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Introduzione al corso.

Cenni all'algebra universale ed alla nozione generale di omomorfismo e di sottostruttura in algebra. Anelli ed anelli unitari, sottoanelli e sottoanelli unitari, omomorfismi di anelli unitari; qualche esempio. Un lemma: un omomorfismo tra due anelli unitari è esso stesso unitario (cioè un omomorfismo di anelli unitari) se e solo se la sua immagine contiene qualche elemento cancellabile nel codominio. In particolare: un sottoanello di un anello unitario che sia anch'esso unitario è un sottoanello unitario se e solo se ha almeno un elemento cancellabile nel codominio.

Premoduli e moduli su un anello commutativo: due definizioni equivalenti (per ciascuna delle nozioni), operazioni esterne di (pre)modulo e azioni di (pre)modulo; esempi standard: spazi vettoriali, anelli commutativi come premoduli su sé stessi, gruppi abeliani come premoduli con azione di premodulo nulla; ogni gruppo abeliano è, in modo unico, un modulo su $\Z$. Nel corso dell'esposizione sono state richiamate le prime proprietà delle operazioni puntuali, e l'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano.

Segnatura dei premoduli; sottopremoduli, omomorfismi di premoduli esempi.

Alcune regole elementari di calcolo nei premoduli.

Esercizi proposti (non necessariamente da risolvere tutti e subito):

1. Trovare, in un opportuno anello commutativo unitario $R$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $R$.
2. Siano $S$ un insieme e $T$ una parte di $S$. verificare che $\P(T)$ è un ideale principale dell'anello delle parti di $S$
3. Sia $S$ un insieme. Determinare gli ideali principali dell'anello delle parti $\P(S)$. Provare che se $S$ è finito tutti gli ideali di $\P(S)$ sono principali. Cosa succede se $S$ è infinito? Come si possono caratterizzare gli ideali di $\P(S)$ in questo caso? Utilizzando la nozione di filtro.
4. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello delle parti di $\N$?
5. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli.
6. Decidere se il gruppo ciclico infinito può essere riguardato come il gruppo additivo di un modulo (ovvero: spazio vettoriale) sul campo $\Z_2$.
7. Siano $A$ e $B$ sottopremoduli di uno stesso premodulo $M$. Verificare che $A+B:=\set{a+b\mid a\in A\land b\in B}$ è un sottopremodulo di $M$.
8. Trovare un modulo $M$ che non abbia sottomoduli non banali (cioè diversi da $0:=\set{0_M}$ e $M$) ma abbia un'infinità continua di sottogruppi.

2 — 18/9

Congruenze e quozienti in premoduli. Teoremi di corrispondenza e di omomorfismo per premoduli.

Somme tra parti di un premodulo (o di un anello). Per un anello commutativo $R$ ed un $R$-premodulo $M$, prodotto tra una parte di $M$ ed una di $R$ (combinazioni lineari). Alcune proprietà elementari. Il sottopremodulo (o il sottomodulo) generato da una parte di $M$.

(Ideali) annullatori di premoduli e di loro parti ed elementi. Esempi.

Centralizzanti in anelli (non commutativi); l'anello degli endomorfismi di un premodulo (centralizzante dell'immagine dell'azione). Endomorfismi di $R_R$, per un anello commutativo $R$; se $R$ è unitario, $\End (R_R)\iso R$.

Prealgebre ed algebre: azioni di (pre)algebra e doppia definizione delle (pre)algebre in termini di azioni e di operazioni esterne (equivalenza tra le definizioni). (Pre)algebre unitarie.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio ciò che a lezione è stato enunciato senza fornirne esplicita dimostrazione.
2. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli. Descrivere $\End(\Q_\Q)$ (l'endomorfo di $\Q$ visto come $\Q$-spazio vettoriale).
3. Trovare un esempio di anello commutativo $(R,+,\cdot)$ che non sia isomorfo a $\End(R,+)$. Suggerimento: trovarne uno per il quale $\End(R,+)$ non sia commutativo.
4. Siano $R$ un anello commutativo ed $M$ un $R$-premodulo. Allora:
   • se $X\subseteq Y\subseteq M$, $\ann_R(X)\supseteq\ann_R(Y)$;
   • per ogni famiglia $(X_i)_{i\in I}$ di parti di $M$ si ha $\ann_R(\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}\ann_R(X_i)$;
   • per ogni $X\sseq M$, $\bigcap\set{\ann_R(x)\mid x\in X}$ è l'annullatore del sottopremodulo di $M$ generato da $X$.
5. Fissato un anello commutativo $R$, sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra $R$-premoduli. Provare che $\ann_R(A)\subseteq \ann_R(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo di $R$-premoduli, provare che $\ann_R(A)\supseteq \ann_R(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.
6. Fissati un anello commutativo $R$ ed un suo ideale $H$, verificare che vale $H\sseq \ann_R(R_R/H)$. Cercare una condizione sufficiente affinché valga anche l'inclusione inversa.
7. Nell'anello delle parti di $\Z$, determinare l'annullatore dell'insieme delle parti finite di $\N$.

3 — 23/9

Prealgebre ed algebre definite da un omomorfismo di struttura. Isomorfismo tra un anello commutativo unitario $A$ e $\End A_A$. Ogni prelgebra unitaria è definita da un (unico) omomorfismo di struttura (terza definizione equivalente per le (pre)algebre unitarie).

Diversi esempi di algebre e prealgebre, unitarie e non, con o senza omomorfismi di struttura (o con più di uno).

Sottoprealgebre; gli ideali di una prealgebra con omomorfismo di struttura sono sottoprealgebre. Omomorfismi di prealgebre; caratterizzazione di quelli unitari in termini di omomorfismi di struttura. Estensioni di campi come algebre (e gruppi di Galois).

Legge modulare di Dedekind e suo corollario (due sottopremoduli confrontabili per inclusione coincidono se hanno stessa intersezione e stessa somma con un assegnato sottopremodulo).

Cambi di scalari per premoduli, via un omomorfismo di anelli o con il passaggio al quoziente rispetto ad un ideale contenuto nell'annullatore. Invarianza o meno di sottopremoduli e di omomorfismi; alcuni esempi.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria: l'algebra accresciuta; struttura di questa. Come caso particolare: l'anello accresciuto di un anello commutativo.

Considerazioni sulla nozione generale di identificazione in matematica.

Esercizi proposti:

1. Descrivere esplicitamente una prealgebra ed un suo ideale che non ne sia una sottoprealgebra.
2. Siano $A$ un'algebra su un anello commutativo unitario $R$ e $A_1=A\rtimes R$ la corrispondente algebra accresciuta. Verificare che gli ideali di $A_1$ contenuti in $A$ sono precisamente gli ideali di $A$ che sono anche $R$-sottomoduli.
3. Descrivere (scrivendone la tavola di moltiplicazione per l'operazione interna moltiplicativa) l'algebra accresciuta $A=\Z_2\rtimes\Z_2$, dove $\Z_2$ è inizialmente riguardato come algebra su di sé. Se possibile, indiviuare un anello già noto a cui $A$, come anello, è isomorfo.

4 — 25/9

Un lemma: se $R$ è un anello commutativo ed $S$ un anello unitario, detto $R_1$ l'anello accresciuto $R\rtimes\Z$, l'applicazione restrizione dall'insieme degli omomorfismi di anelli unitari da $R_1$ a $S$ a quello degli omomorfismi di anelli da $R$ a $S$ è biettiva. Usando questo: equivalenza tra lo studio dei premoduli o prealgebre su un anello commutativo $R$ e quello dei moduli o algebre sull'anello accresciuto $R\rtimes\Z$; conservazione di sottostrutture ed omomorfismi, qualche esempio.

