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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento. Origini e ruolo dell'algebra commutativa in relazione con altri settori della matematica: teoria dei numeri e geometria algebrica.

Richiami sugli anelli; anelli commutativi. Anelli ed anelli unitari; cenni alle algebre universali ed alla nozione generale di omomorfismo e di sottostruttura in algebra. Sottoanelli e sottoanelli unitari; omomorfismi di anelli unitari. Alcuni esempi di anelli commutativi unitari, tra cui, l'anello delle parti di un insieme.

Premoduli e moduli su un anello commutativo. Diversi esempi.

Operazioni puntuali definite da operazioni binarie. L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano.

Esercizi proposti (non necessariamente da risolvere tutti e subito):

1. Siano $S$ un insieme e $T$ una parte di $S$. $\P(T)$ è un ideale dell'anello delle parti di $S$?
2. Trovare, nell'anello $\Z_{10}$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $\Z_{10}$ (Suggerimento: partire da $[5]_{10}$).
3. Sia $S$ un insieme. Determinare gli ideali principali dell'anello delle parti $\P(S)$. Provare che se $S$ è finito tutti gli ideali di $\P(S)$ sono principali. Cosa succede se $S$ è infinito? Come si possono caratterizzare gli ideali di $\P(S)$ in questo caso?
4. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello delle parti di $\N$?
5. Completare la verifica del fatto che, se $A$ è un gruppo abeliano, l'anello degli endomorfismi di $A$, munito delle operazioni indicate a lezione, è un anello unitario.
6. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli.

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La lezione è iniziata con consistente ritardo a causa di gravi malfunzionamenti del software utilizzato per la sua trasmissione in remoto e registrazione.

Discussione di esercizi. Completamento (verifica) della costruzione dell'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Azioni di (pre)modulo e seconda definizione dei (pre)moduli; equivalenza tra le definizioni. Regole elementari di calcolo nei premoduli. La segnatura dei premoduli; sottopremoduli, omomorfismi tra premoduli, congruenze e quozienti di premoduli. Alcuni esempi fondamentali.

Un lemma: l'unione di una catena non vuota di sottopremoduli è necessariamente un sottopremodulo, inoltre, se è finitamente generato, questo sottopremodulo è il massimo della catena.

Esercizi proposti:

1. Decidere se il gruppo ciclico infinito può essere riguardato come modulo (ovvero: spazio vettoriale) sul campo $\Z_2$.
2. Chiamiamo iniziale ogni anello unitario $S$ con questa proprietà: per ogni anello unitario $R$ esiste uno ed un solo omomorfismo di anelli unitari $S\to R$. Ispirandosi a qualcosa visto a lezione, provare che $\Z$ è iniziale; provare poi che ogni anello unitario iniziale è isomorfo a $\Z$. Suggerimento: se $S$ è iniziale esistono, e sono unici, omomorfismi di anelli unitari $\Z\to S$, $\Z \to \Z$, $S\to \Z$ e $S\to S$.
3. Sia $(R,+,\cdot)$ un anello, non necessariamente commutativo, e sia $X\sseq R$. Provare che il centralizzante di $X$ in $R$, cioè $C_R(X):=\set{r\in\ R\mid (\forall x\in X)(xr=rx)}$ è un sottoanello di $R$, unitario se $R$ è unitario. Provare che se $R$ è un anello commutativo e $M$ un $R$-premodulo, definito dall'azione $\rho\colon R\to \End(M,+)$, allora $C_{\End (M,+)}(\im\rho)$ è l'endomorfo di $M$ come $R$-modulo (cioè l'insieme degli $R$-omomorfismi da $M$ e $M$), che è così un sottoanello unitario di $\End(M,+)$.

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Corollario di un lemma dalla lezione scorsa: ogni premodulo non nullo che sia finitamente generato ha sottopremoduli massimali. Altro corollario: in ogni premodulo l'insieme dei sottopremoduli non finitamente generati, ordinato per inclusione, è induttivo.

I teoremi di corrispondenza e di omomorfismo per moduli.

Somme tra parti di un premodulo. Per un anello commutativo $R$ ed un $R$-premodulo $M$, prodotto tra una parte di $M$ ed una di $R$ (combinazioni lineari). Come casi particolari: prodotti tra parti e prodotti tra idealidi $R$. Il semigruppo moltiplicativo degli ideali di $R$ (monoide se $R$ è unitario). Il sottopremodulo (o il sottomodulo) generato da una parte di $M$.

Ideali comassimali. Due osservazioni: se $R$ è un anello commutativo unitario, allora: (1) e $H$ e $K$ sono ideali comassimali ad un terzo ideale $I$, allora anche $HK$ è comassimali ad $I$; (2) l'intersezione tra un numero finito di ideali a due a due comassimali coincide col prodotto degli stessi ideali. Interpretazione di queste osservazioni nell'anello degli interi.

Cenni alla nozione di reticolo. Condizioni di catena per insiemi ordinati. Premoduli artiniani e premoduli noetheriani. Alcuni esempi.

Esercizi proposti:

1. Trovare un esempio di modulo non nullo privo di sottomoduli massimali.
2. Sia $N$ un sottopremodulo proprio di un premodulo $M$. Provare che se esiste una parte finita $X$ di $M$ tale che $M$ sia generato da $N\cup X$, allora $N$ è contenuto in un sottopremodulo massimale di $M$.
3. Costruire esempi di ideali $H$ e $K$ di qualche anello commutativo unitario tali che:…
   1. … $HK\ne H\cap K$;
   2. … $HK=H\cap K$ ma $H$ e $K$ non sono comassimali.
4. L'insieme dei numeri naturali ordinato per divisibilità è a condizione minimale? È a condizione massimale?

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Discussione di alcuni esercizi dalle lezioni precedenti.

Caratterizzazione dei premoduli noetheriani in termini di sottopremoduli finitamente generati.

Legge modulare di Dedekind e suo corollario (due sottopremoduli confrontabili coincidono se hanno stessa intersezione e stessa somma con un assegnato sottopremodulo).

Proprietà di chiusura (per sottopremoduli, quozienti, estensioni, somme finite e duale) delle proprietà di essere artiniano o noetheriano.

Annullatori; premoduli fedeli. Due costruzioni per il cambio degli scalari di un premodulo o un modulo: via un omomorfismo; passando ad un quoziente modulo un ideale contenuto nell'annullatore. Discussione sul modo in cui può variare in questi passaggi l'insieme dei sottopremoduli (o, solo rapido cenno, quello degli omomorfismi). Qualche esempio.

Esempio di un anello ($\Q[x]/(x^2)$) commutativo unitario che è artiniano e noetheriano ma ha un sottoanello né artiniano né noetheriano (dimostrazione da completare come esercizio).

