UNIVERSITA'  FEDERICO II -NAPOLI - Facoltà di Scienze M.F.N.
Corso di laurea in : Scienze Biologiche II
Programma di : Istituzioni di  Matematiche - III gruppo 
prof. A.C. Simoncelli -  anno acc.co: 2000 /2001

Rudimenti di calcolo delle proposizioni e di teoria degli insiemi : Uso dei simboli logici fondamentali e del concetto di implicazione. Concetti base della teoria degli insiemi e relativa notazione. Relazioni tra gli elementi di un insieme: definizione di relazione d'ordine e di insieme ordinato. Estremi, insiemi limitati ed illimitati, massimo e minimo. Prodotto cartesiano di insiemi ed insieme potenza di un insieme dato. Relazioni tra insiemi: corrispondenze, funzioni, funzioni composte, invertibili, inverse, restrizione e prolungamento, funzioni monotòne tra insiemi ordinati. Insiemi finiti ed infiniti.

Gli insiemi numerici fondamentali : N, Z ,Q ,R. Riferimento cartesiano della retta. Intervalli, intorni, punti di accumulazione in R. Il teorema di Bolzano(dim). Insiemi chiusi. Chiusura di R. Riferimento cartesiano del piano e dello spazio a tre dimensioni. Il campo complesso C. Diverse rappresentazioni dei numeri complessi. Polinomi ed equazioni algebriche in C.
Elementi di calcolo combinatorio e di calcolo delle probabilità: Fattoriale, coefficiente binomiale e loro proprietà. Formula di Newton per la potenza di un binomio. Numero combinazioni, disposizioni, permutazioni di un numero finito di oggetti. Spazio campione, eventi, probabilità discreta. Risoluzione di semplici problemi combinatori e di calcolo della probabilità a priori.
Successioni e serie di numeri reali : Definizione di successione come funzione. e definizione per ricorrenza. Definizione e proprietà del limite di una successione regolare. Successioni infinitesime. Teorema di unicità del limite (dim). Successioni limitate. Limitatezza dell' insieme dei termini di una successione convergente (dim). Teorema della permanenza del segno e lemma relativo (dim). Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Teoremi del confronto, teorema dei due carabinieri ed applicazioni. Limite della media aritmetica e della media geometrica ed applicazioni. Calcolo di limiti notevoli ( limite del rapporto tra due polinomi, limite della radice n-ma di n, limite del rapporto log(n) / n, ecc.). Concetto di sottosuccessione e limite di un sottosuccessione di una successione regolare. Definizione e calcolo del numero di Nepero e. Criterio del rapporto ed applicazioni (confronto tra successioni divergenti). Definizione di serie numerica e della relativa somma. Operazioni con le serie. Limite del termine generale di una serie convergente. La serie armonica. La serie geometrica di ragione h.
Funzioni reali di variabile reale : Terminologia e proprietà generali. Grafico. Definizione, proprietà e grafico delle seguenti funzioni elementari : funzione identica, valore assoluto, signum, funzioni lineari, potenza n-ma, radice n-ma, esponenziale, logaritmo, potenza ad esponente reale, funzioni trigonometriche e le loro inverse. Risoluzione di disequazioni e sistemi di disequazioni in R. Ricerca dell' insieme di definizione di una funzione composta, e dei punti di accumulazione di questo. Limiti di funzioni e loro proprietà: teoremi di unicità, permanenza del segno, confronto (senza dim.). Limite destro e limite sinistro (comportamento delle funzioni 1/x ed 1/(x-a) ). Continuità in un punto. Esempi di funzioni discontinue. Tipi di discontinuità. Proprietà delle funzioni continue in un intervallo: teorema di Weiestrass (senza dimostrazione), Teorema degli zeri (dim.) ed insieme dei valori assunti da una funzione continua in un intervallo chiso (dim). Funzione derivata
e suo significato geometrico. Relazione tra derivabilità e continuità (dim.). Regole di derivazione (linearità dell'operatore di derivazione, derivata della funzione prodotto, del rapporto, della funzione composta). Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. Massimi e minimi assoluti e relativi. Teorema di Fermat sul valore della derivata in un punto estremale. Teoremi di Rolle e di Lagrange e conseguenze, monotonia in un intervallo, relazione con il segno della derivata, funzioni a derivata nulla in un intervallo (tutti con dim.). Studio sistematico del grafico di una funzione, compreso lo studio di concavità, convessità, flessi, asintoti. Risoluzione di semplici problemi di massimo/minimo.
Integrali. L'integrale definito, definizione e proprietà (additività, distributività, teorema della media). Area del rettangoloide. Nozione di funzione primitiva e relative proprietà. La funzione integrale. Il teorema fondamentale del calcolo integrale (dim). L'integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Linearità dell'operatore di integrazione. Regole di integrazione indefinita (per decomposizione in somma o altre semplici trasformazioni della funzione integranda, per parti, per sostituzione della variabile d'integrazione). Calcolo dell'integrale definito mediante la formula fondamentale del calcolo integrale (dim.).
Calcolo di aree. Cenni sui metodi numerici per il calcolo dell'integrale definito (metodo dei trapezi e formula di Bezout).
Algebra lineare. Lo spazio vettoriale Rn(+,·). Prodotto scalare in Rn. Ortogonaltà tra vettori. Base canonica di Rn. Matrici. Operazioni sulle matrici. Matrici notevoli. Matrice trasposta. Determinante di una matrice quadrata : definizione, proprietà e metodi per calcolarlo. Matrici invertibili. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari di n equazioni in m incognite. Enunciato del teorema di Rouché-Capelli. Calcolo della soluzione di un sistema compatibile e determinato con la regola di Cramer e con il metodo di eliminazione di Gauss. Determinazione dell'insieme delle soluzioni di un sistema compatibile ma non determinato.

Testi di riferimento: Insieme agli appunti dalle lezioni, potranno utilmente essere consultati i seguenti testi :
1) Alvino-Trombetti, Elementi di Matematica I ( Liguori -NA) ;
2) Marcellini-Sbordone, Calcolo ( Liguori -Na)
3) Barozzi, Primo corso di Analisi Matemarica ( Zanichelli -Bo)
Per gli esercizi : Alvino-Carbone-Trombetti,  Esercitazioni di Matematica vol I ( parti 1 e II) ( Liguori - Na)

Prova d'esame: L' esame consta di una prova scritta e di una parte orale.
Di regola sono ammessi a sostenere la prova orale solo i candidati che abbiano riportato un voto superiore a 15/30 nella prova scritta. Sia la prova scritta che il colloquio orale vertono su tutto il programma svolto. Sarà richiesto di rispondere a domande specifiche e di svolgere esercizi utilizzando le tecniche apprese durante le lezioni, le esercitazioni e le prove intercorso.