Idealizzazione di un premodulo.

(Pre)moduli ciclici; loro caratterizzazione come quozienti dell'anello degli scalari o del corrispondente anello accresciuto. (Pre)moduli semplici e loro caratterizzazione. Conseguente caratterizzazione degli ideali massimali degli anelli commutativi.

L'unione di una catena non vuota di sottopremoduli è necessariamente un sottopremodulo, inoltre, se è finitamente generato, questo sottopremodulo è il massimo della catena.

Esercizi proposti:

1. Descrivere (scrivendone la tavola di moltiplicazione per l'operazione interna moltiplicativa) l'idealizzazione del modulo $(\Z_2)_{\Z_2}$. Confrontare l'anello ottenuto con quello trovato nell'analogo esercizio della lezione scorsa.
2. Leggere le osservazioni e svolgere (anche) gli (altri) esercizi 1.J dalle note.
3. Costruire un anello commutativo $R$ con due ideali distinti, $I$ e $J$ tali che gli $R$-premoduli $R_R/I$ e $R_R/J$ siano isomorfi.
4. Provare che nel reticolo dei sottopremoduli di un modulo $M$ i sottopremoduli finitamente generati sono tutti e soli gli elementi compatti del reticolo (nel senso che un sottopremodulo $H$ è finitamente generato se e solo se soddisfa questa proprietà: per ogni insieme $X$ di sottopremoduli di $M$ tale che $H\le \sum_{L\in X}L$, esiste una parte finita $Y$ di $X$ tale che $H\le \sum_{L\in Y}L$).

5 — 30/9

I premoduli non nulli finitamente generati hanno sempre sottopremoduli massimali (versione generale del lemma di Nakayama e del teorema di Krull sull'ideale massimale). In ogni premodulo l'insieme dei sottopremoduli non finitamente generati, se non vuoto, è induttivo (e quindi ha elementi massimali).

Radicale di Jacobson di un anello commutativo. Caratterizzazioni del radicale di Jacobson di un anello commutativo unitario $R$ come insieme degli elementi $a$ di $R$ tali che $1_R+aR$ sia costituito da invertibili, ovvero come insieme degli elementi che annullano ogni $R$-modulo semplice. Conseguenze della prima caratterizzazione (ad esempio, se $R$ ha un solo invertibile, allora $\jac(R)=0$; se $R$ è finito e non nullo gli elementi di $\jac(R)$ sono tutti divisori dello zero). Anelli locali, una caratterizzazione e qualche esempio.

Ideali tra loro comassimali. Per un anello commutativo $R$ ed un suo ideale $H$, se $R/H$ è unitario e $I$ e $J$ sono comassimali con $H$, allora anche $IJ$ è comassimale con $H$. Se $R$ è unitario, il prodotto di un numero finito di ideali a due a due comassimali coincide con la loro intersezione. Interpretazione di queste osservazioni nell'anello degli interi.

Lemma di Nakayama. Teorema NAK (Nakayama forte) per premoduli e per moduli (e deduzione diretta del lemma di Nakayama da NAK). Per la dimostrazione, lemma: se $a$ è un elemento di un premodulo su un anello commutativo $R$ e $L,K\n R$, allora $aL\sseq aK$ se e solo se $L\sseq K+\ann_R(a)$). Alcuni controesempi.

Esercizi proposti:

1. Verificare: se $N$ è un sottopremodulo proprio di un premodulo $M$ e $M/N$ è finitamente generato (il che equivale a: $M$ ha una parte finita $X$ tale che $X\cup N$ generi $M$), allora $M$ ha un sottopremodulo massimale contenente $N$.
2. Verificare che l'insieme dei numeri razionali rappresentabili come frazioni a denominatore dispari è un sottoanello unitario del campo dei numeri razionali ed è un anello locale.
3. Per ogni intero positivo $n$, determinare il radicale di Jacobson dell'anello $\Z_n$.
4. Esercizio 3.D.8 dalle note.
5. Costruire un esempio di anello commutativo unitario con ideali non banali $H$ e $K$ non comassimali tra loro per i quali $HK=H\cap K\ne H$.
6. Cosa dice il teorema NAK per premoduli fedeli?

6 — 2/10

Trasportatori (o conduttori) tra parti di un premodulo (o, in particolare, di un anello commutativo). Se $N$ è un sottopremodulo ogni trasportatore della forma $(N:X)$ è un annullatore, quindi un ideale. Alcune formule immediate; tra esse $H\subseteq (H:X)_R$ e $H\cap aR=a(H:a)_R$ se $H$ è un ideale, $X$ una parte e $a$ un elemento dell'anello commutativo $R$.

Richiami sugli ideali primi; alcune caratterizzazioni in termini di trasportatori e di prodotti tra ideali. Lo spettro (primo) di un anello commutativo. Teorema di corrispondenza per ideali massimali e per ideali primi. Un lemma per la produzione di ideali primi: se, in un anello commutativo $R$, $S$ è una parte non vuota che sia chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da un prefissato ideale $H$, allora l'insieme degli ideali di $R$ contenenti $H$ e disgiunti da $S$ è induttivo ed i suoi elementi massimali sono ideali primi (ulteriore deduzione del teorema di Krull).

Elementi nilpotenti e nilradicale, come intersezione dello spettro; la varietà ed il radicale di un ideale in un anello commutativo $R$. Comparazione tra nilradicale e radicale di Jacobson in anelli commutativi; la somma tra un elemento nilpotente ed uno invertibile è certamente invertibile. Se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$. Ideali nil ed ideali nilpotenti; quelli nil finitamente generati sono nilpotenti. Cenni ad alcuni controesempi a riguardo.

Esercizi proposti:

1. Siano $S$ un insieme, $x$ e $y$ sue parti. Identificare $(\P(x):y)_{\P(S)}$.
2. Siano $n, m\in\Z$. Identificare $(n\Z:m)_{\Z}$.
3. Per ogni numero intero positivo $n$, determinare $\nrad(\Z_n)$. Trovare una buona ragione a priori per cui $\nrad(\Z_n)=\jac(\Z_n)$.
4. Siano $R$ un anello commutativo, $P$ e $Q$ due ideali primi di $R$. Sotto quali condizioni $P\cap Q$ è primo?
5. Tutte le note e gli esercizi 3.C dalle note.
6. Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ esistono un anello commutativo unitario $R$ ed un suo elemento nilpotente $a$ tale che $a^n\ne 0_R$.
7. Siano $H$ e $I$ ideali di un anello commutativo $R$. Verificare che se $I\sseq \sqrt H$ e $(I+H)/H$ è finitamente generato, allora esiste un intero positivo $n$ tale che $I^n\sseq H$.
8. Verificare che se $X$ è una parte finita di un anello commutativo $R$ e $H$ è l'ideale di $R$ generato da $X$, allora $H$ nilpotente (come ideale) se e solo se ogni elemento di $X$ è nilpotente. Trovare poi un esempio di anello commutativo $R$ con un ideale non nilpotente $H$ tale che $a^2=0_R$ per ogni $a\in H$ (suggerimento: trovare $R$ tra i quozienti di un anello di polinomi su $\Z$ con infinite indeterminate, scegliendo come $H$ l'idele generato dalle immagini nel quoziente delle indeterminate).

7 — 9/10

Prodotti diretti (prodotti, nel senso della teoria delle categorie) e somme dirette (coprodotti) di (pre)moduli. Somme dirette interne di (pre)moduli.

