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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento.

Richiami sugli anelli; anelli commutativi; anelli unitari: omomorfismi di anelli unitari, sottoanelli unitari e non. Esempi. Cenni molto informali alle algebre universali ed alle categorie.

L'anello $(\P(S),\ds,\cap)$ delle parti di un insieme $S$. Se $T\subset S$, l'immersione di $\P(T)$ in $\P(S)$ è un esempio di monomorfismo di anelli tra anelli (commutativi) unitari che non è un omomorfismo di anelli unitari; $\P(T)$ è un sottoanello di $\P(S)$, che è unitario come anello ma non come sottoanello di $\P(S)$.

L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli su un anello (unitario): due definizioni equivalenti; una in termini di operazione esterna $M\times R\to M$, l'altra tramite un omomorfismo di anelli unitari $R\to\End(M,+)$, che chiamiamo omomorfismo di struttura o di azione (se $*\colon M\times R\to M$ è l'operazione esterna, l'omomorfismo di struttura $\lambda\colon R\to\End(M,+)$ è definito ponendo $a^{r^\lambda}=a*r$ per ogni $a\in M$ e $r\in R$.)

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio la correttezza della definizione dell'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano.
2. Verificare che, nell'anello $\Z_6$, l'insieme $\set{[0]_6,[3]_6}$ costituisce un sottoanello che è unitario come anello ma non come sottoanello.
3. Utilizzando la nozione di omomorfismo di struttura, verificare che, scelti comunque un anello commutativo unitario $R$ ed un $R$-modulo $M$, per ogni $a,b\in M$ e $x\in R$, si ha: $a0_R=0_M x=0_M$ e $-(ax)=(-a)x=a(-x)$.

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Approfondimenti sulla definizione di modulo ed esempi: spazi vettoriali; gruppi abeliani come moduli sull'anello $\Z$ degli interi (unicità della struttura di $\Z$-modulo su un assegnato gruppo abeliano); per ogni anello commutativo unitario $R$, il modulo $R_R$, cioè $R$ visto come modulo su se stesso, utilizzando l'operazione moltiplicativa interna di $R$ anche come operazione esterna. Annullatore di un modulo; moduli fedeli. Un esempio di gruppo abeliano che non abbia una struttura di modulo sull'anello $\Z_3$.

Regole di calcolo nei moduli. Sottomoduli; esempi, tra questi: ideali di un anello commutativo unitario $R$ come sottomoduli di $R_R$. Omomorfismi tra $R$-moduli. Congruenze nei moduli e quozienti. I teoremi di corrispondenza e di omomorfismo per moduli.

Sottomoduli generati: somme tra sottomoduli. Per un modulo $M$ su un anello commutativo unitario $R$: prodotto tra una parte $X$ di $M$ ed una parte di $R$. Il sottomodulo generato da $X$ è $XR$.

Esercizi proposti:

1. Trovare un modulo sull'anello $\Z_3$ che abbia cardinalità 9.
2. Sia $A$ un gruppo abeliano. Riguardato $A$ come modulo su $\Z$, come si può descrivere nella terminologia della teoria dei gruppi l'annullatore di $A$?
   Si trovino esplicitamente gli annullatori (in $\Z$) dei seguenti gruppi abeliani: $(\Z,+)$, $\Z\oplus C_{8}$, $C_{8}\oplus C_{10}$, $\bigoplus_{n\in\N^+}C_n$, dove $N^+=\N\setminus\set 0$ e, per ogni $n\in\N^+$, $C_n$ è un gruppo ciclico di ordine $n$.
3. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $M$ un $R$-modulo, $\vuoto\ne X\subseteq M$ e sia $H$ un ideale di $R$. Provare che $XH$ è un sottomodulo di $M$; può non essere il sottomodulo generato da $X$ in $M$?
4. Confrontare la nozione di prodotto tra una parte di un modulo sull'anello $R$ ed una parte di $R$ con quella di combinazione lineare.

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Discussione di alcuni esercizi.

Cambio degli scalari: dato un $R$-modulo $M$ ed un omomorfismo di anelli unitari $\sigma\colon S\to R$, struttura di $S$-modulo su $M$ indotta da $\sigma$. Come caso particolare: struttura di modulo indotta per restrizione ad un sottoanello unitario di $R$. Struttura di $R/H$-modulo su $M$, dove $H$ è un ideale di $R$ contenuto in $\ann_R(M)$. Con riferimento a quest'ultimo caso, gli $(R/H)$-sottomoduli di $M$ sono precisamente gli $R$-sottomoduli di $M$.

Moduli ciclici su un anello commutativo unitario $R$. Loro caratterizzazione come moduli isomorfi a quozienti $R/H$ del modulo $R_R$; qui ovviamente $H$ è un ideale di $R$, coincide con l'annullatore del modulo e lo classifica a meno di isomorfismi (abbiamo infatti verificato che moduli isomorfi hanno necessariamente lo stesso annullatore; vedi anche uno degli esercizi). A meno di isomorfismi, $R_R$ è l'unico modulo ciclico fedele.

Moduli semplici (o irriducibili) e loro caratterizzazione come quozienti modulo un ideale massimale. Esempi (in spazi vettoriali; in gruppi abeliani).

Moduli finitamente generati. Lemma: se $\mathcal C$ è una catena non vuota di sottomoduli di un modulo $M$, allora $V:=\bigcup\mathcal C$ è un sottomodulo di $M$, e se $V$ è finitamente generato allora $V\in\mathcal C$. Come conseguenza: ogni modulo finitamente generato e non nullo ha sottomoduli massimali (anzi, se il modulo $M$ è finitamente generato ed $N$ è un suo sottomodulo proprio, $M$ ha un sottomodulo massimale contenente $N$). Questa è una forma generalizzata del teorema di Krull dell'ideale massimale ed è una delle forme del Lemma di Nakayama (solo come notizia: la validità del teorema di Krull per gli anelli fattoriali è equivalente, in ZF, all'assioma di scelta).

Alcune osservazioni sugli ideali massimali: per ogni anello commutativo unitario $R$, l'unione degli ideali massimali di $R$ coincide con l'insieme degli elementi non invertibili di $R$. Siano $a\in R$ e $M\maxid R$ (questo simbolo sta per: $M$ è un ideale massimale di $R$); allora $a\in M\iff (\forall r\in R)(1+ar\notin M)$. Il radicale di Jacobson .

Esercizi proposti:

1. Sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra moduli. Provare che $\ann(A)\subseteq \ann(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo, provare che $\ann(A)\supseteq \ann(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.
2. Calcolare il radicale di Jacobson degli anelli $\Z$, $\Q$, $\Z_6$, $\Z_4$.
3. Provare che, per ogni anello commutativo unitario $R$, si ha $\jac(R)=\set{a\in R\mid (\forall r\in R)(1_R+ar\in \U(R))}$.
4. Nelle notazioni dell'esercizio precedente, provare che se $|\U(R)|=1$ allora $\jac(R)=0$.
5. Per un insieme $S$, determinare il gruppo degli invertibili dell'anello $\P(S)$ delle parti di $S$ e calcolare quindi $\jac(\P(S))$.
6. Per un insieme finito $S$, quali sono gli ideali dell'anello $\P(S)$?
7. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello $\P(\N)$?

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Discussione di alcuni esercizi; considerazioni sugli ideali dell'anello delle parti di un insieme. Caratterizzazione del radicale di Jacobson di un anello commutativo unitario $R$ come $\set{a\in R\mid (\forall r\in R)(1+ar\in \U(R))}$ (come, ad esempio, in Sharp, Lemma 3.17). Osservazioni ulteriori: se $\U(R)=1$, allora $\jac(R)=0$ (ad esempio, questa situazione si verifica per l'anello delle parti di un insieme). Anelli locali (attenzione: Sharp usa una terminologia differente, e meno comune; i nostri anelli locali sono quelli che Sharp chiama anelli quasi-locali). Un anello commutativo unitario $R$ è locale se e solo $R\setminus \U(R)$ è un ideale di $R$ (in tal caso, questo ideale è quello massimale). Qualche esempio di anello locale (i campi, i quozienti di $\Z$ di ordine una potenza di primo; si veda poi il primo degli esercizi di oggi).

Lemma di Nakayama, nella sua formulazione standard (ad esempio, Sharp, 8.24; Atiyah-Macdonald, Prop. 2.6; Cohn, vol. 2, Lemma 4.6 e Corollary 4.7. Nei primi due casi le dimostrazioni sono diverse dalla nostra, gli enunciati palesemente equivalenti).

Prodotto diretto e somma diretta (esterna) tra moduli. Somma diretta interna di sottomoduli di un modulo; è isomorfa alla somma diretta (esterna). Proprietà universali per prodotti e somme dirette; nozioni categoriali di prodotto e di coprodotto; unicità, a meno di isomorfismi, di prodotto e coprodotto. Queste nozioni sono discusse, ad esempio, in Sharp, cap. 6, ma meglio in Cohn, vol. 2, sez. 4.1, si veda in particolare pag. 129.

Esercizi proposti:

1. Fissato un primo $p$, si provi che l'insieme $\Q_{p'}$ dei numeri razionali della forma $a/b$, dove $a$ e $b$ sono interi e $p$ non divide $b$, costituisce un sottoanello locale del campo razionale. Determinarne l'ideale massimale.
2. Si riguardi $\Q$ come modulo sul suo sottoanello $\Q_{p'}$ definito all'esercizio precedente, definendo l'operazione esterna per restrizione dalla moltiplicazione interna di $\Q$ (vale a dire, definendola come $(q,r)\in\Q\times\Q_{p'}\mapsto qr\in\Q$). Allora $\Q\jac(\Q_{p'})=\Q$. Dedurne che $\Q$ non è finitamente generato come $\Q_{p'}$-modulo e che, nel lemma di Nakayama, l'ipotesi che il modulo sia finitamente generato è essenziale.
3. Verificare in dettaglio la proprietà universale di prodotto per il prodotto diretto di una famiglia di moduli.
4. Verificare che, se $(A_i)_{i\in I}$ è una famiglia di moduli sull'anello commutativo unitario $R$, sia $\prod_{i\in I}A_i$ che $\coprod_{i\in I}A_i$ hanno per annullatore $\bigcap_{i\in I}\ann(A_i)$

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Discussione di un esercizio.

