Si definisce quadrica ogni superficie luogo di punti dello spazio le cui coordinate soddisfano un’equazione di secondo grado, in tre variabili. La sezione di una quadrica F con un piano p risulta essere una conica G. Supposto p reale, si possono presentare 3 casi:

1. G è totalmente immaginaria e p si dice esterno
2. G è reale e non degenere p si dice secante
3. G è degenere e allora p risulta tangente

   I piani tangenti ad una quadrica non degenere F sono tutti e soli quelli che tagliano la F secondo una conica spezzata in due rette, necessariamente distinte. Se ne deduce che da ogni punto Q di una quadrica escono due rette (distinte o coincidenti) che stanno sulla quadrica stessa. A seconda che quelle due rette siano reali e distinte, o coincidenti, o immaginarie coniugate, il punto Q si dice rispettivamente iperbolico, parabolico o ellittico.

   Ora consideriamo la F reale e non degenere e p immaginario. Si presentano i seguenti casi: la G è non degenere e possiede due punti reali; la G è totalmente immaginaria non degenere; la G è spezzata in 2 rette distinte, ambedue immaginarie, oppure una reale e l’altra immaginaria. Nel terzo di questi casi p è ancora tangente all F, nei primi due può riguardarsi, rispettivamente, come secante o esterno.

   In generale tutti i punti reali di una quadrica sono dello stesso tipo. Per questa proprietà le quadriche (reali) vengono classificate in tre famiglie, a seconda della natura dei loro punti. I coni e i cilindri appartengono alle quadriche a punti parabolici.. Le non degeneri si ripartiscono in quadriche a punti ellittici o non rigate, e in quadriche a punti iperbolici o rigate. Le quadriche a punti ellittici prendono il nome di ellissoidi, di iperboloidi a due falde e di paraboloidi ellittici.

   Se si taglia una quadrica F con il piano all’infinito, si ottiene una sezione conica che indichiamo con C. A seconda del loro modo di comportarsi rispetto al piano dell’infinito, le quadriche offrono diverse caratteristiche che ne permettono una classificazione metrica.

   C può dar luogo ai seguenti casi:

1. è totalmente immaginaria
2. è reale e non degenere
3. è degenere

   Quando F è non degenere e C è totalmente immaginaria, se F è immaginaria si ha un ellissoide immaginario, altrimenti si ha l’ellissoide reale. Se C è reale e non degenere, alla quadrica F si dà il nome di iperboloide, che può essere a punti iperbolici (iperboloide iperbolico o ad una falda), o a punti ellittici (iperboloide ellittico o a due falde).

   Quando C è degenere e F è non degenere, F risulta tangente al piano all’infinito. Se C è spezzata in 2 rette reali e distinti, ottengo un paraboloide iperbolico o a sella; se invece C è costituita da 2 rette immaginarie coniugate, ottengo il paraboloide ellittico.

   Nel caso in cui C è degenere, abbiamo un cilindro che può essere iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che la C è rispettivamente degenere in 2 rette reali distinte, coincidenti o immaginarie.