Corso di Laurea in Biologia Generale ed Applicata Corso di Matematica (gr. III - doc. Simoncelli) a.a. 2001/02

Appunti dalla lezione del 13/11/2001 (n.3)

1. Derivabilitá ⇒ continuitá

Dimostreremo che se una funzione reale di variabile reale f(x) é derivabile nel punto x_{0} essa é anche continua in x_{0}, utilizzando la definizione di limite e la nota proprietá del valore assoluto :

y ∈ ] a, b [ ⇒ | y | < M ( = max{ | a |, | b | }). (1.1)

Ricordiamo che in generale non é vero il vice-versa, nel senso che esistono funzioni continue in un punto ma non derivabili in quel punto (l’esempio piú noto é dato dalla stessa funzione valore assoluto, che risulta continua, ma non derivabile, in x_{0} = 0 ).

Sia, dunque, f(x) derivabile in x_{0}. Ció vuol dire (per definizione) che esiste ed é finito il limite del rapporto incrementale della f relativo al punto x_{0}, cioé che

(1.2)  ∃ lim_{Δx→0} R(Δx) = lim_{Δx→0} \frac{f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})}{Δx} = f′(x_{0}) ∈ R

e quindi ( per definizione di limite ) comunque si scelga un intorno del \underline{numero} f′(x_{0}), ad esempio l’intorno circolare di semidimensione ε

(1.3)  I_{ε}(f′(x_{0})) = ] (f′(x_{0}) − ε) , (f′(x_{0}) + ε) [ ,

esiste un corrispondente intorno circolare dello zero

(1.4)  I_{δ_{ε}}(0) = ] − δ_{ε} , δ_{ε} [

tale che

(1.5)  ∀ Δx ∈ I_{δ_{ε}}(0) , R(Δx) ∈ I_{ε}(f′(x_{0})).

Utilizzando delle diseguaglianze la (1.5) si puó scrivere :

∀ ε ∈ R^{+} ∃ δ_{ε} ∈ R^{+} : −δ_{ε} < Δx < δ_{ε} ⇒ (f′(x_{0}) − ε) < R(Δx) < (f′(x_{0}) + ε).

Il che fornisce, se si applica la formula (1.1), e si pone

(1.6)  M = max { |f′(x_{0}) − ε| , |f′(x_{0}) + ε| },

la seguente relazione

(1.7)  ∀ ε ∈ R^{+} ∃ δ_{ε} ∈ R^{+} : −δ_{ε} < Δx < δ_{ε} ⇒ |R(Δx)| < M,

come si vede subito se si applica la formula (1.1) con a = (f′(x_{0})−ε) , b = (f′(x_{0})+ε) , ed y = R(Δx).

D’altro canto risulta (dalla definizione del rapporto incrementale, e dalle proprietá del valore assoluto)

(1.8)  |R(Δx)| = |\frac{f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})}{Δx}| = \frac{|f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})|}{|Δx |}

quindi

(1.9)  |R(Δx)| < M ⇔ |f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})| < M |Δx|.

Ricapitolando, se f(x) é derivabile in x_{0}

(1.10) ∀ ε ∈ R^{+} ∃ δ_{ε} ∈ R^{+} : |Δx| < δ_{ε} ⇒ |f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})| < M |Δx| .

Ora, per poter asserire che f(x) é continua in x_{0} bisogna provare che vale la relazione

lim_{x→x_{0}} f(x) = f(x_{0})

ovvero la relazione

lim_{Δx→0} f(x_{0} + Δx) = f(x_{0})

che é equivalente alla precedente, come si vede subito indicando con Δx la differenza x − x_{0} ed esprimendo x nella forma x = x_{0} + Δ x.

Dal momento che f(x_{0}) é costante rispetto a Δx, quest’ ultima relazione equivale a sua volta alla seguente

lim_{Δx→ 0} [ f(x_{0} + Δx) − f(x_{0}) ] = 0 ,

che é vera se e solo se (ricordiamo la definizione di limite)

(1.11)  ∀ ε ∈ R^{+} ∃ θ_{ε} ∈ R^{+} : |Δx| < θ_{ε} ⇒ | f(x_{0} + Δx) − f(x_{0}) | < ε .

Ebbene, fissato arbitrariamente ε > 0 , si puó scegliere

θ_{ε} = min{ δ_{ε} , ε/M }

dove δ_{ε} ed M sono i valori definiti dalle relazioni (1.6) e (1.10) citate prima. Con tale scelta si avrá, in base alla (1.10):

|Δx| < θ_{ε} ≤ δ_{ε} ⇒ |f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})| < M |Δx| < M θ_{ε} ≤ M \frac{ε}{M} = ε

e la relazione (1.11) é soddisfatta. c.v.d.

2. Una dimostrazione alternativa

Una dimostrazione solo formalmente diversa é la seguente, apparentemente molto piú ”veloce” in quanto utilizza il simbolo di limite senza esplicitarne il significato in termini di intorni. (N.B. Si utilizza la proprietá in base alla quale il limite del prodotto di due funzioni regolari é uguale al prodotto dei limiti dei fattori se quest’ultimo non da luogo ad una forma indeterminata).

Se f(x) é derivabile in x_{0}

∃ lim_{Δx→ 0} R(Δx) = lim_{Δx→ 0} \frac{f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})}{Δx} = f′(x_{0}) ∈ R.

Allora risulta

lim_{Δx→ 0} ( f(x_{0} + Δx) − f(x_{0}) ) = lim_{Δx→ 0} \frac{f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})}{Δx} Δx =

= ( lim_{Δx→ 0} \frac{f(x_{0} + Δx) − f(x_{0})}{Δx} ) · ( lim_{Δx→ 0} Δx ) = f′(x_{0}) · 0 = 0

E quindi

(2.1)  lim_{Δx→ 0} f(x_{0} + Δx) = f(x_{0}).

Pertanto f(x) é continua in x_{0} .

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