Moduli liberi. Unicità, a meno di isomorfismi, del modulo libero di assegnato rango su un anello commutativo unitario $R$. Caratterizzazione degli $R$-moduli liberi come somme dirette di copie di $R_R$. Ogni modulo $M$ è isomorfo ad un quoziente di un modulo libero $F$; si può scegliere come base di $F$ un insieme di generatori di $M$, quindi, se $M$ è finitamente generato, anche $F$ può essere scelto finitamente generato. Alcuni esempi. I moduli liberi non nulli sono tutti fedeli; i moduli sui campi sono tutti liberi (e, viceversa, un anello commutativo unitario è un campo se e solo se tutti i suoi moduli non nulli sono fedeli).

Somme e prodotti tra parti di un anello. Associatività e commutatività; distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione per parti contenenti lo zero. Il monoide moltiplicativo $\I(R)$ degli ideali di un anello commutativo unitario $R$.

Prodotti ed intersezioni tra ideali; ideali comassimali (o coprimi) tra loro. Se due ideali $I$ e $J$ sono comassimali con un ideale $H$, allora anche $IJ$ è comassimale con $H$. Per ogni intero positivo $n$, se $H_1, H_2,\dots, H_n$ sono ideali a due a due comassimali, allora $H_1 H_2\cdots H_n=H_1\cap H_2\cap\cdots\cap H_n$. A titolo di esempio, abbiamo interpretato queste nozioni nell'anello degli interi.

Legge modulare (di Dedekind) per sottomoduli di un modulo.

Esercizi proposti:

1. Sia $F$ un modulo libero sull'anello commutativo unitario $R$ e sia $X$ una sua base. Detto $M$ un ideale massimale di $R$, si può riguardare $F/FM$ come spazio vettoriale su $R/M$, per cambio di scalari. Provare che la dimensione di questo spazio è $|X|$. Dedurne che due $R$-moduli liberi isomorfi devono necessariamente avere lo stesso rango.
2. Rappresentare il gruppo $V_4$ di Klein ed il gruppo $V_4\oplus\Z$ come quozienti di $\Z$-moduli liberi (si tratta, in entrambi i casi, di scrivere un modulo libero $F$ ed un suo sottomodulo $K$ in modo che $F/K$ sia isomorfo al gruppo dato.)
3. Siano $X$ e $Y$ sottoinsiemi di un insieme $S$. Allora $\P(X)$ e $\P(Y)$ sono ideali di $\P(S)$. Calcolarne somma, prodotto e intersezione.
4. [Questo è un enunciato molto importante] Usando la legge modulare, provare che se due sottomoduli $A$ e $C$ di un modulo $M$ sono confrontabili tra loro ed hanno la stessa somma e la stessa intersezione con un terzo sottomodulo $B$ di $M$, allora $A=C$.

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Discussione di esercizi ed approfondimento sulla legge modulare (due sottomoduli confrontabili che abbiano la stessa somma e la stessa intersezione con un assegnato un sottomodulo coincidono).

Lemma di Nakayama in forma forte (NAK). Una delle formulazioni è: se $M$ è un modulo fedele finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale proprio di $R$, allora $MH\ne M$. Un'altra è: se$M$ è un modulo finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale di $R$, allora $MH=M$ se e solo se esiste $h\in H$ tale che $ah=a$ per ogni $a\in M$. Per dimostrarlo abbiamo usato il lemma: se $I$ ed $J$ sono ideali di un anello commutativo unitario $R$ e $M=aR$ è un $R$-modulo ciclico, allora $aI\subseteq aJ$ se e solo se $I\subseteq J+\ann_R(M)$.

Prodotto diretto (esterno) di anelli (commutativi). Anelli di funzioni. Proiezioni dal prodotto diretto ai singoli fattori; fattori del prodotto visti, a meno di isomorfismi, come ideali (principali, tra loro ortogonali, isomorfi a quozienti dell'anello prodotto). Idempotenti canonici in un prodotto diretto di anelli commutativi unitari; moltiplicazione per un idempotente canonico e corrispondente proiezione. Somme dirette di anelli (commutativi, in generale non unitari). Nel caso in cui l'insieme di indici sia finito, prodotti diretti (o somme dirette) di anelli unitari: sia $R$ un anello commutativo unitario il cui gruppo abeliano è decomponibile in somma diretta finita di ideali di $R$, vale a dire, per $R_R$, in somma diretta interna di sottomoduli. Esistano dunque $n\in\N^+$ e $H_1,H_2,\dots, H_n\n R$ tali che $R_R=H_1\oplus H_2\oplus\cdots\oplus H_n$. Allora ciascuno degli $H_i$ è un anello unitario e $R$ è isomorfo (in modo canonico) al prodotto esterno di anelli unitari $H_1\times H_2\times\cdots\times H_n$. (Viceversa, un prodotto esterno di un numero finito dei anelli unitari si può sempre riguardare come prodotto diretto interno dei "sottoanelli fattori" del prodotto).

Corrispondenza tra le fattorizzazioni di $R$ in prodotto diretto di un numero finito di suoi ideali e decomposizioni della sua unità in somma di idempotenti ortogonali: se $R=H_1\times H_2 \times\cdots\times H_n$, allora $1_R=h_1+h_2+\cdots+h_n$, dove, per ogni $i$, $h_i$ è un idempotente in $H_i$ (generatore, come ideale, e unità, come anello, di $H_i$) ed è ortogonale ad $h_j$ per ogni $j\ne i$; viceversa, se $1_R=\sum_{i=1}^n h_i$, dove, per ogni $i$ e $j$ in $\set{1,2,\dots,n}$, $h_i^2=h_i$ e $h_i h_j=0_R$ se $i\ne j$, allora $R$ è prodotto diretto degli ideali $h_iR$: $R=h_1R\times h_2R \times\cdots\times h_nR$ (si veda, ad esempio, Cohn, vol. 2, Prop. 5.2.3, tenendo presente che in quel caso sono considerati anche anelli non commutativi).

Esercizi proposti:

Questa volta gli esercizi sono tanti ed alcuni non sono semplicissimi. Non sono intesi come esercizi da risolvere tutti tra questa lezione e la successiva; concedersi del tempo per affrontali.

1. Nell'anello $\Z_{14}$ le classi $[7]_{14}$ e $[8]_{14}$ sono idempotenti. Dopo averne calcolato la somma, dedurne una decomposizione di $\Z_{14}$ in prodotto diretto di sottoanelli propri.
2. [Enunciato di importante significato teorico] Provare che se $e$ è un idempotente in un anello commutativo unitario $R$, allora anche $e':=1_R-e$ è idempotente, ortogonale a $e$; dedurne che $R=eR\oplus e'R$. Di conseguenza: $R$ si può scomporre in prodotto diretto di sottoanelli propri se e solo se $R$ ha idempotenti non banali.
3. Sia, in un anello commutativo unitario $R$ non nullo, $e$ un elemento idempotente diverso da $1_R$. Provare che $e$ è un divisore dello zero in $R$ (avvertenza: stiamo ammettendo $0_R$ tra i divisori dello zero).
4. Utilizzando l'esercizio precedente, caratterizzare gli ideali primi e gli ideali massimali di $\P(S)$, per un arbitrario insieme $S$. Suggerimento: in ogni quoziente $Q$ di $\P(S)$ tutti gli elementi sono idempotenti, quindi, affinché $Q$ sia un dominio di integrità è necessario che…
5. Siano $S$ un insieme e $X$ una sua parte. Osservato che $X$ è idempotente e $1_{\P(S)}-X=1_{\P(S)}\ds X=S\setminus X$, utilizzando il primo degli esercizi di questa lista, concludere che $\P(S)=\P(X)\times\P(S\setminus X)$.
6. Assegnato un insieme $S$, verificare che l'applicazione che ad ogni parte $X$ di $S$ associa la funzione caratteristica di $X$, da $S$ a $\Z_2$, è un isomorfismo di anelli unitari da $\P(S)$ all'anello di funzioni $\Z_2^S$.
7. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo unitario $R$. Provare che se $H^2=H$ allora $H$ è un ideale principale, generato da un idempotente, e quindi $R=H×K$ per un opportuno ideale $K$ (suggerimento: si applichi NAK a $H$…)
8. Verificare che, per ogni spazio topologico $X$, l'insieme delle funzioni continue da $X$ al campo $\R$ dei reali costituisce un sottoanello unitario dell'anello delle funzioni da $X$ a $\R$. Nell'ipotesi che $X$ sia compatto, descriverne gli ideali massimali (indicazioni su come procedere sono in Sharp, Esercizio 3.18).
9. Sia $R=H_1\times H_2 \times\cdots\times H_n$ un prodotto diretto di un numero finito di anelli commutativi unitari. Provare che ogni ideale $I$ di $R$ ha la forma $I=I_1\oplus I_2\oplus\cdots\oplus I_n$, dove, per ogni $i$, $I_i=IH_i=I\cap H_i$ è un ideale di $H_i$.
10. Utilizzando l'esercizio precedente, descrivere gli ideali massimali, gli ideali primi ed il radicale di Jacobson di un prodotto diretto di un numero finito di anelli commutativi unitari.
11. Sia $R=\prod_{j\in J} H_j$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari (qui identificati con ideali di $R$). Mostrare che, come visto nel caso in cui $J$ sia finito, si ha $I\cap H_j=IH_j$ per ogni $I\n R$ e $j\in J$. Si può concludere, come nel caso finito, che ogni ideale $I$ è somma degli ideali $I\cap H_j$?
12. Riconsiderare l'esercizio sugli ideali primi di $\P(S)$ alla luce di quello che si visto negli esercizi successivi, con particolare (ma magari non esclusivo) riferimento al caso finito.

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Per ogni idempotente $e$ in un anello commutativo unitario $R$, $1_R-e$ è un idempotente, ortogonale a $e$ e quindi $R=eR\oplus (1_R-e)R$. Di conseguenza: $R$ si può scomporre in prodotto diretto di sottoanelli propri se e solo se $R$ ha idempotenti non banali.

