1 — 15/9

Introduzione al corso. Alcune scelte di terminologia e notazioni.

Richiami. Anelli (diverse nozioni di anello in matematica). Cenni all'algebra universale ed alla nozione generale di omomorfismo e di sottostruttura in algebra. Il caso degli anelli e degli anelli unitari (sottoanelli e sottoanelli unitari, omomorfismi di anelli, unitari e non.).

Un lemma: un omomorfismo di semigruppi tra due monoidi è un omomorfismo di monoidi se e solo se la sua immagine contiene qualche elemento cancellabile a destra nel codominio. Dunque, un omomorfismo di anelli tra due anelli unitari è esso stesso unitario (cioè un omomorfismo di anelli unitari) se e solo se la sua immagine contiene qualche elemento cancellabile a destra nel codominio. In particolare: un sottoanello di un anello unitario che sia anch'esso unitario è un sottoanello unitario se e solo se ha almeno un elemento cancellabile a destra nel codominio.

Premoduli e moduli su un anello. Azioni di (pre)modulo. Definizioni equivalenti in termini di azioni e di operazione esterna. Esempi essenziali. Ogni gruppo abeliano è, in modo unico, un modulo su $\Z$. Nel corso dell'esposizione è stato richiamato l'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano.

Segnatura dei premoduli; sottopremoduli, omomorfismi di premoduli. Alcune regole elementari di calcolo nei premoduli.

Somme tra parti di un premodulo (o di un anello). Per un anello commutativo $R$ ed un $R$-premodulo $M$, prodotto tra una parte di $M$ ed una di $R$ (combinazioni lineari). Il sottopremodulo (o il sottomodulo) generato da una parte di $M$.

Congruenze e quozienti in premoduli. Teoremi di corrispondenza e di omomorfismo per premoduli.

Esercizi proposti (non necessariamente da risolvere tutti né subito):

1. Trovare, in un opportuno anello commutativo unitario $R$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $R$.
2. Siano $S$ un insieme e $T$ una parte di $S$. verificare che $\P(T)$ è un ideale principale dell'anello delle parti di $S$
3. Sia $S$ un insieme. Determinare gli ideali principali dell'anello delle parti $\P(S)$. Provare che se $S$ è finito tutti gli ideali di $\P(S)$ sono principali. Cosa succede se $S$ è infinito?
4. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello delle parti di $\N$?
5. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli.
6. Decidere se il gruppo ciclico infinito può essere riguardato come il gruppo additivo di un modulo (ovvero: spazio vettoriale) sul campo $\Z_2$.
7. Trovare un modulo $M$ che non abbia sottomoduli non banali (cioè diversi da $0:=\set{0_M}$ e $M$) ma abbia un'infinità continua di sottogruppi.

2 — 17/9

Formule elementari su prodotti e somme tra parti di anelli e premoduli su essi. Annullatori e trasportatori. Premoduli fedeli.

Cambi di scalari per premoduli: passaggio al quoziente rispetto ad un ideale contenuto nell'annullatore. Invarianza di sottopremoduli ed omomorfismi; alcuni esempi.

Centralizzanti in anelli (non commutativi); l'anello degli endomorfismi di un premodulo (centralizzante dell'immagine dell'azione). Endomorfismi di $R_R$, per un anello commutativo $R$; se (e solo se) $R$ è unitario, $\End (R_R)\iso R$.

Prealgebre ed algebre: azioni di (pre)algebra; omomorfismi di struttura. (Pre)algebre unitarie. Definizione equivalente delle prealgebre tramite operazione esterna.

Diversi esempi di algebre e prealgebre, unitarie e non, con o senza omomorfismi di struttura (o con più di uno).

Sottoprealgebre; quozienti di prealgebre; gli ideali di una prealgebra con omomorfismo di struttura sono sottoprealgebre. Omomorfismi di prealgebre; caratterizzazione di quelli unitari in termini di omomorfismi di struttura. Estensioni di campi come algebre (e gruppi di Galois).

Cambi di scalari per premoduli: passaggio al quoziente rispetto ad un ideale contenuto nell'annullatore. Invarianza dei sottopremoduli e degli omomorfismi; alcuni esempi.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria: l'algebra accresciuta. Come caso particolare: l'anello accresciuto di un anello commutativo.

Esercizi proposti:

1. Fissato un anello commutativo $R$, sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra $R$-premoduli. Provare che $\ann_R(A)\subseteq \ann_R(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo di $R$-premoduli, provare che $\ann_R(A)\supseteq \ann_R(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.
2. Fissati un anello commutativo $R$ ed un suo ideale $H$, verificare che vale $H\sseq \ann_R(R_R/H)$. Cercare una condizione sufficiente affinché valga anche l'inclusione inversa.
3. Nell'anello delle parti di $\Z$, determinare l'annullatore dell'insieme delle parti finite di $\N$.
4. Descrivere esplicitamente una prealgebra ed un suo ideale che non ne sia una sottoprealgebra.
5. Verificare i dettagli della costruzione dell'algebra accresciuta.
6. Siano $A$ un'algebra su un anello commutativo unitario $R$ e $A_1=A\rtimes R$ la corrispondente algebra accresciuta. Verificare che gli ideali di $A_1$ contenuti in $A$ sono precisamente gli ideali di $A$ che sono anche $R$-sottomoduli.
7. Descrivere (scrivendone la tavola di moltiplicazione per l'operazione interna moltiplicativa) l'algebra accresciuta $A=\Z_2\rtimes\Z_2$, dove $\Z_2$ è inizialmente riguardato come algebra su di sé. Se possibile, individuare un anello già noto a cui $A$, come anello, è isomorfo.

3 — 25/9

Discussione sulla nozione generale di identificazione in matematica.

Ulteriori osservazioni sull'accrescimento di algebre e anelli. Accrescimenti di un anello di caratteristica positiva. Un esempio.

Un lemma: se $R$ è un anello commutativo ed $S$ un anello unitario, detto $R_1$ l'anello accresciuto $R\rtimes\Z$, l'applicazione restrizione dall'insieme degli omomorfismi di anelli unitari da $R_1$ a $S$ a quello degli omomorfismi di anelli da $R$ a $S$ è biettiva. Usando questo: equivalenza tra lo studio dei premoduli o prealgebre su un anello commutativo $R$ e quello dei moduli o algebre sull'anello accresciuto $R\rtimes\Z$; conservazione di sottostrutture ed omomorfismi, qualche esempio.

Accrescimenti per prealgebre. Immersione di una prealgebra in una prealgebra unitaria o in una prealgebra di questa.

Legge modulare di Dedekind e sua conseguenza (due sottopremoduli confrontabili per inclusione coincidono se hanno stessa intersezione e stessa somma con un assegnato sottopremodulo).

Idealizzazione di un premodulo.

Caratterizzazioni dei (pre)moduli ciclici e di quelli semplici. Come conseguenza: caratterizzazione degli ideali (primi o non primi) massimali in un anello commutativo.