Prodotti diretti (prodotti) e somme dirette di anelli e (pre)algebre, anche unitarie. Anelli di funzioni; esempio: l'anello delle parti di un insieme come prodotto diretto. Ortogonalità di elementi ed ideali. Somme dirette interne di anelli e (pre)algebre (in generale non coprodotti e non unitarie).

Elementi idempotenti in un anello commutativo $R$. Essi sono tutti e sole le unitè degli ideali di $R$ che, come anelli, siano unitari. Insiemi finiti di idempotenti tra loro ortogonali e loro proprietà. Qualche esempio. Se $R$ è unitario: biezione tra gli insiemi degli insiemi finiti di ideali che descrivono una decomposizione di $R$ in somma diretta e quello degli insiemi finiti di elementi (necessariamente idempotenti) a due a due ortogonali che, sommati tra loro, dànno l'unità di $R$. Di conseguenza: $R$ è indecomponibile in somma diretta di ideali se e solo se non ha idempotenti non banali; anche nel caso non unitario questa condizione è necessaria, ma non sempre sufficiente.

Omomorfismi $A\to\prod_{i\in I}A/H_i$ indotti dagli epimorfismi canonici, dove $A$ è una (pre)algebra (o un anello, come caso particolare) e $(H_i)_{i\in I}$ una famiglia di sue sotto(pre)algebre che siano ideali.

Esercizi proposti:

1. Sia $(M_i)_{i\in I}$ una famiglia di premoduli non nulli. Verificare che se per ogni $i\in I$ si ha $|M_i|\le |I|$, allora $\prod_{i\in\I}M_i$ e $\coprod_{i\in\I}M_i$ sono isomorfi se e solo se $I$ è finito. Verificare anche che se, invece, $I$ è un insieme numerabile e, per ogni $i\in I$, $M_i$ è un 2-gruppo abeliano elementare di cardinalità $2^{\aleph_0}$, allora $\prod_{i\in\I}M_i\iso \coprod_{i\in\I}M_i$.
2. Verificare in modo diretto le proprietà universali che, con i monomorfismi e le proiezioni canoniche, qualificano i prodotti diretti (di (pre)moduli, anelli, algebre, anche in versione unitaria) come prodotti e le somme dirette di (pre)moduli come coprodotti.
3. Chiamiamo iniziale ogni anello unitario $S$ con questa proprietà: per ogni anello unitario $R$ esiste uno ed un solo omomorfismo di anelli unitari $S\to R$. Provare che l'anello $\Z$ degli interi è iniziale; provare poi che ogni anello unitario iniziale è isomorfo a $\Z$. Suggerimento: se $S$ è iniziale esistono, e sono unici, omomorfismi di anelli unitari $\Z\to S$, $\Z \to \Z$, $S\to \Z$ e $S\to S$. Generalizzare la stessa idea per provare l'unicità a meno di isomorfismi di prodotti e coprodotti.
4. Esercizio 4.B.1 ed altri delle serie 4.B e 4.C dalle note.
5. Verificare in dettaglio l'isomorfismo tra l'anello delle parti di un insieme $S$ e l'anello di funzioni $\Z_2^S$, utilizzando la nozione di funzione caratteristica.
6. Per quali interi positivi $n$ l'anello $\Z_n$ è somma diretta di due suoi ideali non banali?
7. Determinare gli elementi idempotenti dell'anello $\Z_{120}$.

8 — 14/10

Condizioni di suriettività, nel caso delle preagebre unitarie, per gli omomorfismi $A\to\prod_{i\in I}A/H_i$ introdotti alla lezione precedente. Applicazioni aritmetiche di questo risultato: teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione di Eulero, calcolo dei suoi valori.

Applicazioni universali ed oggetti liberi; (pre)moduli liberi (su un fissato anello commutativo $R$). Esempi: spazi vettoriali; il modulo ciclico fedele $R_R$ è libero su $\set{1_R}$; il premodulo nullo è libero su $\vuoto$. Unicità a meno di isomorfismi e proprietà di invarianza per i (pre)moduli liberi (o altri oggetti liberi). Se $F$ è un (pre)modulo libero con applicazione universale $u$, allora $\im u$ genera $F$; l'abbiamo visto con due dimostrazioni, la seconda delle quali è esportabile ad altri contesti. Se $X$ è un insieme di generatori di un premodulo $M$ e $F$ è un premodulo libero su $X$, $M$ è isomorfo ad un quoziente di $F$.

Descrizione esplicita (e quindi esistenza) dei (pre)moduli liberi. Conseguenze: ogni (pre)modulo che sia generato da una sua parte $X$ è isomorfo ad un quoziente di un (pre)modulo libero su $X$; ogni applicazione universale per (pre)moduli liberi è iniettiva; di conseguenza: ogni (pre)modulo libero si può riguardare come libero su una sua parte, con l'immersione insiemistica come applicazione universale.

Esercizi proposti:

1. Provare a dimostrare l'isomorfismo tra l'anello delle parti di un arbitrario insieme $S$ e l'anello di funzioni $\Z_2^S$ utilizzando un omomorfismo analogo a quello utilizzato per il teorema cinese dei resti e scegliendo opportunamente una famiglia di ideali in $\P(S)$.
2. Esercizio 4.D.2 dalle note.
3. Per quali interi positivi $n>1$ il numero $\varphi(n)$ è una potenza di $2$?. E quando è, invece, una potenza di un primo dispari?
4. Dalle note: esercizi 4.E.2 e 4.E.3. Leggere le altre osservazioni ed esercizi non causa danni.

9 — 16/10

Algebre (associative commutative) unitarie libere. Interpretazione della proprietà universale che le definiscono in termini di omomorfismi di anelli unitari. Esempio: l'anello dei polinomi ad una indeterminata (come definito nei corsi del triennio) su un anello commutativo unitario $R$ è libero, come $R$-algebra unitaria, su un singleton. Descrizione rapida di una costruzione di un'algebra unitaria libera su un arbitrario insieme $X$. Come conseguenza: tali algebre sono fedeli e, se $X\ne\vuoto$, le corrispondenti applicazioni universali sono iniettive. Anelli di polinomi. Alcune loro proprietà, dimostrate utilizzando direttamente la definizione e non la costruzione concreta: isomorfismi $R[X\cup Y]\iso (R[X])[Y]$ e $R[X\cup Y]/(Y)\iso R[X]$ per anelli di polinomi sull'anello commutativo unitario $R$. Ampliamenti di anelli unitari come quozienti di anelli di polinomi.

Condizioni di catena per insiemi ordinati. Premoduli ed anelli artiniani e noetheriani. Alcuni esempi. Proprietà di chiusura (per sottopremoduli, quozienti, estensioni, somme finite e duale) delle proprietà di essere un premodulo artiniano o noetheriano.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio la costruzione delle algebre (associative commutative) unitarie libere.
2. Utilizzando la proprietà universale per anelli di polinomi, costruire un anello commutativo unitario $R$ di caratteristica 5 in cui esista un elemento $a$ tale che $a^2\ne a^3=0_R$.
3. Costruire un anello commutativo unitario $R$ che abbia un ideale massimale, non finitamente generato che sia generato da elementi a quadrato nullo.
4. Dalle note: esercizi 6.A.3 e 6.A.4.

10 — 21/10

Ulteriori osservazioni sulle condizioni di catena per premoduli. Premoduli sia artiniani che noetheriani. Preservazione o meno delle condizioni al cambio degli scalari. Proprietà di chiusura (e controesempi) per le classi degli anelli artiniani o noetheriani. L'anello accresciuto definito da un anello noetheriano è certamente noetheriano.

Caratterizzazione dei premoduli noetheriani in termini di sottopremoduli finitamente generati. Conseguenza: un premodulo su un anello commutativo noetheriano è noetheriano se e solo se è finitamente generato.

