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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento.

Richiami sugli anelli; anelli commutativi; anelli unitari: omomorfismi di anelli unitari, sottoanelli unitari e non. Esempi. Cenni informali alle algebre universali ed alle categorie.

L'anello $(\P(S),\ds,\cap)$ delle parti di un insieme $S$. Se $T\subset S$, l'immersione di $\P(T)$ in $\P(S)$ è un esempio di monomorfismo di anelli tra anelli (commutativi) unitari che non è un omomorfismo di anelli unitari; $\P(T)$ è un sottoanello di $\P(S)$, che è unitario come anello ma non come sottoanello di $\P(S)$.

L'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli su un anello (unitario): due definizioni equivalenti; una in termini di operazione esterna $M\times R\to M$, l'altra tramite un omomorfismo di anelli unitari $R\to\End(M,+)$, che chiamiamo omomorfismo di struttura (se $*\colon M\times R\to M$ è l'operazione esterna, l'omomorfismo di struttura $\lambda\colon R\to\End(M,+)$ è definito ponendo $a^{r^\lambda}=a*r$ per ogni $a\in m$ e $r\in R$.)

Esempi di moduli: spazi vettoriali; gruppi abeliani come moduli sull'anello $\Z$ degli interi (unicità della struttura di $\Z$-modulo su un assegnato gruppo abeliano); per ogni anello commutativo unitario $R$, il modulo $R_R$, cioè $R$ visto come modulo su se stesso, utilizzando l'operazione moltiplicativa interna di $R$ anche come operazione esterna.

Sottomoduli (esempi, tra questi: ideali di un anello commutativo unitario $R$ come sottomoduli di $R_R$). Sottomoduli banali. Omomorfismi tra $R$-moduli. I gruppi abeliani come moduli su $\Z$. Moduli irriducibili (o semplici)

Esercizi proposti:

1. (Immersione di un anello in un anello unitario.) Dato un anello (non necessariamente unitario) $S$, si definisce in $R=S\times\Z$ una struttura di anello unitario come segue: per ogni $x$, $y$ in $S$ ed ogni $n$, $m$ in $\Z$ si pone $(x,n)\oplus(y,m)=(x+y,n+m)$ e $(x,n)\odot(y,m)=(xy+ny+mx,nm)$; allora $(R,\oplus,\odot)$ è effettivamente un anello. Verificarlo in dettaglio. Verificare poi che questo anello è unitario e che l'applicazione $f\colon x\in S\mapsto (x,0)\in R$ è un monomorfismo di anelli, dunque $S$ è isomorfo ad un sottoanello di $R$. Più precisamente (l'esercizio continua), l'immagine $S\times\set{0}$ di $f$ è un ideale di $R$. $\set{0_S}\times\Z$ è un sottoanello, o addirittura un ideale, di $R$?
2. Verificare in dettaglio la correttezza della definizione dell'anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano.
3. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello $\P(\N)$ delle parti di $\N$?
4. Per un insieme finito $S$, quali sono gli ideali dell'anello delle parti di $S$?
5. Utilizzando la nozione di omomorfismo di struttura, provare le seguenti regole elementari di calcolo nei moduli: scelti comunque un anello commutativo unitario $R$ ed un $R$-modulo $M$, per ogni $a,b\in M$ e $x\in R$, $a0_R=0_M x=0_M$, $-(ax)=(-a)x=a(-x)$, $(a-b)x=ax-bx$.

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Osservazioni su alcuni esercizi della lezione precedente; in particolare: regole di calcolo nei moduli.

Congruenze in un modulo; quozienti di moduli e loro sottomoduli (teorema di corrispondenza). Teoremi di omomorfismo per moduli.

Per un modulo $M$ su un anello (commutativo) $R$: prodotto tra una parte $X$ di $M$ ed una parte di $R$. Per ogni ideale $H$ di $R$, $XH$ è un sottomodulo di $M$; assumendo $R$ unitario, $XR$ è il sottomodulo generato da $X$. Somma tra sottomoduli (sottomodulo da essi generato). Come caso particolare, osservazioni sul prodotto tra ideali.

Somma diretta (esterna) e prodotto diretto tra moduli. Corrispondenti proprietà universali. Nozioni categoriali di prodotto e di coprodotto; unicità, a meno di isomorfismi, di prodotto e coprodotto. Queste nozioni sono discusse, ad esempio, in Sharp, cap. 6, ma meglio in Cohn, vol. 2, sez. 4.1, si veda in particolare pag. 129.

Somma diretta interna di sottomoduli di un modulo; è isomorfa alla somma diretta (esterna).

Moduli ciclici su un anello commutativo unitario $R$. Loro caratterizzazione come moduli isomorfi a quozienti $R/H$ del modulo $R_R$; qui ovviamente $H$ è un ideale di $R$. (Ho dimenticato, a lezione, di osservare che ogni tale modulo è ciclico; si veda a questo proposito uno degli esercizi).

Annullatore di un modulo e di una sua parte.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio i teoremi di omomorfismo e di corrispondenza per moduli.
2. Completando quanto visto solo per cenni, per una famiglia $(M_i)_{i\in I}$ di moduli su un anello commutativo unitario $R$, verificare la buona definizione dei morfismi canonici $\mu_i\colon M_i\mono \bigoplus_{i\in I} M_i$ e $\pi_i\colon\prod_{i\in I} M_i\epi M_i$ introdotti a lezione. Verificare poi le proprietà universali che qualificano somme e prodotti diretti tra $R$-moduli come coprodotto e prodotto in senso categoriale.
3. Osservare che, se $R$ è un anello commutativo unitario, $R_R$ è un modulo ciclico (indicare un generatore). Verificare poi che i quozienti dei moduli ciclici sono essi stessi ciclici. Concludere che tutti i quozienti di $R_R$ sono ciclici.
4. Sia $H$ un ideale dell'anello commutativo unitario $R$. Identificare l'annullatore dell'$R$-modulo $R/H$.
5. Con le notazioni dell'esercizio precedente, sotto quali condizioni l'$R$-modulo $R/H$ è irriducibile? (Ricordiamo, dalla lezione precedente, che per definizione un modulo è irriducibile se e solo se non è nullo e non ha sottomoduli non banali.)
6. Quali spazi vettoriali sono irriducibili? E quali gruppi abeliani (se visti come $\Z$-moduli)?
7. Si trovino gli annullatori (in $\Z$) dei seguenti gruppi abeliani: $(\Z,+)$, $\Z\oplus B$, $A\oplus B$, dove $A$ e $B$ sono gruppi ciclici di ordini, rispettivamente, 10 e 15, $\bigoplus_{n\in\N^+}C_n$, dove $N^+=\N\setminus\set 0$ e, per ogni $n\in\N^+$, $C_n$ è un gruppo ciclico di ordine $n$.

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Moduli fedeli. Ancora sui moduli ciclici ed i loro annullatori. $R_R$ come modulo ciclico fedele; unico a meno di isomorfismi (come al solito, $R$ indica un anello commutativo unitario). Caratterizzazione dei moduli irriducibili (a meno di isomorfismi) come quozienti dell'anello degli scalari modulo un ideale massimale, cioè come moduli ciclici che hanno come annullatore un ideale massimale. Esempi (in spazi vettoriali; in gruppi abeliani).

Cambio degli scalari: dato un $R$-modulo $M$ ed un omomorfismo di anelli unitari $\lambda\colon S\to R$, struttura di $S$-modulo su $M$ indotta da $\lambda$. Come caso particolare: struttura di modulo indotta per restrizione ad un sottoanello unitario di $R$. Struttura di $R/H$-modulo su $M$, dove $H$ è un ideale di $R$ contenuto in $\ann_R(M)$. Con riferimento a quest'ultimo caso, gli $(R/H)$-sottomoduli di $M$ sono precisamente gli $R$-sottomoduli di $M$.

Richiami sugli ideali massimali, e sul teorema dell'ideale massimale di Krull (solo come notizia: la validità di questo teorema per gli anelli fattoriali è equivalente, in ZF, all'assioma di scelta).

Se $\mathcal C$ è una catena non vuota di sottomoduli di un modulo $M$, allora $V:=\bigcup\mathcal C$ è un sottomodulo di $M$, e se $V$ è finitamente generato allora $V\in\mathcal C$. Come conseguenza: ogni modulo finitamente generato e non nullo ha sottomoduli massimali. Questa è una forma generalizzata del teorema dell'ideale massimale di Krull ed è una delle forma del Lemma di Nakayama.

