Nota

Quello che segue è un elenco sintetico degli argomenti trattati nel corso; non necessariamente in ordine cronologico. Può essere utile consultare il più dettagliato registro delle lezioni, che propone anche un numero di esercizi che, pur non essendo generalmente intesi come parte integrante del corso, possono essere (interessanti di per sé e) di aiuto per la verifica della propria preparazione. Il registro è accessibile dalla pagina web del corso (), che contiene anche ulteriori materiali e informazioni, comprese quelle su alcuni testi utilizzabili per la preparazione.

Il temine anello, nel programma che segue, è sempre inteso come anello commutativo unitario.

Programma del corso

Richiami e nozioni fondamentali

Anelli (commutativi unitari) e moduli. Sottomoduli e quozienti; teoremi di omomorfismo. Regole di calcolo per elementi e per parti di anelli e moduli. Annullatori; divisione tra parti di anelli e moduli. Moduli ciclici, moduli semplici (o irriducibili) e loro rappresentazioni come quozienti dell'anello. Legge modulare di Dedekind. Somme dirette di moduli; moduli liberi.

Ideali

Ideali primi ed ideali massimali. Teorema di Krull sull'esistenza di ideali massimali; Lemma di Nakayama. Radicale di Jacobson e caratterizzazione dei suoi elementi.

Elementi nilpotenti; il nilradicale di un anello; il radicale di un ideale.

Costruzioni di anelli; applicazioni

Prodotti diretti di anelli; elementi idempotenti. Invertibili e radicale di Jacobson in prodotti diretti di anelli. Applicazioni all'aritmetica modulare: il teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione φ di Eulero. Teorema di Fermat-Eulero e Piccolo Teorema di Fermat.

Algebre (commutative). Anelli di funzioni, anelli di polinomi (visti come algebre libere), anelli di serie formali di potenze. Elementi invertibili in anelli di serie formali. Anelli locali. Elementi invertibili, nilpotenti, e radicale di Jacobson in anelli di polinomi.

Condizioni di catena

Anelli e moduli artiniani e noetheriani. Caratterizzazioni dei moduli noetheriani. Teorema della base di Hilbert per anelli di polinomi e per anelli di serie formali.

Anelli di frazioni

Sottomonoidi (moltiplicativi) e sottomonoidi saturi di un anello. Anelli di frazioni. Invertibili e divisori dello zero in anelli di frazioni. Estensioni (o espansioni) di ideali da un anello ad un suo anello di frazioni e, viceversa, contrazioni. Determinazioni degli ideali e degli ideali primi in anelli di frazioni. Localizzazioni.

Decomposizione primaria

Ideali primi minimali contenenti un assegnato ideale. Ideali primari e loro radicali. Relazioni, per un ideale, tra le proprietà di essere primario, di avere un ideale primo come radicale, di essere potenza di un ideale primo. Estensioni (in anelli di frazioni) e contrazioni di ideali primari; ideali primari negli anelli di frazioni.

Ideali irriducibili per intersezioni (finite). Decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di ideali. Primo e secondo teorema di unicità per le decomposizioni primarie minimali. Primi immersi e primi isolati. Il caso speciale degli anelli noetheriani.

Applicazioni; anelli artiniani

Teorema dell'intersezione di Krull, per anelli e per moduli (con la costruzione di un anello in cui riguardare un assegnato modulo come ideale). Lemma di Nakayama in forma forte (NAK).

Caratterizzazione e struttura degli anelli artiniani.

Moduli proiettivi; fattorialità; anelli di Dedekind

Estensioni di moduli come sequenze esatte corte. Estensioni spezzate. Moduli proiettivi e loro caratterizzazioni. Lemma della base duale.

Il preordinamento divisibilità nei monoidi commutativi; ordinamento indotto sul quoziente modulo la relazione di associazione. Caratterizzazione, in termini di questo ordinamento, dei monoidi fattoriali. Applicazioni in teoria degli anelli. Esistenza di massimi comuni divisori e di minimi comuni multipli in monoidi regolari. Caratterizzazione degli anelli fattoriali come domini di integrità unitari in cui ogni ideale primo non nullo contiene un primo.

Anelli di polinomi (ad un numero finito di indeterminate) su anelli fattoriali; loro fattorialità; polinomi primitivi e polinomi irriducibili. Radici di polinomi a coefficienti in un anello fattoriale nel campo dei quozienti di questo.

Il monoide degli ideali frazionari di un dominio di integrità; caratterizzazione dei suoi invertibili come moduli proiettivi. Anelli di Dedekind. Diverse caratterizzazioni, ad esempio in termini di invertibilità di ideali primi, o di decomposizione di ideali in prodotti di ideali primi. Equivalenza, per un anello di Dedekind, delle proprietà di essere fattoriale o principale, ed osservazioni correlate. Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind.

Anelli di valutazione e loro caratterizzazioni. Valutazioni su un campo. Elementi interi su un anello; chiusure integrali, anelli integralmente chiusi. Chiusura integrale di un dominio di integrità nel suo campo dei quozienti come intersezione di anelli di valutazione. Ulteriore caratterizzazione degli anelli di Dedekind come particolari anelli integralmente chiusi.

La chiusura integrale di un anello di Dedekind in una estensione finita del suo campo dei quozienti è ancora di Dedekind (questo fatto è stato dimostrato solo dando per assunto che questa chiusura integrale sia noetheriana). Come caso particolare: anelli degli interi algebrici in campi di numeri.