L'unione di una catena non vuota di sottopremoduli è necessariamente un sottopremodulo, inoltre, se è finitamente generato, questo sottopremodulo è il massimo della catena. Ogni premodulo non nullo finitamente generato ha sottopremoduli massimali. Lemma di Nakayama (anche nella versione: se $R$ è un anello commutativo, $M$ un $R$-premodulo finitamente generato e non nullo, ed $H$ è un ideale di $R$ tale che $MH=M$, allora $R$ ha un ideale massimale non contenente $H$).

Il radicale di Jacobson di un anello commutativo.

Esercizi proposti:

1. Siano $S$ e $T$ insiemi tali che $S\subset T$ e $|T\setminus S|=1$. Verificare in dettaglio l'isomorfismo di anelli (ovvero: di $\Z_2$-algebre) $\P(T)\to\P(S)\rtimes \Z_2$ che ad ogni $x\in\P(T)$ associa $(x,0_{\Z_2})$ se $x\sseq S$ e $(x\ds T,1_{\Z_2})$ se $x\not\sseq S$.
2. Descrivere (scrivendone la tavola di moltiplicazione per l'operazione interna moltiplicativa) l'idealizzazione del modulo $(\Z_2)_{\Z_2}$. Confrontare l'anello ottenuto con quello trovato nell'analogo esercizio della lezione scorsa.
3. Costruire un anello commutativo $R$ (ovviamente non unitario!) con due ideali distinti $I$ e $J$ tali che gli $R$-premoduli $R_R/I$ e $R_R/J$ siano isomorfi.
4. Provare in dettaglio che, come accennato a lezione, nel reticolo dei sottopremoduli di un modulo $M$ i sottopremoduli finitamente generati sono tutti e soli gli elementi compatti del reticolo (nel senso che un sottopremodulo $H$ è finitamente generato se e solo se soddisfa questa proprietà: per ogni insieme $X$ di sottopremoduli di $M$ tale che $H\le \sum_{L\in X}L$, esiste una parte finita $Y$ di $X$ tale che $H\le \sum_{L\in Y}L$).
5. Descrivere i radicali di Jacobson dei quozienti di $\Z$.

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Caratterizzazione del radicale di Jacobson di un anello commutativo unitario $R$ come insieme degli elementi $a$ di $R$ tali che $1_R+aR$ sia costituito da invertibili; qualche sua conseguenza. Anelli locali. Alcuni esempi.

Richiami sugli ideali primi; alcune caratterizzazioni in termini di trasportatori e di prodotti tra ideali. Lo spettro (primo) di un anello commutativo. Teorema di corrispondenza per ideali massimali e per ideali primi. Il lemma ‘prime-avoidance’. Intersezioni e unioni di catene di ideali primi sono, se propri, ideali primi. Primi minimali su un assegnato ideale.

Un lemma per la produzione di ideali primi: se, in un anello commutativo $R$, $S$ è una parte non vuota che sia chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da un prefissato ideale $H$, allora l'insieme degli ideali di $R$ contenenti $H$ e disgiunti da $S$ è induttivo ed i suoi elementi massimali sono ideali primi (e ogni ideale primo è ottenibile in questo modo)).

Elementi nilpotenti e nilradicale, come intersezione dello spettro; il radicale di un ideale in un anello commutativo $R$. Comparazione tra nilradicale e radicale di Jacobson in anelli commutativi; la somma tra un elemento nilpotente ed uno invertibile (in un anello unitario) è certamente invertibile. Se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$.

Ideali tra loro comassimali. Per un anello commutativo $R$ ed un suo ideale $H$, se $R/H$ è unitario e $I$ e $J$ sono comassimali con $H$, allora anche $IJ$ è comassimale con $H$. Se $R$ è unitario, il prodotto di un numero finito di ideali a due a due comassimali coincide con la loro intersezione. Interpretazione di queste osservazioni nell'anello degli interi.

Teorema NAK (lemma di Nakayama forte) per premoduli e per moduli. Per la dimostrazione, lemma: se $a$ è un elemento di un premodulo su un anello commutativo $R$ e $L,K\n R$, allora $aL\sseq aK$ se e solo se $L\sseq K+\ann_R(a)$.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello commutativo ed $H$ un suo ideale contenuto in qualche ideale primo di $R$. Allora il radicale di $H$ è l'intersezione dei primi minimali su $H$.
2. Descrivere, per ogni intero $n$, il nilradicale di $\Z_n$.
3. Verificare che, come accennato a lezione, per ogni intero primo $p$ l'insieme dei numeri razionali rappresentabili come frazioni a denominatore coprimo con $p$ è un sottoanello unitario del campo dei numeri razionali ed è un anello locale.
4. Esercizio 3.D.8 dalle note.
5. Costruire un esempio di anello commutativo unitario con ideali non banali $H$ e $K$ non comassimali tra loro per i quali $HK=H\cap K\ne H$.
6. Cosa dice il teorema NAK per premoduli fedeli?
7. Sia $M$ un premodulo finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$, con azione di premodulo $\rho\colon R\to\End(M,+)$. Provare che se $MR=M$, allora $\rho$ è un'azione di modulo.

5 — 2/10

Aggiunte alla lezione precedente: la varietà di un ideale; ideali nil ed ideali nilpotenti; gli ideali nil finitamente generati sono nilpotenti, questo non è necessariamente vero per ideali non finitamente generati. Controsempi al lemma di Nakayama ed al teorema NAK per premoduli non finitamente generati.

Prodotti diretti di prealgebre e, come caso particolare, di algebre, (pre)algebre unitarie, (pre)moduli. Immersioni e proiezioni canoniche. Ideali e quozienti del prodotto descritti da queste; relazioni tra i morfismi canonici. Anelli di funzioni; anelli di funzioni continue.

Cenni ad alcune nozioni categoriali: oggetti iniziali e finali, prodotti, coprodotti, loro unicità a meno di isomorfismi. Nelle categorie corrispondenti, i prodotti diretti e le proiezioni appena introdotte descrivono prodotti nel senso categoriale.

Omomorfismi $A\to\prod_{i\in I}A/B_i$ indotti dagli epimorfismi canonici, dove $A$ è una (pre)algebra (o un anello, come caso particolare, o un premodulo) e $(B_i)_{i\in I}$ una famiglia di sue sotto(pre)algebre che siano ideali. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la loro suriettività nel caso delle preagebre unitarie. Applicazioni aritmetiche di questo risultato: teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione di Eulero.

Somme dirette (esterne) di (pre)moduli; queste descrivono coprodotti categoriali. Comparazione (e possibili differenze) tra somme e prodotti diretti. Somme dirette interne di (pre)moduli. Identificabilità tra le due nozioni.