In un anello commutativo unitario $R$, gli ideali massimali per non essere finitamente generati sono primi. Dunque $R$ è noetheriano se e solo se i suoi ideali primi sono finitamente generati.

Proprietà di Hopf e co-Hopf. Il teorema della base di Hilbert.

Ideali $\cap$-irriducibili. In un anello noetheriano, ogni ideale proprio è intersezione di un insieme finito di ideali $\cap$-irriducibili.

Ideali primari. Qualche caratterizzazione ovvia. Esempio: gli ideali primari di $\Z$. In ogni anello commutativo sono primari gli ideali primi e quelli il cui radicale sia l'intero anello, dunque quelli massimali. Il radicale di ogni ideale primario è primo; in un anello unitario ogni ideale che abbia come radicale un ideale massimale è primario.

Esercizi proposti:

1. Costruire un esempio di modulo finitamente generato che non sia noetheriano.
2. Estendere al caso degli anelli commutativi che sono, come ideali, finitamente generati quanto provato per anelli unitari: se ogni ideale primo è finitamente generato, l'anello è noetheriano.
3. Vero o falso: gli ideali primi sono $\cap$-irriducibili.
4. Sia $R$ il prodotto diretto di un campo e di un anello non nullo a moltiplicazione costante nulla. Provare che in $R$ l'ideale nullo non è primario benché il suo radicale sia massimale.
5. Provare: per ogni ideale primo $P$ di un anello commutativo ed ogni intero positivo $n$, si ha $P=\sqrt{P^n}$.
6. Dalle note: esercizi 6.B.2 e seguenti, 7.A.1 e 7.A.5.

11 — 23/10

Una conseguenza del teorema della base di Hilbert: le algebre commutative unitarie e finitamente generate su un anello noetheriano sono anelli noetheriani. Un controesempio nel caso non unitario.

Cenni all'anello delle serie formali di potenze su un anello commutativo unitario (senza dimostrazioni): elementi invertibili, radicale di Jacobson; teorema della base (o di Chevalley) per tali anelli.

Insiemi preordinati e loro massimo quoziente ordinato. Applicazioni al caso dei monoidi commutativi preordinati per divisibilità. Se $M$ è un monoide commutativo cancellativo, e $\widetilde M=M/\U(M)$ è il suo massimo quoziente ordinato per divisibilità (che è ancora cancellativo), (1): se questo è a condizione minimale, allora ogni elemento non invertibile di $M$ è prodotto di irriducibili; (2): se questo è un reticolo ogni elemento irriducibile di $M$ è primo. Pertanto: $M$ è fattoriale se e solo se $\widetilde M$ è un reticolo a condizione minimale. Applicazioni; in ogni dominio di integrità unitario noetheriano ogni elemento non nullo e non invertibile è prodotto di irriducibili.

L'intersezione tra due ideali primari con lo stesso radicale $P$ è ancora $P$-primario; lo stesso vale per $(Q:a)$ se $Q$ è un ideale $P$-primario e $a$ un elemento dell'anello non in $Q$.

Decomposizioni primarie e ideali decomponibili (in intersezione finita di ideali primari). Decomposizioni primarie minimali; ogni ideale decomponibile ne ha una. Decomposizioni primarie (anche minimali) nell'anello degli interi. Ogni ideale $\cap$-irriducibile di un anello commutativo noetheriano $R$ è primario, dunque ogni ideale proprio di $R$ è decomponibile. Esempio: nell'anello delle parti di un insieme gli ideali primari sono (massimali e) di indice $2$, quindi gli ideali di indice infinito non sono decomponibili. Enunciato del primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali.

Esercizi proposti:

1. Costruire un esempio di anello commutativo unitario noetheriano in cui esista un elemento non invertibile che non è prodotto di elementi irriducibili. [Suggerimento: trovare un esempio di anello commutativo unitario noetheriano $R$ che abbia elementi non invertibili $a$ e $b$ tali che $ab=a$.]
2. Dalle note: esercizi 7.B.2 e seguenti delle serie 7.B; in particolare (oltre al 2) i numeri 10, 11, 12.

12 — 28/10

Discussione di metodi di costruzione di controesempi. Alcuni esempi di anelli commutativi unitari: uno in cui ogni ideale proprio è primario (si vedano anche gli esercizi); uno, noetheriano e fattoriale, con ideali primari che non sono potenze di primi; uno, ancora noetheriano, con un ideale primo il cui quadrato non è primario.

Dimostrazione del primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Alcune conseguenze, tra esse: tra le decomposizioni primarie di un ideale decomponibile, quelle minimali sono precisamente quelle della minima cardinalità possibile. Ideali (quasi sempre primi) associati (isolati ed immersi) ad un ideale decomponibile. Le unioni e le intersezioni di catene di ideali primi sono, se non l'intero anello, ideali primi. Elementi minimali nella varietà di un ideale; se questo è decomponibile sono i suoi ideali associati primi isolati (quindi sono in numero finito). Ulteriori proprietà di $\ass(H)$ per un ideale decomponibile $H$: la sua unione è l'insieme degli elementi divisori dello zero modulo $H$, l'intersezione è $\sqrt H$. Enunciato del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali; con ulteriori notizie ed un esempio di ideale decomponibile (in un anello commutativo noetheriano fattoriale) con infinite decomposizioni primarie minimali.

Per una parte $S$ di un anello commutativo $R$, $R$-prealgebre (unitarie) $S$-inversive e omomorfismi $S$-inversivi (i loro omomorfismi di struttura). Anelli di frazioni, ovvero: $R$-prealgebre (unitarie) $S$-inversive iniziali.

Esercizi proposti:

1. Mostrare che il primo degli esempi visto a lezione può, per un'opportuna scelta dell'anello (di polinomi) considerato, fornire un esempio di anello commutativo non noetheriano ad ideali proprio tutti primari (e quindi decomponibili).
2. Siano $p$ un intero positivo primo ed $A$ un $p$-gruppo abeliano elementare (cioè una somma diretta di gruppi di ordine $p$). Riguardato $A$ come spazio vettoriale sul campo $\Z_p$, e munitolo del prodotto interno costante zero, se ne consideri l'algebra accresciuta $R=A\rtimes\Z_p$. Provare che tutti gli ideali propri di $R$ sono contenuti in $A$ e se ne deduca che essi sono tutti ideali primari di $R$. Comparare questo con l'esercizio precedente.
3. Siano $x$ e $y$ elementi idempotenti tra loro ortogonali in un anello commutativo unitario $R$, e sia $Q$ un ideale primario di $R$. Dimostrare che almeno uno tra $x$ e $y$ appartiene a $Q$. Dedurne che se $(R_i)_{i\in I}$ è una famiglia infinita di anelli commutativi unitari sia nel prodotto diretto che nella somma diretta (esterna) di questa famiglia l'ideale nullo non è decomponibile.
4. Dalle note: esercizi 7.C.2 e seguenti, ed esercizio 9.A.1.
5. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$ (che è fattoriale), decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Trovare una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.

13 — 30/10

Anelli di frazioni: osservazioni generali.

Parti sature in un semigruppo ed in un anello commutativi; alcuni esempi. Nel semigruppo moltiplicativo di un anello commutativo, le parti non vuote chiuse e sature sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Costruzione (e quindi esistenza) degli anelli di frazioni; descrizione e proprietà dei loro elementi: nucleo dell'omomorfismo $S$-inversivo universale, identificazione delle frazioni che sono lo zero, l'unità, invertibili, divisori dello zero; queste ultime hanno per numeratore un divisore dello zero.

