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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento. Origini e ruolo dell'algebra commutativa in relazione con altri settori della matematica, in particolare con la teoria dei numeri e la geometria algebrica.

Richiami sugli anelli; anelli commutativi. Anelli ed anelli unitari, con cenni all'algebra universale ed alla nozione generale di omomorfismo e di sottostruttura in algebra. Alcuni esempi di anelli commutativi, tra cui, l'anello delle parti di un insieme. Sottoanelli e sottoanelli unitari, omomorfismi di anelli unitari; qualche esempio. Un lemma: se $A$ e $B$ sono anelli unitari, un omomomorfismo di anelli $\alpha\colon A\to B$ è unitario se e solo se almeno un elemento di $\im \alpha$ è cancellabile in $B$.

Premoduli e moduli su un anello commutativo: prima definizione.

IMPORTANTE: come indicato nell'avviso nella pagina principale del corso, la prossima lezione è prevista per martedì 27.

Esercizi proposti (non necessariamente da risolvere tutti e subito):

1. Trovare, nell'anello $\Z_{10}$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $\Z_{10}$ (Suggerimento: partire da $[5]_{10}$).
2. Siano $S$ un insieme e $T$ una parte di $S$. $\P(T)$ è un ideale dell'anello delle parti di $S$?
3. Sia $S$ un insieme. Determinare gli ideali principali dell'anello delle parti $\P(S)$. Provare che se $S$ è finito tutti gli ideali di $\P(S)$ sono principali. Cosa succede se $S$ è infinito? Come si possono caratterizzare gli ideali di $\P(S)$ in questo caso?
4. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello delle parti di $\N$?
5. Sia $A$ un gruppo abeliano. Verificare che
   • $A$ si struttura come modulo sull'anello $\Z$ degli interi utilizzando l'operazione esterna $\ast\colon A\times\Z\to A$ che ad ogni coppia $(a,n)$ del dominio associa il consueto multiplo $na$ di $a$ per l'intero $n$ in $A$;
   • per ogni anello $R$, $A$ si struttura come premodulo su $R$ utilizzando come operazione esterna l'applicazione costante $A\times R\to A$ che assume come valore l'elemento neutro $0_A$ di $A$.

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Esempi di moduli e premoduli.

Richiamo: l'anello (unitario) degli endomorfismi di un gruppo abeliano.

Azioni di (pre)modulo e seconda definizione dei (pre)moduli; equivalenza tra le definizioni. Regole elementari di calcolo nei premoduli. La segnatura dei premoduli; sottopremoduli, omomorfismi tra premoduli, congruenze e quozienti di premoduli. Alcuni esempi fondamentali. Teoremi di omomorfismo e di corrispondenza per premoduli.

Cambio degli scalari per un (pre)modulo, via un omomorfismo di anelli (o di anelli unitari). Qualche esempio.

Esercizi proposti:

1. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli.
2. Decidere se il gruppo ciclico infinito può essere riguardato come il gruppo additivo di un modulo (ovvero: spazio vettoriale) sul campo $\Z_2$.
3. Chiamiamo iniziale ogni anello unitario $S$ con questa proprietà: per ogni anello unitario $R$ esiste uno ed un solo omomorfismo di anelli unitari $S\to R$. Provare che l'anello $\Z$ degli interi è iniziale; provare poi che ogni anello unitario iniziale è isomorfo a $\Z$. Suggerimento: se $S$ è iniziale esistono, e sono unici, omomorfismi di anelli unitari $\Z\to S$, $\Z \to \Z$, $S\to \Z$ e $S\to S$.
4. Siano $R$ un anello commutativo ed $A$, $B$ due $R$-premoduli, con azioni di premodulo $\alpha\colon R\to \End(A,+)$ e $\beta\colon R\to \End(B,+)$. Sia poi $\sigma$ un'applicazione $A\to B$. Verificare che $\sigma$ è un omomorfismo di $R$-premoduli se e solo se è un omomorfismo di gruppi (tra i gruppi additivi di $A$ e $B$) e, per ogni $r\in R$, si ha $r^\alpha\phi=\phi r^\beta$.
5. Siano $R$, $A$, $B$, $\alpha$ e $\beta$ come all'esercizio precedente. Sia poi $S$ un anello commutativo e $\theta\colon S\to R$ un omomorfismo di anelli. Indichiamo con $A_S$ (risp. $B_S$) il modulo su $S$ ottenuto da $A$ (risp. $B$) per cambio degli scalari via $\theta$. Verificare che
   • se $\im (\theta\alpha)=\im\alpha$ (ad esempio, se $\theta$ è suriettiva), ogni parte di $A$ che costituisce un sottopremodulo di $A_S$ costituisce anche un sottopremodulo di $A$;
   • se $\theta$ è suriettiva, ogni $S$-omomorfismo $A_S\to B_S$ è anche un $R$-omomorfismo $A\to B$.

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Annullatori di premoduli e di loro parti ed elementi. Esempi. Premoduli fedeli. Moduli isomorfi hanno lo stesso annullatore.

Cambio degli scalari: un premodulo $M$ su un anello commutativo $R$ si può riguardare come premodulo su $R/H$ dove $H$ è un ideale di $R$ contenuto nell'annullatore di $M$. Esempio ($p$-gruppi abeliani elementari come spazi vettoriali).

Somme tra parti di un premodulo (o di un anello). Per un anello commutativo $R$ ed un $R$-premodulo $M$, prodotto tra una parte di $M$ ed una di $R$ (combinazioni lineari). Come casi particolari: prodotti tra parti e prodotti tra ideali di $R$. Il sottopremodulo (o il sottomodulo) generato da una parte di $M$. Il semigruppo moltiplicativo degli ideali di $R$ (monoide se $R$ è unitario).