Somme dirette esterne di prealgebre. Osservazione: escluso il caso banale in cui una tale somma diretta coincida con un prodotto diretto (cioè quando il numero dei sommandi diretti non nulli è finito), la somma non può essere unitaria. Notizie: le somme dirette di anelli (o (pre)algebre) non descrivono in generale coprodotti categoriali. Somme dirette interne di anelli. Descrizione degli ideali e degli ideali massimali o primi in un anello che sia somma diretta interna di suoi ideali che, come anelli, siano unitari. Radicale di Jacobson e nilradicale in un anello somma diretta di ideali (per il radicale di Jacobson non è stata fornita dimostrazione se non nel caso in cui i sommandi diretti siano anelli unitari).

Esercizi proposti:

1. Esercizio 3.C.3 dalle note. Lo stesso blocco contiene altri esercizi interessanti.
2. Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ esistono un anello commutativo unitario $R$ ed un suo elemento nilpotente $a$ tale che $a^n\ne 0_R$.
3. Verificare in dettaglio che l'anello delle parti di un qualsiasi insieme $S$ è isomorfo all'anello di funzioni $(\Z_2)^S$ (un isomorfismo è quello che associa a ciascun $x\in\P(S)$ la funzione caratteristica di $x$ in $S$ a valori in $\Z_2$).
4. Verificare in dettaglio che, come detto a lezione, la somma diretta di premoduli (con immersioni canoniche) descrive un coprodotto nella categoria dei premoduli su un prefissato anello commutativo.
5. Verificare con un esplicito controesempio che un anello commutativo (necessariamente non unitario) può essere somma diretta di suoi ideali $H$ e $K$ ed avere un ideale $L$ tale che $L\ne (L\cap H)+(L\cap K)$.

6 — 6/10

Elementi idempotenti in un anello commutativo $R$. Essi sono tutti e sole le unitè degli ideali di $R$ che, come anelli, siano unitari. Insiemi finiti di idempotenti ortogonali e decomposizioni dirette per anelli commutativi (arbitrari). Se $R$ è un anello commutativo unitario: biezione tra gli insiemi degli insiemi finiti di ideali che descrivono una decomposizione di $R$ in somma diretta e quello degli insiemi finiti di elementi (necessariamente idempotenti) a due a due ortogonali che, sommati tra loro, dànno l'unità di $R$. Qualche esempio. Di conseguenza: $R$ è indecomponibile in somma diretta di ideali se e solo se non ha idempotenti non banali; anche nel caso non unitario questa condizione è necessaria, ma non sempre sufficiente.

Applicazioni universali ed oggetti liberi in categorie di strutture algebriche e loro omomorfismi (oggetti iniziali in un'opportuna categoria). Unicità a meno di isomorfismi (e biezioni). Esempi: spazi vettoriali; il modulo ciclico fedele $R_R$ è libero su $\set{1_R}$; gli oggetti liberi su $\vuoto$ sono precisamente gli oggetti iniziali. Proprietà di invarianza per applicazioni universali (se $u$ è universale lo è anche $fu\alpha$, se $f$ è un'applicazione biettiva e $\alpha$ un isomorfismo). Se $F$ è un (pre)modulo libero con applicazione universale $u$, allora $\im u$ genera $F$; l'abbiamo visto con due dimostrazioni, la seconda delle quali è esportabile ad oggetti liberi in altre categorie. Esempi di categorie di strutture algebriche prive di oggetti liberi. Se $X$ è un insieme di generatori di un premodulo $M$ e $F$ è un premodulo libero su $X$, $M$ è isomorfo ad un quoziente di $F$; lo stesso enunciato vale per altre categorie.

Descrizione esplicita (e quindi esistenza) dei (pre)moduli liberi. Conseguenze: ogni (pre)modulo che sia generato da una sua parte $X$ è isomorfo ad un quoziente di un (pre)modulo libero su $X$; ogni applicazione universale per moduli liberi su un anello non nullo è iniettiva (questo non vale in relazione ad anelli nulli); di conseguenza: ogni (pre)modulo libero si può riguardare come libero su una sua parte, con l'immersione insiemistica come applicazione universale.

Algebre (associative commutative) unitarie libere. Interpretazione della proprietà universale che le definiscono in termini di omomorfismi di anelli unitari. Esempio: l'anello dei polinomi ad una indeterminata (come definito nei corsi del triennio) su un anello commutativo unitario $R$ è libero, come $R$-algebra unitaria, su un singleton. Descrizione rapida di una costruzione di un'algebra unitaria libera su un arbitrario insieme $X$. Come conseguenza: tali algebre sono fedeli e, se $X\ne\vuoto$, le corrispondenti applicazioni universali sono iniettive. Anelli di polinomi. Alcune loro proprietà, dimostrate utilizzando direttamente la definizione e non la costruzione concreta: isomorfismi $R[X\cup Y]\iso (R[X])[Y]$ e $R[X\cup Y]/(Y)\iso R[X]$ per anelli di polinomi sull'anello commutativo unitario $R$. Ampliamenti di anelli unitari come quozienti di anelli di polinomi.

Esercizi proposti:

1. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo $R$ tale che $H^2=H$. Provare che $H$ è principale, unitario come anello.
2. Mostrare che ogni partizione $P$ di un insieme $S$ dà luogo ad una decomposizione di $\P(S)$ in somma diretta dei suoi ideali $\P(x)$ al variare di $x$ in $P$.
3. Giustificare in dettaglio l'osservazione che nella categoria dei gruppi abeliani finiti non esistono oggetti liberi su un singleton.
4. Qualsiasi sia l'anello commutativo $R$ (anche nullo), ogni applicazione universale per $R$-premoduli è iniettiva.
5. Dalle note: esercizi e osservazioni 4.E.1, 2 e 3, in buona parte già menzionati a lezione (verificare tutto). Ate osservazioni nella stessa serie meritano attenzione.
6. Verificare in dettaglio la costruzione delle algebre (associative commutative) unitarie libere.
7. Utilizzando la proprietà universale per anelli di polinomi, costruire un anello commutativo unitario $R$ di caratteristica 5 in cui esista un elemento $a$ tale che $a^2\ne a^3=0_R$.
8. Costruire un anello commutativo unitario $R$ che abbia un ideale massimale, non finitamente generato che sia generato da elementi a quadrato nullo.

7 — 9/10

Condizioni di catena per insiemi ordinati. Premoduli ed anelli artiniani e noetheriani. Alcuni esempi. Proprietà di chiusura (per sottopremoduli, quozienti, estensioni, somme finite e duale) delle proprietà di essere un premodulo artiniano o noetheriano. Analoghe proprietà (e controesempi) per anelli artiniani o noetheriani. Proprietà di Hopf e sua duale. L'anello accresciuto di un anello commutativo noetheriano è, a sua volta, noetheriano.

Caratterizzazione dei premoduli noetheriani in termini di sottopremoduli finitamente generati. Conseguenza: un premodulo su un anello commutativo noetheriano è noetheriano se e solo se è finitamente generato.

Esistenza di sottopremoduli massimali per la proprietà di non essere finitamente generati nel reticolo dei sottopremoduli di un premodulo non noetheriano. In un anello commutativo $R$ ogni ideale massimale tra i non finitamente generati è primo se non è $R$ stesso, quindi $R$ è noetheriano se $R_R$ e tutti gli ideali primi di $R$ sono finitamente generati.