Il radicale di Jacobson di un anello (commutativo unitario). Siano $R$ un anello commutativo unitario e $a\in R$. Allora $a\notin \U(R)$ se e solo e $aR\ne R$, ovvero se e solo se $R$ ha un ideale massimale a cui appartiene $a$. Dunque, $R\setminus \U(R)$ è l'unione degli ideali massimali di $R$. Per ogni ideale massimale $M$ di $R$, si ha $a\in M\iff (\forall r\in R)(1+ar\notin M)$. Da ciò segue la caratterizzazione del radicale di Jacobson di $R$ come $\set{a\in R\mid (\forall r\in R)(1+ar\in \U(R))}$ (come, ad esempio, in Sharp, Lemma 3.17). Osservazioni ulteriori: se $\U(R)=1$, allora $\jac(R)=0$ (ad esempio, questa situazione si verifica per l'anello delle parti di un insieme). Anelli locali (attenzione: Sharp usa una terminologia differente, e meno comune; i nostri anelli locali sono quelli che Sharp chiama anelli quasi-locali). Un anello commutativo unitario $R$ è locale se e solo $R\setminus \U(R)$ è un ideale di $R$ (in tal caso, questo ideale è quello massimale). Qualche esempio di anello locale (i campi, i quozienti di $\Z$ di ordine una potenza di primo).

Lemma di Nakayama, nella sua formulazione standard (ad esempio, Sharp, 8.24; Atiyah-Macdonald, Prop. 2.6; Cohn, vol. 2, Lemma 4.6 e Corollary 4.7. Nei primi due casi le dimostrazioni sono diverse dalla nostra, gli enunciati palesemente equivalenti).

Esercizi proposti:

1. $\Q$ è uno $\Z$-modulo privo di sottomoduli massimali. Verificarlo. Provare a definire su $\Q$ una moltiplicazione $*$ in modo che $(\Q,+,*)$ sia un anello commutativo privo di ideali massimali (quindi certamente non unitario).
2. Per ogni primo $p$, il sottoanello $\Q_{p'}=\set{a/b\mid a\in\Z\land b\in\Z\setminus p\Z}$ di $\Q$; è un anello locale.
3. Descrivere il radicale di Jacobson dell'anello $\Z_n$, per un arbitrario intero positivo $n$. In quali casi si ha $\jac(\Z_n)=0$?

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Somme e prodotti tra parti di un anello. Associatività della moltiplicazione (tra parti) e distributività rispetto all'addizione (per parti contenenti lo zero). Il monoide moltiplicativo $\I(R)$ degli ideali di un anello commutativo unitario $R$.

Prodotti ed intersezioni tra ideali; ideali comassimali (o coprimi) tra loro. Se due ideali $I$ e $J$ sono comassimali con un ideale $H$, allora anche $IJ$ è comassimale con $H$. Per ogni intero positivo $n$, se $H_1, H_2,\dots, H_n$ sono ideali a due a due comassimali, allora $H_1 H_2\cdots H_n=H_1\cap H_2\cap\cdots\cap H_n=$. A titolo di esempio, abbiamo interpretato queste nozioni nell'anello degli interi.

Legge modulare (di Dedekind) per sottomoduli di un modulo. Se due sottomoduli $A$ e $B$ di un modulo $M$ sono confrontabili ed hanno la stessa somma e la stessa intersezione con un assegnato un sottomodulo di $M$ allora $A=B$.

Lemma di Nakayama in forma forte (NAK). Una delle formulazioni è: se $M$ è un modulo fedele finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale proprio di $R$, allora $MH\ne M$. Un'altra è: se $M$ è un modulo finitamente generato su un anello commutativo unitario $R$ e $H$ è un ideale di $R$, allora $MH=M$ se e solo se esiste $h\in H$ tale che $ah=a$ per ogni $a\in M$. Per dimostrarlo abbiamo usato il lemma: se $I$ ed $H$ sono ideali di un anello commutativo unitario $R$ e $M=aR$ è un $R$-modulo ciclico, allora $aI\subseteq aH$ se e solo se $I\subseteq H+\ann_R(M)$.

Prodotto diretto (esterno) di anelli (commutativi) unitari. Proiezioni dal prodotto diretto ai singoli fattori; fattori del prodotto come ideali (principali, tra loro ortogonali, isomorfi a quozienti dell'anello prodotto). Nel caso in cui l'insieme di indici sia finito, prodotti diretti interni (o somme dirette di anelli unitari): sia $R$ un anello commutativo unitario il cui gruppo abeliano è decomponibile in somma diretta finita di ideali di $R$, vale a dire, per $R_R$, in somma diretta interna di sottomoduli. Esistano dunque $n\in\N^+$ e $H_1,H_2,\dots, H_n\n R$ tali che $R_R=H_1\oplus H_2\oplus\cdots\oplus H_n$. Allora ciascuno degli $H_i$ è un anello unitario e $R$ è isomorfo (in modo canonico) al prodotto esterno di anelli unitari $H_1\times H_2\times\cdots\times H_n$. (Viceversa, un prodotto esterno di un numero finito dei anelli unitari si può sempre riguardare come prodotto diretto interno dei suoi "sottoanelli fattori" del prodotto).

Idempotenti canonici in un prodotto diretto di anelli commutativi unitari. Idempotenti in anelli commutativi unitari; idempotenti ortogonali. Se $t$ è un idempotente, anche $1-t$ lo è, ed è ortogonale ad $t$.

Esercizi proposti:

1. Siano $X$ e $Y$ sottoinsiemi di un insieme $S$. Allora $\P(X)$ e $\P(Y)$ sono ideali di $\P(S)$. Calcolarne somma e prodotto.
2. Verificare che, per ogni spazio topologico $X$, l'insieme delle funzioni continue da $X$ al campo $\R$ dei reali costituisce un sottoanello unitario dell'anello delle funzioni da $X$ a $\R$. Nell'ipotesi che $X$ sia compatto, descriverne gli ideali massimali (indicazioni su come procedere sono in Sharp, Esercizio 3.18).
3. Assegnato un insieme $S$, verificare che l'applicazione che ad ogni parte $X$ di $S$ associa la funzione caratteristica di $X$ da $S$ a $\Z_2$ è un isomorfismo di anelli unitari da $(\P(S), \ds,\cap)$ all'anello di funzioni $\Z_2^S$.
4. Determinare tutti gli idempotenti di $\Z_{12}$.

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Corrispondenza tra le fattorizzazioni di $R$ in prodotto diretto di un numero finito di suoi ideali e decomposizioni della sua unità in somma di idempotenti ortogonali: se $R=H_1\times H_2 \times\cdots\times H_n$, allora $1_R=h_1+h_2+\cdots+h_n$, dove, per ogni $i$, $h_i$ è un idempotente in $H_i$ (generatore, come ideale, e unità, come anello, di $H_i$) ed è ortogonale ad $h_j$ per ogni $j\ne i$; viceversa, se $1_R=\sum_{i=1}^n h_i$, dove, per ogni $i$ e $j$ in $\set{1,2,\dots,n}$, $h_i^2=h_i$ e $h_i h_j=0_R$ se $i\ne j$, allora $R$ è prodotto diretto degli ideali $h_iR$: $R=h_1R\times h_2R \times\cdots\times h_nR$. Conseguenza: un anello commutativo unitario è indecomponibile in prodotto diretto se e solo se è privo di idempotenti non banali. Esempi in quozienti di $\Z$ e nell'anello delle parti di un insieme.

Per una famiglia $(H_i)_{i\in I}$ di ideali di un anello commutativo unitario $R$, discussione dell'omomorfismo $\varepsilon\colon R\to \prod_{i\in I}(R/H_i)$ indotto dagli epimorfismi canonici $R\epi R/H_i$, come ad esempio in Atiyah-Macdonald, Proposizione 1.10, ma con qualche dettaglio in più: $\ker\varepsilon=\bigcap_{i\in I}H_i$; se $\varepsilon$ è suriettiva gli ideali $H_i$ sono a due a due comassimali; vale anche il viceversa se $I$ è finito. Applicazione importante ai quozienti di $\Z$ e conseguenze aritmetiche: teorema cinese dei resti, moltiplicatività della funzione $\varphi$ di Eulero.

Moduli liberi. Unicità, a meno di isomorfismi, del modulo libero di assegnato rango su un anello commutativo unitario $R$. Caratterizzazione degli $R$-moduli liberi come somme dirette di copie di $R_R$. Ogni modulo è isomorfo ad un quoziente di un modulo libero.

Richiami: ideali primi e loro caratterizzazioni elementari. Tra queste (sempre con riferimento ad un anello commutativo unitario $R$): un ideale proprio $P$ di $R$ è primo se e solo se, scelti comunque ideali $I$, $J$ di $R$, se $IJ\subseteq P$ allora $P$ contiene almeno uno tra $I$ e $J$ (basta anche limitarsi al caso in cui $I$ e $J$ contengono $P$). Lo spettro (primo) $\spec(R)$ di $R$. Un lemma fondamentale: Teorema 3.44 di Sharp, (o 9.2.2 nel secondo volume di Cohn), dove l'ipotesi che $S$ contenga 1 è sovrabbondante e può essere sostituita da $S\ne\vuoto$. Elementi nilpotenti. Il nil-radicale (o radicale) $\nrad(R)=\bigcap\spec(R)$ di $R$ e sua descrizione come l'insieme degli elementi nilpotenti di $R$.