Ideali comassimali. Due osservazioni: se $R$ è un anello commutativo unitario, allora: (1) e $H$ e $K$ sono ideali comassimali con un terzo ideale $J$, allora anche $HK$ è comassimale con $J$; (2) l'intersezione tra un numero finito di ideali a due a due comassimali coincide col prodotto degli stessi ideali. Interpretazione di queste osservazioni nell'anello degli interi.

Premoduli ciclici e premoduli semplici. Due lemmi: (1) se $(S,\cdot)$ è un semigruppo commutativo e $a\in S$, allora $S=aS$ se e solo se $S$ è un monoide e $a\in\U(S)$; (2) se $R$ è un anello commutativo ed $M$ un $R$-premodulo, allora esiste $a\in R$ tale che $M=aR$ se e solo se $R$ ha un ideale $H$ tale che $R/H$ sia unitario e M sia isomorfo a $R_R/H$. Se questo accade $H=\ann_R(M)$.

Esercizi proposti:

1. Sia $M$ un premodulo su un anello commutativo $R$ e sia $H$ un ideale di $R$ contenuto in $\ann_R(H)$. Verificare che l'insieme dei sottopremoduli di $M$ coincide con l'insieme dei sottopremoduli di $M$ riguardato come $R/H$-premodulo nel modo indicato a lezione.
2. Siano $R$ un anello commutativo ed $M$ un $R$-premodulo. Allora:
   • se $X\subseteq Y\subseteq M$, $\ann_R(X)\supseteq\ann_R(Y)$;
   • per ogni famiglia $(X_i)_{i\in I}$ di parti di $M$ si ha $\ann_R(\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}\ann_R(X_i)$;
   • per ogni $X\sseq M$, $\bigcap\set{\ann_R(x)\mid x\in X}$ è l'annullatore del sottopremodulo di $M$ generato da $X$.
3. Fissato un anello commutativo $R$, sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra $R$-premoduli. Provare che $\ann_R(A)\subseteq \ann_R(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo di $R$-premoduli, provare che $\ann_R(A)\supseteq \ann_R(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.

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Caratterizzazioni dei moduli ciclici, dei moduli semplici, dei premoduli semplici.

Per una parte $X$ ed un sottopremodulo $N$ di un premodulo $M$ su un anello commutativo $R$, l'ideale $(N:X)_R$ (trasportatore, o conduttore).

Sottopremoduli massimali e quozienti semplici. Caratterizzazione degli ideali massimali in anelli commutativi arbitrari. Richiami sugli ideali primi e relative caratterizzazioni. Teorema di corrispondenza per ideali massimali e per ideali primi.

Un lemma: l'unione di una catena non vuota di sottopremoduli è necessariamente un sottopremodulo, inoltre, se è finitamente generato, questo sottopremodulo è il massimo della catena. Di conseguenza: se $M$ è un premodulo finitamente generato ed $N$ ne è un sottopremodulo proprio, $M$ ha un sottopremodulo massimale contenente $N$.

Esercizi proposti:

1. Supposti assegnati $n,a\in\Z$, descrivere $(n\Z:a)_\Z$.
2. Provare che, se $R$ è un anello commutativo, $H\n R$, $x\in R$ e $X\sseq R$, si ha $H\sseq(H:X)_R$ e $x(H:x)_R=xR\cap H$.
3. Siano $s$ un insieme e $a,b\sseq s$. Descrivere $(\P(a):b)_{\P(s)}$.
4. Siano $H,K,J$ ideali di un anello commutativo $R$. Verificare che vale $(K:J)_R(H:K)_R\sseq (H:J)_R$ e mostrare con un esempio che l'inclusione può essere propria.
5. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $P$ e $Q$ due ideali primi di $R$. Sotto quali condizioni $P\cap Q$ è primo?

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Osservazione: in ogni premodulo l'insieme dei sottopremoduli non finitamente generati è vuoto o induttivo.

Lemma: se, in un anello commutativo $R$, $S$ è una parte non vuota che sia chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da un prefissato ideale $H$, allora l'insieme degli ideali di $R$ contenenti $H$ e disgiunti da $S$ è induttivo ed i suoi elementi massimali sono ideali primi (ulteriore deduzione del teorema di Krull).

Elementi nilpotenti e nilradicale, la varietà ed il radicale di un ideale in un anello commutativo $R$. Alcuni esempi se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$.

Ideali massimali e radicale di Jacobson. Per un anello commutativo unitario $R$: l'unione degli ideali massimali è il complemento di $\U(R)$, mentre il radicale di Jacobson $\jac(R)$ è $\set{a\in R\mid 1_R+aR\sseq\U(R)}$; per ogni $a\in \jac(R)$ si ha $|aR|\le |\U(R)|$, dunque $|R|=|\U(R)|$ se $\jac(R)$ contiene elementi cancellabili di $R$; questo non può accadere se $R$ è finito e $|R|\gt 1$. In un anello commutativo unitario $R$ il radicale di Jacobson è l'insieme degli elementi di $R$ che annullano ogni $R$-modulo semplice. Prima versione del lemma di Nakayama.

Comparazione tra nilradicale e radicale di Jacobson in anelli commutativi unitari (e non). La somma tra un elemento invertibile ed uno nilpotente è necessariamente invertibile.

Legge modulare di Dedekind e suo corollario (due sottopremoduli confrontabili per inclusione coincidono se hanno stessa intersezione e stessa somma con un assegnato sottopremodulo).