Il teorema della base di Hilbert. Corollario: ogni algebra commutativa unitaria finitamente generata su un anello noetheriano è, come anello, noetheriana. L'ipotesi che l'algebra sia unitaria non può essere rimossa.

Serie formali di potenze su un anello commutativo unitario. Definizione, descrizione degli elementi invertibili e del radicale di Jacobson. Se $R$ è locale, $R[[x]]$ è locale. Teorema della base per anelli di serie formali di potenze.

Esercizi proposti:

1. Siano $K$ un campo, $K[X]$ un anello di polinomi su $K$ su un insieme infinito $X$ di indeterminate, $R=K[X]/(X)^2$. Verificare che $R$ è un anello commutativo artiniano e noetheriano, mentre il suo ideale $(X)/(X)^2$, come anello, non è né artiniano né noetheriano.
2. Costruire un esempio di gruppo abeliano hopfiano e co-hopfiano che non sia né artiniano né noetheriano. Suggerimento: sceglierlo periodico aiuta.
3. Esercizi 6.B.2 e 6.B.3 dalle note.
4. Verificare in dettaglio quanto affermato a lezione: se $R$ è un dominio di integrità unitario, anche $R[[x]]$ lo è. Se $R$ è un campo, $R[[x]]$ è fattoriale?
5. Verificare: se $R$ è un anello commutativo unitario, allora $R[[x]]/\jac(R[[x]])\iso R/\jac(R)$.

8 — 13/10

Premoduli contemporanemente artiniani e noetheriani. Un lemma: se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano.

Per un arbitrario anello commutativo unitario $R$ ed un anello di polinomi $R[X]$, caratterizzazione degli elementi invertibili e di quelli nilpotenti in $R[X]$. Descrizione dei divisori dello zero, come caso particolare del teorema: una parte di $R[X]$ che abbia annullatore non nullo in $R[X]$ ha annullatore non nullo in $R$.

Ideali primari. Qualche caratterizzazione ovvia. Esempio: gli ideali primari di $\Z$ (o degli anelli principali). In ogni anello commutativo sono primari gli ideali primi e quelli il cui radicale sia l'intero anello. Il radicale di ogni ideale primario è primo oppure l'intero anello; in un anello unitario ogni ideale che abbia come radicale un ideale massimale è primario (il viceversa non vale, vedi gli esercizi).

Alcuni esempi: un ideale primario (in un anello noetheriano fattoriale) che non è potenza di primo; un ideale primo (in un anello noetheriano) il cui quadrato non è primario.

Esercizi proposti:

1. Verificare che se $S$ è un anello di polinomi su un anello commutativo unitario ed un insieme non vuoto di indeterminate, $\jac(S)=\nrad(S)$.
2. Verificare che in ogni anello commutativo, anche non unitario, tutti gli ideali massimali sono primari.
3. Determinare gli ideali primari nell'anello delle parti di un arbitrario insieme.
4. Sia $R=K\times S$ l'anello prodotto diretto di un campo $K$ ed un anello $S$ tale che $S^2=0\ne S$. Verificare che, in $R$, l'ideale nullo ha per radicale un ideale massimale ma non è primario. (Vedi anche: esercizio 7.A.2 dalle note.)
5. Esercizio 7.A.5 dalle note.

9 — 16/10

Altre proprietà degli ideali primari: l'intersezione tra due ideali primari con lo stesso radicale è ancora primario (e con lo stesso radicale); trasportatori di elementi in ideali primari. Ideali primari in somme dirette di anelli unitari.

Decomposizioni primarie e ideali decomponibili (in intersezione finita di ideali primari). Decomposizioni primarie minimali; ogni ideale decomponibile ne ha una. Esempio: decomposizioni primarie (minimali e non) nell'anello degli interi. Ideali $\cap$-irriducibili. In un anello noetheriano, ogni ideale proprio è intersezione di un insieme finito di ideali $\cap$-irriducibili ed ogni ideale $\cap$-irriducibile è primario; quindi ogni ideale è proprio è decomponibile. Esempi di anelli con ideali non decomponibili; di anelli unitari non noetheriani ad ideali tutti primari, quindi tutti decomponibili; di anelli con ideali $\cap$-irriducibili non primari.

Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Una conseguenza: tra le decomposizioni primarie di un ideale decomponibile quelle minimali sono quelle di cardinalità minima. Ideali (primi, se propri) associati ad un ideale decomponibile; questi descrivono divisori dello zero ed elementi nilpotenti modulo un ideale decomponibile; ideali associati isolati ed immersi.

Per ogni anello commutativo $R$, un elemento massimale tra gli annullatori di elementi non nulli di un $R$-premodulo è $R$ o un suo ideale primo. Di conseguenza, se $R$ è noetheriano, si può semplificare la descrizione degli ideali associati ad ideali decomponibili di $R$.

Esercizi proposti:

1. Esercizio 7.C.2 dalle note.
2. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$ (che è fattoriale), decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Trovare una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.

10 — 20/10

Premoduli monolitici. In ogni premodulo non nullo $M$, il sottomodulo nullo è intersezione di sottopremoduli $N$ tali che $M/N$ sia monolitico. Se $M$ è artiniano, quest'ultima condizione equivale a richiedere che $N$ sia $\cap$-irriducibile. Se $M$ è un premodulo artiniano, ogni sottopremodulo proprio di $M$ è intersezione finita di sottopremoduli $\cap$-irriducibili.

Secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Unicità delle decomposizioni primarie minimali in anelli commutativi unitari che abbiano dimensione $0$ o siano domini di integrità di dimensione $1$. Un esempio di ideale decomponibile (in un anello noetheriano fattoriale) con più (infinite) decomposizioni primarie minimali (con informazioni non dimostrate a riguardo: se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, in ogni decomposizione primaria di un ideale di $R$ la componente relativa ad un primo immerso può essere sostituita in infiniti modi diversi).

Anelli commutativi artiniani. Prime proprietà: sia $R$ un anello commutativo artiniano, se $R$ ha un elemento cancellabile $a$ allora $R$ è unitario e $a$ è invertibile; se $R$ è integro, allora $R$ è un campo: gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali e sono in numero finito; anche l'insieme degli ideali di indice finito, e quindi quello degli ideali massimali di $R$, sono finiti (a differenza della prima proprietà la seconda non vale per tutti i premoduli artiniani); il radicale di Jacobson ed il nilradicale di $R$ sono nilpotenti (dunque, se $R$ è unitario, ma non sempre, $\jac(R)=\nrad(R)$).

