4 ed i divisori di 9 nell'anello degli interi di $\Q[\sqrt{-5}]$.
2. Sia $d$ un numero intero positivo libero da quadrati. Determinare il gruppo degli invertibili dell'anello degli interi di $\Q[\sqrt{-d}]$.