Esercizi proposti:

1. Se, in un anello commutativo, $P$ è un ideale primo e $n\in\N^+$, allora $\sqrt{P^n}=\min(\var(P^n))=P$. Verificarlo
2. Descrivere gli ideali primi dell'anello delle parti di un insieme $S$. (Suggerimento: si pensi alla possibile struttura di un quoziente $\P(S)/P$ se $P$ è un ideale primo.)
3. Sempre nell'anello delle parti di un insieme, descrivere il radicale di un ideale arbitrario.
4. Provare che se $H$ e $K$ sono ideali di un anello $R$, il radicale di $H+K$ coincide con quello di $\sqrt H+\sqrt K$.
5. Verificare che, come accennato a lezione, l'insieme $R$ delle frazioni $a/b$ con $a$ intero e $b$ intero dispari costituisce un sottoanello unitario del campo razionale il cui unico ideale massimale è $2R$; dedurne $\nrad(R)\ne\jac(R)$.

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Condizioni di catena per insiemi ordinati. Premoduli ed anelli artiniani e noetheriani. Alcuni esempi.

Proprietà di chiusura (per sottopremoduli, quozienti, estensioni, somme finite e duale) delle proprietà di essere un premodulo artiniano o noetheriano. Risultati corrispondenti per anelli.

Caratterizzazione dei premoduli noetheriani in termini di sottopremoduli finitamente generati.

Osservazione: se $R$ è un anello commutativo, $H\n R$ e $a\in R$, allora $a(H:a)_R=H\cap aR$, dunque $aH=H\cap aR$ se $H$ è primo.

Proprietà di Hopf e proprietà duale (co-Hopf); qualche esempio.

Esercizi proposti:

1. L'insieme dei numeri naturali ordinato per divisibilità è a condizione minimale? È a condizione massimale?
2. Sotto quali condizioni l'anello delle parti di un insieme è artiniano? E quando è noetheriano?
3. Trovare un esempio di modulo artiniano e noetheriano con infiniti sottomoduli.
4. Come detto a lezione, un premodulo $M$ è hopfiano (risp. co-hopfiano) se e solo se non ha sottopremoduli $N$ tali che $N\ne 0$ e $M\iso M/N$ (risp. $M\iso N\ne M$). Vero o falso: (1) ogni premodulo noetheriano è hopfiano; (2) ogni premodulo artiniano è co-hopfiano.

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In un anello commutativo unitario, un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario. Algebre unitarie. Omomorfismo di struttura di un'algebra unitaria e, per fissati anelli commutativi unitari $R$ ed $A$, biezione canonica tra l'insieme degli omomorfismi di anelli unitari $R\to A$ e l'insieme delle operazioni esterne che strutturano $A$ come $R$-algebra unitaria. Sottoalgebre ed omomorfismi di algebre. Caratterizzazione degli omomorfismi di algebre unitarie in termini degli omomorfismi di struttura. Gli ideali di un'algebra unitaria sono sottoalgebre (cosa non sempre vera per algebre non unitarie). Esempi: gli anelli commutativi sono, in unico modo, $\Z$-algebre; assegnato un anello commutativo unitario $R$, sono algebre con moltiplicazione interna nulla tutti gli $R$-moduli, sono $R$-algebre unitarie tutti gli anelli commutativi unitari di cui $R$ sia un sottoanello unitario. Estensioni di campi viste come come algebre, e loro automorfismi.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria: l'algebra accresciuta. Come caso particolare: anello accresciuto definito da un anello commutativo (ogni anello commutativo $A$ è ideale di un anello commutativo unitario $A_1$ tale che $A_1/A\iso \Z$).

Qualche considerazione sulla nozione generale di identificazione in matematica.

Esercizi proposti:

1. Fornire un esempio di anello commutativo (non unitario) non noetheriano i cui ideali primi sono tutti finitamente generati.
2. Fornire un esempio di algebra (commutativa, associativa, non unitaria) qualche ideale della quale non costituisca una sottoalgebra.
3. Verificare che ogni anello commutativo di caratteristica positiva $c$ si struttura, in unico modo, come $\Z_c$-algebra.
4. (Per chi ha familiarità con le nozioni coinvolte) Provare che il gruppo di Galois di una estensione $F/K$ di campi è il gruppo degli automorfismi di $F$ riguardato come $K$-algebra.

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Lemma: se $R$ è un anello commutativo ed $S$ un anello unitario, detto $R_1$ l'anello accresciuto $R\rtimes\Z$, l'applicazione restrizione dall'insieme degli omomorfismi di anelli unitari da $R_1$ a $S$ a quello degli omomorfismi di anelli da $R$ a $S$ è biettiva. Da ciò: equivalenza tra lo studio dei premoduli su $R$ e quello dei moduli su $R_1$ (con conservazione di sottostrutture ed omomorfismi). Caratterizzazione dei premoduli ciclici.

Idealizzazione di un premodulo.

Prodotti diretti e somme dirette, esterne (coprodotti) ed interne, di premoduli. Isomorfismo tra somme dirette esterne ed interne. Proiezioni e monomorfismi canonici.

Nozione generale di oggetto libero e moduli liberi. Proprietà di unicità e di invarianza a meno di isomorfismi.