Esempi di idempotenti e decomposizioni ad essi associate. Un'applicazione (dovuta ad uno studente; si veda anche uno degli esercizi): per ogni $n\in\N$, $5^{2^n}+6^{5^n}\equiv_{10^{n+1}}1$.

Per una famiglia $(H_i)_{i\in I}$ di ideali di un anello commutativo unitario $R$, discussione dell'omomorfismo $\varepsilon\colon R\to \prod_{i\in I}(R/H_i)$ indotto dagli epimorfismi canonici $R\epi R/H_i$, come ad esempio in Atiyah-Macdonald, Proposizione 1.10, ma con qualche dettaglio in più: $\ker\varepsilon=\bigcap_{i\in I}H_i$; se $\varepsilon$ è suriettiva gli ideali $H_i$ sono a due a due comassimali (anzi: $R=H_i+\bigcap_{i\ne j\in I}H_j$ per ogni $i\in I$); vale anche il viceversa se $I$ è finito. Applicazione importante ai quozienti di $\Z$ e conseguenze aritmetiche: teorema cinese dei resti; funzione $\varphi$ di Eulero e sua moltiplicatività. Teorema di Fermat-Eulero.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario $R$ (Cohn, vol. 2, cap. 5). Omomorfismi di algebre. Algebre unitarie e loro descrizione equivalente tramite l'omomorfismo strutturale. Esempi: anelli (commutativi), visti come $\Z$-algebre; anelli unitari come algebre su se stessi; estensioni di anelli unitari e di campi.

Esercizi proposti:

1. Determinare tutti gli idempotenti di $\Z_{12}$.
2. Determinare tutte le decomposizioni in prodotto diretto dell'anello $\Z_{60}$.
3. La somma tra un numero finito di idempotenti tra loro ortogonali è ancora idempotente. Verificarlo ed interpretare questo fatto in termini di decomposizione di un anello commutativo unitario in prodotto diretto.
4. Fissato un primo $p$, scrivere un monomorfismo di anelli unitari da $\Z$ a $\prod_{n\in\N}\Z_{p^n}$. Ci sono almeno due modi semplici per farlo; trovarli e decidere se i monomorfismi ottenuti sono diversi tra loro.
5. Dedurre il Piccolo Teorema di Fermat ($a^p\equiv_p a$ per ogni $a\in \Z$ ed ogni primo $p$) dal Teorema di Fermat-Eulero.
6. Calcolare il resto di $896^{4567}$ nella divisione per $9134$. (Suggerimento: $4567$ è primo, $9134$ è il suo doppio.)
7. Verificare, per induzione su $b$, che, se $a$ e $b$ sono interi positivi tali che $a\equiv_b 1$, allora $a^{b^n}\equiv_{b^{n+1}} 1$ per ogni $n\in\N$.
8. Usando l'esercizio precedente, provare che, per ogni $n\in\N$, le classi di $5^{2^n}$ e di $6^{5^n}$ sono elementi idempotenti dell'anello $\Z_{10^{n+1}}$. Suggerimento: nel caso di $5^{2^n}$ questa affermazione equivale a richiedere che $10^{n+1}$ divida $5^{2^{n+1}}-5^{2^n}$, ovvero che $2^{n+1}$ divida $5^{2^n}-1$ (osservazione ulteriore: che quest'ultima relazione valga si può anche far seguire dal teorema di Fermat-Eulero, piuttosto che dal precedente esercizio).
9. Per un arbitrario insieme $S$, strutturare $\P(S)$ come algebra su $\Z_2$
10. Sia $R$ un anello commutativo unitario di caratteristica $c>0$. Provare che $R$ si può strutturare, in un unico modo, come algebra su $\Z_c$.
11. (per chi ha dimestichezza con la teoria dei campi) Verificare che, se il campo $F$ è estensione del suo sottocampo $K$, gli automorfismi di $F$ che fissano gli elementi di $K$ sono esattamente gli automorfismi di $F$ come $K$-algebra (intendendo $F$ strutturato come $K$-algebra attraverso l'immersione di $K$ in $F$). In altri termini, il gruppo di Galois di un'estensione $F/K$ di campi è l'automorfo di $F$ visto come $K$-algebra.

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Omomorfismi di algebre unitarie: interpretazione in termini di commutatività di diagrammi.

Algebre unitarie commutative libere: anelli di polinomi (proprietà universale per gli anelli di polinomi; si veda, ad esempio, Sharp, Lemma 1.13 e, più avanti, 1.16 e 1.17). Unicità. Cenno a possibili costruzioni. Discussione sulle applicazioni della proprietà universale, ad esempio, nella realizzazione degli ampliamenti di anelli unitari.

Immersione di un'algebra (commutativa) in un'algebra unitaria (si veda la costruzione nel registro delo scorso anno). Caso particolare: immersione di un anello in un anello unitario.

Rapida discussione sui “moduli non unitari” e sulla possibilità di riguardarli come definiti da azioni di moduli ristrette ad un ideale.

Idealizzazione di un modulo (una descrizione è nel registro dell'a.a. 2014/15).

Richiami: ideali primi e loro caratterizzazioni elementari. Tra queste (con riferimento ad un anello commutativo $R$): un ideale proprio $P$ di $R$ è primo se e solo se, scelti comunque ideali $I$, $J$ di $R$, se $IJ\subseteq P$ allora $P$ contiene almeno uno tra $I$ e $J$ (basta anche limitarsi al caso in cui $I$ e $J$ contengono $P$). Lo spettro (primo) $\spec(R)$ di $R$. Un lemma fondamentale: se $H$ è un ideale di un anello commutativo $R$ ed $S$ una parte non vuota di $R$ chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da $H$, allora esistono in $R$ ideali massimali per contenere $H$ ed essere disgiunti da $S$; questi sono necessariamente primi (si confronti con il Teorema 3.44 di Sharp, o il 9.2.2 nel secondo volume di Cohn; l'ipotesi che $R$ sia unitario e $S$ contenga 1 è sovrabbondante). Elementi nilpotenti.

Esercizi proposti:

1. Effettuare, in dettaglio, una delle costruzioni dell'anello di polinomi a cui si è accennato a lezione.
2. Costruire un anello commutativo unitario di caratteristica 0 che abbia un elemento $a$ tale che $a^2\ne 0 = a^3$.
3. Verificare in dettaglio la costruzione che porta al'immersione di un'algebra in un'algebra unitaria.
4. Siano $R$ un anello commutativo (non necessariamente unitario) e $A$, $B$ moduli-non-unitari su $R$ (siano cioè dati omomorfisi di anelli $\alpha\colon R\to \End(A,+)$ e $\beta\colon R\to \End(B,+)$). Immerso, nel modo visto a lezione, $R$ in un anello unitario $R_1=R\times\Z$, e riguardati $A$ e $B$ come moduli (nel senso usuale) su $R_1$, definendo nel modo ovvio la nozione di $R$-omomorfismo tra moduli-non-unitari, si verifichi che gli $R$-omomorfismi da $A$ a $B$ sono precisamente gli $R_1$-omomorfismi da $A$ a $B$.
5. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Scrivere un isomorfismo (di anelli unitari, e addirittura di $R$-algebre) tra l'idealizzazione $R_R\rtimes R$ e il quoziente $R[x]/x^2R[x]$ dell'anello di polinomi $R[x]$ in una indeterminata. Spiegare questo isomorfismo in termini di proprietà universale.
6. Provare, in modo diretto, che gli elementi nilpotenti di un anello commutativo $R$ costituiscono un ideale di $R$.

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Rapida discussione di qualche esercizio.

Ideali nil. Il nil-radicale (o radicale) $\nrad(R)=\bigcap\spec(R)$ di un anello commutativo $R$ e sua descrizione come l'insieme degli elementi nilpotenti di $R$. Se $R$ è anche unitario, $\nrad(R)\subseteq\jac(R)$ e, di conseguenza (ma ne abbiamo anche fatto una verifica diretta), sommando, un elemento invertibile ad uno nilpotente si ottiene un elemento invertibile. Il radicale $\surd (H)$ di un ideale $H$ e la varietà $\var(H)=\var_R(H)=\set{P\in\spec(R)\mid H\subseteq P}$ di $H$. Alcuni esempi. Cenni al Teorema degli zeri di Hilbert.

Per un anello commutativo unitario $R$: descrizione degli elementi invertibili, del nilradicale e del radicale di Jacobson (che coincidono) di $R[x]$.

Condizioni di catena per insiemi ordinati. Moduli artiniani e moduli noetheriani. Anelli artiniani e noetheriani. Esempi. Sottomoduli, quozienti ed estensioni di moduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani).

Esercizi proposti:

1. Descrivere elementi nilpotenti e nilradicale di un prodotto diretto $\prod_{i\in I}R_i$ di anelli commutativi nel caso in cui $I$ sia finito. Cosa possiamo dire nel caso in cui $I$ è infinito.
2. Provare che se $R$ è un anello commutativo unitario, i divisori dello zero in $R[x]$ sono annullati da qualche elemento non nullo di $R$ (Suggerimento: se $0\ne f\in R[x]$ e $g$ è scelto di grado minimo in $\ann_{R[x]}(f)$, verificare innanzitutto che $\ann_R(g)=\ann_R(b)$, dove $b$ è il coefficiente direttore di $g$—si assume che questo sia $0$ se $g=0$).
3. Estendendo quanto visto a lezione o all'esercizio precedente, descrivere gli elementi invertibili, nilpotenti, divisori dello zero nell'anello dei polinomi $R[X]$, per un anello commutativo unitario $R$ ed un arbitrario insieme $X$ di indeterminate.
4. Provare che la somma di un numero finito di sottomoduli noetheriani (risp. artiniani) di un modulo è necessariamente noetheriana (risp. artiniana).
5. Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un prodotto diretto $\prod_{i\in I}R_i$ di anelli commutativi unitari? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) l'anello delle parti di un insieme? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un modulo libero?
6. Un modulo $M$ è sia artiniano che noetheriano se e solo se si ottiene per estensioni successive, in numero finito, da moduli semplici, ovvero: se e solo se esistono $n\in\N$ e sottomoduli $H_0, H_1, H_2,\dots ,H_n$ tali che $0=H_0 \lt H_1\lt H_2\lt\cdots \lt H_n=M$ e $H_i/H_{i-1}$ è semplice per ogni $i\in\set{1,2,\dots,n}$.
7. Sia $\theta\colon S\to R$ un omomorfismo di anelli unitari (con $R$ e $S$ commutativi) e sia $M$ un $R$-modulo, visto $M$ anche come $S$-modulo via $\theta$. È vero che se $M$ è artiniano (risp. noetheriano) come $R$-modulo se lo è come $S$-modulo? E viceversa?
8. Sia $R[X]$ un anello di polinomi costruito sull'anello commutativo unitario $R$ ed un insieme infinito $X$ di indeterminate. Provare che, per ogni $x\in X$, $R[X]/(x)\iso R[X\setminus\set x]\iso R[X]$ e dedurne che $R[X]$ non è noetheriano.
9. Dimostrare in modo diretto che gli anelli principali sono noetheriani.