Antiimmagini di ideali, ideali primi, ideali primari mediante omomorfismi di anelli commutativi. I radicali degli ideali sono conservati dall'applicazione antiimagine.

Espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo universale $S$-inversivo da un anello commutativo $R$ al suo anello di frazioni $S^{-1}R$. Applicazioni, crescenti, $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra i reticoli $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$. Descrizione esplicita di $e$, di $c$ e delle loro composte.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio la costruzione degli anelli di frazioni.
2. Descrivere la saturazione in $(\Z,\cdot)$ dell'insieme $\set{1,400}$.
3. Sempre con riferimento all'insieme $S=\set{1,400}$, decrivere l'anello di frazioni $S^{-1}\Z$ (come sottoanello di $\Q$) e le espansioni in esso degli ideali $3\Z$, $6\Z$, $8\Z$ di $\Z$.
4. Esercizi 9.A dalle note.

14 — 4/11

Ancora sulle espansioni e contrazioni di ideali. Per un anello commutativo $R$ ed una sua parte $S$, l'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ si immerge in quello degli ideali di $R$, quindi gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani), sono artiniani (risp. noetheriani). Similmente, il passaggio ad anelli di frazioni conserva le proprietà di essere ad ideali principali, nulli o domini di integrità, nulli o anelli principali. Per un ideale $H\n R$; sono equivalenti: $H^e\ne S^{-1}R$, $H\cap S=\vuoto$, $\sqrt H\cap S= \vuoto$, $(\sqrt H)^e\ne S^{-1}R$.

Con le stesse notazioni del penultimo paragrafo, se $H\n R$, indicando con $\varepsilon$ immagini mediante l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\varepsilon)^{-1}R^\varepsilon$. Espansioni e contrazioni di ideali primari; le applicazioni espansione e contrazione inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra l'insieme degli ideali primi di $R$ disgiunti da $S$ e $\spec(S^{-1}R)$, tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$ e, per ogni $P\in\spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Esempio: le localizzazioni di $\Z$ ed i loro ideali. Se $P$ è un ideale primo dell'anello commutativo $R$, il campo residuo della localizzazione $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo al campo dei quozienti di $R/P$.

Prime-avoidance lemma e semilocalizzazioni.

L'applicazione espansione conserva le intersezioni finite. Decomposizioni primarie minimali di $H^e$ e $H^{ec}$ per un ideale decomponibile $H$. Dimostrazione del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie.

Esercizi proposti:

1. Verificare che la funzione espansione $\I(R)\to I(S^{-1} R)$ relativa ad un anello di frazioni conserva i radicali (con le solite notazioni vale $\sqrt {H^e}=(\sqrt H)^e$ per ogni ideale $H$ di $R$), ma lo stesso non è vero per l'analoga funzione $H\in\I(R)\mapsto H^{\vec f}A\in\I(A)$ definita da un arbitrario omomorfismo $f\colon R\to A$ di anelli (commutativi) unitari (suggerimento: per la seconda parte si consideri l'immersione, nell'anello di polinomi $\Z[x]$ del suo sottoanello $\Z[x^2]$).
2. Esercizi 9.B e 9.C.1, 2, 3 dalle note.
3. Esercizio 3.B.3 dalle note.

15 — 6/11

Anelli commutativi artiniani. Proprietà fondamentali: sia $R$ un anello commutativo artiniano; se $R$ ha un elemento cancellabile $a$ allora $R$ è unitario e $a$ è invertibile; se $R$ è integro, allora $R$ è un campo e gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali ($R$ ha dimensione al più 0); l'insieme degli ideali massimali di $R$ è finito (come quello degli ideali di indice finito); il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente.

Lemma: se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano.

Teorema: se $R$ è un anello commutativo unitario, $R$ è artiniano se e solo se è noetheriano e di dimensione al più zero. Struttura di tali anelli: sono (in unico modo, anche in termini di somma diretta interna) prodotto diretti di un numero finito di anelli (artiniani) locali.

Ancora un lemma: se un premodulo è noetheriano, è noetheriano anche il quoziente del suo anello degli scalari rispetto all'annullatore. Il teorema dell'intersezione di Krull (per premoduli noetheriani).

Esercizi proposti:

1. Provare che il nilradicale di ogni anello commutativo artiniano è nilpotente. Suggerimento: se $R$ è l'anello in questione, $R^2$ è contenuto in tutti gli ideali massimali non primi di $R$.
2. Dalle note: esercizi 8.A ed altri 8.B, in particolare 8.B.2.

16 — 11/11

Un'applicazione del teorema dell'intersezione di Krull: se $J$ è il radicale di Jacobson di un anello commutativo noetheriano $R$ l'intersezione delle potenze di $J$ è l'ideale nullo. Inoltre, se $R$ è unitario, $R$ è artiniano se e solo se $R$ ha spettro finito e $J$ è nilpotente; osservazioni, in particolare, sul caso degli anelli locali. Enunciato del lemma di Artin-Rees.

Definizione e cenni su: categorie preadditive, additive e abeliane (utilizzando le nozioni categoriali di ker, coker, im e coim). Funtori additivi.

Per un anello commutativo unitario $R$ e $R$-moduli $A$ e $B$, il modulo $\Hom_R(A,B)$ (sottomodulo di $B^A$). I funtori (additivi) Hom, covarianti e controvarianti. Alcune esplicitazioni di moduli di omomorfismi.

Esercizi proposti:

1. Provare che ogni premodulo artiniano finitamente generato è noetheriano.
2. Provare che, se $R$ è un anello commutativo e $J=\jac(R)$, sono equivalenti: (1) $R/J$ è artiniano; (2) $R$ ha solo un numero finito di ideali massimali; (3) $R/J$ è artiniano e noetheriano.
3. Costruire un esempio di anello commutativo $R$ che abbia un solo ideale massimale, $J$, e tale che $R/J^2$ non sia artiniano né noetheriano.
4. Verificare che il teorema dell'intersezione di Krull si può ottenere come conseguenza del lemma di Artin-Rees.
5. Verificare in dettaglio le affermazioni fatte a lezione a proposito delle proprietà che definiscono i funtori Hom come funtori additivi. Verificare inoltre quanto anche detto a lezione: per ogni $R$-modulo $A$,
   • $\alpha\in\Hom_R(R_R,A)\mapsto (1_R)^\alpha\in A$ è un isomorfismo;
   • se $(B_i)_{i\in I}$ è una famiglia di $R$-moduli, $\Hom(A,\prod_{i\in I}B_i)\iso \prod_{i\in I}\Hom(A,B_i)$ e $\Hom(\coprod_{i\in I}B_i,A)\iso \prod_{i\in I}\Hom(B_i,A)$ (le biezioni richieste sono suggerite dalle proprietà universali di prodotti e coprodotti).
6. Verificare che se $A$ e $B$ sono due moduli, $A'$ un sottomodulo di $A$ e $B'$ un sottomodulo di $B$, allora $\Hom(A,B)$ ha sottomoduli isomorfi a $\Hom(A/A', B)$ e $\Hom(A, B')$, identificando esplicitamente questi due sottomoduli.

17 — 13/11

Sequenze di omomorfismi di moduli. Quasi esattezza ed esattezza; sequenze quasi-esatte (complessi di catene) e sequenze esatte. Funtori (additivi) esatti.

Estensioni di moduli come sequenze esatte corte. Estensioni spezzate; loro caratterizzazione tramite mono spezzante. Cenno al fatto che ogni funtore additivo trasforma le estensioni spezzate in estensioni spezzate.