Esercizi proposti:

1. Siano $A$ un'algebra su un anello commutativo unitario $R$ e $A_1=A\rtimes R$. Verificare che gli ideali di $A_1$ contenuti in $A$ sono precisamente gli ideali di $A$ che sono anche $R$-sottomoduli.
2. Sia $C=\set{0,a}$ un gruppo di ordine 2. Riguardato $C$ come modulo sul campo $\Z_2$, descrivere (scrivendone la tavola di moltiplicazione) l'idealizzazione $A=C \mathbin{{}_0\!\rtimes}\Z_2$. D'altra parte, si può munire $C$ della moltiplicazione interna che lo renda un campo isomorfo a $\Z_2$ (dunque $0a=a0=0^2=0$ e $a^2=a$), e quindi una $\Z_2$-algebra (isomorfa a $\Z_2$ visto come algebra su di sé); fatto ciò, si descriva l'algebra accresciuta $B=C\rtimes\Z_2$ e si confrontino $A$ e $B$. (Si può osservare che tra $A$ e $B$ uno è isomorfo all'anello delle parti di un insieme ci cardinalità 2, l'altro al quoziente $Z_2[x]/(x^2)$.)
3. Sia $(M_i)_{i\in I}$ una famiglia di premoduli sullo stesso anello commutativo. Sotto quali condizioni $\prod_{i\in I}M_i$ e $\coprod_{i\in I}M_i$ sono artiniani, noetheriani, fedeli?
4. Sia $K$ un campo. Dimostrare che ogni $K$-spazio vettoriale è libero (come $K$-modulo) con applicazione universale l'immersione di una sua base in esso.
5. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Dimostrare che $R_R$ è libero (come $R$-modulo) con applicazione universale l'immersione di $\set{1_R}$ in $R$.
6. Usando esclusivamente la definizione, dimostrare che il gruppo ciclico di ordine 17 non è libero (su alcuna base) come $\Z$-modulo.
7. Esercizi 1.J.3 e 1.J.4 dalle note.
8. Esercizi 4.A dalle note.

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(Pre)moduli liberi sull'insieme vuoto come oggetti iniziali ed altri esempi. Costruzione (e descrizione) dei moduli e dei premoduli liberi; iniettività delle applicazioni universali. Ogni (pre)modulo è immagine epimorfa di un (pre)modulo libero su un suo insieme di generatori. I premoduli finitamente generati sugli anelli commutativi noetheriani sono noetheriani.

Proprietà universali di prodotti e coprodotti.

Algebre (associative commutative) unitarie libere. Interpretazione della proprietà universale che le definiscono in termini di omomorfismi di anelli unitari. Cenni alla costruzione. Anelli di polinomi. Per un anello commutativo unitario $R$, isomorfismo $R[X]/(X)\iso R$, descritto in termini di proprietà universale.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio la costruzione delle algebre (associative commutative) unitarie libere.
2. Costruire un anello commutativo unitario $R$ di caratteristica 3 in cui esista un elemento $a$ tale che $a^2=0_R\ne a$.

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Ulteriori osservazioni sugli anelli di polinomi (isomorfismi $R[X\cup Y]\iso (R[X])[Y]$).

Il teorema della base di Hilbert ed una immediata sua conseguenza. Gli anelli di polinomi con insiemi infiniti di indeterminate non sono mai noetheriani. Esempio di un'algebra finitamente generata sull'anello (unitario, noetheriano) $\Z[x]$ che, riguardata come anello, non è noetheriana.

Prodotti diretti e somme dirette esterne di anelli (e di algebre). I primi sono prodotti nel senso categoriale, le seconde non sono in generale coprodotti. Somme dirette interne di anelli (ovvero di loro ideali). Le somme dirette tra infiniti anelli non nulli non sono mai anelli unitari. Isomorfismo tra somme dirette esterne ed interne.

Omomorfismi $M\to\prod_{i\in I}M/N_i$ e $R\to\prod_{i\in I}R/H_i$ indotti dagli epimorfismi canonici, dove $M$ è un premodulo e $(N_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi sottopremoduli, o $R$ è un anello commutativo e $(H_i)_{i\in I}$ una famiglia di suoi ideali. Nel caso degli anelli unitari o delle algebre, condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la suriettività di questo omomorfismo.

Come applicazione di questo risultato: teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione di Eulero.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio che il prodotto diretto di anelli verifica la proprietà categoriale dei prodotti, come accade per i moduli ed i premoduli.
2. Calcolare i valori associati dalla funzione di Eulero a $4567$ (che è primo), a $2\cdot 4567$, a $32\cdot 4567$.
3. Trovare due interi positivi $a$ e $b$ tali che $\varphi(a)\varphi(b)\ne \varphi(ab)$, dove $\varphi$ indica l funzione di Eulero.

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Anelli di funzioni.

Anelli locali: una caratterizzazione elementare e qualche esempio.

L'anello $R[[x]]$ delle serie formali di potenze (ad una indeterminata) su un anello commutativo unitario $R$. Alcune proprietà: determinazione degli invertibili e del radicale di Jacobson. Se $R$ è locale (risp. noetheriano) anche $R[[x]]$ lo è.

Elementi idempotenti in un anello commutativo unitario $R$; idempotenti tra loro ortogonali. Qualche esempio. Biezione tra gli insiemi degli insiemi finiti di ideali che descrivono una decomposizione di $R$ in somma diretta e quello degli insiemi finiti di idempotenti a due a due ortogonali che, sommati tra loro, dànno l'unità di $R$. Di conseguenza: $R$ è indecomponibile in somma diretta di ideali se e solo se non ha idempotenti non banali.