Esercizi proposti:

1. Siano $R$ un anello commutativo ed $M$ un $R$-premodulo. Allora:
   • se $X\subseteq Y\subseteq M$, $\ann_R(X)\supseteq\ann_R(Y)$;
   • per ogni famiglia $(X_i)_{i\in I}$ di parti di $M$ si ha $\ann_R(\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}\ann_R(X_i)$.
2. Fissato un anello commutativo $R$, sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra $R$-premoduli. Provare che $\ann_R(A)\subseteq \ann_R(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo di $R$-premoduli, provare che $\ann_R(A)\supseteq \ann_R(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.
3. Siano $R$ un anello commutativo ed $H$ un suo ideale. Allora $R/H$ ha un'ovvia struttura di $R$-premodulo, in quanto quoziente del premodulo $R_R$. Cosa sappiamo dire sul suo annullatore?
4. Completare in dettaglio le verifiche delle proprietà dell'anello $\Q[x]/(x^2)$ discusse a lezione.

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Discussione di un esercizio dalla lezione precedente: se $H$ è un ideale di un anello commutativo $R$, allora $H\sseq K:=\ann_R(R_R/H)$; inoltre $H=K$ se $R$ è unitario, altrimenti può verificarsi $H\ne K$.

Caratterizzazione dei premoduli che siano allo stesso tempo artiniani e noetheriani.

Per una parte $X$ ed un sottopremodulo $N$ di un premodulo $M$ su un anello commutativo $R$, l'ideale $(N:X)_R$. Alcune proprietà ovvie, tra cui: se $R$ è un anello, $H\n R$, $x\in R$ e $X\sseq R$, si ha $H\sseq(H:X)_R$ e $x(X:x)_R=xR\cap X$.

Alcune caratterizzazioni degli ideali primi negli anelli commutativi.

In un anello commutativo unitario, un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati. L'ipotesi che l'anello sia unitario è qui essenziale.

Osservazione: se $(S,\cdot)$ è un semigruppo commutativo e $a\in S$, allora $S=aS$ se e solo se $S$ è un monoide e $a\in\U(S)$. Caratterizzazione degli ideali massimali negli anelli commutativi (non necessariamente unitari).

Lemma: se, in un anello commutativo $R$, $S$ è una parte non vuota che sia chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da un prefissato ideale $H$, allora l'insieme degli ideali di $R$ contenenti $H$ e disgiunti da $S$ è induttivo ed i suoi elementi massimali sono ideali primi.

Esercizi proposti:

1. Sotto quali condizioni l'anello delle parti di un insieme è artiniano o noetheriano?
2. Descrivere gli ideali primi dell'anello delle parti di un insieme $S$. (Suggerimento: si pensi alla possibile struttura di un quoziente $\P(S)/P$ se $P$ è un ideale primo.)
3. Siano $H$ e $P$ ideali di un anello commutativo $R$ e sia $H\sseq P$. Provare che $P\in\spec(R)$ se e solo se $P/H\in\spec(R/H)$.
4. Supposti dati $n,a\in\Z$, descrivere $(n\Z:a)_\Z$.

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Elementi nilpotenti e nilradicale, la varietà ed il radicale di un ideale in un anello commutativo $R$ (con discussione di un esercizio dalla lezione precedente). Alcuni esempi e prime proprietà: se $P$ è un ideale primo e $n\in\N^+$, allora $\sqrt{P^n}=\min(\var(P^n))=P$; se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$.

Ideali massimali e radicale di Jacobson. Per un anello commutativo unitario $R$: l'unione degli ideali massimali è il complemento di $\U(R)$, mentre il radicale di Jacobson $\jac(R)$ è $\set{a\in R\mid 1_R+aR\sseq\U(R)}$; per ogni $a\in \jac(R)$ si ha $|aR|\le |\U(R)|$, dunque $|R|=|\U(R)|$ se $\jac(R)$ contiene elementi cancellabili di $R$.

Comparazione tra nilradicale e radicale di Jacobson in anelli commutativi unitari (e non). La somma tra un elemento invertibile ed uno nilpotente è necessariamente invertibile.

Anelli locali. Definizione ed esempi; tra essi il sottoanellodel campo razionale formato dalle frazioni a denominatore coprimo con un fissato primo.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario. Algebre unitarie. Omomorfismo di struttura di un'algebra unitaria e, per fissati anelli commutativi unitari $R$ ed $A$, biezione canonica tra l'insieme degli omomorfismi di anelli unitari $R\to A$ e l'insieme delle operazioni esterne che strutturano $A$ come $R$-algebra unitaria. Sottoalgebre ed omomorfismi di algebre. Caratterizzazione degli omomorfismi di algebre unitarie in termini degli omomorfismi di struttura. Gli ideali di un'algebra unitaria sono sottoalgebre (cosa non sempre vera per algebre non unitarie). Esempi: gli anelli commutativi sono, in unico modo, $\Z$-algebre (o anche $\Z_c$-algebre se di caratteristica positiva $c$); assegnato un anello commutativo unitario $R$, sono algebre con moltiplicazione interna nulla tutti gli $R$-moduli, sono $R$-algebre unitarie tutti gli anelli commutativi unitario di cui $R$ sia un sottoanello unitario. Estensioni di campi viste come come algebre, e loro automorfismi.

Esercizi proposti:

1. Esercizi 3.B.4, 3.C.2 e 3.C.3 dalle mie note.
2. Sia $R$ un anello commutativo unitario. La moltiplicazione interna di $R$ induce su $R$ e su ciascuno dei suoi quozienti un'ovvia struttura di $R$-algebra; descriverne omomorfismi di struttura e sottoalgebre.

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Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria: l'algebra accresciuta. Come caso particolare: anello accresciuto definito da un anello commutativo (ogni anello commutativo $A$ è ideale (primo) di un anello commutativo unitario $A_1$ tale che $A_1/A\iso \Z$). Osservazione: se tale $A$ è noetheriano anche $A_1$ lo è.

Lemma: se $R$ è un anello commutativo ed $S$ un anello unitario, detto $R_1$ l'anello accresciuto $R\rtimes\Z$, l'applicazione restrizione dall'insieme degli omomorfismi di anelli unitari da $R_1$ a $S$ a quello degli omomorfismi di anelli da $R$ a $S$ è biettiva. Da ciò: equivalenza tra lo studio dei premoduli su $R$ e quello dei moduli su $R_1$ (con conservazione di sottostrutture ed omomorfismi).

Idealizzazione di un premodulo.