Teorema (di Hopkins, Levitzki, Akizuki): se $R$ è un anello commutativo unitario, $R$ è artiniano se e solo se è noetheriano e di dimensione al più zero. Struttura di tali anelli: sono (in unico modo, in termini di somma diretta interna) prodotti diretti di un numero finito di anelli (artiniani) locali. Solo enunciato del corrispondente risultato per anelli non unitari (ed osservazione: come nel caso noetheriano, in ogni anello commutativo artiniano gli ideali $\cap$-irriducibili sono primari, quindi tutti gli ideali propri sono decomponibili. Un corollario del teorema: i quozienti propri degli domini di integrità unitari noetheriani di dimensione $1$ sono artiniani.

Parti sature in semigruppi e monoidi commutativi. Parte satura generata e saturazione di una parte. Le parti non vuote chiuse e sature (rispetto alla moltiplicazione) di un anello commutativo sono i complementi delle unioni di ideali primi.

Esercizi proposti:

1. Provare che per ogni intero positivo $n$ esiste un anello artiniano locale infinito $R$ per il cui ideale massimale $M$ si abbia $M^n=0\ne M^{n-1}$.
2. Dopo aver verificato che l'anello $\Q[x]/(x^2-1)^3(x-3)^4\Q[x]$ è artiniano, rappresentarlo in modo esplicito come somma diretta di suoi ideali locali.
3. Verificare che nel sottomonoide $\set 1\cup 2\N$ di $(\N, \cdot,1)$ l'insieme $S=\set{1,6}$ è una parte satura, ma il sottomonoide generato da $S$ non è saturo.

11 — 22/10

Per una parte non vuota $S$ di un anello commutativo $R$, $R$-prealgebre (unitarie) $S$-inversive e omomorfismi $S$-inversivi (i loro omomorfismi di struttura). Anelli di frazioni, ovvero: $R$-prealgebre (unitarie) $S$-inversive iniziali (quindi unicamente determinate a meno di isomorfismi). Alcuni esempi ovvi. Costruzione (e quindi esistenza); nucleo dell'omomorfismo $S$-inversivo universale (questo è iniettivo se e solo se ogni elemento di $S$ è cancellabile in $R$), identificazione delle frazioni che sono lo zero, l'unità, invertibili, nilpotenti, divisori dello zero; queste ultime hanno per numeratore un divisore dello zero.

Antiimmagini di ideali, ideali primi, ideali primari mediante omomorfismi di anelli commutativi. I radicali degli ideali sono conservati dall'applicazione antiimagine.

Espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo universale $S$-inversivo da un anello commutativo $R$ al suo anello di frazioni $S^{-1}R$. Applicazioni, crescenti, $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra i reticoli $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$. Descrizione esplicita di $e$, di $c$ e delle loro composte.

Esercizi proposti:

1. Verificare in ogni dettaglio la costruzione degli anelli di frazioni.
2. Descrivere la saturazione in $(\Z,\cdot)$ dell'insieme $\set{1,400}$.
3. Sempre con riferimento all'insieme $S=\set{1,400}$, decrivere l'anello di frazioni $S^{-1}\Z$ (come sottoanello di $\Q$) e le espansioni in esso degli ideali $3\Z$, $6\Z$, $8\Z$ di $\Z$.
4. Dalle note: esercizi 9.A numeri 4, da 6 a 10, 12.
5. Dalle note: esercizi 9.B.2, 4, 5.

12 — 23/10

Gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani), sono artiniani (risp. noetheriani). Similmente, il passaggio ad anelli di frazioni conserva le proprietà di essere ad ideali principali, nulli o domini di integrità, nulli o anelli principali.

L'applicazione espansione conserva le somme di ideali, gli insiemi di generatori, i prodotti e le intersezioni finite (ma non quelle infinite); l'analoga proprietà di conservazione dei prodotti non vale per arbitrari omomorfismi di anelli (anche unitari). L'applicazione contrazione conserva le intersezioni (arbitrarie), ma non le somme né i prodotti.

Per una parte $S$ dell'anello commutativo $R$ e $H\n R$, indicando con $\varepsilon$ immagini mediante l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\varepsilon)^{-1}R^\varepsilon$. Espansioni e contrazioni di ideali primari; le applicazioni espansione e contrazione inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra l'insieme degli ideali primi di $R$ disgiunti da $S$ e $\spec(S^{-1}R)$, tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$ e, per ogni $P\in\spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Esempio: le localizzazioni degli anelli principali ed i loro ideali. Se $P$ è un ideale primo dell'anello commutativo $R$, il campo residuo della localizzazione $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo al campo dei quozienti di $R/P$. Semilocalizzazioni.

Decomposizioni primarie per ideali espansi e contratti. Dimostrazione alternativa del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie.

Se un premodulo è noetheriano, è noetheriano anche il quoziente del suo anello degli scalari rispetto all'annullatore. Il teorema dell'intersezione di Krull (per premoduli noetheriani). Un controesempio: un $p$-gruppo abeliano non finitamente generato che non verifica la conclusione del teorema dell'intersezione di Krull. Un rapido cenno al lemma di Artin-Rees.

Esercizi proposti:

1. Dalle note: esercizi 9.B.12, 9.C.2 e 3, 9.D.1.
2. Verificare che il teorema dell'intersezione di Krull si può (anche) ottenere come conseguenza del lemma di Artin-Rees.
3. Sia $P$ un ideale primo dell'anello commutativo $R$. Provare che, per ogni intero positivo $n$, la potenza simbolica $P^{(n)}:=(P^n)^{ec}$ (dove espansione e contrazione sono riferite alla localizzazione $R_P$) è il minimo ideale $P$-primario di $R$ contenente $P^n$.
4. Fare buon viaggio.

13 — 6/11

Se $J$ è il radicale di Jacobson di un anello commutativo noetheriano $R$, l'intersezione delle potenze di $J$ è l'ideale nullo. Inoltre, se $R$ è unitario e semilocale, $R$ è artiniano se e solo se $J$ è nilpotente.

Insiemi preordinati e loro massimo quoziente ordinato. Applicazioni al caso dei monoidi commutativi preordinati per divisibilità. Se $M$ è un monoide commutativo cancellativo, e $\widetilde M=M/\U(M)$ è il suo massimo quoziente ordinato per divisibilità (che è ancora cancellativo), (1): se questo è a condizione minimale, allora ogni elemento non invertibile di $M$ è prodotto di irriducibili; (2): se questo è un reticolo ogni elemento irriducibile di $M$ è primo. Pertanto: $M$ è fattoriale se e solo se $\widetilde M$ è un reticolo a condizione minimale. Un'osservazione supplementare: in un monoide commutativo cancellativo $M$ due elementi che abbiano un minimo comune multiplo hanno un massimo comun divisore; il viceversa non vale ma se tutte le coppie di elementi di $M$ hanno un MCD allora tutte hanno un mcm.

Applicazioni ai domini di integrità unitari; tra queste: in ogni dominio di integrità unitario noetheriano ogni elemento non nullo e non invertibile è prodotto di irriducibili.

Domini di Bézout; un esempio di dominio di Bézout non principale.

