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Introduzione al corso: presentazione; informazioni generali; modalità di svolgimento. Origini e ruolo dell'algebra commutativa in relazione con altri settori della matematica, in particolare con la teoria dei numeri e con la geometria algebrica.

Cenni all'algebra universale ed alla nozione generale di omomorfismo e di sottostruttura in algebra. Anelli ed anelli unitari, sottoanelli e sottoanelli unitari, omomorfismi di anelli unitari; qualche esempio.

Premoduli e moduli su un anello commutativo: due definizioni equivalenti (per ciascuna delle nozioni); esempi standard (spazi vettoriali, anelli commutativi come premoduli su sé stessi, gruppi abeliani con azione di premodulo nullo). Ogni gruppo abeliano è, in modo unico, un modulo su $\Z$.

Segnatura dei premoduli; sottopremoduli, esempi.

Esercizi proposti (non necessariamente da risolvere tutti e subito):

1. Trovare, nell'anello $\Z_{6}$, un sottoanello che sia un campo ma non sia un sottoanello unitario di $\Z_{6}$.
2. Siano $S$ un insieme e $T$ una parte di $S$. $\P(T)$ è un ideale dell'anello delle parti di $S$?
3. Sia $S$ un insieme. Determinare gli ideali principali dell'anello delle parti $\P(S)$. Provare che se $S$ è finito tutti gli ideali di $\P(S)$ sono principali. Cosa succede se $S$ è infinito? Come si possono caratterizzare gli ideali di $\P(S)$ in questo caso?
4. L'insieme $\Pf(\N)$ delle parti finite di $\N$ costituisce un ideale dell'anello delle parti di $\N$?
5. Provare che le applicazioni $\alpha\in\End(\Z,+)\mapsto 1^\alpha\in\Z$ e $\alpha\in\End(\Q,+)\mapsto 1^\alpha\in\Q$ sono isomorfismi di anelli.
6. Decidere se il gruppo ciclico infinito può essere riguardato come il gruppo additivo di un modulo (ovvero: spazio vettoriale) sul campo $\Z_2$.
7. Siano $A$ e $B$ sottopremoduli di uno stesso premodulo $M$. Verificare che $A+B:=\set{a+b\mid a\in A\land b\in B}$ è un sottopremodulo di $M$.
8. Trovare un modulo $M$ che non abbia sottomoduli non banali (cioè diversi da $0:=\set{0_M}$ e $M$) ma abbia un'infinità continua di sottogruppi.

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Regole elementari di calcolo nei premoduli. Omomorfismi tra premoduli. L'anello degli endomorfismi di un premodulo, visto come centralizzante dell'immagine dell'azione. Endomorfismi di $R_R$, per un anello commutativo $R$; se $R$ è unitario, $\End (R_R)\iso R$. Congruenze in premoduli e quozienti. Teoremi di omomorfismo e di corrispondenza per premoduli.

Annullatori di premoduli e di loro parti ed elementi. Esempi. Premoduli fedeli. Premoduli isomorfi hanno lo stesso annullatore.

Cambio degli scalari per un (pre)modulo, via un omomorfismo di anelli o con il passaggio al quoziente rispetto ad un ideale contenuto nell'annullatore. Conservazione o meno del reticolo dei sottopremoduli e degli omomorfismi in questi passaggi. Qualche esempio.

Esercizi proposti:

1. Esibire un anello commutativo $R$ che non sia isomorfo a $\End R_R$ o addirittura tale che $|\End R_R|\ne |R|$.
2. Sia $M$ un premodulo su un anello commutativo $R$ e sia $H$ un ideale di $R$ contenuto in $\ann_R(M)$. Verificare che l'insieme dei sottopremoduli di $M$ coincide con l'insieme dei sottopremoduli di $M$ riguardato come $R/H$-premodulo nel modo indicato a lezione.
3. Siano $R$ un anello commutativo ed $M$ un $R$-premodulo. Allora:
   • se $X\subseteq Y\subseteq M$, $\ann_R(X)\supseteq\ann_R(Y)$;
   • per ogni famiglia $(X_i)_{i\in I}$ di parti di $M$ si ha $\ann_R(\bigcup_{i\in I}X_i)=\bigcap_{i\in I}\ann_R(X_i)$;
4. Fissato un anello commutativo $R$, sia $f\colon A\epi B$ un epimorfismo tra $R$-premoduli. Provare che $\ann_R(A)\subseteq \ann_R(B)$. Dualmente, se $g\colon A\mono B$ è un monomorfismo di $R$-premoduli, provare che $\ann_R(A)\supseteq \ann_R(B)$. Mostrare, con controesempi, che non sempre valgono le inclusioni inverse.
5. Fissati un anello commutativo $R$ ed un suo ideale $H$, verificare che vale $H\sseq \ann_R(R_R/H)$. Cercare una condizione sufficiente affinché valga anche l'inclusione inversa.

