Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

(Anno Accademico 2000-01)

Docente: A. Buonocore

 

1.      Richiami di Algebra

Insiemi ed operazioni; classi di insiemi; definizione di algebra e di sigma algebra; applicazioni e funzioni; controimmagine di un insieme tramite una funzione.

 

2.      Elementi di Calcolo Combinatorio

Principio fondamentale del Calcolo Combinatorio; disposizioni con ripetizione e relativo teorema; disposizioni semplici e relativo teorema; permutazioni semplici e con ripetizione; combinazioni con ripetizione e relativo teorema; combinazioni semplici e relativo teorema.

Applicazione alla meccanica statistica: modelli di occupazione (statistica di Fermi-Dirac, statistica di Bose-Einstein; statistica di Maxwell-Boltzmann.

 

3.      Concetti fondamentali della Teoria delle Probabilità

Spazio campione di un esperimento casuale; eventi; le varie definizioni di probabilità di un evento: classica, frequentista, soggettiva (cenni); l'impostazione assiomatica; conseguenze immediate degli assiomi; formula di inclusione esclusione (dimostrazione casi n=2 e n=3); la diseguaglianza di Boole; eventi quasi certi ed eventi quasi impossibili; indipendenza di eventi; probabilità condizionata; formula delle alternative; teorema di Bayes.

 

4.      Variabili Casuali

Definizione di variabile casuale semplice; funzione di ripartizione e relative proprietà; calcolo della probabilità degli intervalli tramite la funzione di ripartizione; le variabili casuali discrete: definizione e casi notevoli (di Bernoulli, binomiale, di Poisson); le variabili casuali assolutamente continue: definizione e casi notevoli (uniforme, esponenziale, di Gauss o normale); trasformazioni di variabili casuali e relativi teoremi (dimostrazione solo del teorema di misurabilità); le variabili casuali multiple; funzione di ripartizione congiunta e relative proprietà; variabili casuali indipendenti; funzioni di variabili casuali; le variabili casuali di interesse in statistica: chi-quadrato; t-student; F-Fisher; gamma); definizione di quantile e uso delle tavole statistiche.

 

5.      Momenti

Definizione generale di momento; momenti rispetto all'origine; momenti rispetto alla media; relazioni tra i due tipi di momenti (caso n=2, n=3, n=4); media e varianza di una variabile casuale con relative proprietà; i coefficienti di simmetria e di piccatezza (cenni); la funzione generatrice dei momenti e suo utilizzo per il calcolo dei momenti.

 

6.      Risultati probabilistici di particolare interesse in Statistica

La disuguaglianza di Chebyshev; la legge debole dei grandi numeri; il teorema centrale di convergenza (solo enunciato).

 

7.      Concetti introduttivi all'Inferenza Statistica

I principali problemi della Statistica; concetto di genitrice e di campione casuale; le statistiche; la media campionaria; la varianza campionaria; i momenti campionari; espressione della varianza campionaria in termini di momenti campionari; campioni da genitrici normali: la distribuzione della media campionaria , la distribuzione di (n-1)S2/s2; la distribuzione di (X-m)/ (S2/n)1/2; la distribuzione di (S12/s 12) / (S22/s 22); altri esempi di statistiche: il minimo e il massimo con relative distribuzioni.

 

8.      Stima di parametri

Introduzione; stima puntuale; concetto di stimatore e di stima; correttezza, distorsione, consistenza , asintotica consistenza di uno stimatore; consistenza dei momenti campionari; costruzione degli stimatori: il metodo della massima verosimiglianza ed il metodo dei momenti; stima intervallare: generalità e il metodo del cardine.

 

9.      Test delle ipotesi statistiche

Generalità; ipotesi statistica e test delle ipotesi statistiche; errori di prima e seconda specie; ampiezza e potenza di un test; test uniformemente più potenti; il lemma di Neyman e Pearson (solo enunciato); il metodo del rapporto di verosimiglianze; applicazioni: Z-test, t-Test, F-Test; il test chi-quadrato: formulazione generica e casi particolari della bontà di adattamento e dell'indipendenza.

 

 

 

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI  (ad esclusivo titolo indicativo)

 

1)       Appunti dalle lezioni.

2)       Calcolo delle probabilità - S. LIPSCHUTZ - (collana Schaum's n°16) MCGRAW-HILL.

3)       Probabilità e Statistica - M.R. SPIEGEL, J. SCHILLER, R.A. SRINIVASAN - (collana Schaum's n°98) MCGRAW-HILL .

4)       Elementi di Statistica - A. DI CRESCENZO, L.R. RICCIARDI - (serie di matematica  fisica n°15) LIGUORI EDITORE.

5)       Esercizi di Calcolo delle probabilità - L.R. RICCIARDI, S. RINALDI - LIGUORI EDITORE.