Esercizi proposti:

1. Dalle note: esercizi 2.B.2 e 3.
2. Con le notazioni introdotte sopra, verificare che se $M$ è un monoide commutativo cancellativo, $\widetilde M$ è fattoriale se e solo se lo è $M$.
3. Provare che nell'anello di Bézout non principale $\Z+x\Q[x]$ discusso a lezione $x\Q[x]$ è un ideale primo non finitamente generato.

14 — 7/11

Anelli di valutazione. Caratterizzazioni immediate. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Esempi. Cenni alla nozione di valutazione in un campo ed a quella di anello di una valutazione. Esempio: per un elemento primo $p$ di un anello fattoriale, la valutazione $p$-adica nel corrispondente campo dei quozienti, esempio più specifico: l'anello $\Q_{p'}$ della valutazione $p$-adica in $\Q$ definita da un intero primo $p$. Gli anelli di valutazione principali (ovvero: di valutazione discreta). Altro esempio: l'anello delle serie formali di potenze su un campo. Teorema: in ogni campo, le coppie della forma $(H,R)$ dove $R$ è un sottoanello unitario ed $H$ un suo ideale proprio formano un insieme induttivo (rispetto all'inclusione 'componente per componente') i cui elementi massimali sono costituiti da un anello di valutazione e dal suo ideale massimale.

Interi su un anello. Prime osservazioni; una caratterizzazione: dati un anello commutativo unitario $A$ un suo sottoanello unitario $R$ e $c\in A$, $c$ è intero su $R$ se e solo se l'anello $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo, ovvero se e solo se $R[c]$ ammette un modulo fedele che sia finitamente generato come $R$-modulo (per restrizione degli scalari). Inoltre, se $c$ è un elemento invertibile di $A$, $c$ è intero su $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$.

Ampliamenti interi (o integrali). Siano $A$ un anello commutativo unitario ed $R$ un suo sottoanello unitario. Se $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, allora $A$ è un ampliamento intero di $R$; inoltre gli $A$-moduli finitamente generati sono anche $R$-moduli finitamente generati. Se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ e ciascuno dei $c_i$ è intero su $R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo ampliamento unitario; transitività dell'integralità. Domini di integrità integralmente chiusi; lo sono gli anelli fattoriali e quelli di valutazione: la chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione tra i sottoanelli di valutazione di $K$ contenenti $R$.

Esercizi proposti:

1. Esercizi 10.A.3, 4 e tutti gli Esercizi 10.C dalle note.
2. Provare che $\Z[\sqrt 5]$ non è integralmente chiuso.

15 — 10/11

Sequenze di omomorfismi di moduli. Quasi esattezza ed esattezza; sequenze quasi-esatte (complessi di catene) e sequenze esatte. Sequenze esatte corte (estensioni di moduli). Estensioni spezzate; loro caratterizzazione tramite mono spezzante (o epi spezzante).

Un funtore è esatto se e solo se trasforma sequenze esatte corte in sequenze esatte corte. Funtori esatti a sinistra e funtori esatti a destra.

Per un anello commutativo unitario $R$ e $R$-moduli $A$ e $B$, il modulo $\Hom_R(A,B)$ (sottomodulo di $B^A$). I funtori (additivi) $\Hom$, covarianti e controvarianti. Loro esattezza a sinistra ma, in generale, non a destra ( la verifica dell'esattezza per il caso controvariante è lasciata per esercizio). Moduli proiettivi e moduli iniettivi.

Rapidi cenni alle categorie preadditive, additive, abeliane: oggetti zero e morfismi zero in categorie arbitrarie; morfismi nulli in categorie preadditive (risultano essere gli zeromorfismi in presenza di oggetti zero), prodotti e coprodotti finiti (ovvero: biprodotti) in categorie preadditive. Nozioni categoriali di (morfismi) $\ker$, $\text{coker}$, $\im$ e $\text{coim}$; morfismo $\text{coker}(\alpha)\to\text{coim}(\alpha)$ indotto da un morfismo $\alpha$ e definizione di categoria additiva. Alcuni esempi.

Esercizi proposti:

1. Verificare l'esattezza a sinistra dei funtori $\Hom$ controvarianti in categorie di moduli.
2. Verificare che per ogni $R$-modulo $A$,
   • $\alpha\in\Hom_R(R_R,A)\mapsto (1_R)^\alpha\in A$ è un isomorfismo;
   • se $(B_i)_{i\in I}$ è una famiglia di $R$-moduli, $\Hom(A,\prod_{i\in I}B_i)\iso \prod_{i\in I}\Hom(A,B_i)$ e $\Hom(\coprod_{i\in I}B_i,A)\iso \prod_{i\in I}\Hom(B_i,A)$ (le biezioni richieste sono suggerite dalle proprietà universali di prodotti e coprodotti).
3. Siano $A$ e $B$ due moduli, $A'$ un sottomodulo di $A$ e $B'$ un sottomodulo di $B$. Identificare esplicitamente sottomoduli di $\Hom(A,B)$ isomorfi a $\Hom(A/A', B)$ e $\Hom(A, B')$, comparando poi queste osservazioni con quanto stabilito sulle proprietà di esattezza a sinistra dei funtori $\Hom$.
4. Utilizzando quanto detto a proposito dei prodotti e coprodotti di famiglie finite in categorie preadditive, verificare che ogni funtore additivo tra categorie abeliane trasforma estensioni spezzate in estensioni spezzate.
5. Siano $R$ un anello commutativo unitario e $M$ un $R$ modulo. Definiamo come segue un funtore $F$: ad ogni $R$-modulo $A$ facciamo corrispondere la somma diretta esterna $A^F=A\amalg M$ e ad ogni omomorfismo $\alpha\colon A\to B$ di $R$-moduli l'omomorfismo $\alpha^F\colon A^F\to B^F$ definito da $(a,x)\mapsto(a^\alpha, x)$ per ogni $a\in A$ e $x\in M$. Verificare in dettaglio che questo funtore è ben definito e studiarne le proprietà di esattezza.
6. Dalle note: esercizi ed esempi 11.C (in aggiunta ad esempi visti a lezione).

16 — 17/11

Caratterizzazioni dei moduli proiettivi (proprietà di sollevamento, proprietà proiettiva, immersione come sommando diretto in un modulo libero). Alcune conseguenze: una somma diretta $\coprod_{i\in I}A_i$ di moduli è proiettiva se e solo se lo sono tutti gli addendi $A_i$; la classe dei moduli proiettivi è chiusa per estensioni; se $A$ e $B$ sono sottomoduli di uno stesso modulo, allora esiste un'estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$, s inoltre $A+B$ è proiettivo, allora $A\oplus B\iso (A\cap B)\oplus(A+B)$ e quindi $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo. Qualche esempio di modulo proiettivo non libero; alcune notizie su condizioni sufficienti affinché moduli proiettivi siano liberi.

Basi duali ed ulteriore caratterizzazione dei moduli proiettivi.