Per un premodulo $M$ su un anello $R$: per ogni $a\in M$, isomorfismo $aR\iso R_R/\ann_R(a)$. Struttura dei moduli ciclici e dei moduli semplici.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche di ciò che a lezione è stato enunciato ma non dimostrato, come ad esempio i dettagli mancanti nella costruzione dell'algebra accresciuta.
2. Più che un esercizio, questo è un invito a leggere l'osservazione 1.J.1 nelle note sulla nozione di identificazione.
3. Sia $C=\set{0,a}$ un gruppo di ordine 2. Riguardato $C$ come modulo sul campo $\Z_2$, descrivere (scrivendone la tavola di moltiplicazione) l'idealizzazione $A=C \mathbin{{}_0\!\rtimes}\Z_2$. D'altra parte, si può munire $C$ della moltiplicazione interna che lo renda un campo isomorfo a $\Z_2$ (dunque $0a=a0=0^2=0$ e $a^2=a$), e quindi una $\Z_2$-algebra (isomorfa a $\Z_2$ visto come algebra su di sé); fatto ciò, si descriva l'algebra accresciuta $B=C\rtimes\Z_2$ e si confrontino $A$ e $B$. (Si può osservare che tra $A$ e $B$ uno è isomorfo all'anello delle parti di un insieme ci cardinalità 2, l'altro al quoziente $Z_2[x]/(x^2)$.)
4. Esercizi 1.J.3 e 1.J.4 dalle note.
5. Siano $A$ un'algebra su un anello commutativo unitario $R$ e $A_1=A\rtimes R$. Verificare che gli ideali di $A_1$ contenuti in $A$ sono precisamente gli ideali di $A$ che sono anche $R$-sottoalgebre.
6. Riguardare la descrizione del sottopremodulo generato da una parte di un premodulo alla luce della riduzione di premoduli a moduli sull'anello accresciuto discussa a lezione.

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Discussione generale su trasferimenti di strutture ed immersioni. Rivisitazione della descrizione dei sottopremoduli generati.

Sia $R$ un anello commutativo. Gli $R$-premoduli semplici sono tutti e soli quelli (1) isomorfi a $R_R/H$ per un opportuno ideale massimale $H$ di $R$ tale che $R/H$ sia unitario (ovvero un campo), oppure (2) di ordine primo ed annullati da $R$. Di conseguenza, $\jac(R)$ li annulla tutti. Versioni del lemma di Nakayama e lemma NAK (per premoduli; usato un lemma: se $a$ è un elemento di un premodulo su un anello commutativo $R$ e $L,K\n R$, allora $aL\sseq aK$ se e solo se $L\sseq K+\ann_R(a)$.). Corollario relativo a moduli fedeli; controesempi.

Prodotti diretti e somme dirette, esterne (coprodotti) ed interne, di premoduli e moduli. Isomorfismo tra somme dirette esterne ed interne. Proiezioni, monomorfismi canonici; proprietà universali di prodotti e coprodotti.

Esercizi proposti:

1. Completare le verifiche (elementari) di ciò che a lezione non è stato dimostrato nei dettagli.
2. Costruire un premodulo finitamente generato e fedele $M$ su un anello commutativo unitario $R$ in modo che valga $MR\ne R$.
3. Sia $(A_i)_{i\in I}$ una famiglia di gruppi abeliani (cioè di $\Z$-moduli). Sotto quali condizioni $\coprod_{i\in I}A_i$ è periodico?. Sotto quali condizioni $\prod_{i\in I}A_i$ è periodico?.
4. Esercizio 4.J.1 e seguenti dalle note.

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Osservazione: somme e prodotti diretti di premoduli con un numero infinito di fattori non nulli non sono né artiniani né noetheriani.

Moduli e premoduli liberi. Unicità (a meno di isomorfismi); invarianza della proprietà a meno di biezioni ed isomorfismi; ogni (pre)modulo libero è generato dall'immagine di (una qualsiasi delle) corrispondenti applicazioni universali. Esistenza e caratterizzazione dei moduli liberi. Iniettività delle applicazioni universali. Comparazione con la nozione elementare di base di uno spazio vettoriale. Ogni (pre)modulo è immagine epimorfa di un (pre)modulo libero su un suo insieme di generatori. Descrizione dei premoduli liberi.

Se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, tutti gli $R$-moduli finitamemte generati sono noetheriani (questo risultato non vale se $R$ non è noetheriano; si veda uno degli esercizi).

Prodotti diretti e somme dirette esterne di anelli (e di algebre). I primi sono prodotti nel senso categoriale, le seconde non sono in generale coprodotti. Somme dirette interne di anelli (ovvero di ideali). Le somme dirette tra infiniti anelli non nulli non sono mai anelli unitari. Isomorfismo tra somme dirette esterne ed interne. Anelli di funzioni.

Elementi idempotenti in un anello commutativo unitario $R$; idempotenti tra loro ortogonali. Biezione tra gli insiemi degli insiemi finiti di ideali che descrivono una decomposizione di $R$ in somma diretta e quello egli insiemi finiti di idempotenti a due a due ortogonali che, sommati tra loro, dànno l'unità di $R$.

Esercizi proposti:

1. Costruire un esempio di modulo finitamente generato che non sia noetheriano.
2. Si verifichi che il prodotto diretto di anelli verifica la proprietà categoriale dei prodotti, come accade per i moduli ed i premoduli.
3. Scelto comunque un insieme $S$, per ogni $x\in\P(S)$ sia $\chi_x$ la funzione caratteristica di $x$ in $S$ a valori in $\Z_2$, cioè l'applicazione da $S$ a $\Z_2$ che ad ogni $a\in S$ associa $[1]_2$ se $a\in x$ e $[0]_2$ altrimenti. Provare che l'assegnazione $x\mapsto \chi_x$ definisce un isomorfismo da $(\P(S),\ds,\cap)$ all'anello di funzioni $(\Z_2)^S$.
4. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Provare che $R$ è indecomponibile in somma diretta (cioè: se $H,K\n R$ e $R=H\oplus K$, allora uno tra $H$ e $K$ è $R$) se e solo se $R$ non ha idempotenti non banali.
5. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo unitario $R$. Provare che se $H^2=H$ allora $H$ è un ideale principale, generato da un idempotente, e quindi $R=H\oplus K$ per un opportuno ideale $K$ (suggerimento: si applichi NAK a $H$…)
6. Esercizio 4.B.1 dalle note, sugli ideali massimali in un anello di funzioni continue.

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Discussione di alcuni esercizi dalla lezione precedente.

Ulteriori osservazioni ed esempi sulle decomposizioni di anelli in somme dirette di ideali e sulle decomposizione dell'unità in somme tra idempotenti ortogonali. Descrizione degli ideali e degli ideali primi o massimali nelle somme dirette di anelli unitari. Nilradicale e radicale di Jacobson in tali somme dirette. Alcuni esempi e controesempi.

Omomorfismi $M\to\prod_{i\in I}M/N_i$ e $R\to\prod_{i\in I}R/H_i$ indotti dagli epimorfismi canonici, dove $M$ è un premodulo e $(N_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi sottopremoduli, o $R$ è un anello commutativo e $(H_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi ideali. Nel caso degli anelli unitari o delle algebre, condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la suriettività di questo omomorfismo.

Come applicazione di questo risultato: teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione di Eulero.

Esercizi proposti:

1. Elencare gli elementi idempotenti dell'anello $\Z_{81}$.
2. Scrivere l'unità $[1]_{60}$ dell'anello $\Z_{60}$, come somma di tre idempotenti non banali.
3. Verificare che se l'unità di un anello commutativo unitario è somma di un numero finito di elementi dell'anello a due a due ortogonali: $1_R=\sum_{i\in I}r_i$, dove $I$ è finito e $r_ir_j=0_r$ per ogni $i\in I$ e $j\in I\setminus\set i$, allora gli elementi $r_i$ sono tutti idempotenti.
4. Trovare due interi $a$ e $b$ tali che $\varphi(a)\varphi(b)\ne \varphi(ab)$.