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Un lemma: se $A$ e $B$ sono anelli unitari, un omomomorfismo di anelli $\alpha\colon A\to B$ è unitario se e solo se almeno un elemento di $\im \alpha$ è cancellabile in $B$.

Somme tra parti di un premodulo (o di un anello). Per un anello commutativo $R$ ed un $R$-premodulo $M$, prodotto tra una parte di $M$ ed una di $R$ (combinazioni lineari). Il sottopremodulo (o il sottomodulo) generato da una parte di $M$.

Legge modulare di Dedekind e suo corollario (due sottopremoduli confrontabili per inclusione coincidono se hanno stessa intersezione e stessa somma con un assegnato sottopremodulo).

Prealgebre ed algebre. Definizioni equivalenti (tramite un'azione di prealgebra, cioè un omomorfismo $R\to \End A_A$, per anelli commutativi $R$ ed $A$ e tramite un'operazione esterna). Omomorfismo di struttura; nel caso in cui $A$ sia unitario, specificare una struttura di prealgebra su $A$ equivale a specificare un omomorfismo di anelli di codominio $A$. Sottoprealgebre ed omomorfismi di prealgebre. Vari esempi. Prealgebre unitarie; i loro ideali sono sempre sottoprealgebre.

Esercizi proposti:

1. Verificare che, rispetto al prodotto tra parti, l'insieme costituito dagli ideali di un anello commutativo $R$ costituisce un semigruppo; un monoide se $R$ è unitario.
2. Verificare che il gruppo di Galois di un'estensione di campi $F/K$ è l'automorfo di $F$ riguardato come $K$-algebra con omomorfismo di struttura l'immersione $K\hookrightarrow F$.
3. Siano $A$ e $B$ due anelli commutativi e sia $R$ un sottoanello comune ad entrambe. Viste $A$ e $B$ come prealgebre su $R$, con omomorfismi di struttura le immersioni $R\hookrightarrow A$ e $R\hookrightarrow B$, descrivere gli omomorfismi di $K$-algebre da $A$ a $B$.
4. Descrivere una prealgebra ed un suo ideale che non ne sia una sottoprealgebra.

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Ulteriori discussioni ed esempi su azioni di premodulo, omomorfismi di struttura e omomorfismi di (pre)algebre e (pre)algebre unitarie. Questi contenuti saranno inseriti in forma completa nelle mie note quanto prima possibile.

Immersione di un'algebra in un'algebra unitaria: l'algebra accresciuta; struttura di questa. Come caso particolare: l'anello accresciuto di un anello commutativo.

Qualche considerazione sulla nozione generale di identificazione in matematica.

Un lemma: se $R$ è un anello commutativo ed $S$ un anello unitario, detto $R_1$ l'anello accresciuto $R\rtimes\Z$, l'applicazione restrizione dall'insieme degli omomorfismi di anelli unitari da $R_1$ a $S$ a quello degli omomorfismi di anelli da $R$ a $S$ è biettiva.

Esercizi proposti:

1. Siano $A$ un'algebra su un anello commutativo unitario $R$ e $A_1=A\rtimes R$. Verificare che gli ideali di $A_1$ contenuti in $A$ sono precisamente gli ideali di $A$ che sono anche $R$-sottomoduli.
2. Descrivere (scrivendone la tavola di moltiplicazione per l'operazione interna moltiplicativa) l'algebra accresciuta $A=\Z_2\rtimes\Z_2$, dove $\Z_2$ è inizialmente riguardato come algebra su di sé. Se possibile, indiviuare un anello già noto a cui $A$, come anello, è isomorfo.

