Anno Accademico 1998-99
Programma corso Istituzioni di Analisi Superiore
Indirizzo Generale

Titolare: Vittorio Coti Zelati

1  Analisi Reale

1.1  Spazi misurabili e Misure astratte

Le definizioni e le principali proprietà delle s-algebre, dei borelliani e delle misure astratte. (§ 2.1 e 2.2 degli appunti)

1.2  La misura di Lebesgue su Rn

Misura esterna di un sottoinsieme di Rn (§ 3.2 degli appunti), Insiemi misurabili secondo Lebesgue (§ 3.3 e 3.4-fino al teorema 3.4.4 escluso-degli appunti). Insiemi di misura nulla (§ 3.5-escluso la dimostrazione del teorema 3.5.3-degli appunti). Insiemi non misurabili (§ 3.7 degli appunti).

1.3  Funzioni misurabili

Definizione di funzione misurabile e misurabile secondo Borel (§ 4.1 degli appunti). Misurabilità della somma, del prodotto del supfn etc. (§ 4.2 degli appunti). Approssimazione mediante funzioni semplici (Teorema 4.3.2). Approssimazione mediante funzioni continue (teorema di Lusin) (§ 4.3 degli appunti, dal lemma 4.3.6 al corollario 4.3.12 incluso).

1.4  Integrazione

Integrazione di funzioni positive (§ 5.1 degli appunti). Teorema della convergenza monotona(§ 5.2-sino al teorema 5.2.5 incluso-degli appunti) e lemma di Fatou(§ 5.3 degli appunti). Integrazione di funzioni complesse (§ 5.4 degli appunti), teorema della convergenza dominata di Lebesgue(§ 5.5-saltando l'osservazione 5.5.2 e la dimostrazione del teorema 5.5.6 di Vitali-Carathéodory-degli appunti). Legame fra integrazione secondo Riemann e secondo Lebesgue (§ 5.6 degli appunti). Molti di questi argomenti si possono anche trovare sul capitolo 1 del Rudin.

1.5  Spazi Lp

Diseguaglianza di Jensen, di Hölder e di Minkowski. Spazi Lp(m): completezza, legame fra convergenza Lp e puntuale. Densità delle funzioni continue in Lp, 1 £ p < €. (Capitolo 3 del Rudin, tranne il teorema 3.17)

1.6  Spazi di Hilbert

Definizione degli spazi di Hilbert; diseguaglianza di Schwartz e triangolare, ortogonalità. Esistenza della proiezione su di un convesso chiuso e i proiettori associati ai sottospazi chiusi. Caratterizzazione dei funzionali lineari. Insiemi ortonormali: diseguaglianza di Bessel, teorema di Riesz-Fischer. Esistenza di insiemi ortonormali massimali. Serie di Fourier in L2(-p, p). (Capitolo 4 del Rudin).

1.7  Spazi di Banach

Definizione di spazio di Banach. Operatori lineari in spazi di Banach. Teorema di Baire, di Banach-Steinhaus, dell'applicazione aperta e di Hahn-Banach. Teorema di Riemann-Lebesgue. (Capitolo 5 del Rudin, tranne la sezione sulle serie di Fourier di funzioni continue e la sezione sull'integrale di Poisson) Convergenza puntuale delle serie di Fourier (appunti del corso o [4]).

1.8  Misure complesse

Definizione di misura complessa. La misura variazione totale. Il teorema di Radon-Nikodym. Funzionali lineari limitati su Lp (solo enunciato). (Capitolo 6 del Rudin, tranne: la dimostrazione del teorema 6.13 e la sezione sul teorema della rappresentazione di Riesz. Il teorema 6.16 va dimostrato solo nel caso p = 1).

1.9  Integrazione su spazi prodotto

La s-algebra S ×M. Misure prodotto. Teorema di Fubini. Convoluzioni. (Capitolo 7 del Rudin, senza la dimostrazione del teorema 7.3 e senza le dimostrazioni nella sezione sul completamento di misure prodotto)

1.10  Differenziazione

Differenziabilità di misure. Teorema sulla Differenziabilità di misure di Borel . Insieme di Lebesgue di una funzione in L1(Rk). Funzioni a variazione limitata e loro legame con le misure di Borel su R. Funzioni assolutamente continue. Teorema fondamentale del calcolo integrale. (Capitolo 8 del Rudin, tranne: le dimostrazioni prima del teorema 8.8, i teoremi 8.9 e 8.11, la dimostrazione del teorema 8.14 e tutto ciò che segue l'esempio 8.20)

1.11  Trasformate di Fourier

Trasformate di Fourier in L1(R): definizione e proprietà. Il teorema di inversione. Trasformate di Fourier in L2(R): il teorema di Plancherel. (Capitolo 9 del Rudin, fino alla sezione 9.16, escludendo le dimostrazioni dei teoremi 9.2, 9.10 e 9.13)

2  Analisi Complessa

2.1  Funzioni olomorfe

Definizione, serie di potenze. Integrazione su cammini: l'indice di un cammino chiuso, il teorema di Cauchy. Rappresentazione mediante serie di potenze. Classificazione delle singolarità. Teoremi di Liouville, del massimo modulo e la diseguaglianza di Cauchy. I residui e applicazioni: teorema di Rouché e teorema fondamentale dell'algebra. (Capitolo 10 del Rudin: tutto prima della definizione 10.26, dimostrazione dei teoremi 10.29 e 10.30, enunciato dei teoremi 10.31, 10.35 e 10.36)

Testi Consigliati

[1]
E. Hewitt and K. Stromberg, Real and abstract analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1965.
[2]
E. H. Lieb and M. Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, no. 14, American Mathematical Society, 1997.
[3]
W. Rudin, Analisi reale e complessa, Bollati Borenghieri, Torino, 1966.
[4]
W. Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill, Milano, 1991.
[5]
R. L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and integral, Marcel Dekker, New York, 1977.