Nota

Quello che segue è un elenco sintetico degli argomenti trattati nel corso, non necessariamente in ordine cronologico. Può essere utile consultare il più dettagliato registro delle lezioni, che propone anche un numero di esercizi che, pur non essendo generalmente intesi come parte integrante del corso, possono essere (interessanti di per sé e) di aiuto per la verifica della propria preparazione. Il registro è accessibile dalla pagina web del corso (), che contiene anche ulteriori materiali e informazioni, comprese quelle su alcuni testi utilizzabili per la preparazione.

Il temine anello, nel programma che segue, è sempre inteso come anello commutativo unitario.

Programma del corso

Richiami e nozioni fondamentali

Anelli (commutativi unitari) e moduli. Sottomoduli e quozienti; teoremi di omomorfismo. Regole di calcolo per elementi e per parti di anelli e moduli. Annullatori; divisione tra parti di anelli e moduli. Moduli ciclici, moduli semplici (o irriducibili) e loro rappresentazioni come quozienti dell'anello. Legge modulare di Dedekind. Somme dirette di moduli; moduli liberi.

Ideali

Ideali primi ed ideali massimali. Teorema di Krull sull'esistenza di ideali massimali; Lemma di Nakayama. Lemma di Nakayama in forma forte (NAK). Radicale di Jacobson e caratterizzazione dei suoi elementi.

Elementi nilpotenti; il nilradicale di un anello; il radicale di un ideale.

Costruzioni di anelli; applicazioni

Prodotti diretti di anelli; elementi idempotenti. Invertibili e radicale di Jacobson in prodotti diretti di anelli. Applicazioni all'aritmetica modulare: il teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione φ di Eulero. Teorema di Fermat-Eulero e Piccolo Teorema di Fermat.

Algebre (associative e commutative). Anelli di funzioni, anelli di polinomi (visti come algebre libere), anelli di serie formali di potenze. Elementi invertibili in anelli di serie formali. Anelli locali. Elementi invertibili, nilpotenti, e radicale di Jacobson in anelli di polinomi.

Condizioni di catena

Anelli e moduli artiniani e noetheriani. Caratterizzazioni dei moduli noetheriani; caratterizzazione degli anelli noetheriani in termini di ideali primi. Teorema della base di Hilbert per anelli di polinomi e per anelli di serie formali.

Anelli di frazioni

Sottomonoidi (moltiplicativi) e sottomonoidi saturi di un anello. Anelli di frazioni. Invertibili e divisori dello zero in anelli di frazioni. Espansioni (o estensioni) di ideali da un anello ad un suo anello di frazioni e, viceversa, contrazioni. Determinazioni degli ideali e degli ideali primi in anelli di frazioni. Localizzazioni.

Decomposizione primaria

Ideali primi minimali contenenti un assegnato ideale. Ideali primari e loro radicali. Relazioni, per un ideale, tra le proprietà di essere primario, di avere un ideale primo come radicale, di essere potenza di un ideale primo. Espansioni (in anelli di frazioni) e contrazioni di ideali primari; ideali primari negli anelli di frazioni.

Ideali irriducibili per intersezioni (finite). Decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di ideali. Primo e secondo teorema di unicità per le decomposizioni primarie minimali. Primi immersi e primi isolati. Il caso speciale degli anelli noetheriani.

Applicazioni; anelli artiniani

Teorema dell'intersezione di Krull, per anelli e per moduli (con la costruzione di un anello in cui riguardare un assegnato modulo come ideale).

Caratterizzazione e struttura degli anelli artiniani.

Anelli booleani

Definizione e proprietà degli anelli booleani. Teorema di rappresentazione di Stone.

Prodotti tensoriali

Il modulo degli omomorfismi tra moduli sullo stesso anello. Definizione, costruzione e proprietà essenziali dei prodotti tensoriali. Isomorfismi fondamentali (commutatività, associatività, relazioni tra prodotti tensoriali e moduli di omomorfismi; prodotti tensoriali e somme dirette). Alcuni casi particolari: prodotti tensoriali tra moduli liberi; modulo duale. Moduli di frazioni.

Prodotto tensoriale tra algebre.

Esattezza. Moduli piatti, proiettivi, iniettivi

Estensioni di moduli come sequenze esatte corte. Estensioni spezzate. Esattezza a destra e a sinistra per i funtori tensore ed i due funtori Hom determinati da un modulo. Moduli proiettivi, iniettivi, piatti. Divisibilità dei moduli iniettivi sui domini di integrità. Moduli piatti su domini di integrità e su anelli principali. Cenni alle applicazioni dei prodotti tensoriali in algebra. Caratterizzazioni dei moduli proiettivi (e loro piattezza). Proiettività e somme dirette. Lemma della base duale.

Fattorialità; anelli di Dedekind

Il preordinamento divisibilità nei monoidi commutativi; ordinamento indotto sul quoziente modulo la relazione di associazione. Caratterizzazione, in termini di questo ordinamento, dei monoidi fattoriali. Applicazioni in teoria degli anelli.

Il monoide degli ideali frazionari di un dominio di integrità; caratterizzazione dei suoi invertibili come moduli proiettivi. Anelli di Dedekind. Diverse caratterizzazioni, ad esempio in termini di invertibilità di ideali primi, o di decomposizione di ideali in prodotti di ideali primi. Generatori di ideali in un anello di Dedekind. Condizioni affinché un anello di Dedekind sia principale (tra queste: fattorialità), ed osservazioni correlate. Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind. Prodotti di ideali e loro indice in un anello di Dedekind.

Elementi interi su un anello; chiusure integrali, anelli integralmente chiusi. Ulteriori caratterizzazioni degli anelli di Dedekind in termini delle loro localizzazioni e come anelli noetheriani integralmente chiusi di dimensione al più 1.

L'anello degli interi algebrici in un campo di numeri. Che un tale anello sia di Dedekind è stato dimostrato solo dando per assunto che esso sia noetheriano. Alcune proprietà di questi anelli: il teorema degli invertibili di Dirichlet (non dimostrato, ma se ne è dedotta la struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri); finitezza del gruppo delle classi (senza dimostrazione); finitezza dei quozienti propri. L'anello degli interi di una estensione quadratica del campo razionale.