Calcolo delle Probabilità e
Statistica Matematica
(Anno Accademico 2000-01)
Docente: A. Buonocore
1.
Richiami di Algebra
Insiemi ed operazioni;
classi di insiemi; definizione di algebra e di sigma algebra; applicazioni e
funzioni; controimmagine di un insieme tramite una funzione.
2.
Elementi di Calcolo
Combinatorio
Principio fondamentale del
Calcolo Combinatorio; disposizioni con ripetizione e relativo teorema;
disposizioni semplici e relativo teorema; permutazioni semplici e con
ripetizione; combinazioni con ripetizione e relativo teorema; combinazioni
semplici e relativo teorema.
Applicazione alla meccanica
statistica: modelli di occupazione (statistica di Fermi-Dirac, statistica di
Bose-Einstein; statistica di Maxwell-Boltzmann.
3.
Concetti fondamentali della Teoria
delle Probabilità
Spazio campione di un
esperimento casuale; eventi; le varie definizioni di probabilità di un evento:
classica, frequentista, soggettiva (cenni); l'impostazione assiomatica;
conseguenze immediate degli assiomi; formula di inclusione esclusione
(dimostrazione casi n=2 e n=3); la diseguaglianza di Boole; eventi quasi certi
ed eventi quasi impossibili; indipendenza di eventi; probabilità condizionata;
formula delle alternative; teorema di Bayes.
4.
Variabili Casuali
Definizione di variabile
casuale semplice; funzione di ripartizione e relative proprietà; calcolo della
probabilità degli intervalli tramite la funzione di ripartizione; le variabili
casuali discrete: definizione e casi notevoli (di Bernoulli, binomiale, di
Poisson); le variabili casuali assolutamente continue: definizione e casi
notevoli (uniforme, esponenziale, di Gauss o normale); trasformazioni di
variabili casuali e relativi teoremi (dimostrazione solo del teorema di
misurabilità); le variabili casuali multiple; funzione di ripartizione
congiunta e relative proprietà; variabili casuali indipendenti; funzioni di
variabili casuali; le variabili casuali di interesse in statistica:
chi-quadrato; t-student; F-Fisher; gamma); definizione di quantile e uso delle
tavole statistiche.
5.
Momenti
Definizione generale di
momento; momenti rispetto all'origine; momenti rispetto alla media; relazioni
tra i due tipi di momenti (caso n=2, n=3, n=4); media e varianza di una
variabile casuale con relative proprietà; i coefficienti di simmetria e di
piccatezza (cenni); la funzione generatrice dei momenti e suo utilizzo per il
calcolo dei momenti.
6.
Risultati probabilistici di
particolare interesse in Statistica
La disuguaglianza di
Chebyshev; la legge debole dei grandi numeri; il teorema centrale di convergenza
(solo enunciato).
7.
Concetti introduttivi
all'Inferenza Statistica
I principali problemi della
Statistica; concetto di genitrice e di campione casuale; le statistiche; la
media campionaria; la varianza campionaria; i momenti campionari; espressione
della varianza campionaria in termini di momenti campionari; campioni da
genitrici normali: la distribuzione della media campionaria , la distribuzione
di (n-1)S2/s2; la distribuzione di (X-m)/ (S2/n)1/2;
la distribuzione di (S12/s 12) / (S22/s 22); altri esempi di
statistiche: il minimo e il massimo con relative distribuzioni.
8.
Stima di parametri
Introduzione; stima
puntuale; concetto di stimatore e di stima; correttezza, distorsione,
consistenza , asintotica consistenza di uno stimatore; consistenza dei momenti
campionari; costruzione degli stimatori: il metodo della massima
verosimiglianza ed il metodo dei momenti; stima intervallare: generalità e il
metodo del cardine.
9.
Test delle ipotesi
statistiche
Generalità; ipotesi
statistica e test delle ipotesi statistiche; errori di prima e seconda specie;
ampiezza e potenza di un test; test uniformemente più potenti; il lemma di
Neyman e Pearson (solo enunciato); il metodo del rapporto di verosimiglianze;
applicazioni: Z-test, t-Test, F-Test; il test chi-quadrato: formulazione
generica e casi particolari della bontà di adattamento e dell'indipendenza.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI (ad esclusivo titolo indicativo)
1) Appunti dalle lezioni.
2) Calcolo delle probabilità - S. LIPSCHUTZ - (collana Schaum's n°16) MCGRAW-HILL.
3) Probabilità e Statistica - M.R. SPIEGEL, J. SCHILLER, R.A. SRINIVASAN - (collana Schaum's n°98) MCGRAW-HILL .
4) Elementi di Statistica - A. DI CRESCENZO, L.R. RICCIARDI - (serie di matematica fisica n°15) LIGUORI EDITORE.
5) Esercizi di Calcolo delle probabilità - L.R. RICCIARDI, S. RINALDI - LIGUORI EDITORE.