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Discussione degli esercizi dalla lezione precedente. Ulteriori osservazioni sul teorema cinese dei resti e sulla funzione di Eulero; calcolo dei valori di quest'ultima. Cenni a qualche applicazione.

Algebre (associative commutative) unitarie libere. Interpretazione della proprietà universale che le definiscono in termini di omomorfismi di anelli unitari. Unicità a meno di isomorfismi e invarianza della proprietà a meno di biezioni ed isomorfismi. Anelli di polinomi. Cenni alla costruzione. Per un anello commutativo unitario $R$, isomorfismi $R[X\cup Y]\iso (R[X])[Y]$ e $R[X\cup Y]/(Y)\iso R[X]$ (quelli indicati sono anelli di polinomi nei dati insiemi di indeterminate).

Ogni algebra (associativa commutativa) unitaria è ottenibile come immagine omomorfa di un anello di polinomi. Esempi su come ottenere ampliamenti di anelli commutativi unitari come quozienti di anelli di polinomi. Osservazioni sulle estensioni di campi di grado finito.

Introduzione al teorema della base di Hilbert: rapido inquadramento storico e un cenno ad una sua interpretazione geometrica.

Esercizi proposti:

1. Calcolare $\phi(700)$, dove $\phi$ è la funzione di Eulero. Il resto di $31^{241}$ nella divisione per $700$ è…?
2. Esercizio 4.C.2 dalle note.
3. Verificare in dettaglio la costruzione delle algebre associative commutative unitarie libere schematizzata a lezione e la loro proprietà universale.

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Dimostrazione del teorema della base di Hilbert.

Per un anello commutativo unitario $R$, l'anello $R[[x]]$ delle serie formali di potenze (ad una indeterminata). Alcune proprietà: determinazione degli invertibili e del radicale di Jacobson. Se $R$ è locale anche $R[[x]]$ lo è. Se $R$ è noetheriano anche $R[[x]]$ lo è.

Ideali primari. Definizione, esempi; descrizione dei divisori dello zero in un quoziente di un anello commutativo e varie conseguenti caratterizzazioni degli ideali primari. Alcune proprietà essenziali: sono primari gli ideali primi, gli ideali il cui radicale sia l'inytero anello e, quindi, tutti gliideali masimali; il radicale di un ideale primario $H$ è o l'intero anello oppure primo. In un anello commutativo unitario, un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario (questo non è necessariamente vero se l'anello non è unitario, si veda uno degli esercizi).

Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo: l'ideale generato da $x$ e $y^2$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $x$ e $y$ a coefficienti in un campo.

Esercizi proposti:

1. Nell'anello delle serie formali di potenze $\Z[[x]]$, determinare l'inverso di $1-x$.
2. Svolgere l'esercizio Esercizio 5.D.4 dalle note, per provare che l'anello delle serie formali di potenze è nececessariamente euclideo.
3. Verificare in dettaglio che gli ideali primari in un anello principale $R$ sono tutti e soli gli ideali della forma $p^nR$ al variare di $p$ tra i primi dell'anello (compreso $0_R$) e $n$ tra gli interi positivi.
4. Esercizio 7.A.2 dalle note (esempio di un ideale con radicale massimale che non è primario), ed Esercizio 7.A.5.

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Discussione dettagliata della costruzione, in un anello commutativo unitario noetheriano, di un ideale primo $P$ con una potenza non primaria.

Decomposizioni primarie e ideali decomponibili (in intersezione finita di ideali primari). L'intersezione tra due ideali primari con lo stesso radicale è ancora primario ed ha ancora lo stesso radicale. Decomposizoni primarie minimali; ogni ideale decomponibile ne ha una. Osservazione: nell'anello delle parti di un insieme gli ideali primari sono (massimali e) di indice $2$, quindi gli ideali di indice infinito non sono decomponibili.

Esempio di un ideale in un anello fattoriale noetheriano che ha infinite decomposizioni primarie minimali.

Lemma: se $Q$ è un ideale primario in un anello commutativo $R$ e $a\in R\setminus Q$, allora $(Q:a)_R$ è $R$ o un ideale primario di $Q$, in ogni caso con lo stesso radicale di $Q$.

Ideali irriducibili per intersezione (o $\cap$-irriducibili); lo sono gli ideali primi. Sia $R$ un anello commutativo noetheriano. Allora ogni ideale proprio di $R$ è intersezione di un insieme finito di ideali $\cap$-irriducibili, ed ogni ideale $\cap$-irriducibile è primario; di conseguenza ogni ideale proprio di $R$ è decomponibile.

Esercizi proposti:

1. Siano $R$ un anello commutativo e $H\n R$. Provare che gli ideali primari di $R/H$ sono tutti e soli quelli della forma $Q/H$ al variare di $Q$ tra gli ideali di primari di $R$ contenenti $H$. Dedurne che, se $R/H$ è noetheriano, allora $H$ è decomponibile.
2. Fornire, in un anello commutativo unitario noetheriano, un esempio di ideale primario non irriducibile per intersezione.
3. Svolgere gli esercizi 7.B numeri 5, 6 e 7 dalle note, per ottenere ulteriori esempi di ideali non decomponibili.
4. Come indicato nell'esempio 7.B.10 dalle note, trovare un ideale ∩-irriducibile ma non primario nell'idealizzazione di un gruppo di Prüfer (visto come $\Z$-modulo).
5. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$ (che è fattoriale), decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Trovare una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.
6. Sotto quali condizioni l'intersezione tra due ideali primari è un ideale primario?

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Discussione di uno degli esercizi dalla lezione precedente.

Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali e qualche conseguenza. Ideali associati ad un ideale decomponibile $H$; la loro intersezione fornisce il radicale di $H$, la loro unione fornisce l'insieme dei divisori dello zero modulo $H$. Ideali associati isolati ed immersi.

Osservazione: l'intersezione di una qualsiasi catena non vuota di ideali primi è un ideale primo; di conseguenza, se $H$ è un ideale tale che $\var(H)\ne\vuoto$, $\var(H)$ ha elementi minimali. Se $H$ è decomponibile questi sono i primi isolati associati ad $H$ (quindi sono in numero finito).

Secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali.

Anelli artiniani. Sia $R$ un anello commutativo artiniano. Se $R$ ha un elemento cancellabile $a$ allora $R$ è unitario e $a$ è invertibile; se $R$ è integro, allora $R$ è un campo; gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali e sono finiti lo spettro di $R$, l'insieme degli ideali di indice finito in $R$ e quindi l'insieme degli ideali massimali di $R$; inoltre il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente. Lemma: se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano. Gli anelli commutativi unitari artiniani sono noetheriani.

Ideali nil. Gli ideali nil finitamente generati sono nilpotenti.