5 — 5/10

Equivalenza tra lo studio dei premoduli o prealgebre su un anello commutativo $R$ e quello dei moduli o algebre sull'anello accresciuto $R\rtimes\Z$; conservazione di sottostrutture ed omomorfismi. A titolo di esempio: rivisitazione della descrizione del sottopremodulo generato da una parte di un premodulo (ulteriore osservazione: la parte ed il sottopremodulo generato hanno lo stesso annullatore).

Idealizzazione di un premodulo.

(Pre)moduli ciclici e semplici; caratterizzazione dei primi come quozienti dell'anello degli scalari o del corrispondente anello accresciuto. Una caratterizzazione dei secondi è stata enunciata, sarà provata alla prossima lezione.

Esercizi proposti:

1. Descrivere (scrivendone la tavola di moltiplicazione per l'operazione interna moltiplicativa) l'idealizzazione del modulo $(\Z_2)$ visto come modulo su di sé. Confrontare l'anello ottenuto con quello trovato nell'analogo esercizio della lezione scorsa.

6 — 10/10

Dimostrazione della caratterizzazione dei (pre)moduli semplici lasciata in sospeso. Ancora sui moduli ciclici: sono classificati a meno di isomorfismi dai loro annullatori; ad esempio, se $R$ è un anello unitario, a meno di isomorfismi $R_R$ è l'unico $R$-modulo ciclico fedele.

Applicazioni universali ed oggetti liberi; moduli liberi (su un fissato anello commutativo unitario $R$). Esempi: spazi vettoriali; il modulo ciclico fedele $R_R$ è libero su $\set{1_R}$; il modulo nullo è libero su $\vuoto$. Unicità a meno di isomorfismi e proprietà di invarianza per i moduli liberi (o altri oggetti liberi). Se $F$ è un modulo libero con applicazione universale $u$, allora $\im u$ genera $F$; l'abbiamo visto con due dimostrazioni, la seconda delle quali è esportabile ad altri contesti (in particolare a diversi tipi di algebre libere) ed usa il lemma: se $\alpha$ e $\beta$ sono due omomorfismi da una struttura algebrica $A$ ed una omologa struttura $B$, allora $\set{x\in A\mid x^{\alpha}=x^{\beta}}$ è una sottostruttura e quindi $\alpha=\beta$ se $\alpha$ e $\beta$ hanno la stessa restrizione ad un insieme che generi $A$.

Esercizi proposti:

1. Provare per via diretta (cioè direttamente dalla definizione) che un gruppo abeliano che non sia senza torsione (cioè che abbia elementi periodici non identici) non può essere libero (come gruppo abeliano) su alcuna base.
2. Provare che nella categoria dei gruppi abeliani finiti i gruppi identici sono i soli (gruppi abeliani finiti) liberi.

7 — 12/10

Se $X$ è un insieme di generatori di un premodulo $M$ e $F$ è un premodulo libero su $X$, $M$ è isomorfo ad un quoziente di $F$.

Prodotti diretti (prodotti) e somme dirette (coprodotti) di (pre)moduli. Costruzioni esplicite e loro proprietà universali. Somme dirette interne di (pre)moduli.

Descrizione esplicita (e quindi esistenza) dei (pre)moduli liberi. Conseguenze: ogni (pre)modulo che sia generato da una sua parte $X$ è isomorfo ad un quoziente di un (pre)modulo libero su $X$; ogni applicazione universale per (pre)moduli liberi è iniettiva; di conseguenza: ogni (pre)modulo libero si può riguardare come libero su una sua parte, con l'immersione insiemistica come applicazione universale.

Un lemma: l'unione di una catena non vuota di sottopremoduli è necessariamente un sottopremodulo, inoltre, se è finitamente generato, questo sottopremodulo è il massimo della catena. Di conseguenza: (1) in ogni premodulo $M$ l'insieme dei sottopremoduli non finitamente generati è (vuoto o) induttivo; (2) se $M$ è un premodulo finitamente generato ed $N$ ne è un sottopremodulo proprio, $M$ ha un sottopremodulo massimale contenente $N$.