Esercizi proposti:

1. Sia $R=H_1\times H_2 \times\cdots\times H_n$ un prodotto diretto di un numero finito di anelli commutativi unitari. Provare che ogni ideale $I$ di $R$ ha la forma $I=I_1\oplus I_2\oplus\cdots\oplus I_n$, dove, per ogni $i$, $I_i=IH_i=I\cap H_i$ è un ideale di $H_i$.
2. Utilizzando l'esercizio precedente, descrivere gli ideali massimali, gli ideali primi, il radicale di Jacobson ed il nilradicale di un prodotto diretto di un numero finito di anelli commutativi unitari.
3. Determinare tutte le decomposizioni in prodotto diretto dell'anello $\Z_{60}$.
4. Sia $S$ un insieme finito. Quali sono gli ideali primi in $\P(S)$?
5. Sia $S$ un insieme arbitrario e $T\subseteq S$. Esiste un ideale $H$ di $\P(S)$ tale che $\P(S)=\P(T)\oplus H$?
6. Sia $H$ un ideale finitamente generato di un anello commutativo unitario $R$. Provare che se $H^2=H$ allora $H$ è un ideale principale, generato da un idempotente, e quindi $R=H×K$ per un opportuno ideale $K$ (suggerimento: si applichi NAK a $H$…)

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Alcuni esercizi, riguardanti per lo più l'anello delle parti di un insieme. Cenni alla nozione di reticolo ed a quella di anello booleano.

La varietà $\var(H)=\var_R(H)=\set{P\in\spec(R)\mid H\subseteq P}$ ed il radicale $\surd(H) = \bigcap\var(H)$ di un ideale $H$ di un anello commutativo unitario $R$. Qualche esempio.

In ogni anello commutativo unitario $R$ si ha $\nrad(R)\subseteq \jac(R)$, quindi la somma tra un elemento invertibile ed un elemento nilpotente è necessariamente invertibile (ne abbiamo anche vista una verifica diretta). Esempio: per ogni primo $p$, $\jac(\Q_{p'})=p\Q_{p'}\ne 0=\nrad(\Q_{p'})$; qui $\Q_{p'}$ è il sottoanello $\set{a/b\mid a\in\Z\land b\in\Z\setminus p\Z}$ (locale, come da un esercizio proposto il 28/9) del campo razionale; ovviamente $\nrad(R)=0$ per ogni dominio di integrità $R$.

Algebre (commutative, associative) su un anello commutativo unitario $R$ (Cohn, vol. 2, cap. 5). Algebre unitarie e loro descrizione equivalente tramite l'omomorfismo strutturale. Esempi: anelli (commutativi), visti come $\Z$-algebre; anelli unitari come algebre su se stessi; estensioni di anelli (unitari) e di campi.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria (si veda il primo degli esercizi di oggi).

Esercizi proposti:

1. Verificare tutti i dettagli nella costruzione, presentata a lezione, e qui indicata, che permette di immergere ogni algebra in un'algebra unitaria.
   Siano dati un anello commutativo unitario $(R,+,\cdot)$ ed una $R$-algebra (associativa, commutativa, ma non necessariamente unitaria) $(A,+,\cdot)$, con operazione esterna $\bullet$. Sia $(B,+)$ la somma diretta esterna $(A,+) \oplus(R,+)$. Inoltre, definiamo in $B$ l'operazione binaria $*$ ponendo, per ogni $a,b\in A$ ed ogni $r,s\in R$, $(a,r)*(b,s)=(ab+a\bullet s+b\bullet r,rs)$. Allora $(B,+,*)$ è un anello unitario, di unità $(0_A,1_R)$. Inoltre $\rho\colon r\in R\mapsto (0_A,r)\in B$ è un monomorfismo di anelli unitari, che struttura $B$ come $R$-algebra unitaria, e $\alpha\colon a\in A\mapsto (a,0_R)\in B$ è un monomorfismo di $R$-algebre; inoltre $\im\alpha$ è un ideale di $B$.
2. Sia $R$ un anello unitario di caratteristica $c>0$. Provare che $R$ si può strutturare, in un unico modo, come algebra su $\Z_c$.
3. Provare che ogni modulo libero non nullo è fedele.
4. Sia $R$ un anello commutativo unitario. Verificare che $R$ è un campo se e solo se ogni modulo su $R$ è libero.

12/10

Richiami sulle algebre (su un anello commutativo unitario $R$). Omomorfismi tra $R$-algebre. Se $A$ e $B$ sono algebre unitarie con omomorfismi di struttura $\phi_A\colon R\to A$ e $\phi_B\colon R\to B$ e $\sigma$ è un omomorfismo di anelli unitari $A\to B$, allora $\sigma$ è un omomorfismo di $R$-algebre se e solo se $\phi_B=\phi_A\sigma$. Esempi: l'omomorfimo di struttura è un omomorfismo di algebre; omomorfismi tra estensioni di campi e gruppo di Galois.

Idealizzazione di un modulo (una descrizione è nell'esercizio 2 della lezione del 28/10 dell'anno scorso).

Algebre unitarie commutative libere: anelli di polinomi (proprietà universale per gli anelli di polinomi; si veda, ad esempio, Sharp, Lemma 1.13 e, più avanti, 1.16 e 1.17). Unicità. Cenno alle possibili costruzioni.

L'anello delle serie formali di potenze su un anello commutativo unitario $R$. Caratterizzazione degli elementi invertibili in $R[[x]]$; se $R$ è un campo questo anello è locale.

Esercizi proposti:

1. Si fornisca un esempio di un campo $F$, un suo sottocampo $K$ e di un automorfismo dei $F$ (come campo) che non sia un automorfismo di $F$ visto come $K$-algebra.
2. Trovare un anello $R$ ed un suo ideale $H$ tali che $H^2=0$ ma, con riferimento all'ovvia struttura di $(R/H)$ modulo per $H$, l'idealizzazione $H\rtimes (R/H)$ non sia isomorfa ad $R$.
3. Descrivere l'idealizzazione di $\Z_2$ visto come modulo su se stesso (struttura additiva e moltiplicativa; proprietà dei singoli elementi, radicali, ideali). Quale ben noto anello è isomorfo a questa idealizzazione? Trovare un'altra descrizione di questo anello, ad esempio (a meno di isomorfismi) come quoziente dell'anello di polinomi $\Z_2[x]$.
4. Descrivere gli elementi idempotenti nell'anello delle serie formali $R[[x]]$, per un anello commutativo unitario $R$. (Suggerimento: sia $f$ un idempotente in $R[[x]]$; per un intero positivo $t$ opportunamente scelto, si scriva $f$ come $a+bx^t+x^{t+1}g$, dove $a,b\in R$ e $g\in R[[x]]$. Si deduca che $a$ è idempotente e, calcolando il coefficiente $t$-esimo di $f^2$, che $2ab=b$. Se ne ricavi $ab=0$ e quindi $b=0$). Utilizzando questa descrizione, si provi che $R[[x]]$ (ovvero $R[x]$) è indecomponibile in prodotto diretto di anelli se e solo se lo è $R$.

15/10

Per un anello commutativo unitario $R$: caratterizzazione degli elementi invertibili in $R[x]$; descrizione del nilradicale e del radicale di Jacobson (che coincidono) in $R[x]$. I divisori dello zero in $R[x]$ sono annullati da qualche elemento non nullo di $R$.

Condizioni di catena per insiemi ordinati. Moduli artiniani e moduli noetheriani. Anelli artiniani e noetheriani. Esempi. Tra questi: qualsiasi sia l'anello commutativo unitario $R$, ogni anello di polinomi $R[X]$ su un insieme infinito $X$ di indeterminate non è noetheriano (cenno alla proprietà di Hopf). Sottomoduli, quozienti ed estensioni di moduli noetheriani (risp. artiniani) sono a loro volta noetheriani (risp. artiniani). La somma di un numero finito di sottomoduli noetheriani (risp. artiniani) di un modulo è necessariamente noetheriana (risp. artiniana).

Caratterizzazione dei moduli noetheriani in termini di sottomoduli finitamente generati. Osservazione: un modulo non noetheriano contiene sempre sottomoduli che siano massimali tra quelli non finitamente generati, perché l'insieme dei sottomoduli non finitamente generati è induttivo.

Esercizi proposti:

1. Descrivere i divisori dello zero nell'anello di polinomi $\Z_{12}[x]$.
2. Estendendo quanto visto a lezione, descrivere gli elementi invertibili, nilpotenti, divisori dello zero nell'anello dei polinomi $R[X]$, per un anello commutativo unitario $R$ ed un arbitrario insieme $X$ di indeterminate.
3. Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un prodotto diretto $\prod_{i\in I}R_i$ di anelli commutativi unitari? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) l'anello delle parti di un insieme? Sotto quali condizioni è noetheriano (risp. artiniano) un modulo libero?
4. Un modulo $M$ è sia artiniano che noetheriano se e solo se si ottiene per estensioni successive, in numero finito, da moduli semplici, ovvero: se e solo se esistono $n\in\N$ e sottomoduli $H_0, H_1, H_2,\dots ,H_n$ tali che $0=H_0 \lt H_1\lt H_2\lt\cdots \lt H_n=M$ e $H_i/H_{i-1}$ è semplice per ogni $i\in\set{1,2,\dots,n}$.
5. Sia $\theta\colon S\to R$ un omomorfismo di anelli unitari (con $R$ e $S$ commutativi) e sia $M$ un $R$-modulo, visto $M$ anche come $S$-modulo via $\theta$. È vero che se $M$ è artiniano (risp. noetheriano) come $R$-modulo se lo è come $S$-modulo? E viceversa?
6. Visto come modulo su se stesso, ogni anello non noetheriano fornisce un esempio di modulo finitamente generato (addirittura ciclico) ma non noetheriano.
7. Verificare che, come detto a lezione, nel reticolo dei sottomoduli di un modulo i compatti sono precisamente i sottomoduli finitamente generati. (In un insieme ordinato $(S,\le)$ un elemento $x$ è compatto se e solo se, scelta comunque una parte $X$ di $S$ tale che $x=\sup X$, esiste un sottoinsieme finito $F$ di $X$ tale che $x=\sup F$.)