24/10

Rapida discussione di qualche esercizio. Chiusura per somme finite delle proprietà di essere artiniano o noetheriano. I moduli finitamente generati sugli anelli noetheriani (risp. artiniani) sono noetheriani (risp. artiniani).

Caratterizzazione dei moduli (e degli anelli) noetheriani in termini di sottomoduli finitamente generati. Osservazione: un modulo non noetheriano contiene sempre sottomoduli che siano massimali tra quelli non finitamente generati, perché l'insieme dei sottomoduli non finitamente generati è induttivo.

In un anello commutativo unitario, un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati (Teorema 8.12 in Sharp).

Il teorema della base di Hilbert (per anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate), con un inquadramento storico. Corollario: sia $A$ un'algebra commutativa unitaria finitamente generata su un anello commutativo unitario noetheriano $R$, allora $A$ è noetheriano come anello.

Esercizi proposti:

1. Fornire un esempio di modulo finitamente generato non noetheriano.
2. Verificare che, come detto a lezione, nel reticolo dei sottomoduli di un modulo i compatti sono precisamente i sottomoduli finitamente generati. (In un insieme ordinato $(S,\le)$ un elemento $x$ è compatto se e solo se, scelta comunque una parte $X$ di $S$ tale che $x=\sup X$, esiste un sottoinsieme finito $F$ di $X$ tale che $x=\sup F$.)
3. Di ciascuno dei seguenti anelli dire se è artiniano e se è noetheriano: $\Z_{20}[x]$, $\Q[x]/x^2\Q[x]$, il sottoanello $\Z[i]=\set{a+ib\mid a, b\in\Z}$ del campo complesso (questo è l'anello degli interi di Gauss).
4. Sia $K$ un campo e sia $K[X]$ l'anello dei polinomi su $K$ su un insieme infinito di indeterminate. Individuare un ideale di $K[X]$ che sia massimale tra quelli non finitamente generati. Ripetere l'esercizio dopo aver sostituito $\Z$ a $K$.
5. Trovare un gruppo abeliano che verifica la condizione massimale sull'insieme dei sottogruppi non finitamente generati ma non la condizione massimale sui sottogruppi.
6. (A proposito della dimostrazione del teorema della base.) Sia $R$ un anello commutativo unitario. Trovare ideali distinti $H$, $K$ di $R[x]$ tali che, per ogni $n\in\N$, l'ideale $C_n(H)$ di $R$ costituito dai coefficienti direttori dei polinomi in $H$ di grado al più $n$ coincida con l'ideale $C_n(K)$ definito in modo analogo a partire da $K$.
7. Siano $R$ un anello commutativo unitario e $A$ una $R$-algebra commutativa non unitaria finitamente generata. Si immerga, utilizzando la costruzione nota, $A$ in una $R$-algebra commutativa unitaria $A_1$ e si verifichi che anche $A_1$ è finitamente generata. Si deduca che $A_1$ è un anello noetheriano e, come ulteriore conseguenza, che l'insieme $\set{H\n A\mid HR\subseteq H}$ degli ideali $R$-invarianti di $A$ verifica la condizione massimale.
8. Sia $A=\bigoplus_{i\in\N}\gen{a_i}$ un gruppo abeliano libero sulla base $\set{a_i\mid i\in\N}$ (dunque, per ogni $i\in\N$, $\gen{a_i}$ è un gruppo ciclico infinito). Si strutturi $A$ come modulo sull'anello di polinomi ad una indeterminata $\Z[x]$ tramite l'omomorfismo di anelli unitari $\Z[x]\to\End(A,+)$ che ad $x$ associa l'endomorfismo di $A$ definito da $a_i\mapsto a_{i+1}$ per ogni $i\in\N$. Si munisca poi $A$ del prodotto costante nullo; $A$ diventa così una $\Z[x]$-algebra non unitaria. Verificare che, come $Z[x]$-algebra, $A$ è generata da un elemento, ma, benché $\Z[x]$ sia noetheriano, $A$ non è un anello noetheriano.

27/10

Discussione di qualche esercizio.

L'anello $R[[x]]$ delle serie formali di potenze su un anello commutativo unitario $R$. Caratterizzazione degli elementi invertibili in $R[[x]]$ e di $\jac(R[[x]])$. Se $R$ è un campo (o, più in generale, locale), $R[[x]]$ è locale.

Teorema: se $R$ è noetheriano, $R[[x]]$ è noetheriano.

Esercizi proposti:

1. Descrivere gli elementi idempotenti nell'anello delle serie formali $R[[x]]$, per un anello commutativo unitario $R$. (Suggerimento: sia $f$ un idempotente in $R[[x]]$; per un intero positivo $t$ opportunamente scelto, si scriva $f$ come $a+bx^t+x^{t+1}g$, dove $a,b\in R$ e $g\in R[[x]]$. Si deduca che $a$ è idempotente e, calcolando il coefficiente $t$-esimo di $f^2$, che $2ab=b$. Se ne ricavi $ab=0$ e quindi $b=0$). Utilizzando questa descrizione, si provi che $R[[x]]$ (ovvero $R[x]$) è indecomponibile in prodotto diretto di anelli se e solo se lo è $R$.
2. Provare che se $R$ è un anello commutativo unitario e $\sum_{n\in\N}a_i x^i$ è un elemento nilpotente di $R[[x]]$ (dove i coefficienti $a_i$ sono in $R$), allora ciascuno degli $a_i$ è nilpotente.
3. Trovare, in $\Z[[x]]$, l'inverso del polinomio $1+x+x^2$.
4. Sia $R$ un campo. Provare che ogni elemento non nullo $f$ di $S:=R[[x]]$ si può scrivere come $x^n u$ per un opportuno $n\in\N$ e $u\in\U(S)$, e quindi $fS$=$x^n S$. Dedurne che l'insieme degli ideali non nulli si $S$ è $\set{x^n S\mid n\in\N}$ e quindi $S$ è un anello principale. Meglio ancora: dedurre che $S$ è euclideo.

31/10

Ideali primari. Definizione e proprietà essenziali; gli ideali primo sono primari, il radicale di un ideale primario $H$ è primo (è quindi il minimo primo contenente $H$). Descrizione degli ideali primari in $\Z$ e nell'anello delle parti di un insieme. Osservazione: se $P$ è un ideale primo, per ogni intero positivo $n$, si ha $P=\sqrt {P^n}$.

Un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario. Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo: l'ideale generato da $x$ e $y^2$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $x$ e $y$ a coefficienti in un campo.

Discussione sui metodi di costruzione di controesempi, esemplificato sulla costruzione, in un anello commutativo unitario, di un ideale primo $P$ il cui quadrato $P^2$ non sia primario (un esempio molto simile si trova in Sharp, Esempio 4.12).

Lemma: Siano $I$ un insieme, $R$ un anello commutativo unitario ed $M$ un $R$-modulo. Se, per ogni $i\in I$, $X_i\subseteq M$, allora, per ogni $N\le_R M$, si ha $(N:\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}(N:X_i)$. Se, per ogni $i\in I$, $N_i\le_R M$, allora, per ogni $X\subseteq M$, si ha $(\bigcap_{i\in I} N_i:X)=\bigcap_{i\in I} (N_i:X)$. Inoltre, se $H\n R$ e $a,b\in R$, allora $(H:a)\subseteq (H:ab)$.

Ideali decomponibili (in intersezione di primari). Ideali irriducibili (per intersezione). Se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, ogni suo ideale proprio è intersezione finita di ideali irriducibili, e ogni suo ideale irriducibile è primario, quindi: ogni ideale proprio di $R$ è decomponibile.

In un arbitrario anello commutativo unitario, se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; se inoltre $P$ è un ideale primo e $I$ e $J$ sono $P$-primari, allora $I\cap J$ è $P$-primario. Decomposizioni primarie minimali di ideali decomponibili.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello commutativo unitario, e sia $p$ un suo elemento cancellabile primo. Si verifichi che, per ogni intero positivo $n$, l'ideale $p^n R$ è $pR$-primario.
2. Provare che, in ogni anello principale, gli ideali primari non nulli sono tutti e soli quelli della forma $p^n R$, dove $p$ è un elemento primo ed $n$ un intero positivo.
3. Sotto quali condizioni una decomposizione primaria in un anello principale è minimale?
4. Siano $R$ un anello commutativo unitario ed $M$ un $R$-modulo. Provare che, per ogni $X\subseteq M$ e $N\le_R M$ si ha $(N:X)=(N:XR)$;
5. Sia $R=\prod_{i\in I}R_i$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari (non nulli). Provare che, se $I$ è infinito, in $R$ l'ideale nullo non è decomponibile (in intersezione finita di primari). Suggerimento: si provi che ogni ideale primario di $R$ contiene tutti i “fattori” $R_i$ tranne al più uno di essi.
6. Sia $X$ un intervallo compatto non degenere della retta reale e sia $C$ l'anello delle funzioni continue da $X$ a $\R$. Sapendo che gli ideali massimali di $C$ sono tutti e soli gli insiemi $M_a:=\set{f\in C\mid f(a)=0}$ al variare di $a$ in $X$ (si veda un esercizio del 10/10 a questo proposito), dopo aver osservato che per ogni $a,b\in X$, se $a\ne b$ esistono $f\in C\setminus M_a$ e $g\in C\setminus M_b$ tali che $fg=0$, concludere che ogni ideale primario di $C$ è contenuto in esattamente un ideale massimale di $C$ e che, in $C$, l'ideale nullo non è decomponibile.
7. Ogni ideale primo è irriducibile.
8. Costruire come segue un esempio di ideale ideale irriducibile non primario in un anello commutativo unitario.