Esercizi proposti:

1. Completare la verifica delle proprietà di prodotto e coprodotto per prodotti e somme dirette di famiglie di premoduli.
2. Sia $(M_i)_{i\in\N}$ una successione di gruppi abeliani finiti non identici. Confrontare le cardinalità di $P=\prod_{i\in\N}M_i$ e $C=\coprod_{i\in\N}M_i$. È necessariamente vero che $C$ sia periodico? È necessariamente vero che $P$ sia periodico?
3. Trovare un esempio di modulo libero su un anello commutativo unitario $R$ con un sottomodulo non libero. [Suggerimento: partire da $R_R$].
4. Vero o falso? Tutti gli spazi vettoriali sono moduli liberi.
5. Vero o falso? Tutti i (pre)moduli liberi sono (anche) liberi su una propria parte, con l'immersione come applicazione universale.

8 — 17/10

Comparazione tra somme e prodotti diretti di famiglie di premoduli.

Osservazioni: i (pre)moduli liberi non nulli sono tutti fedeli e possono essere riguardati come (pre)moduli liberi su una loro parte, con l'applicazione immersione come applicazione universale; per un anello commutativo unitario $R$ sono equivalenti: (1) ogni $R$-modulo è libero; (2) ogni $R$-modulo non nullo è fedele; (3) $R$ è un campo o è l'anello nullo.

Per una parte $X$ ed un sottopremodulo $N$ di un premodulo $M$ su un anello commutativo $R$, l'ideale $(N:X)_R$ (trasportatore, o conduttore); sue proprietà elementari.

Caratterizzazione degli ideali primi e degli ideali massimali in anelli commutativi arbitrari. Lo spettro (primo) di un anello commutativo. Teorema di corrispondenza per ideali massimali e per ideali primi.

Lemma: se, in un anello commutativo $R$, $S$ è una parte non vuota che sia chiusa rispetto alla moltiplicazione e disgiunta da un prefissato ideale $H$, allora l'insieme degli ideali di $R$ contenenti $H$ e disgiunti da $S$ è induttivo ed i suoi elementi massimali sono ideali primi (ulteriore deduzione del teorema di Krull).

Elementi nilpotenti e nilradicale; la varietà ed il radicale di un ideale in un anello commutativo $R$. Se $I,J\n R$, si ha $\sqrt {IJ}=\sqrt {I\cap J}=\sqrt I\cap\sqrt J$; se $R$ è unitario e $I\ne R$, allora $\sqrt I\ne R$.

Esercizi proposti:

1. Per un ideale $H$ di un anello commutativo unitario $R$ si ha $\sqrt[R] H=R$ se e solo se $H=R$.
2. Per ogni intero $n$, identificare il radicale dell'ideale $n\Z$, nell'anello degli interi in termini dei primi divisori di $n$.
3. Siano $R$ un anello commutativo e $P$ un suo ideale primo. Provare che, per ogni intero positivo $n$, si ha $P=\sqrt{P^n}$.
4. Siano $R$ un anello commutativo e $I,J\n R$. Provare che $\sqrt{I+J}$ coincide con il radicale di $\sqrt I+\sqrt J$.
5. Siano $R$ un anello commutativo, $I,J\n R$ e $L\sseq\spec(R)$. Provare: $\var(I\cap J)=\var (I)\cup\var (J)$ e $\var\big(\sum_{H\in L}H\big)=\bigcap\set{\var H\mid H\in L}$. Dedurne che $\set{\var(H)\mid H\n R}$ è l'insieme dei chiusi di uno spazio topologico su $\spec(R)$ e che questo spazio è compatto se $R$ è unitario. (La topologia così definita è nota come topologia di Zariski su $\spec(R)$).

9 — 19/10

Ideali tra loro comassimali. Radicale di Jacobson di un anello commutativo unitario.

Per un anello commutativo unitario $R$: se due ideali di $R$ sono comassimali ad un terzo ideale, lo stesso vale per il prodotto dei primi due; il prodotto di un numero finito di ideali coincide con la loro intersezione se questi sono a due a due comassimali. Interpretazione di questi risultati nell'anello degli interi. Caratterizzazioni del radicale di Jacobson di $R$ come insieme degli elementi $a$ di $R$ tali che $1_R+aR$ sia costituito da invertibili, ovvero come insieme degli elementi che annullano ogni $R$-modulo semplice. Conseguenze della prima caratterizzazione (ad esempio, se $R$ ha un solo invertibile, allora $\jac(R)=0$; se $R$ è finito e non nullo gli elementi di $\jac(R)$ sono tutti divisori dello zero).