Esercizi proposti:

1. Svolgere gli esercizi 7.C numeri 4, 5, 6 dalle note
2. Costruire un anello commutativo artiniano ma non noetheriano.
3. Esercizi esercizi 8.A.1 e esercizi 8.A.6 dalle note.

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Completata la dimostrazione del teorema: se $R$ è un anello commutativo unitario, $R$ è artiniano se e solo se è noetheriano e di dimensione zero. Struttura di tali anelli: sono (in unico modo, anche in termini di somma diretta interna) prodotto diretti di un numero finito di anelli (artiniani) locali.

Se un premodulo è noetheriano, è noetheriano anche il quoziente del suo anello degli scalari rispetto all'annullatore. Il teorema dell'intersezione di Krull (per premoduli noetheriani). Corollario: se $J$ è il radicale di Jacobson di un anello commutativo noetheriano l'intersezione delle potenze di $J$ è l'ideale nullo.

Categorie. Definizione e diversi esempi: costrutti e categorie di altro genere (come i monoidi e le categorie magre, ovvero classi preordinate). Categorie discrete; categorie piccole. Categoria opposta e dualità. Morfismi mono, epi, iso; esempi a riguardo. Sottocategorie, esempi di sottocategorie piene e non (quella degli anelli unitari in quella degli anelli). Funtori; funtori dimenticanti.

Esercizi proposti:

1. Verificare che i funtori mandano isomorfismi in isomorfismi.
2. Verificare in dettaglio che, come detto a lezione, l'immersione di $\Z$ in $\Q$ è un epimorfismo, nella categoria degli anelli unitari; provare a verificare che questo resta vero nella categoria degli anelli.
3. Sia $f\colon S\to R$ un omomorfismo tra anelli commutativi. Esprimere il "cambio degli scalari" che permette di riguardare ogni $R$-premodulo come $S$-premodulo in termini di un funtore dalla categoria degli $R$-premoduli a quella degli $S$-premoduli (facendo tutte le verifiche del caso).
4. Esprimere in termini di funtori il passaggio da un anello commutativo $R$ all'anello accresciuto $R_1=R\rtimes\Z$ e, fissato $R$, il passaggio da un arbitrario $R$-premodulo $M$ ad $M$ visto come $R_1$-modulo.
5. Anche se in ritardo, segnalo gli esercizi 8.B (e l'esempio) che chiudono il capitolo delle note sugli anelli artiniani.

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(Di questa lezione non esiste registrazione. Come di consueto la registrazione era stata eseguita sulla piattaforma Teams, che però non ha archiviato correttamente il file risultante, che si è così perso in modo probabilmente irrimediabile.)

Funtori fedeli, pieni, immersioni, isomorfismi tra categorie. Funtori controvarianti. Vari esempi di funtori: funtori identici, funtori costanti, inclusione di sottocategorie. Composizione tra funtori e categorie di categorie. Funtore abelianizzazione, due funtori "cambio degli scalari" (via un omomorfismo e via un ideale che annulla), funtore accrescimento dalla categoria degli anelli a quella degli anelli unitari, isomorfismo tra la categoria dei premoduli su un anello commutativo e quella dei moduli sul corrispondente anello accresciuto; i funtori Hom.

Trasformazioni naturali e categorie di funtori. Alcuni esempi. Cenno al lemma di Yoneda. Equivalenze tra categorie; un esempio: ogni categoria è equivalente ad ogni suo scheletro. Notizia: i funtori che definiscono equivalenze sono quelli fedeli, pieni e "densi per isomorfismi".

Oggetti iniziali, finali, zero. Loro unicità a meno di isomorfismi. Morfismi zero; in ogni categoria con oggetti zero, scelti comunque due oggetti $A$ e $B$, esiste uno ed un solo morfismo zero da $A$ a $B$.

Rivisitazione della nozione di oggetto libero: morfismi universali. Categorie virgola e visualizzazione dei morfismi universali come oggetti iniziali in opportune categorie virgola. La categoria delle algebre (commutative, associative) su un fissato anello commutativo unitario è isomorfa ad una categoria virgola.

Esercizi proposti:

1. Verificare nei dettagli ed analizzare alcune costruzioni presentate di trasformazioni naturali:
   • per una arbitraria categoria $\mathscr C$ ed un morfismo $f\colon B\to A$ in essa, la trasformazione naturale $\mathscr C(A,-)\to \mathscr C(B,-)$ indotta da $f$; provare analogamente a definire quella $\mathscr C(-,B)\to \mathscr C(-,A)$, sempre indotta da $f$;
   • per un arbitrario campo $K$, trasformazione naturale dal funtore identico della categoria dei $K$-spazi vettoriali a quella del funtore biduale.
2. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Per ogni $R$-modulo $M$, chiamiamo $\theta_M$ l'applicazione che ad ogni $a\in M$ associa l'$R$-omomorfismo $r\in R_R\mapsto ar\in M$. Verificare che in questo modo, detta $\mathscr M_R$ la categoria degli $R$-moduli e $D$ il funtore dimenticante da essa alla categoria degli insiemi, si può definire un isomorfismo naturale $\theta$ da $D$ a $\mathscr M_R(R_R,-)$. Verificare anche che, utilizzando operazioni puntuali, per ogni $R$-modulo $M$, $\mathscr M_R(R_R,M)=\Hom_R(R_R,M)$ si struttura come $R$-modulo e si può ridefinire $\mathscr M_R(R_R,M)$ come funtore di $\mathscr M_R$ in sé e $\theta$ si può riformulare come isomorfismo naturale dal funtore identico di $\mathscr M_R$ a $\mathscr M_R(R_R,M)$.
3. A proposito del lemma di Yoneda: dato un oggetto $A$ di una categoria $\mathscr C$ ed un funtore $F$ da $\mathscr C$ alla categoria degli insiemi, fissato un elemento $c$ di $A^F$ provare a definire la trasformazione naturale $\eta$ da $\mathscr C(A,-)$ a $F$ tale che $c=(\id_A)^{\eta_A}$. [Suggerimento: se $\sigma\colon A\to X$ è un morfismo in $\mathscr C$, allora $\sigma$ ed $\eta$ devono determinare un diagramma commutativo quadrato in cui appare un morfismo (applicazione tra insiemi) $\mathscr C(A,A)\to\mathscr C(A,X)$ che manda $\id_A$ in $\sigma$…]

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Funtori aggiunti, con qualche esempio ed illustrazione: connessione tra morfismi universali e funtori aggiunti. Il funtore accrescimento come aggiunto destro.

Coni e limiti. Esempi; prodotti, equalizzatori e ker, limiti inversi (cenno ai numeri $p$-adici), pullback, massimi comuni divisori come limiti. Dualizzazioni (coconi, e colimiti).

Per cenni: completezza; per ogni categoria $\mathscr I$, se in una categoria $\mathscr C$ esistono tutti gli equalizzatori ed i prodotti indiciati negli oggetti o nei morfismi di $\mathscr I$, allora esistono tutti i limiti di forma $\mathscr I$. Di conseguenza, $\mathscr C$ è completa se e solo se ammette tutti i prodotti indiciati su insiemi e tutti gli equalizzatori. Continuità: i funtori aggiunti destri sono continui; quelli sinistri sono cocontinui.

