Corso di Laurea in Biologia Generale ed Applicata (gr. III) Corso di Matematica - Prof. Simoncelli - a.a. 2001/02 Complementi alla lezione del 13/11/2001

1. Utili proprietá della funzione \underline{valore assoluto} di x

La funzione reale di variabile reale denominata valore assoluto di x ed indicata con il simbolo | x | é definita dalla seguente regola :

(1.1)  | x | = \{ \begin{matrix}x & se x ≥ 0 , \\ −x & se x < 0 . \end{matrix}

Da questa definizione si vede subito ( e guardando il grafico di y(x) = |x| risulta ancor piú evidente ) che

(1.2)  ∀ α ≥ 0 ,  x ∈ [−α , α] ⇔ −α ≤ x ≤ α ⇔ | x | ≤ α .

Inoltre é anche evidente che

(1.3)  ∀ x ∈ R , − | x | ≤ x ≤ | x | ,

in particolare, se x < 0 vale il segno di uguaglianza nella disuguaglianza non stretta di sinistra, e se x > 0 é la diseguaglianza a destra ad essere di fatto una uguaglianza.

Usando le proprietá (1.2) ed (1.3) si ricava facilmente la ben nota proprietá del valore assoluto che prende il nome di diseguaglianza trianglare. La proprietá di diseguaglianza triangolare si enuncia dicendo che il valore assoluto della somma di due numeri reali é minore o uguale della somma dei valori assoluti degli addendi, e si esprime in formula nel modo seguente:

(1.4)  ∀ a, b ∈ R,  | a + b | ≤ | a | + | b |

Tale formula si puó ricavare facilmente per esempio scrivendo la (1.3) sia per x = a che per x = b e sommando membro a membro le relazioni ottenute, cosí da avere

(1.5)  −( |a| + |b|) ≤ a + b ≤ | a | + | b | .

Quest’ ultima relazione in base alla formula (1.2) ( scritta per x = a + b ed α = |a| + |b| > 0 ) ci da, appunto la (1.4).

La diseguaglianza triangolare si estende facilmente alla somma di un numero qualsiasi di addendi. Nel caso generale si enuncia dicendo il valore assoluto della somma di n addedi (dove n ≥ 2) é minore della somma dei relativi valori assoluti, e scrivendo

(1.6)  | ∑_{i=1}^{n} a_{i} | ≤ ∑_{i=1}^{n} | a_{i} | .

In fine, per il valore assoluto della differenza di due numeri reali vale una formula analoga alla (1.4), cioé una diseguaglianza che che lega questo valore ai valori assoluti del minuendo e del sottraendo, ed é la seguente:

(1.7)  ∀ a, b ∈ R,  | | a | − | b | | ≤ | a − b |.

La formula (1.7) puó essere ricavata, con opportuni passaggi, dalla (1.4).

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