   Siano $p$ un numero naturale primo e $A$ un $p$-gruppo di Prüfer, visto come $\Z$-modulo. Sia $B=A\rtimes \Z$ l'idealizzazione di $A$. Avendo identificato $A$ con l'ideale $A\times\set 0$ di $B$, provare che ogni ideale di $B$ non contenuto in $A$ contiene $A$, e descrivere così l'insieme ordinato degli ideali di $B$. Dedurne che ogni sottogruppo proprio di $A$ costituisce un ideale irriducibile e verificare che nessuno di questi ideali è primario.

   Osservare che il modulo $B_B$ è estensione di un modulo artiniano mediante un modulo noetheriano.

9. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$, decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Scrivere una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.
10. Si costruisca un esempio di ideale primario in un anello commutativo unitario noetheriano che non sia $\cap$-irriducibile.
11. Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $H\n R$. Mostrare che se $R/H$ è noetheriano allora $H$ è decomponibile.
12. Mostrare con un controesempio che, per ideali $I, J$ di un anello commutativo unitario, non si ha sempre $\sqrt {IJ}=\sqrt I \sqrt J$.

3/11

Se $Q$ un ideale $P$-primario di un anello commutativo unitario $R$ ed $a\in R\setminus Q$, allora $(Q:a)$ è $P$-primario (vedi Sharp, 4.14). Descrizione di $(H:a)$ per un ideale decomponibile $H$ di $R$ e $a\in R\setminus H$. Conseguenza: primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. L'insieme $\ass(H)$ degli ideali primi associati ad un ideale decomponibile $H$. Se $H$ è decomponibile, ogni elemento di $\var(H)$ contiene un elemento di $\ass(H)$. Primi isolati e primi immersi. I primi isolati sono gli elementi minimali di $\ass(H)$, ovvero di $\var(H)$. Sempre con riferimento ad un ideale decomponibile $H$, $\bigcup \ass(H)$ e $\bigcap \ass(H)$ sono rispettivamente l'insieme dei divisori dello zero e quello degli elementi nilpotenti modulo $H$.

Un esempio di ideale, in un anello fattoriale noetheriano, con infinite decomposizioni primarie minimali (è l'ideale $(x^n,xy)$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $K[x,y]$ su un campo $K$, per un qualsiasi intero $n>1$; si vedano gli esempi 4.27 e 4.28 in Sharp). Enunciato del secondo teorema di unicità.

Anelli di frazioni, definiti da una proprietà universale di diagrammi per omomorfismi (di anelli unitari) che invertano un assegnato sottoinsieme $S$ di un anello commutativo unitario $R$ (omomorfismi $S$-inverting). Riduzione al caso in cui $S$ sia un sottomonoide moltiplicativo. Alcuni esempi banali: il caso in cui $0_R\in S$, quello in cui $S\subseteq \U(R)$, quelo in cui $R$ è un dominio di integrità e $0\notin S$. Unicità dell'anello di frazioni (a meno di isomorfismi di $R$-algebre unitarie).

Parti sature in un semigruppo commutativo $M$; parte satura generata da un sottoinsieme. La saturazione (sottomonoide saturo generato) di una parte di un monoide commutativo.

Per gli argomenti nella seconda parte della lezione è possibile consultare le mie note.

Esercizi proposti:

1. Per un intero $n$, descrivere l'insieme degli ideali primi associati all'ideale $n\Z$ di $\Z$. Usando questo insieme, descrivere gli elementi nilpotenti ed i divisori dello zero in $\Z_n$.
2. Provare che ogni catena non vuota di ideali primi ha per intersezione un ideale primo e dedurne che la varietà di ogni ideale proprio (anche non decomponibile) in un anello unitario ha elementi minimali.
3. Sia $S$ una parte non vuota di un semigruppo commutativo $M$. Mostrare che la parte satura generata da $S$ in $M$ è $S\cup \bigcup\set{\Div_M(s)\mid s\in S}$. Cosa cambia se $M$ è un monoide?
4. Si descriva la saturazione di $\set{12}$ nel monoide $(\N,\cdot)$.
5. Verificare in dettaglio che, se $R$ è un dominio di integrità unitario ed $S$ è un suo sottoinsieme non vuoto a cui non appartenga $0_R$, il sottoanello del campo dei quozienti di $R$ generato da $R$ e da $\set{s^{-1}\mid s\in S}$ verifica (insieme all'immersione di $R$ in esso), la proprietà universale richiesta dalla definizione di anello di frazioni.
6. Siano $S$ un insieme e $T\subseteq S$. Provare che l'anello di frazioni $\set T ^{-1}\P(S)$ è isomorfo a $\P(T)$, con omomorfismo naturale $f_{\set{T}}\colon X\in\P(S)\mapsto X\cap T\in\P(T)$. Suggerimento: se $f\colon \P(S)\to A$ è un omomorfismo $\set T$-inverting di anelli (commutativi) unitari, verificare che $T^f=1_A$ e che $Y^f=0_A$ per ogni parte $Y$ di $S$ disgiunta da $T$. A questo punto, provare che $f=f_{\set{T}} \phi$ se $\phi$ è la restrizione di $f$ a $\P(T)$ e concludere la dimostrazione.
7. Siano $n$ ed $a$ interi positivi, e sia $d$ il loro massimo comun divisore positivo. Se $f\colon \Z_n\to A$ è un omomorfismo $S$-inverting di anelli (commutativi) unitari, dove $S=\set{[a]_n}$, e $\varepsilon\colon \Z\epi \Z_n$ è l'epimorfismo canonico, verificare che $n/d\in\ker(\varepsilon f)$. Usare questo fatto per dedurre che $\Z_{n/d}$ è isomorfo all'anello di frazioni $S^{-1}\Z_n$.

7/11

Discussione di alcuni esercizi.

I complementi di unioni di ideali primi in anelli commutativi sono sottosemigruppi saturi. Nel caso degli anelli unitari vale anche il viceversa: i sottomonoidi (moltiplicativi) saturi di un anello commutativo unitario sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Costruzione degli anelli di frazioni su un anello commutativo unitario. L'omomorfismo naturale ed il suo nucleo.

Caratterizzazione delle frazioni che valgono zero, l'unità, che siano invertibili in un anello di frazioni. Se una frazione $x/s$ è divisore delo zero, allora $x$ è divisore delo zero; se $x$ è nilpotente allora $x/s$ è nilpotente.

Nozioni generiche di espansione (o estensione) e contrazione di un ideale rispetto ad un omomorfismo di anelli commutativi unitari (noi le useremo solo in relazione all'omomorfismo naturale da un anello ad un suo anello di frazioni). Se $f\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli commutativi unitari e $B\n A$, allora l'antiimmagine $B^{\antivecf}$ è un ideale di $R$ ed è primo (risp. primario) in $R$ se $B$ lo è in $A$ (non vale il viceversa, vedi gli esercizi); inoltre il radicale di $B^{\antivecf}$ in $R$ è l'antiimmagine del radicale di $B$ in $A$.

Per un anello commutativo unitario $R$ ed un suo sottomonoide moltiplicativo $S$, espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo naturale da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. Per $H$ e $K$ ideali di $R$ e $S^{-1}R$ rispettivamente, descrizione esplicita di $K^c$, di $H^e$, di $H^{ec}$. L'applicazione $ce$ è l'applicazione identica in $\I(S^{-1}R)$. Dunque, $c$ è una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ in quello degli ideali di $R$, mentre $e$ è suriettiva. Conseguenza: gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani, principali), sono artiniani (risp. noetheriani, principali). Il nucleo dell'omomorfismo naturale coincide con $0^{ec}$. Si ha $H^e=S^{-1}R\iff H\cap S\ne\vuoto\iff H\cap \hat S\ne \vuoto$, dove $\hat S$ è la saturazione di $S$.

Ancora con le stesse notazioni, indicando con $\nu$ l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\nu)^{-1}R^\nu$.

Esercizi proposti:

1. Verificare che se $R$ è un anello commutativo unitario, e $A$ è una $R$-algebra commutativa unitaria, allora l'$R$-sottoalgebra unitaria generata in $A$ da una sua parte $S$ consiste delle somme di elementi della forma $s_1^{n_1}s_2^{n_2}\cdots s_t^{n_t}r$ al variare di $t, n_1, n_2,\dots, n_t\in \N$, $s_1, s_2,\dots,s_t\in S$ e $r\in R$. Riformulare questo enunciato in termini di applicazioni polinomiali.
2. Verificare tuti i dettagli relativi alla costruzione degli anelli di frazioni che sono stati tralasciati a lezione.
3. Definire, in termini di problema universale per diagrammi, la nozione di anello di frazioni per anelli commutativi arbitrari, e generalizzare a questo caso la costruzione svolta nel caso degli anelli commutativi unitari.
4. Scrivere, in un opportuno anello di frazioni, l'unità come frazione $r/s$ con $r\ne s$.
5. Trovare esempi, in opportuni anelli di frazioni $S^{-1}R$, di frazioni $r/s$ che non siano divisori dello zero, (risp. che siano nilpotenti), benché $r$ sia divisore dello zero (risp. non nilpotente) in $R$.
6. Mostrare con qualche esempio che non sempre, se $f\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli commutativi unitari e $B\n A$, $B$ è primo (o primario) in $A$ se lo è la sua antiimmagine mediante $f$.
7. Se un ideale $H$ di un anello commutativo unitario $R$ è generato da una parte $X$, allora, in un qualunque anello di frazioni di $R$, l'ideale $H^e$ è generato dall'immagine di $X$ mediante l'omomorfismo naturale.
8. Sotto quali condizioni l'applicazione contrazione (tra ideali) è suriettiva (ovvero: l'applicazione espansione è iniettiva)?
9. Per altri esercizi e osservazioni, si vedano le note.