Esercizi proposti:

1. Abbiamo osservato che se $R$ è un anello commutativo locale (risp. unitario noetheriano) anche $R[[x]]$ lo è. Verificare anche il viceversa.
2. Nell'anello $\Z[[x]]$ delle serie formali su $\Z$ si trovi l'inverso di $1+x^3$. Si individui un ideale massimale di $\Z[[x]]$ a cui $5+x$ non appartiene.
3. Verificare che se l'unità di un anello commutativo unitario è somma di un numero finito di elementi dell'anello a due a due ortogonali (cioè $1_R=\sum_{i\in F}r$, dove $F$ è finito e $r s=0_r$ per ogni $r\in F$ e $s\in F\setminus\set r$), allora gli elementi di $F$ sono tutti idempotenti.
4. Facendosi guidare dalle decomposizioni in somma diretta di ideali, elencare gli elementi idempotenti degli anelli $\Z_{81}$ e $\Z_{30}$. Scrivere l'unità $[1]_{60}$ dell'anello $\Z_{60}$, come somma di tre idempotenti non banali.
5. Scelto comunque un insieme $S$, per ogni $x\in\P(S)$ sia $\chi_x$ la funzione caratteristica di $x$ in $S$ a valori in $\Z_2$, cioè l'applicazione da $S$ a $\Z_2$ che ad ogni $a\in S$ associa $[1]_2$ se $a\in x$ e $[0]_2$ altrimenti. Verificare che, come detto a lezione l'assegnazione $x\mapsto \chi_x$ definisce un isomorfismo da $(\P(S),\ds,\cap)$ all'anello di funzioni $(\Z_2)^S$.
6. Ancora sull'anello delle parti di un insieme $S$: dopo aver verificato che, per ogni $x\in S$, $P(S\setminus\set x)$ costituisce un ideale massimale di $\P(S)$, dimostrare che se $S$ è infinito (e solo in quel caso) $\P(S)$ ha anche ideali massimali non di questo tipo.
7. Esercizio 4.B.1 dalle note, sugli ideali massimali in un anello di funzioni continue.

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Lemma NAK (per premoduli; usato un lemma: se $a$ è un elemento di un premodulo su un anello commutativo $R$ e $L,K\n R$, allora $aL\sseq aK$ se e solo se $L\sseq K+\ann_R(a)$). Alcuni controesempi. Deduzione del lemma di Nakayama dal lemma NAK.

Ideali primari: definizione, esempi e prime caratterizzazioni. Alcune proprietà essenziali: teorema di corrispondenza pr ideali primari; sono primari gli ideali primi, gli ideali il cui radicale sia l'intero anello e, quindi, tutti gli ideali massimali; il radicale di un ideale primario è o l'intero anello oppure primo (nozione di ideale $P$-primario per un ideale $P$ che è primo o l'intero anello); l'intersezione tra due ideali $P$-primari è ancora $P$-primario, così come lo è $(Q:a)$ se $Q$ è un ideale $P$-primario e $a$ un elemento dell'anello non in $Q$. In un anello commutativo unitario, un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario (ma questo non è necessariamente vero se l'anello non è unitario).

Discussione dettagliata della costruzione, in anelli commutativi unitari noetheriani, di ideali primari che non siano potenze di ideali primi o di un ideale primo con quadrato non primario.

Esercizi proposti:

1. Sia $M$ un premodulo finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$. Verificare che l'applicazione dall'insieme degli ideali di $R$ a quello dei sottopremoduli di $M$ (entrambi ordinati per inclusione) che ad ogni ideale $H$ associa $MH$ è strettamente crescente.
2. Esercizio 7.A.5 dalle note.

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Decomposizioni primarie e ideali decomponibili (in intersezione finita di ideali primari). Decomposizoni primarie minimali; ogni ideale decomponibile ne ha una. Decomposizoni primarie minimali nell'anello degli interi. Osservazione: nell'anello delle parti di un insieme gli ideali primari sono (massimali e) di indice $2$, quindi gli ideali di indice infinito non sono decomponibili.

Ideali irriducibili per intersezione (o $\cap$-irriducibili); lo sono gli ideali primi. Sia $R$ un anello commutativo noetheriano. Allora ogni ideale proprio di $R$ è intersezione di un insieme finito di ideali $\cap$-irriducibili, ed ogni ideale $\cap$-irriducibile è primario; di conseguenza ogni ideale proprio di $R$ è decomponibile.

Un esempio di ideale primario non $\cap$-irriducibile in un anello commutativo unitario noetheriano; un esempio di ideale $\cap$-irriducibile non primario in una anello commutativo unitario (non noetheriano): l'idealizzazione del gruppo di Prüfer visto come $\Z$-modulo.

Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Ideali associati ad un ideale decomponibile.

Osservazione: l'intersezione di una qualsiasi catena non vuota di ideali primi è un ideale primo; di conseguenza, se $H$ è un ideale tale che $\var(H)\ne\vuoto$, $\var(H)$ ha elementi minimali.

Esercizi proposti:

1. Provare che, in ogni anello commutativo $R$, ogni ideale $H$ tale che $R/H$ sia noetheriano è decomponibile.
2. Esercizi 7.B.5, 6, 7 e 7.C.2, 3, 5, 6 dalle note. Per l'esercizio 7.B.5 assumere come nota la Proposizione 4.4.
3. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$ (che è fattoriale), decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Trovare una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.
4. Sotto quali condizioni l'intersezione tra due ideali primari è un ideale primario?

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Per un ideale decomponibile $H$ in un anello commutativo: ideali associati isolati e immersi; ogni ideale in $\var(H)$ contiene un ideale primo isolato; l'intersezione tra gli ideali associati ad $H$ è dunque il radicale di $H$, la loro unione è l'insieme dei divisori dello zero modulo $H$.

Esempio, in un anello fattoriale noetheriano, di un ideale che ha infinite decomposizioni primarie minimali.

Secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Unicità delle decomposizioni primarie minimali in anelli commutativi unitari di dimensione 0 o integri e di dimensione 1.