Introduzione agli anelli di frazioni. Posizione del problema in termini di una proprietà universale. Questa si può equivalentemente dare per anelli o per anelli unitari, in virtù del lemma: se $A$ e $R$ sono anelli commutativi unitari e $f\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli, $f$ è unitario se e solo se almeno un elemento cancellabile di $A$ appartiene ad $\im f$.

Esercizi proposti:

1. Verificare che la coppia formata dal funtore abelianizzazione dalla categoria dei gruppi a quella dei gruppi abeliani ed il funtore immersione dalla seconda alla prima costituisce una coppia di funtori aggiunti.
2. Verificare che, in ogni categoria, un morfismo che definisca un equalizzatore è necessariamente mono (quindi, in una categoria con oggetti zero, i ker sono monomorfismi).

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Parti sature in un semigruppo ed in un anello commutativi. Ancora sugli anelli di frazioni: per una parte non vuota $S$ di un anello commutativo $R$ e per un omomorfismo di dominio $R$ sono equivalenti le proprietà di essere un omomorfismo $S$-inversivo (o $S$-inversivo universale), $S^\bullet$-inversivo (o $S^\bullet$-inversivo universale), $\hat S$-inversivo (o $\hat S$-inversivo universale); qui $S^\bullet$ e $\hat S$ indicano la parte chiusa generata e la saturazione di (cioè la parte chiusa e satura generata da) $S$. Nel semigruppo moltiplicativo di un anello commutativo, le parti chiuse e sature sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Per una parte non vuota $S$ di un anello commutativo $R$, costruzione dell'anello di frazioni $S^{-1}R$ e dell'omomorfismo $S$-inversivo universale $f_S$ (alcune verifiche sono state lasciate per esercizio). Nucleo di $f_S$. Identificazione delle frazioni che sono lo zero, l'unità, un invertibile in $S^{-1}R$. I divisori dello zero in $S^{-1}R$ hanno per numeratore un divisore dello zero in $R$.

Antiimmagini di ideali, ideali primi ideali primari mediante omomorfismi di anelli commutativi. I radicali degli ideali sono conservati dall'applicazione antiimagine.

Espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo universale $S$-inversivo da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. Descrizione esplicita di $e$ e di $ec$; l'applicazione $ce$ è l'applicazione identica in $\I(S^{-1}R)$ (dunque, $c$ è iniettiva ed $e$ è suriettiva).

Esercizi proposti:

1. Completare la verifica delle proprietà richieste per la costruzione dell'anello di frazioni fatta a lezione.
2. Provare a descrivere gli anelli di frazioni dell'anello delle parti di un insieme.
3. Siano $a$ un insieme non vuoto ed $R$ il suo anello delle parti. Se $x\in a$ e $S=\set{\set x}$, descrivere in dettaglio gli omomorfismi $S$-inversivi da $R$ ad un arbitrario anello commutativo unitario $A$.
4. Costruire un esempio di frazione $r/s$ in un opportuno anello di frazioni $S^{-1}R$ che non sia un divisore dello zero benché $r$ sia un divisore dello zero in $R$.

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Ancora su espansioni e contrazioni di ideali; con le notazioni introdotte le la lezione precedente, l'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ si immerge in quello degli ideali di $R$, quindi gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani), sono artiniani (risp. noetheriani). Similmente, il passaggio ad anelli di frazioni conserva le proprietà di essere ad ideali principali, domini di integrità, anelli principali (a condizione che l'anello di frazioni non sia nullo). Per un ideale $H\n R$; sono equivalenti: $H^e=S^{-1}R$, $H\cap S\ne\vuoto$, $\sqrt H\cap S\ne\vuoto$, $(\sqrt H)^e=S^{-1}R$; se $H\cap S=\vuoto$ e $H$ è primario, $H^{ec}=H$.

Con le stesse notazioni,se $H\n R$, indicando con $\varepsilon$ immagini mediante l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\varepsilon)^{-1}R^\varepsilon$. Le applicazioni espansione e contrazione inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra l'insieme degli ideali primi di $R$ disgiunti da $S$ e $\spec(S^{-1}R)$, tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$ e, per ogni $P\in\spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Esempio: la localizzazione di $\Z$ ad un suo ideale massimale; ideali di questa. Se $P$ è un ideale primo dell'anello commutativo $R$, il campo residuo delle localizzazione $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo al campo dei quozienti di $R/P$.

Se $R$ è un anello commutativo unitario, $K$ ne è un campo dei quozienti e, per ogni $M\maxid R$, $R_M$ è la localizzazione di $R$ ad $M$ contenuta in $K$, allora $\bigcap\set{R_M\mid M\maxid R}=R$.

Categorie preadditive, additive ed abeliane; definizione e rapida panoramica su alcune loro proprietà; funtori additivi. Esemplificazione fatte sulle categorie di moduli. Per ogni anello commutativo unitario $R$, scelti comunque gli $R$-moduli $A$ e $B$, struttura di $R$-modulo per $\Hom_R(A,B)$; i funtori Hom risultano funtori additivi.

Sequenze di omomorfismi, quasi esattezza ed esattezza; complessi di catene (sequenze quasi-esatte), sequenze esatte. Estensioni di moduli, come sequenze esatte corte.

Esercizi proposti:

1. Calcolare l'anello di frazioni $S^{-1}\Z_{60}$, dove $S={[4]_{60}}$, e descriverne gli ideali.
2. Si invita a curiosare tra gli esercizi 9.B delle note.
3. Verificare quanto segue: per ogni anello commutativo unitario $R$ ed ogni $R$-modulo $A$,
   • $\alpha\in\Hom_R(R_R,A)\mapsto (1_R)^\alpha\in A$ è un isomorfismo;
   • se $(B_i)_{i\in I}$ è una famiglia di $R$-moduli, $\Hom(A,\prod_{i\in I}B_i)\iso \prod_{i\in I}\Hom(A,B_i)$ e $\Hom(\coprod_{i\in I}B_i,A)\iso \prod_{i\in I}\Hom(B_i,A)$ (le biezioni richieste sono suggerite dalle proprietà universali di prodotti e coprodotti).
4. Sia $\mathscr C$ una categoria preadditiva che abbia oggetti zero. Mostrare che per ogni coppia $A$, $B$ di oggetti in $\mathscr C$, il morfismo zero da $A$ a $B$ è l'elemento neutro di $\mathscr(A,B)$ (suggerimento: moltiplicando un morfismo zero per un qualsiasi morfismo ad esso componibile si ottiene un morfismo zero).

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I funtori additivi esatti sono precisamente quelli che mandano sequenze esatte corte in sequenze esatte corte. Funtori esatti a sinistra e funtori esatti a destra. Nelle categorie di moduli i funtori Hom sono esatti a sinistra ma, in generale, non a destra (verifica fatta solo nel caso covariante). Moduli proiettivi.