19/10

I moduli finitamente generati sugli anelli noetheriani (risp. artiniani) sono noetheriani (risp. artiniani).

Il teorema della base di Hilbert (per anelli di polinomi in un numero finito di indeterminate), con un inquadramento storico. Corollario: sia $A$ un'algebra commutativa unitaria su un anello commutativo unitario noetheriano $R$; allora $A$ è noetheriano come anello. Osservazione ulteriore: se non si assume che $A$ sia unitaria, si può comunque concludere che $A$ verifica la condizione massimale sugli ideali che siano $R$-sottomoduli. Abbiamo anche visto un esempio di algebra monogenerata su $\Z[x]$ (noetheriano) che non è noetheriana come anello.

Ideale $(N:X)=\ann_R (X+N/N)$ per un sottomodulo $N$ ed una parte $X$ di un $R$-modulo. Come caso particolare: divisione tra ideali. Osservazione: per ogni elemento $a$ ed ogni ideale $H$ di un anello commutativo unitario $R$, si ha $a(H:a)=aR\cap H$.

Un ideale massimale per la proprietà di non essere finitamente generato è necessariamente primo, quindi: un anello commutativo unitario è noetheriano se e solo se tutti i suoi ideali primi sono finitamente generati (Teorema 8.12 in Sharp).

Teorema della base per anelli di serie formali di potenze: se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, $R[[x]]$ è noetheriano.

Esercizi proposti:

1. Di ciascuno dei seguenti anelli dire se è artiniano e se è noetheriano: $\Z_{20}[x]$, $\Q[x]/x^2\Q[x]$,il sottoanello $\Z[i]=\set{a+ib\mid a, b\in\Z}$ del campo complesso (questo è l'anello degli interi di Gauss).
2. Sia $K$ un campo e sia $K[X]$ l'anello dei polinomi su $K$ su un insieme infinito di indeterminate. Individuare un ideale di $K[X]$ che sia massimale tra quelli non finitamente generati. Ripetere l'esercizio dopo aver sostituito $\Z$ a $K$.
3. (A proposito della dimostrazione del teorema della base.) Sia $R$ un anello commutativo unitario. Trovare ideali distinti $H$, $K$ di $R[x]$ tali che, per ogni $n\in\N$, l'ideale $C_n(H)$ di $R$ costituito dai coefficienti direttori dei polinomi in $H$ di grado al più $n$ coincida con l'ideale $C_n(K)$ definito in modo analogo a partire da $K$.
4. Siano $I$ un insieme, $R$ un anello commutativo unitario ed $M$ un $R$-modulo.
   1. Per ogni $X\subseteq M$ e $N\le_R M$ si ha $(N:X)=(N:XR)$;
   2. se, per ogni $i\in I$, $X_i\subseteq M$, allora, per ogni $N\le_R M$, si ha $(N:\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}(N:X_i)$;
   3. se, per ogni $i\in I$, $N_i\le_R M$, allora, per ogni $X\subseteq M$, si ha $(\bigcap_{i\in I} N_i:X)=\bigcap_{i\in I} (N_i:X)$.

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Ideali primari. Definizione e proprietà essenziali; gli ideali primo sono primari, il radicale di un ideale primario $H$ è primo (è quindi il minimo primo contenente $H$). Descrizione degli ideali primari in un anello principale. Due osservazioni: se $R$ è un anello commutativo unitario, $P$ e $p$ ne sono, rispettivamente, un ideale primo ed un elemento cancellabile primo, per ogni intero positivo $n$, si ha $P=\sqrt {P^n}$ e l'ideale $p^n R$ è primario.

Discussione sui metodi di costruzione di controesempi, esemplificato sulla costruzione, in un anello commutativo unitario, di un ideale primo $P$ il cui quadrato $P^2$ non sia primario (un esempio molto simile si trova in Sharp, Esempio 4.12).

Un ideale che abbia come radicale un ideale massimale è necessariamente primario. Un esempio di ideale primario che non è potenza di alcun ideale primo: l'ideale generato da $x$ e $y^2$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $x$ e $y$ a coefficienti in un campo.

Ideali irriducibili (per intersezione). Ideali decomponibili (in intersezione di primari). Se $R$ è un anello commutativo unitario noetheriano, ogni suo ideale irriducibile è primario e ogni suo ideale proprio è intersezione finita di ideali irriducibili, quindi: ogni ideale proprio di $R$ è decomponibile.

Se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; se inoltre $P$ è un ideale primo e $I$ e $J$ sono $P$-primari, allora $I\cap J$ è $P$-primario. Decomposizioni primarie minimali di ideali decomponibili. Esempio: le decomposizioni primarie minimali in $\Z$.

Un esempio di ideale irriducibile non primario in un anello commutativo unitario molto prossimo all'essere noetheriano (dettagli tra gli esercizi).

Esercizi proposti e obbligatori pena scomunica:

1. Determinare gli ideali primari dell'anello delle parti di un insieme $S$, partendo dall'osservazione che gli ideali primari sono massimali ed hanno indice 2 in $\P(S)$.
2. Usando il risultato dell'esercizio precedente, determinare gli ideali decomponibili in $\P(S)$.
3. Sia $R=\prod_{i\in I}R_i$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari (non nulli). Provare che se $I$ è infinito l'ideale nullo non è decomponibile in $R$ (in intersezione finita di primari). Suggerimento: si provi che ogni ideale primario di $R$ contiene tutti i fattori $R_i$ tranne al pù uno di essi.
4. Ogni ideale primo è irriducibile.
5. Completando quanto visto a lezione, costruire come segue un esempio di ideale ideale irriducibile non primario in un anello commutativo unitario.

   Siano $p$ un numero naturale primo e $A$ un $p$-gruppo di Prüfer, visto come $\Z$-modulo. Sia $B=A\rtimes \Z$ l'idealizzazione di $A$. Avendo identificato $A$ con l'ideale $A\times\set 0$ di $B$, provare che ogni ideale di $B$ non contenuto in $A$ contiene $A$, e descrivere così l'insieme ordinato degli ideali di $B$. Dedurne che ogni sottogruppo proprio di $A$ costituisce un ideale irriducibile e verificare che nessuno di questi ideali è primario.

   Osservare che il modulo $B_B$ è estensione di un modulo artiniano mediante un modulo noetheriano.

6. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$, decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Scrivere una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.

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Discussione di un esercizio proposto nella lezione precedente.

Se $Q$ un ideale $P$-primario di un anello commutativo unitario $R$ ed $a\in R\setminus Q$, allora $(Q:a)$ è $P$-primario (vedi Sharp, 4.14). Conseguenza: primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. L'insieme $\ass(H)$ degli ideali primi associati ad un ideale decomponibile $H$. Se $H$ è decomponibile, ogni elemento di $\var(H)$ contiene un elemento di $\ass(H)$. Primi isolati e primi immersi. I primi isolati sono gli elementi minimali di $\ass(H)$, ovvero di $\var(H)$. Sempre con riferimento ad un ideale decomponibile $H$, $\bigcup \ass(H)$ e $\bigcap \ass(H)$ sono rispettivamente l'insieme dei divisori dello zero e quello degli elementi nilpotenti modulo $H$. Esemplificazione di questi risultati nel caso degli ideali di $\Z$.

Un esempio di ideale, in un anello fattoriale noetheriano, con infinite decomposizioni primarie (è l'ideale $(x^n,xy)$ nell'anello dei polinomi a due indeterminate $K[x,y]$ su un campo $K$, per un qualsiasi intero $n>1$; si vedano gli esempi 4.27 e 4.28 in Sharp).

Anelli di frazioni, definiti da una proprietà universale di diagrammi per omomorfismi (di anelli unitari) che invertano un assegnato sottoinsieme $S$ di un anello commutativo unitario $R$ (omomorfismi $S$-inverting). Riduzione al caso in cui $S$ sia un sottomonoide moltiplicativo. Alcuni esempi banali: il caso in cui $0_R\in S$, quello in cui $R$ è un dominio di integrità e $0\notin S$.

Unicità dell'anello di frazioni (a meno di isomorfismi di $R$-algebre unitarie) e sua costruzione. Notazione: $S^{-1}R$ (per una parte arbitratria $S$ ell'anello commutativo unitario $R$).