Anelli artiniani. In ogni premodulo artiniano, l'insieme dei premoduli di indice finito è finito. Sia $R$ un anello commutativo artiniano. Se $R$ ha un elemento cancellabile $a$ allora $R$ è unitario e $a$ è invertibile, dunque se $R$ è integro, allora $R$ è un campo e gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali ($R$ ha dimensione 0); l'insieme degli ideali massimali di $R$ è finito; il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente.

Lemma: se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano.

Esercizi proposti:

1. Esercizio 8.A.6 dalle note.
2. Provare che se $R$ è un anello commutativo unitario artiniano ed ogni suo ideale massimale ha indice finito, allora $R$ è finito. L'ipotesi che $R$ sia unitario si può omettere?

15/11

Gli ideali finitamente generati costituiti da elementi nilpotenti sono nilpotenti. Teorema: se $R$ è un anello commutativo unitario, $R$ è artiniano se e solo se è noetheriano e di dimensione zero. Struttura di tali anelli: sono (in unico modo, anche in termini di somma diretta interna) prodotto diretti di un numero finito di anelli (artiniani) locali.

Il teorema dell'intersezione di Krull (per premoduli noetheriani). Utilizzato un lemma: se un premodulo è noetheriano, è noetheriano anche il quoziente del suo anello degli scalari rispetto all'annullatore. Corollari al teorema di Krull: se $J$ è il radicale di Jacobson di un anello commutativo noetheriano l'intersezione delle potenze di $J$ è l'ideale nullo; osservazioni, in particolare, sul caso degli anelli semilocali.

Parti sature in un semigruppo ed in un anello commutativi; alcuni esempi. Nel semigruppo moltiplicativo di un anello commutativo, le parti non vuote chiuse e sature sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Esercizi proposti:

1. Esercizi 8.A.4, 8.B.2 e 8.B.3 dalle note.
2. Determinare la parte satura generata da $\set{1,2,3,4,5}$ in $(\Z,\cdot)$ e, per una parte $b$ di un insieme $a$, quella generata da $\set b$ in $(\P(a),\cap)$.

17/11

Per un anello commutativo $R$ ed una sua parte non vuota $S$, omomorfismi $S$-inversivi di dominio $R$. Omomorfismi $S$-inversivi universali ed anelli di frazioni $S^{-1}R$; loro unicità a meno di omomorfismi; costruzione (e quindi esistenza); descrizione e proprietà dei loro elementi: nucleo dell'omomorfismo $S$-inversivo universale, identificazione delle frazioni che sono lo zero, l'unità, invertibili; quelle che sono divisori dello zero hanno per numeratore un divisore dello zero.

Espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo universale $S$-inversivo da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. Descrizione esplicita di $e$ e di $ec$; l'applicazione $ce$ è l'applicazione identica in $\I(S^{-1}R)$, dunque, $c$ è iniettiva ed $e$ è suriettiva; l'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ si immerge in quello degli ideali di $R$, quindi gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani), sono artiniani (risp. noetheriani). Similmente, il passaggio ad anelli di frazioni conserva le proprietà di essere ad ideali principali, domini di integrità, anelli principali (a condizione che l'anello di frazioni non sia nullo). Per un ideale $H\n R$; sono equivalenti: $H^e=S^{-1}R$, $H\cap S\ne\vuoto$, $\sqrt H\cap S\ne\vuoto$, $(\sqrt H)^e=S^{-1}R$; se $H\cap S=\vuoto$ e $H$ è primario, $H^{ec}=H$.

Antiimmagini di ideali, ideali primi, ideali primari mediante omomorfismi di anelli commutativi. I radicali degli ideali sono conservati dall'applicazione antiimagine.

Esercizi proposti:

1. Completare la verifica della correttezza della costruzione dell'anello di frazioni vista a lezione.
2. Provare a descrivere gli anelli di frazioni dell'anello delle parti di un insieme.
3. Siano $a$ un insieme non vuoto ed $R$ il suo anello delle parti. Se $x\in a$ e $S=\set{\set x}$, descrivere in dettaglio gli omomorfismi $S$-inversivi da $R$ ad un arbitrario anello commutativo unitario $A$.
4. Costruire un esempio di frazione $r/s$ in un opportuno anello di frazioni $S^{-1}R$ che non sia un divisore dello zero benché $r$ sia un divisore dello zero in $R$.
5. Tutti gli esercizi 9.A, 9.B.1 e 9.B.2 dalle note.

ATTENZIONE: come indicato nell'avviso nella pagina principale del corso, nelle due prossime settimane la lezione del giovedì sarà di tre ore e si terrà in aula H2.

22/11

Fissato un anello commutativo $R$, ed una sua parte non vuota $S$ moltiplicativamente chiusa, se $H\n R$, indicando con $\varepsilon$ immagini mediante l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\varepsilon)^{-1}R^\varepsilon$. Espansioni e contrazioni di ideali primari; le applicazioni espansione e contrazione inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra l'insieme degli ideali primi di $R$ disgiunti da $S$ e $\spec(S^{-1}R)$, tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$ e, per ogni $P\in\spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Esempio: le localizzazioni di $\Z$ ed i loro ideali. Se $P$ è un ideale primo dell'anello commutativo $R$, il campo residuo della localizzazione $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo al campo dei quozienti di $R/P$.

Il 'prime-avoidance lemma'; semilocalizzazioni.

L'applicazione espansione conserva le intersezioni finite. Decomposizioni primarie minimali di $H^e$ e $H^{ec}$ per un ideale decomponibile $H$. Dimostrazione alternativa del secondo teorema di unicità.