Estensioni spezzate di moduli; loro caratterizzazione in termini di decomposizione in somma diretta del termine centrale e di esistenza di un mono spezzante; cenno (vedi esercizi) agli epi spezzanti.

Caratterizzazioni dei moduli proiettivi. Il lemma della base duale. Una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Se $A$ e $B$ sono sottomoduli di uno stesso modulo, allora esiste un'estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$. Se $A+B$ è proiettivo, allora $A\oplus B\iso (A\cap B)\oplus(A+B)$ e quindi $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo.

Ideali frazionari di un dominio di integrità unitario $R$ in un suo campo dei quozienti $K$ (le notazioni per $K$ e $R$ restano fissate per il resto di questo resoconto). Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari i sottomoduli non nulli di $A$ ed anche $A\cap B$, $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Di conseguenza, gli $R$-sottomoduli non nulli finitamente generati sono ideali frazionari.

Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, e $L\le_R K$, allora $(L:A)_K=LA^{-1}$; in particolare, $A^{-1}=(R:A)_K$. Un ideale frazionario $A$ di $R$ è invertibile se e solo se $1_R\in A(R:A)_K$.

Esercizi proposti:

1. Dualizzare la dimostrazione fatta a lezione, verificando che un'estensione è spezzata se e solo se ammette un epi spezzante.
2. Esempio ed esercizio 11.C.1 e 11.C.2, e poi esercizio 11.C.4 dalle note.
3. Sempre dalle note, esercizi da 11.D.1 a 11.D.3.

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In questo resoconto $R$ è sempre un dominio di integrità unitario. Teorema: gli ideali frazionari invertibili di $R$ sono tutti e soli quelli proiettivi; inoltre essi sono finitamente generati.

Rapidissimi richiami sulla divisibilità in monoidi commutativi e sui monoidi fattoriali. Indicando con $\sim$ la relazione "essere elementi associati" in un monoide commutativo $M$, il quoziente $M/{\sim}$, come monoide ordinato dalla divisibilità. Se $M$ è cancellativo, $M$ è fattoriale se e solo se $M/{\sim}$ è un reticolo a condizione minimale (l'implicazione non ovvia non è stata dimostrata)

Se $I$ e $J$ sono ideali (interi) di $R$, se $I$ divide $J$ allora $I\supseteq J$; vale il viceversa se $I$ è invertibile. Anelli di Dedekind; definizione e prime osservazioni: sono noetheriani; gli anelli principali sono di Dedekind. Teorema: se $R$ è di Dedekind il suo monoide degli ideali non nulli è fattoriale ed i suoi elementi irriducibili sono gli idali primi non nulli; questi sono tutti massimali. Conseguenze: gli ideali primari in $R$ sono le potenze degli ideali primi; ogni ideale proprio ha solo un numero finito di ideali. Cenni alle proprietà di tipo aritmetico degli ideali in anelli di Dedekind. Solo enunciato: se $R$ è un anello di Dedekind gli ideali dei quozienti propri di $R$ sono tutti principali; di conseguenza, per ogni ideale $H$ di $R$ ed ogni elemento non nullo $a$ di $H$ esiste $b\in H$ tale che $H$ sia generato da $a$ e $b$.

Teorema: un ideale di $R$ che sia massimale per la proprietà di non essere invertibile è necessariamente primo, quindi $R$ è di Dedekind se e solo se i suoi ideali primi non nulli sono invertibili (ovvero proiettivi). Come corollario: sono equivalenti per $R$ le proprietà di avere tutti gli ideali primi principali, essere principale, di essere fattoriale e di Dedekind, di essere fattoriale con dimensione al più 1.

Lemma: ogni ideale cancellabile di $R$ ha, a meno dell'ordine dei fattori, al più una fattorizzazione in prodotto di ideali primi. In vista di un'ulteriore caratterizzazione abbiamo verificato che $R$ è di Dedekind se e solo se i suoi ideali principali sono prodotto di primi ed ogni suo ideale primo invertibile è massimale.

Esercizi proposti:

1. Verificare quanto detto a lezione: dato un insieme preordinato $(S,\preceq)$ la relazione $\sim$ definita in $S$ da: $(\forall x,y\in S)$$(x\sim y\iff (x\preceq y \land y\preceq x))$ è di equivalenza e $\preceq$ induce una relazione d'ordine $\le$ in $S/{\sim}$; le categorie degli insiemi preordinati e degli insiemi ordinati sono legate dal funtore immersione (dalla seconda alla prima) e da un funtore (rapidamente descritto a lezione) dalla prima alla seconda che manda ciascun oggetto $(S,\preceq)$ in $(S/{\sim},\le)$ (con le notazione appena usate); questi costituiscono una coppia di funtori aggiunti; la proiezione canonica $S\to S/{\sim}$ descrive il corrispondente morfismo universale.
2. Verificare, seguendo le indicazioni fornite a lezione, che negli anelli di Dedekind ogni ideale non banale $H$ ha esattamente una decomposizione primaria minimale: $\set{P_1^{\lambda_1},P_2^{\lambda_2},\dots, P_n^{\lambda_n}}$ dove $H=P_1^{\lambda_1}P_2^{\lambda_2}\cdots P_n^{\lambda_n}$, gli ideali $P_1,P_2,\dots, P_n$ sono primi a due a due distinti e $n$, $\lambda_1$, $\lambda_2,\dots,\lambda_n\in\N^+$.
3. Completare la dimostrazione del fatto che se $R$ è un anello di Dedekind il gruppo dei suoi ideali frazionari è abeliano libero con l'insieme degli ideali primi non nulli come base.
4. Provare che se $R$ è un anello di Dedekind locale l'insieme dei suoi ideali è totalmente ordinato.

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Teorema: gli anelli di Dedekind sono tutti e soli i domini di integrità unitari in cui ogni ideale e prodotto di ideali primi. Come conseguenza: gli anelli di frazioni non nulli degli anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Anelli di valutazione. Caratterizzazioni elementari. Esempi; sono di valutazione i campi e le localizzazioni degli anelli di Dedekind. Cenno alla nozione di valutazione in un campo ed a quella di anello di una valutazione. Esempio: per un primo $p$, la valutazione $p$-adica in $\Q$ e l'anello $\Q_{p'}$; estensione a campi dei quozienti di anelli fattoriali arbitrari.

Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare tramite MCD; menzionati alcuni esempi. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout.

Interi su un anello (commutativo unitario); interi algebrici. Prime caratterizzazioni elementari. Sia $R$ un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$ e sia $c\in A$. Se $c$ è invertibile, $c$ è intero su $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$; in ogni caso sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ammette un modulo fedele che sia finitamente generato come $R$-modulo. Corollario: se $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, allora $A$ è un ampliamento intero di $R$. Comparazione con la nozione di elemento algebrico in teoria dei campi.

Per rapidi cenni: se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. Di conseguenza, se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ è un ampliamento di $R$ e ciascuno dei $c_i$ è intero su $R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, quindi è un ampliamento intero di $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello unitario; transitività dell'integralità. Domini di integrità integralmente chiusi; lo sono gli anelli fattoriali.

