Nel secondo incontro abbiamo rapidamente discusso la
possibilità di realizzare una versione moltiplicativa della
cifratura di Cesare. Il sistema di cifratura dovrebbe consistere nello
scegliere una classe di resto $a$ modulo 26 ed applicare, ad ogni lettera del messaggio, la funzione
“moltiplicazione per $a$”, laddove per la cifratura di Cesare avremmo
utilizzato la funzione “addizione per $a$”. Esprimendoci in modo più
preciso, ogni lettera verrebbe trasformata in questo modo:
si considera la classe di resto modulo 26 corrispondente alla
lettera (che si può leggere dalla tabella di destra nella
pagina con la tabula recta);
si applica a questa classe di resto la funzione $m_a\colon
x\in\Z_{26}\mapsto ax\in\Z_{26}$, la funzione cioè che ad ogni
classe di resto modulo 26 associa il prodotto tra questa classe
ed $a$, e infine si converte la classe di resto così
ottenuta in una lettera, usando ancora la tabella in tabula recta. Ad esempio, scegliendo come
$a$ la classe di resto di 8, la lettera G, che corrisponde alla
classe di resto di 6, verrebbe trasformata in W, perché
l'mmagine mediante $m_8$ della classe di $6$ è la
classe di resto di $6\cdot 8=48$, cioè quella di $22$ (dal
momento che $48\equiv_{26}22$), e, in accordo con la tabella, alla
classe di resto di 22 modulo 26 corrisponde proprio W.
Benissimo, quello che abbiamo visto in aula è che, anche
prescindendo dal caso banale in cui $a$ è la classe di resto di
zero modulo 26, questo procedimento non fornisce sempre un
sistema crittografico, perché, ad esempio, la funzione $m_2$
non è iniettiva (le classi di 0 e di 13 modulo 26 hanno
la stessa immagine; questo è vero anche nel caso della funzione
$m_8$ a cui era riferito l'esempio nel paragrafo precedente).
L'esercizio consiste in:
- Decidere se, utilizzando come $a$ la classe di resto di 3
modulo 26, si può ottenere un sistema crittografico.
In altri termini: la funzione $m_3$ (che ad ogni classe di resto
in $\Z_{26}$ associa il suo triplo) è iniettiva? Nel caso
lo sia, qual è la funzione da $\Z_{26}$ a
$\Z_{26}$ che può essere usata per la procedura di
decifrazione? (Suggerimento: cercare tra le funzioni di tipo
$m_a$ descritte sopra).
Ripetere questa parte dell'esercizio sostituendo la classe
di 4 a quella di 3, partendo dunque dallo studio della
funzione $m_4$.
- Anche quando il nostro “cifrario moltiplicativo di Cesare” è
possibile, esso ha (oltre alla debolezza comune tutti i cifrari
per permutazione monoalfabetica) un difetto evidentissimo: indipendentemente dalla
chiave usata (la classe di resto $a$), la lettera A, che
corrisponde alla classe di zero, viene sempre
sostituita con se stessa. Un possibile rimedio è quello di
mettere insieme una cifratura di Cesare moltiplicativa con una cifratura di Cesare
propriamente detta. Questo tipo di cifratura si ottiene
utilizzando, al posto di una funzione di tipo $m_a$, una funzione
$m_{ab}\colon x\in\Z_{26}\mapsto ax+b\in\Z_{26}$, dove $a$ e $b$
sono classi di resto modulo 26 ed $a$ è scelta in modo
opportuno. Provare che una tale funzione $m_{ab}$ si può
descrivere come composta tra la funzione $m_a$ (da eseguire per
prima) e la funzione di “addizione per $b$”: $x\in\Z_{26}\mapsto x+b\in\Z_{26}$,
da eseguire per seconda. Provare poi che se $m_a$ è
iniettiva allora anche $m_{ab}$ lo è, e quindi si
può utilizzare per ottenere un sistema crittografico (che
possiamo chiamare “cifrario affine di Cesare”).
Volendo, provare anche il viceversa: se $m_{ab}$ è
iniettiva allora anche $m_{a}$ è iniettiva. Infine, dando
per noto (o, se pieni di buona volontà, avendo verificato
– se si è svolta la parte precedente dell'esercizio
non sono necessari ulteriori calcoli)
che $m_9$ è iniettiva e quindi biettiva, considerare il cifrario affine di Cesare
la cui funzione di cifratura è descritta da $m_{9,2}$ e:
- cifrare la frase: “questo esercizio è troppo
lungo”.
- descrivere la corrispondente funzione di decifrazione
(è ancora descritta da una funzione di tipo $m_{ab}$
con $a$ e $b$ in $\Z_{26}$. In altri termini: la decifrazione
consiste nella cifratura mediante il cifrario affine di
Cesare, utilizzando da altre chiavi, quali?).