Se $R$ è un anello commutativo unitario, $K$ ne è un campo dei quozienti e, per ogni $M\maxid R$, $R_M$ è la localizzazione $R[s^{-1}\mid s\in R\setminus M]$ di $R$ ad $M$ contenuta come sottoanello in $K$, allora $\bigcap\set{R_M\mid M\maxid R}=R$.

ATTENZIONE: ricordo che, come da avviso nella pagina principale del corso, la prossima lezione (e quella di giovedì 1 dicembre) sarà di tre ore e si terrà in aula H2.

Esercizi proposti:

1. Dalle note: esercizi 9.B.3, 4, 5, tutti i 9.C (in 9.C.3 `localizzazione' va corretto in `anello di frazioni') e 9.D.1.

24/11

Sequenze di omomorfismi di moduli. Quasi esattezza ed esattezza; complessi di catene e sequenze esatte. Estensioni di moduli come sequenze esatte corte. Estensioni spezzate.

Per un fissato anello commutativo unitario $R$ ed un $R$-modulo $M$, il funtore $\Hom_R(M,-)$. Esso è esatto a sinistra, non necessariamente lo è a destra. Moduli proiettivi; alcune caratterizzazioni. Una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Se $A$ e $B$ sono sottomoduli di uno stesso modulo, allora esiste un'estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$. Se $A+B$ è proiettivo, allora $A\oplus B\iso (A\cap B)\oplus(A+B)$ e quindi $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo. Il lemma della base duale.

Esercizi proposti:

1. Dalle note: esercizi 11.A.1, 11.B.4, 11.D.1, 2 e 3.

29/11

Richiami su divisibilità e fattorialità in monoidi commutativi. Per un monoide commutativo $M$: il massimo quoziente $\widetilde M$ di $M$ ordinato per divisibilità; $M$ è fattoriale se e solo se è cancellativo e $\widetilde M$ è un reticolo a condizione minimale. Divisibilità ed ideali (principali) negli anelli commutativi unitari; applicazioni varie, tra le quali: varianti del teorema di Bézout.

Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare tramite MCD; menzionati alcuni esempi. Per un anello di Bézout sono equivalenti le proprietà di essere noetheriani, principali, fattoriali.

Anelli di valutazione. Caratterizzazioni elementari. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Esempi. Cenno alla nozione di valutazione in un campo ed a quella di anello di una valutazione. Esempio: per un primo $p$, la valutazione $p$-adica in $\Q$ e l'anello $\Q_{p'}$. In ogni campo, le coppie della forma $(H,R)$ dove $R$ è un sottoanello unitario ed $H$ un suo ideale proprio formano un insieme induttivo (rispetto all'inclusione 'componente per componente') i cui elementi massimali sono costituiti da un anello di valutazione e dal suo ideale massimale.

ATTENZIONE: Si ricorda ancora che la prossima lezione sarà di tre ore e si terrà in aula H2.

Esercizi proposti:

1. Verificare: gli anelli di frazioni degli anelli di valutazione sono o nulli o di valutazione.
2. Dalle note: leggere l'esempio 10.B.2 e svolgere l'esercizio 10.C.3.

1/12

Descrizione della chiusura intera di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ come l'intersezione tra i sottoanelli di valutazione di $K$ contenenti $R$.

Ideali frazionari di un dominio di integrità unitario $R$ in un suo campo dei quozienti $K$ (le notazioni per $K$ e $R$ restano fissate per il resto di questo resoconto). Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari i sottomoduli non nulli di $A$ ed anche $A\cap B$, $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Di conseguenza, gli $R$-sottomoduli non nulli finitamente generati sono ideali frazionari.

Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Il gruppo degli ideali frazionari principali. Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, e $B\le_R K$, allora $(B:A)_K=BA^{-1}$; in particolare, $A^{-1}=(R:A)_K$. Un ideale frazionario $A$ di $R$ è invertibile se e solo se $1_R\in A(R:A)_K$. Gli ideali frazionari invertibili sono precisamente quelli proiettivi, e sono tutti finitamente generati. Un esempio di ideale non invertibile in $\Z[x]$.

Se $I$ e $J$ sono ideali (interi) di $R$, se $I$ divide $J$ allora $I\supseteq J$; vale il viceversa se $I$ è invertibile. Anelli di Dedekind; definizione e prime osservazioni: tali anelli sono noetheriani; gli anelli principali sono di Dedekind. Teorema: se $R$ è di Dedekind il suo monoide degli ideali non nulli è fattoriale ed i suoi elementi irriducibili sono gli ideali primi non nulli; questi sono tutti massimali. Conseguenze: gli ideali primari in $R$ sono le potenze degli ideali primi (escluso $R$); descrizione delle decomposizioni primarie in $R$; gli anelli di Dedekind locali sono di valutazione e principali. Per ogni $H\n R$, $H/R$ ha solo un numero finito di ideali. Il gruppo degli ideali frazionari di $R$ è abeliano libero, con l'insieme degli ideali primi non nulli di $R$ come base (da ciò, dando per noti alcuni risultati ancora da discutere si deduce la struttura dei gruppi moltiplicativi dei campi estensioni finite di $\Q$). Cenni alle proprietà di tipo aritmetico degli ideali in anelli di Dedekind; distributività dell'intersezione rispetto al prodotto tra ideali in questi anelli.

Teorema: in un dominio di integrità $R$, un ideale di che sia massimale per la proprietà di non essere invertibile è necessariamente primo, quindi $R$ è di Dedekind se e solo se i suoi ideali primi non nulli sono invertibili (ovvero proiettivi). Come corollario: sono equivalenti per $R$ le proprietà di avere tutti gli ideali primi principali, di essere principale, di essere fattoriale e di Dedekind, di essere fattoriale con dimensione al più 1.