Teorema (non dimostrato): sia $K$ un campo e sia $\mathscr S$ l'insieme (non vuoto) delle coppie $(A,I)$ tali che $A$ sia un sottoanello di $K$ e $I$ ne sia un ideale proprio. Si ordini $\mathscr S$ per “inclusione componente per componente”. Allora l'insieme degli elementi di $\mathscr S$ maggiori o uguali rispetto ad suo prefissato elemento è induttivo ed i suoi elementi massimali sono coppie costituite da un anello di valutazione $V$ e dal suo ideale massimale; inoltre $V$ ha $K$ come campo dei quozienti. Di conseguenza: la chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione tra i sottoanelli di valutazione di $K$ contenenti $R$.

Sia $A$ un ampliamento intero di un anello commutativo unitario $R$. Se $P$ e $Q$ sono ideali di $A$ tali che $P$ sia primo, $P\sseq Q$ e $P\cap R=Q\cap R$, allora $P=Q$. Di conseguenza: la dimensione di $A$ non eccede quella di $R$.

Esercizi proposti:

1. Provare che gli anelli principali sono tutti e soli quelli fattoriali di Bézout.
2. Provare che le localizzazioni degli anelli di Dedekind sono anelli principali.
3. Provare che gli anelli di valutazione sono integralmente chiusi.
4. Verificare che l'anello $\Z[\sqrt 5]$ non è integralmente chiuso, quindi non è fattoriale (suggerimento: si consideri il polinomio $x^2-x-1$…).
5. Provare che se $A$ è un dominio di integrità unitario, ampliamento di un suo sottoanello unitario $R$, allora $A$ è un campo se e solo se lo è $R$.

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Discussione di due importanti esercizi: (1) le localizzazioni degli anelli di Dedekind sono anelli principali; (2) se $A$ è un dominio di integrità unitario, ampliamento intero di un suo sottoanello unitario $R$, allora $A$ è un campo se e solo se lo è $R$.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione (principale); (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$.

Richiami ed approfondimenti su alcune proprietà degli ideali di un anello di Dedekind $R$ (alcune già enunciate ma non ancora dimostrate): per ogni $I,J\in\I^*(R)$ si ha che $I+J$ e $I\cap J$ sono, rispettivamente, l'unico MCD e l'unico mcm tra $I$ e $J$ in $\I^*(R)$, dunque $I$ e $J$ sono comassimali se e solo se sono coprimi in $\I^*(R)$ e, inoltre, per ogni $H\in\I^*(R)$, $HI\cap HJ=H(I\cap J)$, nonché $IJ=(I+J)(I\cap J)$. Si ha poi:

• se $0\ne H\n R$ e $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$;
• per ogni $I,J\in\I^*(R)$, esiste $H\n R$ tale che $IH$ sia principale e $J+H=R$;
• tutti gli ideali dei quozienti propri di $R$ è sono principali. Dunque, per ogni ideale (non nullo) $H$ di $R$ ed ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=aR+bR$;
• se $R$ è semilocale, allora $R$ è principale.

Inoltre, per ogni $I,H\in\I^*(R)$, si ha $H/IH\iso_R R_R/I$ e quindi $|R/IH|=|R/I|\,|R/H|$.

Applicazioni alle teoria dei numeri. Il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Senza dimostrazione: se $R$ è un anello fattoriale, $K=Q(R)$ e $F$ un campo estensione di $K$, allora gli elementi di $F$ che siano interi su $R$ sono quelli algebrici su $K$ ed il cui polinomio minimo su $K$ sia a coefficienti in $R$; di conseguenza i numeri complessi algebrici sono interi algebrici se e solo se il loro polinomio minimo su $\Q$ è in $\Z[x]$. Campi di numeri (estensioni finite del campo razionale) e loro anelli degli interi algebrici; questi sono, ovviamente, integralmente chiusi ed hanno dimensione 1; inoltre (ma non l'abbiamo dimostrato) hanno per gruppo additivo un gruppo abeliano libero di rango finito, quindi sono noetheriani e così di Dedekind. Basi intere.

Descrizione degli anelli degli interi delle estensioni quadratiche (cioè di grado 2) di $\Q$.

Esercizi proposti:

1. Provare che se $d$ è un numero intero libero da quadrati e $d\equiv_4 1$ allora l'anello $\Z[\sqrt d]$ non è né fattoriale né di Dedekind.

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Applicazioni della teoria degli anelli di Dedekind alla teoria dei numeri. Fissato un campo di numeri $K$ ed il suo anello degli interi algebrici $Z_K$, rapida panoramica su alcuni problemi aperti a riguardo della fattorialità o meno di $Z_K$. Norma di elementi di $K$ e connessioni tra norme e divisibilità per elementi di $Z_K$ (ad esempio: gli elementi invertibili sono quelli di norma $1$ o $-1$). Dimostrazione del fatto che i quozienti non nulli di $Z_K$ sono tutti finiti. Norma di ideali non nulli in $Z_K$; senza dimostrazione: la norma di un ideale principale non nullo coincide sempre col valore assoluto della norma di un suo generatore.

Senza dimostrazione: teoremi di Kummer e di Claborn (il gruppo delle classi di $Z_K$ è finito per ogni campo di numeri $K$, è totalmente arbitrario per anelli di Dedekind arbitrari) e teorema degli invertibili di Dirichlet. Come conseguenza: struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.

Osservazione: negli anelli unitari commutativi noetheriani, ogni elemento non invertibile è prodotto di irriducibili.

Illustrazione di metodi di riduzione di questioni sulla fattorizzazione di elementi in $Z_K$ a fattorizzazioni (uniche) di ideali in prodotti di ideali primi. Descrizione dettagliata alla fattorizzazione dell'ideale $6Z_K$ in prodotto di ideali primi nel caso $K=\Q[\sqrt{-5}]$ e deduzione da questa dai divisori di $6$ in $\Z_K$. Cenno ad una caso analogo (ma non troppo), quello della fattorizzazione di $18Z_K$ nel caso $K=\Q[\sqrt{-17}]$.

Esercizi proposti:

1. Per ogni intero negativo $d$ libero da quadrati, determinare il gruppo degli invertibili dell'anello degli interi di $\Q(\sqrt d)$ e quindi la struttura del gruppo moltiplicativo di questo campo.
2. Sia $R=\Z[\sqrt{-17}]$. Completare (anche se è svolta nelle note) la determinazione degli ideali principali di $R$ divisori di $18R$ e dedurne l'elenco dei divisori di $18$ in $R$.
3. Fattorizzare in prodotto di ideali primi l'ideale generato da $6$ nell'anello $R=\Z[\sqrt{-6}]$ degli interi algebrici di $\Q[\sqrt{-6}]$ e descrivere quindi le fattorizzazioni di $6$ in prodotto di elementi irriducibili ed i divisori di $6$ in $R$.
4. Trovare un elemento di periodo infinito nel gruppo degli invertibili di $\Z[\sqrt 2]$.
5. Svolgere gli esercizi 13.C.5, 13.D.2 e 13.D.3 dalle note.