Nucleo dell'omomorfismo (naturale) $f_S\colon r\in R\mapsto r/1\in S^{-1}R$: è $\bigcup\set{(H:s)\mid s\in S}$.

Esercizi proposti:

1. Provare che se $Q$ è un ideale primario di un anello commutativo unitario $R$ e $a\in R\setminus P$, allora $(Q:a)=Q$
2. Si costruisca un esempio di ideale primario in un anello commutativo unitario noetheriano che non sia $\cap$-irriducibile.
3. In ogni anello commutativo unitario, tutti gli ideali di indice finito sono decomponibili.
4. Provare che ogni catena non vuota di ideali primi ha per intersezione un ideale primo e dedurne che la varietà di ogni ideale proprio (anche non decomponibile) ha elementi minimali.
5. Sia $H$ un ideale decomponibile in un anello commutativo unitario $R$. Per ogni $P\in\ass(H)$ esiste $a\in R$ tale che $(H:a)$ è $P$-primario.
6. Sia $R$ l'anello delle funzioni continue dall'intervallo $[0,1]$ a $\R$ (con la topologia usuale). Utilizzando la descrizione degli ideali massimali di $R$, richiesta in un esercizio del 1 ottobre, provare che, per ogni $f\in R\setminus\set{0_R}$, $\ann_R(f)$ è contenuto in infiniti ideali massimali, che ogni ideale primario di $R$ è contenuto in esattamente un ideale massimale, e quindi che, per ogni $f\in\R$, $\ann_R(f)$ non è decomponibile.
7. Sia $f\colon R\to A$ un omomorfismo di anelli (commutativi). Provare che, per ogni $H\n R$, $(\sqrt H)^{\vec f}\subseteq \sqrt {H^{\vec f}}$.
8. Siano $T$ e $V$ sottoinsiemi di un anello commutativo unitario $R$ e sia $S=T\cup V$. Detta $\bar V$ l'immagine di $V$ nell'omomorfismo naturale $R\to T^{-1}R$, provare che $S^{-1}R\iso \bar V^{-1}(T^{-1}R)$. Suggerimento: usare la definizione in termini di proprietà universale.

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Parti sature in un semigruppo commutativo $M$; parte satura generata da un sottoinsieme: essa coincide con $\bigcup\set{\Div_M(s)\mid s\in S}$. La parte satura generata da un sottosemigruppo è sempre un sottosemigruppo; un sottomonoide se $M$ è un monoide. La saturazione di (cioè il sottomonoide saturo generato da) una parte $S$ di un monoide commutativo. I sottomonoidi (moltiplicativi) saturi di un anello commutativo unitario sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Applicazione agli anelli di frazioni: l'anello di frazioni definito da un anello commutativo unitario ed una sua parte $S$ è isomorfo a quello definito dalla saturazione di $S$.

Condizioni necessarie e sufficienti affinché un elemento $x/s$ di $S^{-1}R$ sia rispettivamente lo zero, nilpotente, divisore dello zero, l'unità, invertibile. Se $x/s$ è un divisore dello zero in $S^{-1}R$, allora $x$ lo è in $R$. Osservazioni sull'ambiguità della notazione $x/s$. per indicare elementi in un anello di frazioni.

Ulteriori esempi di anelli di frazioni. Se, con le notazioni di sopra, $S$ è un sottomonoide e contiene un elemento $m$ che sia multiplo di tutti gli elementi di $S$ (ad esempio, se $S$ è un sottomonoide finito), allora l'omomorfismo naturale $f_S$ è suriettivo e $S^{-1}R\iso \set m^{-1}R\iso R/\ann_R(m)$. Cenni agli anelli di frazioni dei quozienti propri di $\Z$, da completare con gli esercizi.

Nozioni generiche di espansione (o estensione) e contrazione di un ideale rispetto ad un omomorfismo di anelli commutativi unitari (noi le useremo solo in relazione all'omomorfismo naturale da un anello ad un suo anello di frazioni). Se $f\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli commutativi unitari e $B\n A$, allora l'antiimmagine $B^{\antivecf}$ è un ideale di $R$ ed è primo (risp. primario) in $R$ se $B$ lo è in $A$ (non vale il viceversa, vedi gli esercizi); inoltre il radicale di $B^{\antivecf}$ in $R$ è l'antiimmagine del radicale di $B$ in $A$.

Per un anello commutativo unitario $R$ ed un suo sottomonoide moltiplicativo $S$, espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo naturale da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. Per $H$ e $K$ ideali di $R$ e $S^{-1}R$ rispettivamente, descrizione esplicita di $K^c$, di $H^e$. L'applicazione $ce$ è l'applicazione identica in $\I(S^{-1}R)$. Dunque, $c$ è una immersione dell'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ in quello degli ideali di $R$, mentre $e$ è suriettiva. Conseguenza: gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani), sono artiniani (risp. noetheriani).

Nel corso della lezione è stata dimostrata un'osservazione non pertinente (ma che lo diventerà in futuro): se $R$ è un anello commutativo unitario in cui l'ideale nullo è primario (risp. primo) in ogni anello di frazioni di $R$ che non sia triviale l'ideale nullo è primario (risp. primo).

Esercizi proposti:

1. Può capitare che il sottomonoide generato da una parte satura in un monoide commutativo non sia saturo. Costruire un esempio. (Suggerimento: se ne trovano tra i sottomonoidi di $(\P(S), \cup)$, per insiemi $S$ non troppo piccoli.)
2. Costruire un esempio di anello commutativo unitario $R$ e di un suo sottoanello unitario che sia un dominio di integrità ed abbia un elemento non nullo ma divisore dello zero in $R$.
3. Siano $X$ un insieme e $Y\subseteq X$. Si descriva l'anello di frazioni $S^{-1}\P(X)$, dove $S=\set Y$.
4. Sia $R=H\times K$ un prodotto diretto di anelli commutativi unitari; sia $S$ il gruppo degli invertibili di $H$. Si descriva $S^{-1}R$. Si confronti questa descrizione con quanto ottenuto con l'esercizio precedente.
5. Trovare (e giustificare in modo completo) una descrizione generale degli anelli di frazioni dei quozienti di $\Z$, elaborando i cenni forniti a lezione.
6. Posto, per ogni $n\in\Z$, $\bar n=[n]_{20}$, $R=\Z_{20}$ e $S=\set{\bar n\mid n\in\Z\setminus 2\Z}$, ogni elemento di $S^{-1}R$ si può rappresentare come $\bar n/\bar 1$ per qualche $n\in\set{0,1,2,3}$. Spiegare perché, e rappresentare in questa forma le frazioni $\bar 1/\bar 5$, $\bar 1/\bar 3$, $\bar 2/\overline {15}$ di $S^{-1}R$.
7. Mostrare con qualche esempio che non sempre, se $f\colon R\to A$ è un omomorfismo di anelli commutativi unitari e $B\n A$, $B$ è primo (o primario) in $A$ se lo è la sua antiimmagine mediante $f$.
8. Se un ideale $H$ di un anello commutativo unitario $R$ è generato da una parte $X$, allora, in un qualunque anello di frazioni di $R$, l'ideale $H^e$ è generato dall'immagine di $X$ mediante l'omomorfismo naturale. Dedurne che gli anelli di frazioni degli anelli commutativi unitari ad ideali tutti principali sono ad ideali tutti principali (e quelli degli anelli principali sono principali).

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Ancora sulle applicazioni $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$, dove $R$ è un anello commutativo unitario $R$ e $S$ un suo sottomonoide moltiplicativo. Per ogni $H\n R$, $H^e=\bigcup_{s\in S}(H:s)$ (ad esempio, $0^{ec}$ è il nucleo dell'omomorfismo naturale $f_S$); inoltre $H^e=S^{-1}R\iff H\cap S\ne\vuoto\iff H\cap \hat S\ne \vuoto$, dove $\hat S$ è la saturazione di $S$. Se $H$ è primario in $R$ e $H\cap \hat S\ne \vuoto$, allora $H^{ec}=H$, $H^e$ è primario, (precisamente $P^e$-primario se $H$ è $P$-primario) ed è primo se $H$ è primo. Dunque, $e$ e $c$ inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra $\set{P\in \spec(R)\mid P\cap S=\vuoto}$ e $\spec(S^{-1}R)$; tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$; per ogni $P\in \spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$. Esempio: gli ideali, gli ideali primi e gli ideali primari di $\Z[1/2]$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Terminologia e notazione: se $R$ è un anello commutativo unitario e $P\in \spec(R)$, la localizzazione di $R$ a $P$, cioè $(R\setminus P)^{-1}R$ si indica anche con $R_P$; il suo ideale massimale è $P^e$. Osservazione: il campo residuo di $R_P$, cioè $R_P/P^e$ è, isomorfo a $Q(R/P)$. Esempio: descrizione degli ideali di $\Q_{2'}=\Z_{2\Z}$.