Un funtore è esatto se e solo se trasforma estensioni in estensioni. Funtori esatti a sinistra e funtori esatti a destra. Un esempio di funtore additivo non esatto che conserva mono- ed epimorfismi.

Esattezza a sinistra (ma, in generale, non a destra) dei funtori covarianti e controvarianti Hom (la verifica dell'esattezza per i caso controvariante è lasciata per esercizio). Moduli proiettivi (non ancora dimostrato il fatto che essi sono tutti e soli i sommandi diretti dei moduli liberi). Un esempio di modulo proiettivo non libero.

Esercizi proposti:

1. Verificare che, come a lezione è stato detto ma provato solo nella versione duale, le estensioni spezzate sono tutte e sole quelle che ammettono epi spezzante e che i funtori Hom controvarianti sono esatti a sinistra (identificare, prima, il nucleo del trasformato di un arbitrario omomorfismo mediante un funtore Hom controvariante).
2. Siano $R$ un anello commutativo unitario e $M$ un $R$ modulo. Definiamo come segue un funtore $F$: ad ogni $R$-modulo $A$ facciamo corrispondere la somma diretta esterna $A^F=A\amalg M$ e ad ogni omomorfismo $\alpha\colon A\to B$ di $R$-moduli l'omomorfismo $\alpha^F\colon A^F\to B^F$ definito da $(a,x)\mapsto(a^\alpha, x)$ per ogni $a\in A$ e $x\in M$. Verificare in dettaglio che questo funtore è ben definito e studiarne le proprietà di esattezza.
3. Dalle note: esercizi 11.C.1 e 2 (proprietà, per un anello commutativo unitario $R$ ed un suo elemento $r$, del funtore della categoria degli $R$-moduli in sé che manda ogni modulo $A$ nel suo sottomodulo $Ar$ ed ogni morfismo $A\to B$ in quello indotto per restrizione da $Ar$ a $Br$), esempio 11.C.4.
4. Dalle note: osservazioni ed esercizi 11.C.1 e 2 (moduli proiettivi sugli anelli principali) e 11.C.3 (un caso particolare del teorema di Kaplansky sui moduli proiettivi sugli anelli locali).

18 — 18/11

Caratterizzazioni dei moduli proiettivi. Una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Le proprietà di essere proiettivo è chiusa per estensioni. Se $A$ e $B$ sono sottomoduli di uno stesso modulo, allora esiste un'estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$. Se $A+B$ è proiettivo, allora $A\oplus B\iso (A\cap B)\oplus(A+B)$ e quindi $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo. Il lemma della base duale.

Applicazioni multilineari su un anello commutativo unitario. Isomorfismi tra moduli di applicazioni multilineari e moduli di omomorfismi. Applicazioni multilineari universali e prodotti tensoriali. Loro unicità a meno di isomorfismi. Costruzione (e quindi esistenza) dei prodotti tensoriali di famiglie finite di moduli. Proprietà di commutatività per prodotti tensoriali.

Esercizi proposti:

1. Dimostrare, anche nel caso di un anello commutativo unitario infinito $R$, che se $R$ è somma diretta di due suoi ideali propri, questi sono proiettivi e non liberi. Suggerimento: i moduli liberi non nulli sono fedeli.
2. Provare che $A$ e $B$ sono moduli su un anello commutativo unitario $R$, allora $\ann_R(A\otimes B)\supseteq\ann_R(A)+\ann_R(B)$ e quindi $A\otimes_R B=0$ se $\ann_R(A)$ e $\ann_R(B)$ sono comassimali in $R$.
3. Calcolare, se possibile, $A\otimes_\Z B\otimes_\Z C$ dove $A$, $B$ e $C$ sono gruppi abeliani di ordini, rispettivamente, $12$, $100$ e $45$.

19 — 20/11

Cenno ai prodotti tensoriali infinitari. Proprietà associativa dei prodotti tensoriali (binari).

Da omomorfismi di moduli ad omomorfismi definiti sul prodotto tensoriale dei loro domini. Per un modulo $M$: il funtore prodotto tensoriale $-\otimes M$; è aggiunto sinistro del funtore $\Hom(M,-)$; definizione completa della nozione. Cenno alle proprietà di cui godono i funtori aggiunti (conservazione di limiti o colimiti; nel caso dei funtori aggiunti: esattezza a sinistra o a destra). Dimostrazione diretta dell'esattezza a destra di $-\otimes M$; un controesempio all'esattezza. Moduli piatti.

Esempi di prodotti tensoriali: per ogni modulo $A$ su un anello commutativo unitario $R$, isomorfismo $A\otimes R\iso A$ e, più in generale, $A\otimes (R/H)\iso A/AH$. Esempio: i tensori della forma $A\otimes_\Z C$ per un gruppo abeliano $A$ ed un gruppo ciclico $C$.

Prodotti ciclici e somme dirette: se $A$ è un modulo e $C$ è un sommando diretto di un modulo $B$ (sullo stesso anello), immersione di $A\otimes C$ in $A\otimes B$. I funtori prodotto tensoriale conservano i coprodotti (isomorfismi $A\otimes \coprod_{i\in I}B_i\iso \coprod_{i\in I}(A\otimes B_i)$). Un coprodotto $\coprod_{i\in I}B_i$ è piatto se e solo se ciascunoi dei $B_i$ è piatto. I moduli proiettivi sono piatti. Cenno al fatto che i limiti diretti di moduli piatti sono piatti; i gruppi abeliani piatti sono dunque quelli senza torsione.

Un (arbitrario) elemento $\sum_{i\in I}a_i\otimes b_i$ di un prodotto tensoriale $A\otimes B$ è nullo se e solo se esistono sottomoduli finitamente generati $A_0$ e $B_0$ di $A$ e $B$ tali che l'omologo elemento $\sum_{i\in I}a_i\otimes b_i$ è nullo in $A_0\otimes B_0$.

Esercizi proposti:

1. Spiegare come calcolare, per gruppi abeliani $A$ e $B$, il prodotto tensoriale $A\otimes_\Z B$ in ciascuno dei casi: (1) $A$ e $B$ sono finiti; (2) $A$ e $B$ sono a condizione minimale; (3) $A$ è abeliano libero; (4) $A\iso B\iso (\Q,+)$. Per quest'ultimo caso, si consideri l'estensione $\Z\hookrightarrow \Q\epi \Q/\Z$.
2. Sulla base di osservazioni fatte a lezione, giustificare in dettaglio, per arbitrari moduli $A$, $B$, $C$ e $D$ su un anello commutativo unitario $R$ l'omomorfismo $\Hom(A,C)\otimes\Hom(B,D)\to \Hom(A\otimes B,C\otimes D)$ che ad un tensore elementare $\alpha\otimes \beta$ nel dominio associa l'elemento del codominio che abbiamo denotato allo stesso modo.
3. Verificare i dettagli non controllati a lezione relativi alla preservazione dei coprodotti da parte dei funtori prodotto tensoriale.
4. (A proposito della nozione di modulo senza torsione) Spiegare perché, se un anello commutativo unitario $R$ non èintegro, ogni $R$-modulo non nullo ha un elemento diverso dallo zero con annullatore non nullo in $R$. Mostrare poi che se un $R$-modulo $M$ è piatto allora, per ogni $x\in M\setminus 0$, $\ann_R(x)$ è costituito da divisori dello zero (suggerimento per la seconda parte: se $r$ è un elemento cancellabile di $R$ e $M$ è piatto si consideri l'endomorfismo $\id_M\otimes\alpha$ di $M\otimes R_R$ dove $\alpha$ è l'endomorfismo $a\mapsto ar$ di $R_R$).

