Nota

Quello che segue è un elenco sintetico degli argomenti trattati nel corso, non necessariamente in ordine cronologico. Può essere utile consultare il più dettagliato registro delle lezioni, che propone anche un numero di esercizi che, pur non essendo generalmente intesi come parte integrante del corso, possono essere (interessanti di per sé e) di aiuto per la verifica della propria preparazione. Il registro è accessibile dalla pagina web del corso (), che contiene anche ulteriori materiali e informazioni, comprese quelle su alcuni testi utilizzabili per la preparazione.

Gli anelli (e le algebre) discussi nel corso sono, senza eccezione, associativi e, con la sola eccezione degli anelli degli endomorfismi dei gruppi abeliani, commutativi. Dunque, nel programma che segue, anche dove non indicato, anelli e algebre sono sempre intesi come associativi e commutativi.

Programma del corso

Richiami e nozioni fondamentali

Anelli (associativi e quasi sempre commutativi) e moduli su anelli commutativi unitari. Sottomoduli e quozienti; teoremi di omomorfismo. Regole di calcolo per elementi e per parti di anelli e moduli. Annullatori; divisione tra parti di anelli e moduli. Moduli ciclici, moduli semplici (o irriducibili) e loro rappresentazioni come quozienti dell'anello. Legge modulare di Dedekind. Prodotti e somme dirette (coprodotti) di moduli. Moduli liberi.

Ideali in anelli commutativi

Ideali primi ed ideali massimali. Teorema di Krull sull'esistenza di ideali massimali in anelli unitari; Lemma di Nakayama. Lemma di Nakayama in forma forte (NAK). Radicale di Jacobson e caratterizzazione dei suoi elementi. Anelli (unitari) locali.

Elementi nilpotenti; il nilradicale di un anello; il radicale di un ideale.

Costruzioni di anelli; applicazioni

Prodotti diretti di anelli; elementi idempotenti. Invertibili e radicale di Jacobson in prodotti diretti di anelli commutativi. Applicazioni all'aritmetica modulare: il teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione di Eulero.

Algebre (associative e commutative); algebre unitarie. Anelli di funzioni, anelli di polinomi (visti come algebre unitarie associative e commutative libere), anelli di serie formali di potenze. Elementi invertibili in anelli di serie formali. Elementi invertibili, nilpotenti, e radicale di Jacobson in anelli di polinomi.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria e idealizzazione di un modulo.

Condizioni di catena

Anelli e moduli artiniani e noetheriani. Caratterizzazioni dei moduli noetheriani; caratterizzazione degli anelli noetheriani in termini di ideali primi. Teorema della base di Hilbert per anelli di polinomi e per anelli di serie formali.

Decomposizione primaria in anelli commutativi

Ideali primari e loro radicali. Confronto, per un ideale, tra le proprietà di essere primario, di avere un ideale primo come radicale, di essere potenza di un ideale primo.

Ideali irriducibili per intersezioni (finite). Decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di ideali. Primo e secondo teorema di unicità per le decomposizioni primarie minimali. Primi associati a un ideale, primi immersi e primi isolati. Il caso speciale degli anelli noetheriani.

Anelli di frazioni

Sottomonoidi (moltiplicativi) e sottomonoidi saturi di un anello commutativo unitario. Anelli di frazioni di un anello unitario. Elementi invertibili, divisori dello zero, nilpotenti in anelli di frazioni. Espansioni di ideali da un anello ad un suo anello di frazioni e, viceversa, contrazioni. Espansioni e contrazioni di ideali primari; Determinazione degli ideali e degli ideali primi o primari in anelli di frazioni. Localizzazioni. Il ‘prime-avoidance lemma’ ed anelli di frazioni semilocali.

Applicazioni; anelli artiniani

Teorema dell'intersezione di Krull, per anelli (unitari) e per moduli noetheriani. Applicazione agli anelli locali noetheriani.

Caratterizzazione e struttura degli anelli commutativi artiniani.

Estensioni di moduli; moduli proiettivi

Introduzione alle categorie; funtori; oggetti iniziali o finali e problemi universali di diagrammi.

Estensioni di moduli come sequenze esatte corte. Estensioni spezzate. I funtori Hom. Esattezza a sinistra del funtore Hom covariante determinato da un modulo (con cenni al comportamento del corrispondente funtore controvariante). Moduli proiettivi. Caratterizzazioni dei moduli proiettivi. Proiettività e somme dirette. Lemma della base duale.

Fattorialità; anelli di Dedekind

Il preordinamento divisibilità nei monoidi commutativi; ordinamento indotto sul quoziente modulo la relazione di associazione. Caratterizzazione, in termini di questo ordinamento, dei monoidi fattoriali. Applicazioni in teoria degli anelli.

Il monoide degli ideali frazionari di un dominio di integrità unitario; caratterizzazione dei suoi invertibili come moduli proiettivi. Anelli di Dedekind. Diverse caratterizzazioni, ad esempio in termini di invertibilità di ideali primi, o di decomposizione di ideali in prodotti di ideali primi. Generatori di ideali e quozienti in un anello di Dedekind (senza dimostrazioni). Condizioni affinché un anello di Dedekind sia principale (essere fattoriale, essere semilocale, senza dimostrazione per questa seconda condizione), ed osservazioni correlate. Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind.

Anelli di Bézout ed anelli di valutazione. Anelli principali di valutazione. Cenni alla nozione di valutazione in un campo.

Elementi interi su un anello; chiusure integrali, domini di integrità unitari integralmente chiusi (lo sono gli anelli fattoriali e gli anelli di valutazione). Ulteriori caratterizzazioni degli anelli di Dedekind in termini delle loro localizzazioni e come anelli noetheriani integralmente chiusi di dimensione al più 1 (teorema di E. Noether).

L'anello degli interi algebrici in un campo di numeri; è un anello di Dedekind (dimostrazione solo parziale). Norma in campi di numeri. Altre proprietà di questi anelli: il teorema degli invertibili di Dirichlet (non dimostrato, ma se ne è dedotta la struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri); ancora senza dimostrazione: finitezza del gruppo delle classi; l'indice di ogni ideale principale non nullo è il valore assoluto della norma di un suo generatore; descrizione dell'anello degli interi di una estensione quadratica del campo razionale.