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Con riferimento ad un anello commutativo unitario $R$, ad un suo sottomonoide moltiplicativo $S$, alle funzioni $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$: se $H$ è un ideale primario di $R$ e $H\cap S=\vuoto$, allora $H^{ec}=H$, $H^e$ è primario, (precisamente $P^e$-primario se $H$ è $P$-primario) ed è primo se $H$ è primo. Dunque, $e$ e $c$ inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra $\set{P\in \spec(R)\mid P\cap S=\vuoto}$ e $\spec(S^{-1}R)$; tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$; per ogni $P\in \spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$. Esempio: gli ideali primi e gli ideali primari negli anelli di frazioni di $\Z$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Terminologia e notazione: se $R$ è un anello commutativo unitario e $P\in \spec(R)$, la localizzazione di $R$ a $P$, cioè $(R\setminus P)^{-1}R$ si indica anche con $R_P$; il suo ideale massimale è $P^e$. Osservazione: il campo residuo di $R_P$, cioè $R_P/P^e$ è, isomorfo a $Q(R/P)$.

Il “Prime Avoidance Lemma”. Anelli semilocali e “semilocalizzazioni”.

L'applicazione $e$ conserva intersezioni finite e somme (arbitrarie) tra ideali (è un omomorfismo di reticoli).

Decomposizioni primarie in anelli di frazioni: passaggio da una decomposizione primaria minimale di un ideale $H$ a decomposizioni primarie minimali di $H^e$ e $H^{ec}$ (si veda Sharp, pag. 97 e seguenti). Dimostrazione del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali.

Anelli commutativi artiniani. Se un anello commutativo artiniano ha un elemento cancellabile $a$, allora $R$ è unitario ed ogni tale $a$ è invertibile. Dunque: i domini di integrità artiniani sono campi.

Esercizi proposti:

1. Costruire un esempio di ideale non primario $H$ in un anello commutativo unitario $R$ tale che, in un opportuno anello di frazioni $S^{-1}R$, l'ideale espanso $H^e$ sia primo. (Suggerimento: si può scegliere come $R$ un opportuno quoziente di $\Z$ e come $H$ il suo ideale nullo).
2. Fornire una descrizione, quanto più possibile sintetica ed esaustiva, dell'insieme degli ideali dell'anello di frazioni $\set{2,3,5,7}^{-1}\Z$.
3. Provare gli Esercizi 4.C nelle note, che contengono diverse indicazioni su come costruire controesempi relativi a proprietà delle funzioni espansione ($e$) e contrazione ($c$). Si può, ad esempio, dimostrare che l'applicazione contrazione $c$ non conserva, in generale, le somme né i prodotti tra ideali; mentre $e$ non conserva intersezioni arbitrarie, ma conserva prodotti.
4. Mostrare con un opportuno esempio che il Prime Avoidance Lemma fallisce per unioni infinite di primi. Suggerimento: costruire una successione strettamente crescente di ideali primi.
5. Costruire un esempio di anello commutativo unitario $R$ e di un suo insieme $\P$ di ideali primi con la proprietà che, se $S=R\setminus\bigcup\P$, in $S^{-1}R$ esista un ideale primo non contenuto nell'espansione di alcun elemento di $\P$.
6. Fornire un esempio di dominio di integrità unitario con esattamente cinque ideali primi.

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Discussione di alcuni esercizi.

Sia $R$ un anello commutativo artiniano. Allora: ogni ideale primo di $R$ è massimale; l'insieme degli ideali primi di $R$ è finito (l'enunciato analogo per gli ideali massimali è stato menzionato ma non dimostrato); il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente (dimostrazione svolta solo nel caso in cui $R$ sia unitario).

Due lemmi: (1) se $H$ è un ideale dell'anello commutativo $R$ e $\sqrt H$ è finitamente generato allora $\sqrt H/H$ è nilpotente; (2) se $M$ è un modulo dell'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se $M$ è artiniano.

Teorema di Hopkins-Levitzki per anelli commutativi: un anello commutativo unitario è artiniano se e solo se è noetheriano di dimensione 0. Gli anelli commutativi unitari artiniani sono, in modo unico, prodotto diretto di anelli locali.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ un anello commutativo unitario artiniano. Allora $\jac(R)=\nrad(R)$. L'uguaglianza continua a valere per anelli non unitari? (Suggerimento: si consideri un anello con moltiplicazione costante zero.)
2. Nell'anello di polinomi $\Q[x]$, siano $f=x+1$ e $g=x^2$. L'anello $R=\Q[x]/(fg)$ è artiniano; verificarlo e rappresentare $R$ come prodotto diretto di anelli artiniani locali. Suggerimento: $(fg)=(f)\cap (g)$ è una decomposizione primaria minimale di $(fg)$.
3. Costruire un esempio di ideale $H$ (in un anello commutativo unitario) tale che $\sqrt H/H$ non sia nilpotente. Lo si può fare in modo che $\sqrt H$ sia l'ideale generato dalle indeterminate (che devono essere infinite) in un anello di polinomi.
4. Dimostrare che, se $R$ è un dominio di integrità unitario noetheriano di dimensione 1 e $0\ne H\n R$, allora $R/H$ è artiniano. In caso di dubbi rivolgersi ad Hopkins per informazioni.

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Discussione di alcuni esercizi.

Teorema dell'intersezione di Krull per ideali di un anello commutativo unitario noetheriano e per moduli finitamente generati su anelli noetheriani (il risultato continua a valere per moduli noetheriani su anelli commutativi unitari arbitrari, si vedano gli esercizi).

Discussione informale su alcuni aspetti della teoria delle categorie. Categorie, funtori, oggetti iniziali e finali (e problemi universali di diagrammi).

Esercizi proposti:

1. Sia $M$ un modulo noetheriano su un anello commutativo unitario $R$. Mostrare che $R/\ann_R(M)$ è un anello noetheriano. (Suggerimento: se $X$ è un insieme finito che genera $M$, osservare che $R/\ann_R(x)\iso xR$ è noetheriano; osservare poi che $R/\ann_R(M)$ si immerge in $\prod_{x\in X}R/\ann_R(x)$.)
2. Utilizzando l'esercizio precedente e quanto dimostrato a lezione, provare questa forma del teorema dell'intersezione di Krull: se $M$ è un modulo noetheriano su un anello commutativo unitario $R$ e $H\n R$, posto $I=\bigcap_{n\in\N}MH^n$, si ha $IH=H$.
3. Siano $p$ un primo e $A=\bigoplus_{i\in\N^+}\gen{a_i}$, una somma diretta di gruppi ciclici, dove ciascun $a_i$ ha ordine $p^i$. Siano $B=\gen{p^{i-1}a_i-a_1\mid i\in\N^+}$ e $M=A/B$. Posto $R=\Z$ e $H=p\Z$, si ha $D:=\bigcap\set{MH^n\mid n\in\N}=\gen{a_1+B}\ne 0=DK$. Ciò mostra che il teorema dell'intersezione di Krull non vale necessariamente per moduli che non siano finitamente generati, anche su anelli noetheriani. Ricaviamo da ciò anche un esempio di anello non noetheriano in cui non valga il teorema dell'intersezione di Krull per ideali?
4. Sia $f\colon R\to S$ un omomorfismo di anelli (commutativi) unitari. Verificare che $f$ induce un funtore dalle categoria degli $S$-moduli a quella degli $R$-moduli; mandando ogni $S$-modulo in se stesso, riguardato come $R$-modulo via $f$, ed ogni $S$-omomorfismo in sé.
5. Verificare che la costruzione fatta per immergere ogni anello commutativo $R$ in un anello commutativo unitario $R_1$ (costruito sul prodotto cartesiano $R\times \Z$) definisce un funtore (covariante) dalla categoria degli anelli commutativi quella degli anelli commutativi unitari. Si tratta, in primo luogo, di definire correttamente l'omomorfismo (di anelli unitari) da associare ad un dato omomorfsmo di anelli.

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Discussione di alcuni esercizi.

Una conseguenza del teorema dell'intersezione di Krull: se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano e $J=\jac(R)$, allora $\bigcap\set{J^n\mid n\in\N}=0$. Se $R$ è semilocale si ha anche che $R$ è artiniano se e solo se $J^n=0$ per qualche $n\in\N$.

Ulteriori discussioni informali sulla teoria delle categorie. Ancora sugli oggetti iniziali e finali e sui problemi universali di diagrammi. Oggetti zero e zero-morfismi. Equivalenze tra categorie (come funtori fedeli, pieni e densi), scheletro di una categoria, cenni alle trasformazioni naturali. Categorie additive. La categoria $\Mod_R$ dei moduli su un fissato anello commutativo $R$ è additiva: per due moduli $A$ e $B$ su $R$ abbiamo definito e discusso il modulo $\Hom_R(A,B)$, come sottomodulo del prodotto diretto $B^A$. Cenno alla nozione categoriale di kernel (ed a quelle di cokernel ed immagine) ed alle categorie abeliane; il tutto esemplificato in $\Mod_R$. Per un $R$-modulo $M$, i funtori $\Hom_R(M,-)$ (covariante) e $\Hom_R(-,M)$ (controvariante) da $\Mod_R$ a se stesso: sono funtori additivi.

Esercizi proposti:

1. Se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano e $J=\jac(R)$, a meno che $R$ non sia semilocale non è detto che $R$ sia artiniano se esiste $n\in\N$ tale che $J^n=0$. Controesempio: $\Z$.
2. Sia $R$ un anello commutativo unitario e sia $B$ un $R$-modulo. Allora $\Hom_R(R_R,B)\iso B$ (suggerimento: $R_R$ è un modulo libero). Cosa succede se ad $R_R$ sostituiamo un arbitrario $R$-modulo libero?

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Discussione di un esercizio; isomorfismi $\Hom_R(\coprod_{i\in I}A_i, B)\iso \prod_{i\in I}\Hom_R(A_i, B)$ e $\Hom_R(B, \prod_{i\in I}A_i)\iso \prod_{i\in I}\Hom_R(B,A_i)$ per un $R$-modulo $B$ ed una famiglia $(A_i)_{i\in I}$ di $R$-moduli (si vedano gli esercizi per ulteriori osservazioni).

Complessi di catene (sequenze quasi-esatte); sequenze esatte, sequenze esatte corte (ovvero estensioni di moduli).

Estensioni spezzate di moduli (definite tramite l'esistenza di un mono spezzante) e loro caratterizzazione in termini di decomposizione in somma diretta del termine centrale. La corrispondente caratterizzazione in termini di esistenza di un epi spezzante è stata solo enunciata.