20 — 25/11

Ancora un criterio (solo enunciato) di annullamento per un elemento in un prodotto tensoriale. Descrizione del prodotto tensoriale tra un modulo ed un modulo libero $F$ e rappresentazione dei suoi elementi in termini di una base di $F$. Prodotti tensoriali tra moduli liberi e loro basi. Se $\wp$ è una proprietà di moduli chiusa per quozienti e somme dirette finite, ed $A$ è un modulo che verifica $\wp$, ogni prodotto tensoriale tra $A$ ed un modulo finitamente generato verifica $\wp$. Ad esempio, il prodotto tensoriale tra due moduli noetheriani è certamente noetheriano.

Se $M$ è un modulo artiniano e $\tilde M$ è il suo residuo noetheriano, $M/\tilde M$ è noetheriano e $\tilde M H=\tilde M$ per ogni $H\maxid R$. Lunghezza $\ell(M)$ di un modulo artiniano e noetheriano $M$. Ogni modulo artiniano finitamente generato è noetheriano, generato da al più $\ell(M)$ elementi. Se $A$ e $B$ sono moduli artiniani, allora $A\otimes B$ è artiniano e noetheriano, isomorfo a $(A/\tilde A)\otimes (B/\tilde B)$, ed ha lunghezza finita al più $\ell(A/\tilde A)\ell (B/\tilde B)$.

Cenno alla piattezza degli anelli di frazioni ed ai moduli di frazioni (come prodotti tensoriali).

Bimoduli. Se $R$ ed $S$ sono anelli commutativi unitari, $A$ è un $S$-modulo e $M$ un $(R,S)$ bimodulo, struttura di $R$-modulo per $A\otimes_S M$. Fissato un omomorfismo unitario $S\to R$, questo rende $R_R$ un $(R,S)$ bimodulo e quindi $A_{\lambda}:=A\otimes_S R_R$ un $R$-modulo. Notizia: l'assegnazione $A\mapsto A_\lambda$ permette di definire un funtore ("estensione di scalari") dalla categoria degli $S$-moduli a quella degli $R$-moduli, aggiunto sinistro di quello, già noto, che trasforma ogni $R$-modulo in $S$-modulo via $\lambda$. Esempio: estensione di scalari, da $\Z$ a $\Q$, per i gruppi abeliani.

Prodotto tensoriale tra algebre. Costruzione. Il prodotto tensoriale tra due algebre commutative unitarie come coprodotto tra esse.

Ideali frazionari: Definizione.

Esercizi proposti (non tutti facilissimi):

1. Sia $M$ un modulo artiniano. Provare che il residuo noetheriano di $M$ è $MH$ per un opportuno prodotto di ideali massimali di $R$.
2. Assunto dato un omomorfismo di anelli (commutativi) unitari $\lambda\colon S\to R$, esibire in modo esplicito l'isomorfismo di aggiunzione $\Hom_R(A_\lambda,B)\to\Hom_S(A,{}^\lambda B)$, dove $A$ e $B$ sono moduli, rispettivamente su $S$ e su $R$ e ${}^\lambda B$ è $B$ visto come $S$-modulo via $\lambda$.
3. Provare che se $A$, $B$ e $C$ sono, per gli anelli commutativi unitari elencati, rispettivamente un $(R,S)$-, un $(S,T)$- ed un $(T,U)$-bimodulo, allora $A\otimes_S B$ e $\Hom_S(A,B)$ si strutturano (nel modo ovvio) come $(R,T)$-bimoduli, e $\Hom_T(A\otimes_S B,C)$ e $\Hom_S(A,\Hom_T(B,C))$ risultano essere $(R,U)$-bimoduli tra loro isomorfi. (Questo isomorfismo è naturale; si generalizza così l'esercizio precedente).
4. Trovare due anelli commutativi unitari non nulli che abbiano come coprodotto un anello nullo. Dedurne che non sempre, nella categoria degli anelli commutativi unitari, i morfismi canonici dei coprodotti sono monomorfismi.
5. Provare ad identificare il prodotto tensoriale di anelli $\R\otimes_\Z \Z[i]$, dove $i$ è l'unità immaginaria.
6. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Tenendo presente la proprietà di coprodotto del prodotto tensoriale tra algebre, dati due anelli di polinomi $R[X]$ e $R[Y]$ su $R$, identificare $R[X]\otimes_R R[Y]$.

21 — 27/11

Per un dominio di integrità unitario $R$ ed un suo campo dei quozienti $K$. Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari $A\cap B$, $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Sono elementi invertibili in $\F(R)$ tutti i sottomoduli ciclici non nulli di $K$, sono in $\F(R)$ tutti i sottomoduli finitamente generati non nulli di $K$. Ogni ideale frazionario si scrive come $Hr^{-1}$ per qualche ideale intero $H$ e qualche $r\in R$, quindi è associato (in $\F(R)$) ed isomorfo ad $H$. Sia $A\in \F(R)$, allora $A$ è invertibile se e solo se è proiettivo come $R$-modulo; in questo caso è finitamente generato ed ha come inverso $(R:A)_K$.

Anelli di Dedekind; definizione e prime osservazioni: tali anelli sono noetheriani; gli anelli principali sono di Dedekind. Se $I$ e $J$ sono ideali interi di $R$, se $I$ divide $J$ allora $I\supseteq J$; vale il viceversa se $I$ è invertibile. Teorema: se $R$ è di Dedekind il suo monoide $\I^*(R)$ degli ideali non nulli è fattoriale ed i suoi elementi irriducibili sono gli ideali primi non nulli; questi sono tutti massimali. Conseguenze: se $R$ è di Dedekind gli ideali primari in $R$ sono le potenze degli ideali primi (escluso $R$); descrizione delle decomposizioni primarie minimali in $R$. Il gruppo degli ideali frazionari di un anello di Dedekind è abeliano libero, con l'insieme degli ideali primi non nulli come base. Inoltre, ogni quoziente proprio di $R$ ha solo un numero finito di ideali; proprietà aritmetiche per ideali in anelli di Dedekind: in $I^*(R)$ le operazioni di addizione e di intersezione sono le operazioni di MCD e mcm, e quindi, per ogni $I, J, L\in\I^*(R)$ si ha $I\cap(J+L)=(I\cap J)+(I\cap L)$, $I+(J\cap L)=(I+J)\cap(I+L)$, $I(J\cap L)=IJ\cap IL$ e $(I\cap J)(I+J)=IJ$.

Teorema: l'insieme degli ideali non invertibili di $R$ è induttivo ed ogni suo elemento massimale è un ideale primo, quindi $R$ è di Dedekind se e solo se i suoi ideali primi sono invertibili. Come corollario: sono equivalenti per $R$ le proprietà di avere tutti gli ideali primi principali, di essere principale, di essere fattoriale e di Dedekind, di essere fattoriale con dimensione al più 1.

Due lemmi: se $R$ è un dominio di integrità, ciascun ideale cancellabile in $R$ ha, a meno dell'ordine dei fattori, al più una decomposizione in prodotto di ideali primi; (2) se $R$ è un anello di Dedekind e $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$ per ogni ideale non nullo $H$ di $R$.

Esercizi proposti:

1. Ogni ideale non nullo di un ideale frazionario è un ideale frazionario.
2. Provare che in ogni dominio di integrità unitario non noetheriano, oppure fattoriale ma non principale, esistono ideali interi non invertibili. Costruirne esplicitamente uno nell'anello di polinomi $\Z[x]$ (che è fattoriale). Suggerimento: $(x,2)$.
3. Estendere le proprietà di tipo aritmetico viste per gli ideali interi in un anello di Dedekind al caso degli ideali frazionari ed al caso dei trasportatori. Trovare controesempi alle stesse formule nel caso di anelli (possibilmente domini di integrità unitari) non di Dedekind.
4. Esercizi ed osservazioni dalle note: 12.A.2 e 3, tutti i 12.B.