Esercizi proposti:

1. Dalle note: svolgere gli esercizi 12.A.2, 3, 12.B.3, 5.

6/12

Lemma: unicità (a meno dell'ordine) delle fattorizzazioni di un ideale di un anello commutativo in prodotto di ideali primi cancellabili. Teorema: un dominio di integrità unitario è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale proprio è prodotto di ideali primi. Di passaggio si è verificato che questa condizione è anche equivalente a richiedere che ogni ideale principale proprio sia prodotto di ideali primi ed ogni ideale primo invertibile sia massimale. Come conseguenza del teorema: gli anelli di frazioni non nulli degli anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione (principale); (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$. Per dimostrarlo abbiamo osservato che in ogni anello commutativo unitario noetheriano ogni ideale non nullo contiene un prodotto di ideali primi non nulli ed abbiamo provato che, dati un anello commutativo unitario $A$ un suo sottoanello unitario $R$ e $c\in A$, $c$ è intero su $R$ se e solo se $R[c]$ ammette un modulo fedele che sia finitamente generato come $R$-modulo (per restrizione degli scalari).

Sia $A$ un ampliamento intero di un anello commutativo unitario $R$. Se $P$ e $Q$ sono ideali di $A$ tali che $P$ sia primo, $P\sseq Q$ e $P\cap R=Q\cap R$, allora $P=Q$. Di conseguenza: la dimensione di $A$ non eccede quella di $R$. Se poi $A$ è un dominio di integrità, allora $A$ è un campo se e solo se lo è $R$.

Introduzione agli interi algebrici. L'anello degli interi algebrici in un campo di numeri; è integralmente chiuso ed ha dimensione 1.

Esercizi proposti:

1. Fornire un esempio di ideale primo $P$ non nullo in un anello commutativo unitario $R$ tale che $P^2=P^3$.

13/12

Alcune proprietà di ideali in anelli di Dedekind $R$. Se $I,H\in\I^*(R)$,

• se $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$;
• esiste $L\n R$ tale che $LH$ sia principale e $L+I=R$;
• tutti gli ideali di $R/H$ è sono principali;
• per ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=aR+bR$;
• $H/IH\iso_R R_R/I$ e quindi $|R/IH|=|R/I|\,|R/H|$
• se $R$ è semilocale, allora $R$ è principale.

Gli anelli di Dedekind semilocali sono principali.

Applicazioni alle teoria dei numeri. Il gruppo additivo dei numeri algebrici è periodico modulo quello degli interi algebrici. Senza dimostrazione: i numeri complessi algebrici sono interi algebrici se e solo se il loro polinomio minimo su $\Q$ è in $\Z[x]$.

Richiami di teoria dei campi e qualche informazione sulla teoria di Galois. Per un campo di numeri $K$: $\Q$-basi di $K$ e loro discriminanti; esistenza di basi intere; l'anello degli interi algebrici in $K$ è a condizione massimale (come gruppo abeliano) ed è così di Dedekind.

Senza dimostrazione: teoremi di Kummer e di Claborn (il gruppo delle classi di $Z_K$ è finito per ogni campo di numeri $K$, è totalmente arbitrario per altri anelli di Dedekind).

Norma e traccia di elementi di $K$ e connessioni tra norme e divisibilità per elementi di $Z_K$ (ad esempio: gli elementi invertibili sono quelli di norma $1$ o $-1$, condizioni di irriducibilità espresse in termini di norme). Di conseguenza: i quozienti non nulli di $Z_K$ sono tutti finiti (dimostrato?). Norma di ideali non nulli in $Z_K$; senza dimostrazione: la norma di un ideale principale non nullo coincide sempre col valore assoluto della norma di un suo generatore.

Completamento dell'enunciato del teorema degli invertibili di Dirichlet (numero dei generatori) già menzionato in una lezione precedente.

Esercizi proposti:

1. Provare che, se $d$ è un intero minore di $-1$ e libero da quadrati, l'anello $\Z[\sqrt d]$ è costituito da interi algebrici ed in esso $1$ e $-1$ sono i soli elementi invertibili (avvertenza: $\Z[\sqrt d]$ non coincide sempre con l'anello degi interi di $\Q[\sqrt d]$).
2. Dalle note: leggere l'osservazione 12.C.1 e svolgere l'esercizio 13.C.4.

15/12

Identificazione degli anelli degli interi dei campi quadratici, qualche osservazione a loro riguardo. Cenni al problema della loro fattorialità.

Fattorizzazioni di elementi e fattorizzazioni di ideali in tali anelli. A titolo di esempio: per $d=10$ e per $d=-17$, fattorizzazione in prodotto di primi di un ideale principale (quello generato da $10$ nel primo caso, da $18$ nel secondo) nell'anello degli interi di $\Z[\sqrt{d}]$; determinazione dei divisori del dato generatore in questo anello.

Esercizi proposti:

1. Provare che se $d$ è un numero intero libero da quadrati e $d\equiv_4 1$ allora l'anello $\Z[\sqrt d]$ non è fattoriale.
2. Provare che, se $d$ è un intero minore di $-1$ e libero da quadrati, nell'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt d]$ il gruppo degli invertibili è costituito dai soli $1$ e $-1$ a meno che $d\in\set{-1,-3}$; determinare gli invertibili in questi altri due casi.
3. Svolgere l'esercizio 13.D.2 dalle note e tentare qualche sua variante.