Funtori (additivi) esatti; funtori esatti a sinistra o a destra. Esattezza a sinistra (ma, in generale, non a destra) del funtore $\Hom_R(M,-)$ per un arbitrario modulo $M$ su un anello commutativo unitario $R$. Definizione di modulo proiettivo.

Esercizi proposti:

1. Siano $R$ un anello commutativo unitario, $A$ un $R$-modulo e $(B_i)_{i\in I}$ una famiglia di $R$-moduli. Provare che esiste un monomorfismo $\coprod_{i\in I}\Hom_{R}(A,B_i)\mono \Hom_{R}(A,\coprod_{i\in I}B_i)$. In generale, non si ha qui un isomorfismo: un controesempio è al prossimo esercizio.
2. Sia $A$ un gruppo abeliano libero di base numerabile, sia $p$ un numero naturale primo e sia, per ogni $i\in\N$, $B_i$ un gruppo ciclico di ordine $p^i$. Provare che $\coprod_{i\in\N}\Hom_{\Z}(A,B_i)$ è periodico mentre $\Hom_{\Z}(A,\coprod_{i\in\N}B_i)$ non lo è. Concludere che questi due gruppi di omomorfismi non sono isomorfi tra loro. (Suggerimento: date per buone le usuali identificazioni, indicata come $\set{a_i\mid i\in\N}$ (con $a_i\ne a_j$ se $i\ne j$) una base di $A$, esiste un omomorfismo $a\to\coprod_{i\in\N}B_i$ che manda ciascun elemento $a_i$ in un generatore di $B_i$.)
3. Provare, utilizzando in modo diretto la definizione, che $\Z$ è uno $\Z$-modulo proiettivo e, più in generale, che ogni anello commutativo unitario, visto come modulo su se stesso, è proiettivo. (Ricordarsi del secondo esercizio delle lezione scorsa).
4. Riguardando l'esempio visto a lezione, che partiva dalla sequenza esatta corta $p\Z\immersione \Z\epi \Z_p$, dove $p$ è un numero primo, concludere che $\Z_p$, considerato come $\Z$-modulo non è proiettivo. Dedurre invece, dall'esercizio precedente, oppure per via diretta, che $\Z_p$, riguardato come $\Z_p$-modulo è proiettivo.
   Ispirandosi allo stesso esempio, provare che nessun gruppo abeliano finito non nullo è proiettivo come $\Z$-modulo.
5. Per un anello commutativo unitario $R$, dati un $R$-modulo $M$ ed un omomorfismo $\alpha\colon X\to Y$ di $R$-moduli, indicando con $\alpha^*$ l'immagine di $\alpha$ rispetto al funtore controvariante $\Hom_R(-,M)$,
   1. descrivere $\ker\alpha^*$ e provare che $\alpha^*$ è mono se $\alpha$ è epi;
   2. provare che $\Hom_R(-,M)$ è esatto a sinistra.
6. Considerata la sequenza esatta corta di $\Z$-moduli $\Z\mono \Q\epi \Q/\Z$, provare che il funtore controvariante $\Hom_{\Z}(-,\Z)$ non è esatto a destra. Suggerimento: è sufficiente verificare che $\Hom_{\Z}(\Q,\Z)=0$; per farlo basta osservare che, per ogni $\alpha\in\Hom_{\Z}(\Q,\Z)$, ogni elemento di $\im\alpha$ deve essere divisibile (in $\Z$) per ogni intero.

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Cenni all'esattezza a sinistra del funtore Hom controvariante ed alla nozione di modulo iniettivo.

Caratterizzazione dei moduli proiettivi (più o meno come in Cohn, vol. 2, Theorem 4.5.4). Conseguenza: una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Per sottomoduli $A$ e $B$ di uno stesso modulo, estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$. Se $A+B$ è proiettivo, allora $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo.

Esempi (senza dimostrazione): sono liberi tutti i moduli proiettivi su un anello principale (anzi, tutti i sottomoduli di un modulo libero su un anello principale sono liberi); sono liberi tutti i moduli proiettivi su un anello (commutativo) unitario locale. Esempi di moduli proiettivi non liberi (su quozienti di $\Z$).

Lemma della base duale (Cohn, vol. 2, Proposition 4.5.5).

Ideali frazionari di un dominio di integrità unitario $R$. Ideali frazionari principali. Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari tutti gli $R$-sottomoduli non nulli di $A$, quindi $A\cap B$, ma anche $AB$, $A+B$ e $(A:B)_{Q(R)}$.

Esercizi proposti:

1. Tutti i moduli liberi non nulli sono fedeli. Vale lo stesso per i moduli proiettivi?
2. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Provare che $R$ è principale se e solo se ogni suo ideale è libero (come $R$-modulo).
3. Sia $F=A\oplus B$ un modulo libero (su un anello commutativo unitario), dove $A$ è un sottomodulo (proiettivo ma) non libero. Posto $F^*=\coprod_{i\in\N} F$, provare che $A\oplus F^*\iso F^*$. Dunque $A$ fornisce un esempio di modulo proiettivo non libero con complemento libero in un modulo libero
4. Leggere la definizione di ideale frazionario fornita in Cohn (vol. 2, pag. 321) e verificare che è equivalente a quella fornita a lezione.
5. Provare che il sottoanello $\Q_{2}=\Z[1/2]$ di $\Q$ non è un ideale frazionario di $\Z$.
6. Se $R$ è un dominio di integrità unitario, provare che ogni $R$-sottomodulo non nullo finitamente generato del campo dei quozienti di $R$ è un ideale frazionario di $R$.

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Richiami e approfondimenti sulla divisibilità nei monoidi commutativi. Preordinamenti e loro massimo quoziente ordinato. Divisibilità come preordinamento, relazione "essere elementi associati" ($\sim$) in un monoide commutativo $M$. Il quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$, come monoide ordinato dalla divisibilità. Un monoide commutativo cancellativo $M$ è fattoriale se e solo se $\tilde M$, ordinato per divisibilità, è un reticolo a condizione minimale.

Esempi di applicazione agli anelli: fattorialità e dimensione degli anelli principali; teorema di Bézout e suo duale.

Questo materiale è contenuto, insieme a molto altro che non abbiamo discusso in dettaglio, nelle prime tre sezioni del capitolo delle note dedicato agli anelli di Dedekind.

Studio del monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari di un dominio di integrità $R$ e del suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Ideali invertibili (sono tra questi gli ideali (frazionari) principali non nulli). Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, il suo inverso è $(R:A)_{Q(R)}$. Gli ideali frazionari invertibili sono esattamente quelli proiettivi, inoltre essi sono finitamente generati.

Anelli Di Dedekind. Definizione e prime, ovvie caratterizzazioni. Gli anelli principali sono di Dedekind; questi ultimi sono noetheriani. Lemma: se $I$ e $J$ sono ideali in un dominio di integrità unitario $R$ e $I$ è invertibile, allora $I$ divide $J$ in $\I^*(R)$ se e solo se $I\supseteq J$. Dunque, se $R$ è un anello di Dedekind, nel monoide $\I^*(R)$ degli ideali interi (non nulli) di $R$, la relazione di divisibilità è la relazione di inclusione inversa. Conseguenze: $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale i cui elementi irriducibili sono gli ideali massimali, che sono precisamente gli ideali primi non nulli. Dunque: ogni ideale non banale di $R$ è prodotto di ideali primi (ovvero massimali) e tale decomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio le proprietà elementari relative alla divisibilità in monoidi commutativi unitari che non abbiamo provato a lezione.
2. Verificare in dettaglio come il massimo quoziente ordinato di un insieme preordinato verifichi una proprietà universale e si possa così riguardare come oggetto iniziale di una opportuna categoria.
3. Le note contengono diversi esercizi e osservazioni su questioni di divisibilità e fattorialità. Darci un'occhiata.
4. Costruire, in un opportuno dominio di integrità unitario, un ideale frazionario non finitamente generato.
5. Provare che se $A$ e $B$ sono ideali frazionari del dominio di integrità unitario $R$ e $A$ è invertibile, allora $(B:A)_{Q(R)}=A^{-1}B$.

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Se $R$ è di Dedekind, il gruppo dei suoi ideali frazionari è abeliano libero sulla base costituita dagli ideali primi non nulli di $R$.

Alcune proprietà di tipo aritmetico per gli ideali di un anello di Dedekind $R$. In $\I(R)$, il MDC e mcm tra due ideali sono, rispettivamente, la somma e l'intersezione tra ideali stessi. Se $0\ne H\n R$, i divisori primi di $H$ in $\I^*(R)$ sono gli elementi di $\var (H)$; inoltre $R/H$ ha solo un numero finito di ideali (ed è quindi artiniano). Senza dimostrarlo, abbiamo poi detto che ogni ideale di $R/H$ è principale. Di conseguenza, per ogni $h\in H\setminus 0$ esiste $k\in H$ tale che $H=(h,k)$.

Ideali primari e decomposizioni primarie in anelli di Dedekind.

Sia $S$ l'insieme degli ideali non invertibili di un dominio di integrità unitario $R$. Allora $S$ ha elementi massimali (rispetto all'inclusione), e questi sono tutti ideali primi. Dunque: $R$ è di Dedekind (risp. principale) se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili (risp. principali). Solo a titolo di notizia: più in generale, per un arbitrario anello commutativo unitario $R$: se ogni ideale primo di $R$ è principale, ogni ideale di $R$ è principale.

$R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale proprio è prodotto di ideali primi. La dimostrazione fornita usa un lemma: l'eventuale fattorizzazione di un ideale in prodotto di ideali primi invertibili è sempre unica a meno dell'ordine dei fattori. Conseguenza: gli anelli di frazioni non nulli di anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Una proprietà degli anelli fattoriali: se $R$ è fattoriale ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo non nullo. (vale anche il viceversa, che non abbiamo dimostrato). Di conseguenza gli ideali primi non nulli minimali in un anello fattoriale sono principali. Quindi sono equivalenti, per un dominio di integrità unitario $R$: (1) $R$ è principale; (2) $R$ è fattoriale e di Dedekind; (3) $R$ è fattoriale e $\dim R\le 1$.