22 — 2/12

Alcune proprietà di ideali in anelli di Dedekind $R$. Se $I,H\in\I^*(R)$,

• esiste $L\n R$ tale che $LI$ sia principale e $L+H=R$;
• tutti gli ideali di $R/H$ è sono principali;
• per ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=aR+bR$;
• $H/IH\iso_R R_R/I$ e quindi $|R/IH|=|R/I|\,|R/H|$.

Gli anelli di Dedekind semilocali sono principali.

Teorema: per un dominio di integrità unitario $R$ sono equivalenti: (1) $R$ è di Dedekind; (2) ogni ideale proprio di $R$ è prodotto di ideali primi; (3) in $R$, ogni ideale principale proprio è prodotto di ideali primi ed ogni ideale primo invertibile è massimale. Come conseguenza del teorema: gli anelli di frazioni non nulli degli anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare tramite MCD; menzionati alcuni esempi.

Anelli di valutazione. Caratterizzazioni elementari. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Gli anelli di Dedekind locali sono di valutazione e principali. Teorema (non dimostrato): in ogni campo, le coppie della forma $(H,R)$ dove $R$ è un sottoanello unitario ed $H$ un suo ideale proprio formano un insieme induttivo (rispetto all'inclusione 'componente per componente') i cui elementi massimali sono costituiti da un anello di valutazione e dal suo ideale massimale.

Richiami sugli interi su un anello: caratterizzazioni e proprietà essenziali (dimostrazioni omesse). Abbiamo provato: se $R$ è un dominio di integrità unitario, la chiusura intera di $R$ in un suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione dei sottoanelli di valutazione di $K$ che contengono $R$.

Due lemmi: (1) se $R$ è un dominio di integrità unitario e $K$ un suo campo dei quozienti, allora $R$ è l'intersezione dei localizzazioni di $R$ ai suoi ideali massimali, realizzate come sottoanelli di $K$; (2) se $R$ è un anello commutativo noetheriano, ogni ideale non nullo di $R$ contiene un prodotto di ideali primi non nulli.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione (principale); (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$.

Esercizi proposti:

1. Leggere dalle note le osservazioni 10.A.1 e le due in 12.C.
2. Anche dalle note: esercizi 10.A.3, 10.A.4, 10.B.1 e 10.C.1, 2, 3.

23 — 4/12

Se $A$ (anello commutativo unitario) è un ampliamento intero di un suo sottoanello unitario $R$, $H\n A$, $P$ è un ideale primo di $A$ contenuto in $H$ e $R\cap H=R\cap P$, allora $P=H$. Di conseguenza la dimensione di Krull di $A$ non supera quella di $R$. Inoltre, se $A$ è integro, $A$ è un campo se e solo se $R$ è un campo.

Interi algebrici. Campi di numeri. Il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Senza dimostrazione: se $R$ è un anello fattoriale, $K=Q(R)$ e $F$ una chiusura algebrica di $K$, allora gli elementi di $F$ che siano interi su $R$ sono quelli il cui polinomio minimo su $K$ sia a coefficienti in $R$; di conseguenza i numeri complessi algebrici sono interi algebrici se e solo se il loro polinomio minimo su $\Q$ è in $\Z[x]$.

L'anello $Z_K$ degli interi (algebrici) di un campo di numeri $K$. Sia ha $K=Q(Z_K)$, $Z_K$ ha dimensione 1 ed è integralmente chiuso. Nozione di base intera di $K$; senza dimostrazione: questa esiste per ogni scelta di $K$; di conseguenza $Z_K$ è un anello di Dedekind.

Senza dimostrazione: teoremi di Kummer e di Claborn sul gruppo delle classi degli anelli degli interi di un campo di numero e di un anello di Dedekind arbitrario. Indicazioni sulla rilevanza del teorema di Kummer per applicazioni in teoria dei numeri.

Ancora senza dimostrazione: il teorema degli invertibili di Dirichlet. Come conseguenza: struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.

Norme di elementi di un campo di numeri e del suo anello degli interi. Norme e divisibilità; determinazione degli invertibili e condizioni di irriducibilità a partire dalle norme di elementi interi algebrici. Qualche esempio: invertibili in $\Z[i]$ e $\Z[\sqrt 2]$.

Esercizi proposti:

1. Dando per noto che $\Z[i]$ e $\Z[\sqrt 2]$ sono, rispettivamente, gli anelli degli interi algebrici dei campi $\Q[i]$ e $\Q[\sqrt 2]$,
   • trovare un elemento invertibile di periodo moltiplicativo infinito in $\Z[\sqrt 2]$;
   • di ciascuno tra $3$ e $5$ decidere se è irriducibile in $\Z[i]$ e, se non lo è, trovarne i divisori non banali.
2. Dando per noto che $\Z[\sqrt {-2}]$ è l'anello degli interi algebrici del campo $\Q[\sqrt {-2}]$, determinare il gruppi degli invertibili di $\Z[\sqrt {-2}]$ e la struttura del gruppo moltiplicativo di $\Q[\sqrt {-2}]$.

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Ogni ideale non nullo dell'anello degli interi di un campo di numeri ha indice finito. Inoltre, se questo ideale è principale, il suo indice è il valore assoluto della norma di un suo generatore. Abbiamo dimostrato questa seconda affermazione solo nel caso in cui il campo di numeri in questione sia di Galois su $\Q$.

Descrizione degli anelli degli interi dei campi quadratici (cioè delle estensioni di grado due del campo razionale).

Informazioni, senza dimostrazioni ma con inquadramento storico, sulle proprietà note (e le molte questioni non risolte) degli anelli di interi algebrici dei campi finiti, ed in particolare di quelli quadratici: fattorialità, numero delle classi, essere o meno euclideo, o in particolare con norma euclidea.

Due esempi di determinazione delle fattorizzazioni (uniche) di ideali in prodotti di ideali primi, negli anelli $\Z[\sqrt{-5}]$ e $\Z[\sqrt{-17}]$, e utilizzo di queste fattorizzazioni per descrivere i divisori di elementi degli stessi anelli, ottenendo al contempo qualche informazione sul gruppo delle classi.

Esercizi proposti:

1. Stabilire per quali interi negativi $d$ liberi da quadrati l'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt d]$ ha elementi invertibili diversi da $1$ e $-1$; determinare questi invertibili.
2. Sia $R$ l'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt {-23}]$ e sia $α$ il suo elemento $(1+\sqrt {-23})/2$. In $R$, calcolata la norma di $α$, dedurne le uguaglianze $α^2 - α +6=0$ e quindi $(α-2)(α-3)=-4α$. Dopo aver osservato (calcolandone l'indice) che l'ideale $P=(2,α)$ di $R$ è primo, ma non principale, utilizzare le informazioni già ottenute per dedurre che $P$ ha per cubo l'ideale principale $(α-2)R$ e quindi il gruppo delle classi di $R$ ha ordine multiplo di $3$ (in effetti, ha proprio ordine $3$). Fattorizzare $6R$ in prodotto di ideali primi in $R$ e ricavare da ciò tutte le fattorizzazioni di $6$ in prodotto di elementi irriducibili di $R$. Fare lo stesso per l'ideale $4R$ e l'elemento $4$ di $R$.
3. Svolgere, dalle note, gli esercizi 13.D. In relazione al quarto, può essere utile in caso di difficoltà farsi guidare da un esempio nel testo che precede. Esercizi come questo o come il secondo possono essere variati a piacimento.