Nota

Quello che segue è un elenco sintetico degli argomenti trattati nel corso, non necessariamente in ordine cronologico. Può essere utile consultare il più dettagliato registro delle lezioni, che propone anche un numero di esercizi che, pur non essendo generalmente intesi come parte integrante del corso, possono essere (interessanti di per sé e) di aiuto per la verifica della propria preparazione. Il registro è accessibile dalla pagina web del corso (), che contiene anche ulteriori materiali e informazioni, comprese quelle su alcuni testi e note utilizzabili per la preparazione.

Gli anelli (e le algebre) discussi nel corso sono, senza eccezione, associativi e, con la sola eccezione degli anelli degli endomorfismi dei gruppi abeliani, commutativi. Dunque, nel programma che segue, anche dove non indicato, anelli e algebre sono sempre intesi come associativi e commutativi.

Programma del corso

Richiami e nozioni fondamentali

Anelli (associativi e quasi sempre commutativi), premoduli su anelli commutativi e moduli su anelli commutativi unitari. Sotto(pre)moduli, congruenze e quozienti; teoremi di omomorfismo e di corrispondenza. Cambio dell'anello degli scalari. Regole di calcolo per elementi e per parti di anelli e (pre)moduli. Annullatori; divisione tra parti di anelli e premoduli. (Pre)moduli ciclici, (pre)moduli semplici (o irriducibili) e rappresentazioni dei moduli ciclici o semplici come quozienti dell'anello degli scalari; caratterizzazione dei premoduli ciclici e di quelli semplici. Legge modulare di Dedekind. Prodotti e somme dirette (coprodotti) di (pre)moduli. Proprietà universali e (pre)moduli liberi.

Algebre (associative e commutative); algebre unitarie. Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria (accresciuta, ovvero augmented), premoduli come moduli su un anello accresciuto, idealizzazione di un (pre)modulo.

Ideali in anelli commutativi

Ideali primi, ideali massimali, loro caratterizzazioni; intersezioni, prodotti e comassimalità tra ideali. Lemma di Nakayama e lemma di Nakayama in forma forte (NAK), anche per premoduli.

Elementi nilpotenti; il nilradicale di un anello; la varietà ed il radicale di un ideale. Radicale di Jacobson e caratterizzazione dei suoi elementi, in particolare in anelli unitari. Anelli (unitari) locali.

Costruzioni di anelli; applicazioni

Prodotti diretti e somme dirette di anelli e di algebre; elementi idempotenti. Ideali, elementi invertibili e radicale di Jacobson in prodotti e somme dirette di anelli commutativi unitari. Applicazioni all'aritmetica modulare: il teorema cinese dei resti; moltiplicatività della funzione di Eulero.

Anelli di polinomi (visti come algebre unitarie associative e commutative libere). Anelli di serie formali.

Condizioni di catena

Condizioni minimale e massimale, anelli e premoduli artiniani e noetheriani. Premoduli che verificano entrambe le proprietà. Caratterizzazioni dei premoduli noetheriani; caratterizzazione degli anelli unitari noetheriani in termini di ideali primi. Teorema della base di Hilbert per anelli di polinomi e per anelli di serie formali.

Anelli artiniani: ideali primi, ideali massimali, nilpotenza del radicale di Jacobson. Caratterizzazione e struttura degli anelli artiniani unitari.

Decomposizione primaria di ideali in anelli commutativi

Ideali primi minimali contenenti un assegnato ideale. Ideali primari e loro radicali. Confronto, per un ideale, tra le proprietà di essere primario, di avere un ideale primo come radicale, di essere potenza di un ideale primo.

Ideali irriducibili per intersezioni (finite). Decomposizioni primarie e decomposizioni primarie minimali di ideali. Primo e secondo teorema di unicità per le decomposizioni primarie minimali. Primi associati ad un ideale, primi immersi e primi isolati. Il caso speciale degli anelli noetheriani.

Anelli di frazioni

Parti (moltiplicativamente) chiuse sature in un anello commutativo. Anelli di frazioni. Elementi invertibili, divisori dello zero, nilpotenti in anelli di frazioni. Espansioni di ideali da un anello ad un suo anello di frazioni e, viceversa, contrazioni. Espansioni e contrazioni di ideali primari. Determinazione degli ideali e degli ideali primi o primari in anelli di frazioni. Localizzazioni.

Teorema dell'intersezione di Krull per premoduli noetheriani; ulteriore applicazione agli anelli locali noetheriani.

Introduzione alla teoria delle categorie

La trattazione è stata limitata all'essenziale e principalmente finalizzata al riconoscimento di costruzioni di tipo categoriale tra quelle introdotte nel resto del corso, con pochissime dimostrazioni. Categorie, dualità, funtori, trasformazioni naturali ed equivalenze tra categorie. Oggetti iniziali, finali, zero. Categorie virgola, morfismi universali e funtori aggiunti. Nozione di limite e di colimite; prodotti, equalizzatori, ker, pullback, limiti inversi e loro duali.

Estensioni di premoduli; moduli proiettivi

Nozioni di categoria preadditiva, additiva, abeliana; complessi di catene, sequenze esatte; funtori additivi esatti, esatti a destra o a sinistra.

Estensioni di moduli come sequenze esatte corte. Estensioni spezzate. Il funtore Hom covariante; sua esattezza a sinistra.

Moduli proiettivi. Caratterizzazioni dei moduli proiettivi. Proiettività e somme dirette. Lemma della base duale.

Fattorialità; anelli di Dedekind

Il preordinamento divisibilità nei monoidi commutativi; ordinamento indotto sul quoziente modulo la relazione di associazione e connessioni con la fattorialità.

Il monoide degli ideali frazionari di un dominio di integrità unitario; caratterizzazione dei suoi elementi invertibili come moduli proiettivi. Anelli di Dedekind. Diverse caratterizzazioni, ad esempio in termini di invertibilità di ideali primi, o di decomposizione di ideali in prodotti di ideali primi. Quozienti propri in un anello di Dedekind e generatori di ideali. Connessioni tra le proprietà, per un anello, di essere fattoriale, principale, di Dedekind. Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind.

Elementi interi su un anello e loro caratterizzazioni; chiusure intere, domini di integrità unitari integralmente chiusi (lo sono gli anelli fattoriali).

Anelli di Bézout ed anelli di valutazione. Anelli principali di valutazione. Sottoanelli massimali nei campi come anelli di valutazione (senza dimostrazione); anelli di valutazione e chiusura intera di un dominio di integrità nel suo campo dei quozienti.

Ulteriori caratterizzazioni degli anelli di Dedekind in termini delle loro localizzazioni e come anelli noetheriani integralmente chiusi di dimensione al più 1 (teorema di E. Noether). Il gruppo delle classi di un anello di Dedekind; teorema di Claborn (senza dimostrazione).

L'anello degli interi algebrici in un campo di numeri; è un anello di Dedekind. Descrizione dell'anello degli interi di una estensione quadratica del campo razionale. Alcune proprietà dell'anello degli interi di un campo di numeri: il teorema degli invertibili di Dirichlet; il teorema di Kummer sulla finitezza del gruppo delle classi (di questi risultati non è richiesta dimostrazione); finitezza dei quozienti propri, proprietà della norma di elementi ed ideali. Struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.