Cutolo Piano Lauree Scientifiche

$ \let\vuoto\varnothing \let\setminus\smallsetminus \let\iso\simeq \let\n\triangleleft \let\implica\Rightarrow \let\Implica\Longrightarrow \let\shiff\Leftrightarrow \let\immersione\hookrightarrow \let\epi\twoheadrightarrow \let\mono\rightarrowtail \let\ot\otimes \newcommand\set[1]{\{#1\}} \newcommand\P{{\mathscr P}} \newcommand\U{{\mathscr U}} \newcommand\I{{\mathcal I}} \newcommand\F{{\mathcal F}} % \newcommand\Pf{{\P_{\mbox{\small\textbf {fin}}}}} \newcommand\Pf{{\P_{\text{fin}}}} \newcommand\N{\mathbb N} \newcommand\Z{\mathbb Z} \newcommand\Q{\mathbb Q} \newcommand\R{\mathbb R} \newcommand\C{\mathbb C} \newcommand\S{\mathbb S} \newcommand\Pr{\mathbb P} \newcommand\ds{\mathbin{\scriptstyle\triangle}} \newcommand\xor{\mathbin{\mathsf{XOR}}} \newcommand\nor{\mathbin{\mathsf{NOR}}} \newcommand\nand{\mathbin{\mathsf{NAND}}} \newcommand\gen[1]{\langle#1\rangle} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\rest}{rest} \DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} \DeclareMathOperator{\Div}{Div} \DeclareMathOperator{\Corr}{Corr} \DeclareMathOperator{\Rel}{Rel} \DeclareMathOperator{\Map}{Map} \DeclareMathOperator{\Eq}{Eq} \DeclareMathOperator{\Part}{Part} \DeclareMathOperator{\partz}{Partz} \DeclareMathOperator{\OS}{OS} \DeclareMathOperator{\OL}{OL} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \DeclareMathOperator{\jac}{Jac} \DeclareMathOperator{\nrad}{NilRad} \DeclareMathOperator{\ann}{Ann} \DeclareMathOperator{\ass}{Ass} \DeclareMathOperator{\Min}{Min} \DeclareMathOperator{\minor}{Minor} \DeclareMathOperator{\maggior}{Maggior} \DeclareMathOperator{\var}{Var} \DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \DeclareMathOperator{\car}{char} \DeclareMathOperator{\cd}{cd} \newcommand\Mod{{\mathcal{Mod}}} % \DeclareRobustCommand {\modbin}{\mathbin{\textrm {mod}}} \newcommand\modbin {\mathbin{\textrm {mod}}} \newcommand\antivec[2] {#1^{\raise #2pt\hbox{$\!\!\scriptstyle\leftarrow\!\!$}}} \newcommand\antivecf{\antivec f3} \newcommand\antivecv{v^{\raise 1.2pt\hbox{$\!\!\!\scriptstyle\leftarrow\!\!$}}} \newcommand\antivecg{g^{\raise 2pt\hbox{$\!\!\!\scriptstyle\leftarrow\!\!$}}} \newcommand\vecvuoto {\vec{\phantom{p}}} \newcommand\antivecvuoto{\,\antivec {{}}{2}} % \newcommand\antivecvuoto{{}^{\raise 2pt\hbox{$\scriptstyle\leftarrow\!\!$}}} \newcommand\maxid{\mathbin{{\n}{\cdot}}} \let\sseq\subseteq $

PLS 2018: idee per il progetto finale

Sono qui proposti alcuni argomenti che potrebbero essere adatti ad un lavoro per il progetto finale.

  • Argomenti di tipo teorico in aritmetica modulare. Tra questi ci sono:
    • l'algoritmo euclideo per la ricerca del massimo comun divisore e la sua estensione per la risoluzione di equazioni diofantee di primo grado (o, equivalentemente, di equazioni congruenziali di primo grado). Questo algoritmo offre una dimostrazione costruttiva del teorema di Bézout. Un suo caso particolare è il metodo che permette il calcolo di inversi in aritmetica modulare, che ha, come abbiamo visto nell'ultimo incontro, grandissima importanza per i protocolli crittografici moderni.
    • il teorema cinese dei resti, magari con un'applicazione al calcolo della funzione di Eulero.
    Esistono tantissime semplici applicazioni di questi strumenti matematici, qualcuna delle quali potrebbe essere aggiunta alla discussione (come si fa, dall'antichità, a prevedere le eclissi lunari?, come facciamo, con una bilancia a due piatti, a misurare un peso di 17 grammi avendo a disposizione solo pesi di 10 e di 31 grammi? E cosa succede se i secondi pesi sono di 32 grammi anziché di 31? … E molte altre possibili idee.)
  • Altre applicazioni (non crittografiche) dell'aritmetica modulare:
    • Nel mio articolo Una introduzione all'aritmetica modulare è descritto un metodo per la compilazione del un calendario di un torneo.
    • I numeri di Fermat sono quelli della forma $F_n=1+2^{2^n}$, dove $n$ è un numero intero non negativo. Intorno al 1650, avendo osservato che i primi cinque di essi (da $F_0=3$ a $F_4=2^{16}+1=65537$) sono numeri primi, Fermat congetturò che tutti questi numeri sono primi. Purtroppo non è così: se ne accorse per primo Eulero, che nel 1732 mostrò che $F_5=4294967297$ non è primo. Usando un minimo di aritmetica modulare, siete in grado di arrivare alla stessa conclusione impiegando molto meno di ottanta anni. Si può leggere qui come fare.
      Un famoso teorema di Gauss lega i numeri di Fermat al problema della disegnabilità con riga e compasso dei poligoni regolari. Ad esempio, quello che abbiamo scritto sopra su $F_4$ e $F_5$ ha per conseguenza che è possibie disegnare con riga e compasso un poligono regolare di 65537 lati, ma non uno di 4294967297 lati. Altre (tante) informazioni sui numeriin di Fermat sono, ad esempio, in questo articolo, scritto in tono estremamente divulgativo (e in inglese; apparentemente da una studentessa).
  • Crittografia e protocolli crittografici. Qui si può scegliere di fare una discussione generale sulla crittografia (anche con una introduzione storica), oppure di focalizzarsi su qualche protocollo specifico da trattare in maggior dettaglio, da scegliere tra quelli discussi in aula (come RSA) o tra altri (come il protocollo ElGamal, comunque descritto nella presentazione che abbiamo utilizzato). La descrizione potrebbe essere accompagnata da qualche esempio. Di materiale utilizzabile ce ne è tantissimo, anche disponibile in rete; qualche spunto può essere tratto da questo mio articolo.
  • Un'altra possibilità: decifrazione di un crittogramma non banalissimo, ad esempio ci sono questi crittogrami di Vigenère che si potrebbero utilizzare. Il metodo di decifrazione lo abbiamo discusso nell'incontro del 21 febbraio (il 'secondo incontro' di cui alla pagina non è riferito a quest'anno).
  • Se mi viene in mente altro, allungo questa lista …