Sono disponibili, in versione (come evidente, molto) preliminare alcune note sugli anelli di frazioni. Si tratta di pagine estratte da un file un po' più lungo che non so se arriverà mai ad essere completato, ed anche questa sezione immagino che subirà prossimamente modifiche e aggiunte. Prego segnalarmi errori—di qualsiasi genere—imprecisioni, omissioni; eventuali suggerimenti di altra natura sono altrettanto bene accolti

Esercizi proposti:

1. Costruire un esempio di ideale non primario $H$ in un anello commutativo unitario $R$ tale che, in un opportuno anello di frazioni $S^{-1}R$, l'ideale espanso $H^e$ sia primo. (Suggerimento: si può scegliere come $R$ un opportuno quoziente di $\Z$ e come $H$ il suo ideale nullo).
2. Le note contengono tantissimi esercizi, molti dei quali più interessanti del precedente. Sbizzarrirsi.

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Ancora sulle applicazioni $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$, dove $R$ è un anello commutativo unitario $R$ e $S$ un suo sottomonoide moltiplicativo.

Il ‘Prime Avoidance Lemma’; ideali primi e primari in un anello di frazioni $S^{-1}R$ nel caso in cui $S$ sia il complemento della unione di un numero finito di ideali primi. Un tale anello è semilocale.

Struttura degli anelli commutativi artiniani. I domini di integrità artiniani sono campi. Di conseguenza, se $R$ è un anello commutativo artiniano, gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali; inoltre $\spec(R)$ è finito e $\jac(R)$ è un ideale nilpotente.

Lemma: un modulo annullato da un prodotto (finito) di ideali massimali è artiniano se e solo se è noetheriano.

Ho aggiornato il file delle note sugli anelli di frazioni. Usarlo anche per fare un po' di esercizi, in aggiunta a quelli indicati qui sotto.

Esercizi proposti:

1. In ogni anello commutativo artiniano $R$ si ha $\jac(R)=\nrad(R)$.
2. Provare che ogni catena non vuota di ideali primi in un anello commutativo unitario ha per unione un ideale primo.
3. Costruire un esempio di anello commutativo unitario $R$ e di un suo insieme $\P$ di ideali primi con la proprietà che, se $S=R\setminus\bigcup\P$, in $S^{-1}R$ esista un ideale primo non contenuto nell'espansione di alcun elemento di $\P$.
4. Costruire un esempio di ideale non nilpotente costituito da elementi nilpotenti.
5. Vedi le note.

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Ancora sulle applicazioni $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$, dove $R$ è un anello commutativo unitario $R$ e $S$ un suo sottomonoide moltiplicativo. L'applicazione $e$ conserva somme arbitrarie, prodotti ed intersezioni binarie (se $(H_i)_{i\in I}$ è una famiglia di ideali di $R$, allora $\bigl(\sum_{i\in I} H_i\bigr){}^e=\sum_{i\in I} H_i^e$, se $I,J\n R$ allora $(IJ)^e=I^e J^e$ e $(I\cap J)^e=I^e\cap J^e$), ma non, in generale, intersezioni arbitrarie. Invece $c$ conserva le intersezioni (arbitrarie) ma, in generale, non le somme né i prodotti. Per controesempi a questo riguardo, si vedano gli esercizi nelle note. Dunque, $e$ è un omomorfismo di reticoli, $c$ non lo è sempre.

Decomposizioni primarie in anelli di frazioni: passaggio da una decomposizione primaria (minimale) di un ideale $H$ a decomposizioni primarie (minimali) di $H^e$ e $H^{ec}$ (si veda Sharp, pag. 97 e seguenti). Come conseguenza: secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Riconsiderazione di esempi già visti.

Cenno alla costruzione dell'anello di frazioni a partire da anelli non unitari.

Lemma: se $H$ è un ideale dell'anello commutativo $R$ e $\sqrt H$ è finitamente generato allora $\sqrt H/H$ è nilpotente.

Teorema di Hopkins-Levitzki per anelli commutativi: un anello commutativo unitario è artiniano se e solo se è noetheriano di dimensione 0. Gli anelli commutativi unitari artiniani sono, in modo unico, prodotto diretto di anelli locali.

Le note si sono espanse: aggiornata la sezione sugli anelli di frazioni e aggiunta una sezione sugli anelli artiniani.

Esercizi proposti:

1. Provare che l'intersezione tra due ideali primari i cui radicali non siano tra loro confrontabili non può essere un ideale primario.
2. Trovare un esempio di anello artiniano locale che non sia un campo. Magari uno diverso da quello suggerito, tra gli esercizi, nelle note.
3. Ci sono nuovi esercizi nelle note.

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Osservazione/notizia sugli ideali massimali non primi negli anelli commutativi (artiniani e non).

Esempi di anelli commutativi unitari artiniani locali.

Teorema dell'intersezione di Krull per ideali di un anello commutativo unitario noetheriano e per moduli finitamente generati su anelli noetheriani (solo a titolo di notizia: il risultato continua a valere per moduli noetheriani su anelli commutativi unitari arbitrari). Applicazione: se $R$ è un anello locale noetheriano, con anello massimale $M$, allora $\bigcap\set{M^n\mid n\in\N}=0$ (e $R$ è artiniano se e solo se $M^n=0$ per qualche $n\in\N$). Immersione di $R$ in $\prod_{i\in\N^+}R/M^i$. Esempi.

Abbiamo verificato con un controesempio che il teorema dell'intersezione di Krull non si estende agli anelli non noetheriani né ai moduli, anche su anelli noetheriani, non finitamente generati; abbiamo però detto, senza provarlo, che si estende al caso di moduli noetheriani su anelli commutativi unitari arbitrari.

Per due moduli $A$ e $B$ su un anello commutativo unitario $R$, il modulo $\Hom_R(A,B)$, come sottomodulo del prodotto diretto $B^A$. Primi cenni alla nozione di funtore covariante; il funtore $\Hom_R(M,-)$ per un $R$-modulo $M$.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio il fatto che, scelti comunque due moduli $A$ e $B$ sull'anello commutativo unitario $R$, $\Hom_R(A,B)$ è un sottomodulo di $B^A$.
2. Per $A$, $B$ e $R$ come all'esercizio precedente, e per un $R$-modulo $M$, dimostrare: $\Hom_R(A\oplus B, M)\iso \Hom_R(A, M)\oplus \Hom_R(B,M)$ e $\Hom_R(M,A\oplus B)\iso \Hom_R(M,A)\oplus \Hom_R(M,B)$.
3. Con le stesse notazioni, dimostrare: $\Hom_R(R_R,A)\iso A$. Trovare un gruppo abeliano $A\ne 0$ tale che $\Hom_\Z(A,\Z)=0$.

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Isomorfismi $\Hom_R(\bigoplus_{i\in I}A_i, B)\iso \prod_{i\in I}\Hom_R(A_i, B)$ e $\Hom_R(B, \prod_{i\in I}A_i)\iso \prod_{i\in I}\Hom_R(B,A_i)$ per un $R$-modulo $B$ ed una famiglia $(A_i)_{i\in I}$ di $R$-moduli.

Complessi di catene; sequenze esatte, sequenze esatte corte (ovvero estensioni di moduli).

Estensioni spezzate di moduli (definite tramite l'esistenza di un mono spezzante) e loro caratterizzazione in termini di decomposizione in somma diretta del termine centrale. Caratterizzazione equivalente in termini di esistenza di un epi spezzante.

Funtori covarianti e controvarianti, con particolare riferimento alle categorie di moduli; i funtori $\Hom_R(M,-)$ e $\Hom_R(-,M)$, per un $R$-modulo $M$.

Esercizi proposti:

1. Sia $M$ un gruppo abeliano finito. Provare che $\Hom_\Z(M,\Z)=0$. Costruire un epimorfismo $\alpha\colon A\to B$ di $\Z$-moduli tale che l'omomorfismo $\alpha_*\colon \Hom(M,A)\to \Hom(M,B)$ (definito dal funtore $\Hom(M,-)$) non sia suriettivo.
2. Calcolare $\Hom_\Z(\Q,\Z)$. Costruire un monomorfismo $\alpha\colon A\to B$ di $\Z$-moduli tale che l'omomorfismo $\alpha^*\colon \Hom(B,M)\to \Hom(A,M)$ (definito dal funtore $\Hom(-,\Z)$) non sia suriettivo.

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Proprietà di esattezza a sinistra del funtore covariante $\Hom(M,-)$ per un modulo $M$ (questo funtore “conserva i ker”). Moduli proiettivi. Abbiamo fatto solo un cenno all'esattezza a sinistra del funtore Hom controvariante (ma abbiamo verificato che questo funtore “trasforma ker in coker”) ed alla nozione di modulo iniettivo.

Caratterizzazione dei moduli proiettivi (più o meno come in Cohn, vol. 2, Theorem 4.5.4). Conseguenza: una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Se $A$ e $B$ sono sottomoduli di uno stesso modulo e $A+B$ è proiettivo, allora $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo.

