Idee per il progetto finale

Queste sono alcune proposte per possibili progetti finali, venute in mente a me o ad alcuni dei docenti accompagnatori. Non escludo che altre idee verranno ad aggiungersi a questa lista.$ \let\Implica\Longrightarrow \newcommand\N{\mathbb N} \newcommand\Z{\mathbb Z} \newcommand\modbin{\mathbin {\rm mod}} \def\U{\mathscr U} \let\phi\varphi $

• Argomenti di tipo teorico, in aritmetica modulare. Sono argomenti strettamente collegati tra loro ed ai protocolli descritti nell'ultimo incontro:
  • Teorema di Bézout: algoritmo euclideo per la ricerca del massimo comun divisore tra due interi e sua estensione per una dimostrazione costruttiva del teorema;
  • soluzione di equazioni congruenziali di primo grado; esistenza (e determinazione) di inversi in aritmetica modulare.
  • Teorema cinese dei resti (e funzione di Eulero).
• Decifrazione di qualche crittogramma cifrato, ad esempio, con un cifrario Vigenère o Vigenère autocifrante. Si possono usare quelli proposti in questa pagina, eccettuati ovviamente quelli visti insieme in aula, oppure altri che posso facilmente produrre su richiesta.
• Cifratura RSA di qualche messaggio. Un piccolo punto a sfavore è che la cifratura andrebbe fatta utilizzando per le chiavi primi molto piccoli, quindi potrebbe essere poco significativa.
• La presentazione proiettata nell'ultimo incontro contiene una slide, che non abbiamo fatto in tempo a discutere, in cui viene descritto il protocollo di ElGamal. Si potrebbe utilizzare questo materiale per un progetto (descrizione del protocollo ed esempio di cifratura/decifrazione).
• Curve ellittiche su campi di ordine primo (buona proposta di qualcuno dei presenti all'ultimo incontro). Definire l'aritmetica modulo un numero primo, magari osservando che per essa valgono proprietà analoghe a quelle che valgono per le operazioni sui reali o sui razionali (si può definire la nozione di campo). Per un fissato primo $p$ si potrebbe disegnare una curva ellittica su $\Z_p$, più o meno come nell'ultima slide della presentazione vista insieme. Sempre come nella slide, potrebbe essere interessante esemplificare la somma tra due punti della curva.

  Volendo andare avanti, per un primo molto piccolo, come 5, si potrebbe scrivere l'intera tavola di Cayley della curva, ma qui sorge qualche difficoltà. Innanzitutto, per definire correttamente, in tutti i casi possibili, l'addizione tra punti di una curva ellittica (e quindi il gruppo sulla curva) occorre far riferimento alla curva vista nel piano proiettivo, non in quello affine (rispetto ai disegni nella mia slide, bisognerebbe aggiungere i punti all'infinito delle rette) e prefissare un punto che funga da elemento neutro, che nel caso della slide è il punto all'infinito dell'asse delle ordinate. Altra difficoltà (che però è superabile per altra via) è che bisognerebbe tener presente in qualche modo la molteplicità di intersezione tra curva e rette; ad esempio: per sommare un punto a se stesso bisogna utilizzare la retta tangente alla curva in quel punto.

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