Ideali frazionari (nel campo dei quozienti $K$ di un dominio di integrità unitario $R$). Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari $A\cap B$, $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Sono elementi invertibili in $\F(R)$ tutti i sottomoduli ciclici non nulli di $K$, sono in $\F(R)$ tutti i sottomoduli finitamente generati non nulli di $K$. Ogni ideale frazionario si scrive come $Hr^{-1}$ per qualche ideale intero $H$ e qualche $r\in R$, quindi è associato (in $\F(R)$) ed isomorfo (come $R$-modulo) ad $H$. Ideali frazionari invertibili, loro trasportatori, loro inversi. Solo enunciato, in attesa di dimostrazione il teorema: un ideale frazionario di $R$ è invertibile se e solo se è proiettivo, e se lo è, è finitamente generato.

Anelli di Dedekind; definizione e primissime osservazioni.

Esercizi proposti:

1. Dalle note: esercizi (ed osservazioni) 11.D.1, 2 e 3 e 12.A. Gli ultimi due tra questi saranno discussi e magari ampliati a lezione.
2. Trovare una base duale per l'insieme di generatori $\set{2,3}$ del gruppo abeliano (libero) $(\Z,+)$.

17 — 20/11

Alcuni esempi di ideali non nulli e non invertibili in domini di integrità. Questi esempi mostrano che gli anelli di Dedekind sono integralmente chiusi e se sono fattoriali sono principali (entrambe le informazioni seguono anche da risultati di natura più generale).

Sia fissato un dominio di integrità unitario $R$. Se $H$ è un ideale invertibile di $R$, i suoi multipli nel monoide $\I^*(R)$ degli ideali non nulli di $R$ sono gli ideali non nulli di $R$ contenuti in $H$. Teorema: se $R$ è di Dedekind $\I^*(R)$ è fattoriale ed i suoi elementi irriducibili sono gli ideali primi non nulli; questi sono tutti massimali. Conseguenze: se $R$ è di Dedekind gli ideali primari in $R$ sono le potenze degli ideali primi (escluso $R$) (segue l'ovvia descrizione delle decomposizioni primarie minimali); il gruppo degli ideali frazionari di $R$ è abeliano libero, con l'insieme degli ideali primi non nulli come base; ogni quoziente proprio di $R$ ha solo un numero finito di ideali; in $I^*(R)$ le operazioni di addizione e di intersezione sono le operazioni di MCD e mcm, e quindi, per ogni $I, J, L\in\I^*(R)$ si ha $I\cap(J+L)=(I\cap J)+(I\cap L)$, $I+(J\cap L)=(I+J)\cap(I+L)$, $I(J\cap L)=IJ\cap IL$ e $(I\cap J)(I+J)=IJ$.

Teorema: l'insieme degli ideali non invertibili di $R$ è induttivo ed ogni suo elemento massimale è un ideale primo, quindi $R$ è di Dedekind se e solo se i suoi ideali primi sono invertibili. Di conseguenza: $R$ è principale se e solo se tutti i suoi ideali primi sono principali.

Lemma: se $R$ è un dominio di integrità, ciascun ideale cancellabile in $R$ ha, a meno dell'ordine dei fattori, al più una decomposizione in prodotto di ideali primi. Teorema: per un dominio di integrità unitario $R$ sono equivalenti: (1) $R$ è di Dedekind; (2) ogni ideale proprio di $R$ è prodotto di ideali primi; (3) in $R$, ogni ideale principale proprio è prodotto di ideali primi ed ogni ideale primo invertibile è massimale. Come conseguenza del teorema: gli anelli di frazioni non nulli degli anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Se $R$ è di Dedekind, $H\in\I^*(R)$ e $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$.

Esercizi proposti:

1. Dalle note: esercizi 12.B.1, 5 e 6.

18 — 21/11

Se $R$ è un anello di Dedekind e $I,H\in\I^*(R)$:

• esiste $L\n R$ tale che $LI$ sia principale e $L+H=R$;
• tutti gli ideali di $R/H$ è sono principali;
• per ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=aR+bR$;
• $H/IH\iso_R R_R/I$ (dunque $R_R/I\mono R_R/IH\epi R_R/H$ è una sequenza esatta corta di $R$-moduli), quindi $|R/IH|=|R/I|\,|R/H|$.

Gli anelli di Dedekind semilocali sono principali.

In ogni monoide commutativo cancellativo gli elementi che sono invertibili o prodotti di primi costituiscono una parte chiusa e satura. Di conseguenza, un dominio di integrità unitario è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo ha un elemento non nullo primo nell'anello. Per un dominio di integrità unitario sono equivalenti le proprietà di essere principale, di essere fattoriale e di Dedekind, di essere fattoriale con dimensione al più 1.

Tre lemmi: (1) se $R$ è un dominio di integrità unitario e $K$ un suo campo dei quozienti, allora $R$ è l'intersezione dei localizzazioni di $R$ ai suoi ideali massimali, realizzate nel modo standard come sottoanelli di $K$; (2) se $n\in\N$ e $R$ è un anello commutativo $R$ ha dimensione $n$ se e solo se $n$ è il massimo delle dimensioni delle localizzazioni di $R$; inoltre, se $R$ è unitario, questo è il massimo delle dimensioni delle localizzazioni di $R$ ad ideali massimali; (3) se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, ogni ideale non nullo di $R$ contiene un prodotto di ideali non nulli.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è di Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione; (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$.

Sia $A$ un ampliamento intero di un anello commutativo unitario $R$. Se $P$ e $Q$ sono ideali di $A$ tali che $P$ sia primo, $P\sseq Q$ e $P\cap R=Q\cap R$, allora $P=Q$. Di conseguenza: la dimensione di $A$ non eccede quella di $R$. Inoltre: se $A$ è integro, $A$ è un campo se e solo se $R$ è un campo.

Introduzione agli anelli degli interi dei campi di numeri.

Esercizi proposti:

1. Estendere le proprietà di tipo aritmetico viste per gli ideali interi in un anello di Dedekind nella lezione 17 (come le formule di distributività tra somma, intersezione e moltiplicazione) al caso degli ideali frazionari ed al caso dei trasportatori. Cercare controesempi alle stesse formule nel caso di anelli (possibilmente domini di integrità unitari) non di Dedekind.
2. Dalle note: esercizio 9.C.4..

19 — 24/11

Il simbolo $Z_K$ indica l'anello degli interi (algebrici) di un campo di numeri $K$. Il gruppo additivo dei numero complessi algebrici è periodico modulo quello degli interi algebrici; di conseguenza $K$ è un campo ei quozienti di $Z_K$. Basi intere di $K$ e dimostrazione della loro esistenza; di conseguenza $Z_K$ è un anello di Dedekind. Discriminanti di basi e discriminante di $K$.

Descrizione degli anelli degli interi dei campi quadratici (cioè delle estensioni di grado due del campo razionale).

Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind. Senza dimostrazione: teoremi di Kummer e di Claborn sul gruppo delle classi degli anelli degli interi di un campo di numeri e di un anello di Dedekind arbitrario. Indicazioni sulla rilevanza del teorema di Kummer per applicazioni in teoria dei numeri.