Discussioni sul problema della fattorialità per un anello di Dedekind. Il gruppo delle classi in un anello di Dedekind $R$. Questo gruppo è identico se e solo se $R$ è fattoriale (ovvero principale); finito nel caso degli anelli degli interi di campi di numeri (ne discutermo più avanti); ha struttura del tutto arbitraria (nel senso che può essere isomorfo a qualsiasi gruppo abeliano) nel caso generale.

Localizzazioni degli anelli di Dedekind (ovvero: anelli locali di Dedekind): sono principali; descrizione dei loro ideali. Senza dimostrazione: sono principali tutti gli anelli di Dedekind semilocali.

Esercizi proposti:

1. In un anello di Dedekind $R$, due ideali sono comassimali se e solo se sono coprimi in $\I(R)$.
2. Sia $R$ un anello fattoriale. Se due qualsiasi elementi irriducibili di $R$ sono associati, allora $R$ è un anello principale locale.
3. Costruire un anello di Dedekind che abbia precisamente 1001 ideali primi. Se ne può realizzare uno non principale?

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Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare. Sono di Bézout gli anelli principali; per un anello di Bézout sono equivalenti le proprietà di essere noetheriano, principale, fattoriale. Due esempi di anelli di Bézout non noetheriani (senza dimostrazioni): il sottoanello $\Z+x\Q[x]$ di $\Q[x]$; l'anello dei numeri complessi interi algebrici (vedi oltre).

Anelli di valutazione (definiti internamente). Caratterizzazioni elementari; gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Gli anelli locali di Dedekind (vale a dire: le localizzazioni degli anelli di Dedekind) sono di valutazione. Essi sono, precisamente, gli anelli principali di valutazione (anche detti anelli di valutazione discreta).

Cenni alla nozione di valutazione (come particolare omomorfismo dal gruppo moltiplicativo di un campo ad un gruppo abeliano totalmente ordinato); anello di una valutazione; equivalenza tra questa nozione e quella di anello di valutazione da noi definita. Esempio: valutazioni $p$-adiche in $\Q$ e, più in generale, nel campo dei quozienti di un anello fattoriale.

Solo enunciato: sia $H$ un ideale proprio di un sottoanello unitario $R$ di un campo $K$; sia $S$ l'insieme delle coppie $(A,I)$ tali che $A$ sia un sottoanello di $K$ contenente $R$ e $I$ sia un ideale proprio di $A$ contenente $H$. Allora, $S$, ordinato per “inclusione componente per componente”, è un insieme induttivo, e se $(V,M)$ è un suo elemento massimale, $V$ è un anello di valutazione con ideale massimale $M$, inoltre $K=Q(V)$.

Interi su un anello (commutativo unitario). Ampliamenti interi (o integrali). Interi algebrici.

Alcune caratterizzazioni: Se $R$ è un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$, per ogni $c\in A$ sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ammette un modulo fedele che è finitamente generato come $R$-modulo. Se $c$ è invertibile in $A$, queste condizioni equivalgono a $c\in R[c^{-1}]$.

Se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. Di conseguenza se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ è un ampliamento $R$ e ciascuno dei $c_i$ è algebrico su $R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo e quindi un ampliamento intero di $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello. Transitività dell'integralità. Domini di integrità unitari integralmente chiusi.

Sia $R$ un anello fattoriale. Se $0\ne f\in R[x]$ e $c=u/v$ è una radice di $f$ in $Q(R)$, dove $u$ e $v$ sono elementi coprimi di $R$, allora $u$ e $v$ dividono, rispettivamente, il termine noto ed il coefficiente direttore di $f$. Conseguenza: gli anelli fattoriali sono integralmente chiusi. Applicazioni di queste osservazioni ai polinomi a coefficienti interi.

Gli anelli di valutazione sono integralmente chiusi. Più precisamente: la chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ in un campo $K$ che lo contenga è l'intersezione dei sottoanelli (unitari) $V$ di $K$ contenenti $R$ che siano di valutazione e tali che $K=Q(V)$.

Siano $A$ un anello commutativo unitario e $R$ un suo sottoanello unitario. Se $A$ è intero su $R$ e se $P$ e $Q$ sono ideali primi di $A$ tali che $P\subseteq Q$ e $P\cap R=Q\cap R$, allora $P=Q$.

Esercizi proposti:

1. Leggere e giustificare, nelle note, le osservazioni ed esempi relativi alla nozione di valutazione (al momento numerate come 8.B.3 e 8.B.4) ed al fatto che l'anello $\Z+x\Q[x]$ è di Bézout (8.A.2). Di osservazioni ed esercizi che può essere istruttivo leggere e affrontare ce ne sono, ovviamente, anche altri.
2. Verificare che, se $R$ è un anello principale di valutazione, il suo gruppo degli ideali frazionari è isomorfo, sia come gruppo che come insieme ordinato, a $\Z$.
3. Verificare che tutti gli anelli di frazioni non nulli di un anello di valutazione sono anelli di valutazione
4. Trovare tutte le radici razionali del polinomio $3x^4+x^3+6x^2-x-1\in\Z[x]$.
5. La sezione aurea $(1+\sqrt 5)/2$ è un intero algebrico che non appartiene a $\Z[\sqrt 5]$ ma appartiene al suo campo dei quozienti. Dedurne che $\Z[\sqrt 5]$ non è integralmente chiuso (e quindi non è fattoriale).
6. Spiegare perché la descrizione della chiusura integrale di un dominio di integrità unitario come intersezione di anelli di valutazione comporta una dimostrazione alternativa del fatto che gli anelli fattoriali sono integralmente chiusi.
7. Provare che, se l'anello commutativo $A$ è un ampliamento intero del suo sottoanello unitario $R$, ogni catena finita di ideali primi di $A$ dà luogo, se intersecata con $R$, ad una catena di ideali primi di $R$ della stessa lunghezza. Cosa ci dice questa osservazione sulle dimensioni di $R$ ed $A$?

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Osservazioni sulla conservazione della dimensione nel passaggio ad ampliamenti interi di anelli commutativi unitari.

Lemma: se $R$ è un anello commutativo noetheriano, ogni ideale non nullo di $R$ contiene un prodotto di ideali primi non nulli di $R$.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione; (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$.

Campi di numeri e loro anelli degli interi algebrici. Alcune osservazioni: il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Di conseguenza, se $K$ è un campo di numeri e $Z_K$ è il suo anello degli interi algebrici, allora $K=Q(Z_K)$ (quindi $Z_K$ è integralmente chiuso) e $K$ ha una $\Q$-base costituita da interi algebrici. L'anello $Z_K$ ha dimensione 1. Questo anello è di Dedekind, ma il fatto che è noetheriano non è stato dimostrato.

Richiami di alcune nozioni di teoria dei campi e di teoria di Galois. Relativamente ad un campo di numeri $K$: gli omomorfismi da $K$ alla sua chiusura normale; il discriminante di una base di $K$: è un numero razionale non nullo, intero se la base è costituita da interi algebrici.

Considerazoni varie ed applicazioni, generalmente senza dimostrazioni. Enunciato del teorema degli invertibili di Dirichlet e, come conseguenza, struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri. Esempio: struttura di $(\Q^*,\cdot)$.

Norma definita in un campo di numeri $K$. Norma e divisibilità in $Z_K$: l'unico elemento di norma 0 è 0; se $a,b\in Z_K$e $a$ divide $b$ in $Z_K$ allora $N_K(a)$ divide $N_K(b)$ in $\Z$ e, in ogni caso, $a$ divide $N_K(a)$ in $Z_K$. Di conseguenza gli elementi di norma $\pm 1$ sono esattamente quelli invertibili; gli elementi di norma un intero primo sono irriducibili.

Indice degli ideali di $Z_K$: se $0\ne a\in Z_K$ allora $|Z_K/aZ_K|$ è il valore assoluto della norma di $a$ rispetto a $K$ (affermazione non dimostrata).

Descrizione degli anelli degli interi nei campi quadratici (solo enunciato).

Esempi di fattorizzazione di ideali in prodotto di ideali primi nell'anello $\Z[\sqrt{-5}]$ (l'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt{-5}]$). Confronto tra fattorizzazione di elementi e fattorizzazione di ideali.

Esercizi proposti:

1. Provare che se $R$ è un sottoanello unitario di un dominio di integrità unitario $A$ intero su $R$, allora $R$ è un campo se e solo se $A$ è un campo.
2. Nelle stesse notazioni dell'esercizio precedente, sia $P$ un ideale primo di $R$. Provare che l'insieme degli ideali $H$ di $A$ tali che $R\cap H\subseteq P$ ha elementi massimali e che questi sono tutti primi.
3. Ancora nelle stesse notazioni, sia $P$ un ideale primo di $R$ e sia $S=R\setminus P$. Provare che l'omomorfismo $r/s\in S^{-1}R\mapsto r/s\in S^{-1}A$ è iniettivo e quindi $R_P$ si può riguardare come sottoanello di $S^{-1}A$. Detto $M$ un ideale massimale di $S^{-1}A$ e detta $Q$ la sua contrazione, provare che $P\cap R=Q$. (Suggerimento: utilizzare uno degli esercizi precedenti per identificare $M\cap S^{-1}R$.)
4. Generalizzando quanto visto nel corso delle dimostrazione del teorema di Noether, provare che se $R$ è un dominio di integrità unitario, l'intersezione delle sue localizzazioni ad ideali massimali (realizzate nel campo dei quozienti di $R$) è $R$ stesso.
5. Sia $d$ un intero negativo libero da quadrati, e sia $R_d$ l'anello degli intero di $\Q[\sqrt{d}]$. Provare che, se $d\lt-3$, allora i soli invertibili di $R_d$ sono $1$ e $-1$; determinare gli invertibili nei tre casi rimanenti.
6. Provare che $3+2\sqrt 2$ è un elemento invertibile di periodo (moltiplicativo) infinito nell'anello degli interi di $\Q[\sqrt 2]$.
7. Nell'anello degli interi di $\Z[\sqrt{-6}]$, fattorizzare in prodotto di primi l'ideale generato da $6$ e scrivere le fattorizzazioni di $6$ in prodotto di irriducibili.
8. Le note, contengono altre osservazioni, esercizi ed esempi su questi argomenti.