Esempi (senza dimostrazione): sono liberi tutti i moduli proiettivi su un anello principale (in realtà tutti i sottomoduli di un modulo libero su un anello principale sono liberi); sono liberi tutti i moduli proiettivi su un anello (commutativo) unitario locale. Esempi di moduli proiettivi non liberi (su quozienti di $\Z$). Esempio di modulo proiettivo non libero con complemento libero in un modulo libero.

Basi duali. Abbiamo enunciato (ma non ancora dimostrato) il Lemma della base duale (Cohn, vol. 2, Proposition 4.5.5).

Esercizi proposti:

1. Dualizzando quanto visto per i funtori Hom covarianti, provare che anche i funtori Hom controvarianti sono esatti a sinistra. Provare anche che un modulo $M$ è iniettivo (cioè: il funtore $\Hom(-,M)$ è esatto) se e solo se $M$ è sommando diretto di ogni modulo di cui sia sottomodulo.
2. Un modulo finitamente generato è proiettivo se e solo se è sommando diretto di un modulo libero di rango finito.
3. Sia $p$ un numero naturale primo e sia $\iota$ l'immersione di $p\Z$ in $\Z$. Provare che l'immagine di $\iota$ nel funtore controvariante $\Hom_\Z(-,\Z)$ non è suriettiva.

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Dimostrazione del lemma della base duale.

Sia $R$ un anello principale. Allora i sottomoduli degli $R$-moduli liberi sono tutti liberi (in particolare: dimostriamo così che i moduli proiettivi sugli anelli principali sono liberi). Viceversa: un anello commutativo unitario in cui tutti gli ideali siano liberi è necessariamente un anello principale.

Ideali frazionari di un dominio di integrità $R$. Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari tutti gli $R$-sottomoduli non nulli di $A$, quindi $A\cap B$, ma anche $AB$, $A+B$ e $(A:B)$. Ogni $R$-sottomodulo finitamente generato e non nullo di $Q(R)$ è un ideale frazionario. Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari di $R$ ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi. Ideali invertibili (sono tra questi gli ideali (frazionari) principali non nulli). Ogni ideale frazionario è isomorfo ad un ideale intero, associato ad esso in $\F(R)$. Ideali invertibili (sono tra questi gli ideali principali non nulli). Se $A$ è un invertibile in $\F(R)$, il suo inverso è $(R:A)_{Q(R)}$.

Gli ideali frazionari invertibili sono esattamente quelli proiettivi, inoltre essi sono finitamente generati.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ una anello principale, e sia $F=\bigoplus_{i\in I} R_i$ un $R$-modulo libero, dove $R_i\iso_R R_R$ per ogni $i\in I$. È vero che ogni sottomodulo di $F$ è della forma $\bigoplus_{i\in I} H_i$ per opportuni $H_i\subseteq R_i$?
2. Sia $R$ un dominio di integrità unitario, sia $K=Q(R)$ e sia $\F(R)$ il monoide degli ideali frazionari di $R$. Descrivere il nucleo dell'omomorfismo (di monoidi) $k\in K^*\mapsto kR\in\F(R)$ (come di consueto, $K^*$ indica il gruppo moltiplicativo di $K$).
3. Verificare che la definizione di ideale frazionario data in Cohn, vol. 2, pag.  321 è equivalente a quella cha abbiamo dato a lezione.

26/11

Richiami e approfondimenti sulla divisibilità nei monoidi commutativi. Questo materiale è propriamente contenuto in un nuovo capitolo di nuovo capitolo di note. Come sempre, sono molto bene accette le segnalazioni di errori di battuta e di altro genere. Non abbiamo dimostrato e non dimostreremo la Proposizione che al momento è numerata come 7.2.

Preordinamenti e loro massimo quoziente ordinato. Divisibilità come preordinamento, relazione "essere elementi associati" ($\sim$) in un monoide commutativo $M$. Il quoziente $\tilde M:=M/{\sim}$. $M$ è fattoriale se e solo se $\tilde M$, ordinato per divisibilità, è un reticolo a condizione minimale. Esempi di applicazione agli anelli: fattorialità e dimensione degli anelli principali; teorema di Bézout e suo duale.

Lemma: se $I$ e $J$ sono ideali in un dominio di integrità unitario $R$ e $I$ è invertibile, allora $I$ divide $J$ in $\I^*(R)$ se e solo se $I\supseteq J$. Dunque, se $R$ è un anello di Dedekind, nel monoide $\I^*(R)$ degli ideali interi (non nulli) di $R$, la relazione di divisibilità è la relazione di inclusione inversa. Conseguenze: $\I^*(R)$ è un monoide fattoriale i cui elementi irriducibili sono gli ideali massimali, che sono precisamente gli ideali primi non nulli. Dunque: ogni ideale non banale di $R$ è prodotto di ideali primi (ovvero massimali) e tale decomposizione è unica a meno dell'ordine dei fattori.

Sia $S$ l'insieme degli ideali non invertibili di un dominio di integrità unitario $R$. Allora $S$ ha elementi massimali (rispetto all'inclusione), e questi sono tutti ideali primi. Dunque: $R$ è di Dedekind se e solo se tutti i suoi ideali primi non nulli sono invertibili.

Esercizi proposti:

1. Ce ne sono a iosa nelle nuove note.

30/11

Nel resoconto di questa lezione, $R$ indica un dominio di integrità unitario.

Alcune conseguenze immediate dei risultati visti nella lezione scorsa: (1) se ogni ideale primo di $R$ è principale, allora $R$ è principale; (2) se $R$ è di Dedekind, $\F(R)$ è abeliano libero, con l'insieme degli ideali primi non nulli di $R$ come base.

Notizia: il risultato in (1) vale, più in generale, per arbitrari anelli commutativi unitari nella forma: se ogni ideale primo di $R$ è principale, ogni ideale di $R$ è principale.

$R$ è di Dedekind se e solo se ogni suo ideale proprio è prodotto di ideali primi. La dimostrazione fornita usa un lemma: l'eventuale fattorizzazione di un ideale invertibile in prodotto di ideali primi è sempre unica a meno dell'ordine dei fattori. Si è osservato, come conseguenza, che gli anelli di frazioni non nulli di anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Una caratterizzazione degli anelli fattoriali: $R$ è fattoriale se e solo se ogni suo ideale primo non nullo contiene un elemento primo non nullo di $R$. Di conseguenza (conseguenza dell'implicazione ovvia, in verità): gli ideali primi non nulli minimali in un anello fattoriale sono principali. Quindi sono equivalenti: (1) $R$ è principale; (2) $R$ è fattoriale e di Dedekind; (3) $R$ è fattoriale e $\dim R\le 1$.

Discussioni sul problema della fattorialità per un anello di Dedekind. Il gruppo delle classi in un anello di Dedekind $R$. Questo gruppo è identico se e solo se $R$ è fattoriale (ovvero principale); finito nel caso degli anelli degli interi di campi di numeri (ne discutermo più avanti); ha struttura del tutto arbitraria (nel senso che può essere isomorfo a qualsiasi gruppo abeliano) nel caso generale.

Alcune proprietà di tipo aritmetico per gli ideali di un anello di Dedekind $R$. In $\I(R)$, MDC e mcm tra due ideali sono, rispettivamente, la somma e l'intersezione tra ideali stessi (in particolare, due ideali sono comassimali in $R$ se e solo se sono coprimi in $\I(R)$). Se $0\ne H\n R$ e $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$. Scelti comunque $I,J\in\I^*(R)$, esiste $H\n R$ tale che $IH$ sia principale e $J+H=R$.

Esercizi proposti:

1. Dimostrare il fatto che gli anelli di frazione non nulli degli anelli di Dedekind sono di Dedekind utilizzando direttamente la definizione, provando cioè che tutti i loro ideali non nulli sono invertibili.
2. (Esercizio del giorno) Costruire un anello di Dedekind che abbia precisamente 30112015 ideali primi.
3. Provare che ogni sottomodulo di un modulo libero su un anello di Dedekind $R$ è somma diretta di moduli isomorfi ad ideali di $R$, e che dunque i sottomoduli degli $R$-moduli proiettivi sono proiettivi. (fare riferimento alla lezione del 23/11).

3/12

È disponibile una versione aggiornata delle note sugli argomenti correnti. Tenere presente che, come al solito, le note contengono qualcosa in più rispetto a quanto visto a lezione, ed è il contenuto effettivo della lezione che vale ai fini del programma di esame.

Gli anelli di Dedekind semilocali sono principali. I quozienti propri degli anelli di Dedekind hanno solo un numero finito di ideali e sono anelli ad ideali principali (di questo fatto abbiamo fornito due dimostrazioni; una usa l'osservazione che, per un arbitario anello commutativo unitario $A$ ed un suo ideale $H$, se $S=A\setminus\var(H)$, si ha $A/H\iso S^{-1}A/H^e$). Dunque: ogni ideale $H$ di un anello di Dedekind è generato da al più due elementi, uno dei quali può essere scelto ad arbitrio tra gli elementi non nulli di $H$.

Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare. Esempi: sono di Bézout gli anelli principali; per un anello di Bézout sono equivalenti le proprietà di essere noetheriano, principale, fattoriale. Due esempi di anelli di Bézout non noetheriani: il sottoanello $\Z+x\Q[x]$ di $\Q[x]$; l'anello dei numeri complessi interi algebrici. Non abbiamo fornito dimostrazioni in relazione a questi due esempi; per il primo si vedano gli esercizi.

Anelli di valutazione (definiti internamente). Caratterizzazioni elementari. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Gli anelli locali di Dedekind (vale a dire: le localizzazioni degli anelli di Dedekind) sono di valutazione. Essi sono, precisamente, gli anelli principali di valutazione (anche detti anelli di valutazione discreta). Se $R$ è un anello principale di valutazione, il suo gruppo degli ideali frazionari è isomorfo, sia come gruppo che come insieme ordinato, a $\Z$.

Cenni alla nozione di valutazione (come particolare omomorfismo dal gruppo moltiplicativo di un campo ad un gruppo abeliano totalmente ordinato); anello di una valutazione; equivalenza tra questa nozione e quella di anello di valutazione da noi definita. Esempio: valutazioni $p$-adiche in $\Q$.

Solo enunciato: sia $H$ è un ideale proprio di un sottoanello unitario $R$ di un campo $K$; sia $S$ l'insieme delle coppie $(A,I)$ tali che $A$ sia un sottoanello di $K$ contenente $R$ e $I$ sia un ideale proprio di $A$ contenente $H$. Allora, $S$, ordinato per “inclusione componente per componente”, è un insieme induttivo, e se $(V,M)$ è un suo ideale massimale $V$ è un anello di valutazione con ideale massimale $M$, inoltre $K=Q(V)$.

Interi su un anello (commutativo unitario). Ampliamenti interi (o integrali), domini di integrità unitari integralmente chiusi. Interi algebrici.

Se $0\ne f\in\Z[x]$ e $c$ è una sua radice in $\Q$, scritto $c$ come frazione ridotta $u/v$ si ha che $u$ e $v$ dividono, rispettivamente, il termine noto ed il coefficiente direttore di $f$. Analogo enunciato vale per un arbitario anello fattoriale al posto di $\Z$. Conseguenza: gli anelli fattoriali sono integralmente chiusi.

Se $R$ è un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$ e $a\in\U(A)$, allora $a$ è intero su $R$ se e solo se $a\in R[a^{-1}]$.

Apparirà nei prossimi giorni una nuova versione delle note, che coprirà anche gli argomenti trattati oggi.

Esercizi proposti:

1. Descrivere gli ideali primari e discutere le decomposizioni primarie degli anelli di Dedekind.
2. Siano $I$ e $J$ ideali di un dominio di integrità unitario $R$. Provare che se $J$ è invertibile, allora $(I:J)_{Q(R)}=IJ^{-1}$.
3. Siano $I$ e $J$ ideali di un anello di Dedekind $R$. Provare che $I/IJ\iso_R R/J$. Dedurne: $|R/IJ|=|R/I|\,|R/J|$.
4. Verificare che, come detto a lezione, $R=\Z+x\Q[x]$ è un anello di Bézout non principale. Suggerimenti: per ogni primo $p$, $((1/p^n) x R)_{n\in\N}$ è una successione strettamente crescente di ideali di $R$. Se $f,g\in R$, esiste $d\in R$ tale che $d$ sia un MCD tra $f$ e $g$ in $\Q[x]$ e $d(0)$ sia un MCD tra $f(0)$ e $g(0)$ in $\Z$. Se $d(0)\ne 0$, si può provare che $d$ è un MCD tra $f$ e $g$ in $R$.
5. Verificare alcune (tutte?) delle affermazioni fatte a proposito delle valutazioni.
6. Ogni campo $K$ è un anello di valutazione. Trovare una valutazione $v$ definita in $K^*$ in modo che $K$ sia l'anello della valutazione $v$.
7. Trovare tutte le radici razionali del polinomio $3x^4+2x^3-3x^2+x+2\in\Z[x]$.

10/12

Discussione di uno degli esercizi proposti. Ideali primari e decomposizioni primarie negli anelli di Dedekind.

Se $R$ è un sottoanello unitario dell'anello commutativo unitario $A$, per ogni $c\in A$ sono equivalenti: (i) $c$ è intero su $R$; (ii) $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo; (iii) $R[c]$ ammette un modulo fedele che è finitamente generato come $R$-modulo. Corollario: se $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, allora $A$ è un ampliamento algebrico di $R$.

Se $R$ è un anello commutativo unitario e $A$ è una $R$-algebra che sia finitamente generata come $R$-modulo, allora ogni $A$-modulo finitamente generato è finitamente generato anche come $R$-modulo. Di conseguenza se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ è un ampliamento $R$ e ciascuno dei $c_i$ è algebrico su $A=R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo, quindi un ampliamento intero di $R$. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello. Transitività dell'integralità.

Un esempio di dominio di integrità non integralmente chiuso: $\Z[\sqrt 5]$.

Gli anelli di valutazione sono integralmente chiusi. Più precisamente: la chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione dei sottoanelli (unitari) di $K$ contenenti $R$ che siano di valutazione.

Se l'anello commutativo $A$ è un ampliamento intero del suo sottoanello unitario $R$, ogni catena finita di ideali primi di $A$ dà luogo, se intersecata con $R$, ad una catena di ideali primi di $R$ della stessa lunghezza.

Due lemmi: (1) se $R$ è un anello commutativo noetheriano, ogni ideale non nullo di $R$ contiene un prodotto di ideali primi non nulli di $R$. (2) Se $R$ è un dominio di integrità unitario, l'intersezione delle sue localizzazioni ad ideali massimali (realizzate nel campo dei quozienti di $R$) è $R$ stesso.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione; (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$.

Le note sono ora aggiornate alla lezione di oggi.

Esercizi proposti:

1. Sia $R$ è un dominio di integrità unitario e sia $K=Q(R)$. Per ogni $M\maxid R$ sia $R_M=R[s^{-1}\mid s\in R\setminus M]$ la localizzazione di $R$ a $M$ realizzata in $K$, e sia $e_M$ la corrisponente funzione espansione. Per ogni $H\n R$ provare che $H=\bigcap\set{H^{e_M}\mid M\maxid R}$.

14/12

Campi di numeri e loro anelli degli interi algebrici. Alcune osservazioni: il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Di conseguenza, se $K$ è un campo di numeri e $Z_K$ è il suo anello degli interi algebrici, allora $K=Q(Z_K)$ (quindi $Z_K$ è integralmente chiuso) e $K$ ha una $\Q$-base costituita da interi algebrici. L'anello $Z_K$ ha dimensione 1.

Richiami di alcune nozioni di teoria dei campi e di teoria di Galois. Relativamente ad un campo di numeri $K$: gli omomorfismi da $K$ alla sua chiusura normale; il discriminante di una base di $K$: è un numero razionale non nullo, intero se la base è costituita da interi algebrici.

Teorema: l'anello degli interi algebrici di un campo di numeri è un anello di Dedekind.

Considerazoni varie ed applicazioni, generalmente senza dimostrazioni. Enunciato del teorema degli invertibili di Dirichlet e, come conseguenza, struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri. Esempio: struttura di $(\Q^*,\cdot)$.

Norma definita in un campo di numeri $K$. Norma e divisibilità in $Z_K$: l'unico elemento di norma 0 è 0; se $a,b\in Z_K$e $a$ divide $b$ in $Z_K$ allora $N_K(a)$ divide $N_K(b)$ in $\Z$ e, in ogni caso, $a$ divide $N_K(a)$ in $Z_K$. Di conseguenza gli elementi di norma $\pm 1$ sono esattamente quelli invertibili; gli elementi di norma un intero primo sono irriducibili.

Indice degli ideali di $Z_K$: se $0\ne a\in Z_K$ allora $|Z_K/aZ_K|$ è il valore assoluto della norma di $a$ rispetto a $K$. Abbiamo anche osservato che $|R/IJ|=|R/I|\,|R/J|$ per ogni coppia $I$, $J$ di ideali in un anello di Dedekind. Non abbiamo fornito dimostrazioni.

Descrizione degli anelli degli interi nei campi quadratici (solo enunciato).

Esempi di fattorizzazione di ideali in prodotto di ideali primi nell'anello $\Z[\sqrt{-17}]$ (l'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt{-17}]$). Confronto tra fattorizzazione di elementi e fattorizzazione di ideali.

Con questo termina il corso. Un set aggiornato di note sarà disponibile presto; così come il programma del corso.

Esercizi proposti:

1. Trovare un intero $d$ libero da quadrati e, nell'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt d]$, un elemento invertibile di periodo (moltiplicativo) infinito.
2. Determinare gli elementi invertibili nell'anello degli interi algebrici di $\Q[\sqrt d]$ nei casi $d=-1$ e $d=-3$.
3. In $\Z[\sqrt{-5}]$, fattorizzare in tutti i modi possibili (a meno di associati e dell'ordine) 12 in prodotto di elementi irriducibili e $12\Z[\sqrt{-5}]$ come prodotto di ideali primi (a meno dell'ordine).