Informazioni, senza dimostrazioni ma con inquadramento storico, sulle proprietà note (e le molte questioni non risolte) degli anelli di interi algebrici dei campi finiti, ed in particolare di quelli quadratici: fattorialità, numero delle classi, essere o meno euclideo, o in particolare con norma euclidea. La (rara) fattorialità degli anelli degli interi ciclotomici.

Esercizi proposti:

1. Calcolare una base intera ed il discrimante del campo quadratico $K=\Q[\sqrt d]$ nei casi $d=27$ e $d=-3$.

20 — 26/11

Ulteriori proprietà dell'anello degli interi di un campo di numeri. Il teorema degli invertibili di Dirichlet (senza dimostrazione). Come conseguenza: struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri. Norme di elementi di un campo di numeri e del suo anello degli interi. Norme e divisibilità; determinazione degli invertibili e condizioni di irriducibilità a partire dalle norme di elementi interi algebrici. Qualche esempio: invertibili in $\Z[i]$ e $\Z[\sqrt 2]$. Cenni all'equazione di Pell.

Norma di un ideale non nullo di un anello degli interi di un campo di numeri. Gli ideali principali non nulli hanno per norma il valore assoluto della norma di un loro generatore. Determinanti ed indice di sottogruppi in un gruppo abeliano libero di rango finito.

Un esempio di calcolo delle fattorizzazioni di ideali in prodotti di ideali primi, nell'anello $\Z[\sqrt{-5}]$ e dell'utilizzo di queste fattorizzazioni per descrivere i divisori di elementi dello stesso anello.

Esercizi proposti:

1. Stabilire per quali interi negativi $d$ liberi da quadrati l'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt d]$ ha elementi invertibili diversi da $1$ e $-1$; determinare questi invertibili.
2. Svolgere, dalle note, gli esercizi 13.C.4, 5, 6 e 13.D.1, 2, 3.

21 — 27/11

Ancora su anelli di interi quadratici: altri esempi di fattorizzazioni di ideali in prodotti di ideali primi, di determinazione di divisori di elementi, di calcoli nel gruppo delle classi.

Il lemma di Artin-Rees. Cenni ad algebre e moduli graduati.

Esercizi proposti:

1. Determinare tutte le fattorizzazioni di $4$ nell'anello degli interi di $\Q[\sqrt{-15}].

22 — 1/12

Il contenuto di questa lezione e delle successive non va inteso come parte integrale del programma del corso.

Una versione generale del teorema di Hamilton-Cayley per endomorfismi di moduli finitamente generati; qualche possibile utilizzo del risultato e della tecnica coinvolta (ad esempio: dimostrazione dell'hopficità dei moduli finitamente generati, ottenuta senza l'uso del lemma di Nakayama).

Solo per cenni: studio di endomorfismi di un modulo su un anello $R$ attraverso il prolungamento ad $R[x]$ dell'azione di modulo.

Altezza di un ideale primo. Per un numero intero positivo $n$, potenza simbolica $P^{(n)}$ di un ideale primo in un anello commutativo $R$. Proprietà essenziali: $P^(n)$ è il minimo ideale $P$-primario contenente $P^n$; se $(P^e)^n$ è finitamente generato e $P^{(n)}=P^{(n+1)}$, allora $P^{(n)}=0$; se $P^{(n)}=0$ allora $P$ ha altezza $0$ e $(P^e)^n=0$; se $P^{(n)}=P^{(n+1)}$ e $R_P$ è noetheriano si ha in aggiunta che $R_P$ è artiniano. Un esempio di calcolo di quadrato simbolico.

Esercizi proposti:

1. Discutere la terza potenza simbolica dell'ideale di cui in aula si è calcolata la seconda. L'esempio, già introdotto alla lezione nr. 8 è questo: posto $S=\Z[x,y,z]$ (anello di polinomi), $H=(xy-z^2)\n S$ e $R=S/H$, indicando con barre le immagini modulo $H$, il polinomio $P=(\bar y,\bar z)$ è primo in $R$, $P^2$ non è primario e $P^{(2)}=(\bar y)$. Verificare che $\bar y^2$ e $\bar y \bar z$ appartengono a $P^{(3)}$. Questo è piuttosto facile, con un po' di lavoro in più si può anche verificare che vale $P^{(3)}=(\bar y^2,\bar y \bar z)$.

23 — 4/12

Il contenuto di questa lezione e della successiva non vanno intesi come parte integrale del programma del corso.

I teoremi di Krull sulle altezze (Hauptidealsatz e sua versione generalizzata). Alcune conseguenze (gli ideali primi negli anelli commutativi noetheriani hanno altezza finita; gli anelli noetheriani semilocali hanno dimensione finita; se tra due ideali primi di un anello noetheriano è strettamente compreso un terzo ideale primo allora ce ne sono infiniti). Teorema inverso: in un anello commutativo noetheriano, ogni ideale primo di altezza un intero $n$ è primo minimale su un ideale $n$-generato. Controesempi ai teoremi di Krull in anelli di valutazione non noetheriani. Altezza di un ideale proprio arbitrario in anelli commutativi noetheriani.

Esempio (di Nagata) di un dominio di integrità unitario noetheriano di dimensione infinita.

Esercizi proposti:

1. In un anello di polinomi $K[x,y,z,t]$ su un campo $K$, calcolare le altezze degli ideali $(xy,z,t)$ e $(x,y)\cap(z,t)$.
2. Dalle note, esercizio 9.C.4. Dedurne che se $I$ e $J$ sono ideali di un anello commutativo unitario $R$ tali che, per ogni $M\maxid R$, le espansioni di $I$ e $J$ in $R_M$ coincidano, allora $I=J$.

24 — 5/12

Il contenuto di questa lezione non va inteso come parte integrale del programma del corso.

Il teorema going-up e la preservazione della dimensione in ampliamenti interi.

Una panoramica generale sulla nozione di completamento per anelli e moduli, senza dimostrazioni. Limiti inversi (e, in generale, limiti in categorie): cenni a proprietà funtoriali. Metodi di semplificazione della descrizione di un limite inverso. Condizioni di non trivialità per limiti inversi: teorema di Steenrod, condizione di Mittag-Leffler. Proprietà di esattezza per limiti inversi in categorie abeliane: sempre soddisfatta a sinistra, soddisfatta anche a destra per sistemi inversi su un insieme numerabile di indici e con il sistema inverso sulla sinistra che verifichi la condizione di Mittag-Leffler. Sistemi e limiti inversi definiti da filtrazioni numerabili in anelli e moduli; esattezza del corrispondente funtore complemento. Completamento $H$-adico rispetto ad un assegnato ideale; filtrazioni stabili. Rivisitazione del lemma di Artin-Rees e del teorema dell'intersezione di Krull in questo contesto. L'anello graduato associato ad un anello commutativo unitario e ad un suo ideale. Il completamento rispetto ad un ideale di un anello commutativo unitario è sempre noetheriano.