Comparazione tra nilradicale e radicale di Jacobson in anelli commutativi; esempi.

Anelli locali, una caratterizzazione ed un esempio importante (il sottoanello $\Q_{p'}$ del campo razionale).

Lemma di Nakayama in forma debole ed in forma forte (lemma NAK, per premoduli). Per la dimostrazione, lemma: se $a$ è un elemento di un premodulo su un anello commutativo $R$ e $L,K\n R$, allora $aL\sseq aK$ se e solo se $L\sseq K+\ann_R(a)$). Alcuni controesempi.

Esercizi proposti:

1. Costruire un esempio di anello commutativo unitario con ideali non banali $H$ e $K$ non comassimali tra loro per i quali $HK=H\cap K\ne H$.
2. Costruire un esempio di anello commutativo unitario con con un ideale non banale $H$ tale che $H^2=H$. Lo si può trovare in un quoziente di $\Z$.
3. Verificare per via diretta che, per ogni primo $p$, l'anello $\Q_{p'}$ è locale. Fatto questo si può anche verificare che ogni suo elemento non nullo è associato ad una potenza di $p$ e dedurre che $\Q_{p'}$ è euclideo e l'insieme dei suoi ideali è totalmente ordinato per inclusione.
4. Completare la deduzione diretta del lemma di Nakayama (debole) dal lemma NAK.

10 — 24/10

Condizioni di catena per insiemi ordinati. Premoduli ed anelli artiniani e noetheriani. Alcuni esempi.

Proprietà di chiusura (per sottopremoduli, quozienti, estensioni, somme finite e duale) delle proprietà di essere un premodulo artiniano o noetheriano. Risultati corrispondenti per anelli.

Caratterizzazione dei sottopremoduli contemporaneamente noetheriani e artiniani.

Caratterizzazione dei premoduli noetheriani in termini di sottopremoduli finitamente generati. Conseguenza: un premodulo su un anello commutativo noetheriano è noetheriano se e solo se è finitamente generato.

In un anello commutativo unitario $R$, gli ideali massimali per non essere finitamente generati sono primi. Dunque $R$ è noetheriano se e solo se i suoi ideali primi sono finitamente generati.

Algebre (associative commutative) unitarie libere. Interpretazione della proprietà universale che le definiscono in termini di omomorfismi di anelli unitari. Cenni alla loro costruzione. Esempio: l'anello dei polinomi ad una indeterminata (come definito nei corsi del triennio) su un anello commutativo unitario $R$ è libero, come $R$-algebra unitaria, su un singleton.

Cenni all'anello delle serie formali su un anello commutativo unitario.

Esercizi proposti:

1. Costruire un esempio di modulo finitamente generato che non sia noetheriano.
2. Verificare in dettaglio la costruzione delle algebre (associative commutative) unitarie libere.
3. Utilizzando la proprietà universale verificata per anelli di polinomi ad una indeterminata, costruire un anello commutativo unitario $R$ di caratteristica 3 in cui esista un elemento $a$ tale che $a^2=0_R\ne a$.

11 — 26/10

In ogni anello commutativo unitario, sommando un elemento invertibile ad uno nilpotente se ne ottiene uno invertibile.

Proprietà delle algebre (associative, commutative) unitarie libere analoghe a quelle stabilite per i (pre)moduli liberi. In particolare: se $R$ è un anello commutativo unitario non nullo, ogni applicazione universale per $R$-algebre commutative unitarie è iniettiva. Anelli di polinomi su un tale $R$; isomorfismi $R[X\cup Y]\iso (R[X])[Y]$ e $R[X\cup Y]/(Y)\iso R[X]$ per anelli di polinomi. Ampliamenti di anelli unitari come quozienti di anelli di polinomi. Noetherianità e proprietà di Hopf (e duale); gli anelli di polinomi su insiemi infiniti di indeterminate non verificano la proprietà di Hopf e quindi non sono noetheriani. Il teorema della base di Hilbert ed il suo corollario per le algebre commutative unitarie su un anello commutativo unitario noetheriano (con un controesempio per il caso non unitario).

Prodotti diretti di anelli e di algebre.

Esercizi proposti:

1. Sia $(R_i)_{i\in I}$ una famiglia di anelli (commutativi) unitari e sia $R=\prod_{i\in I}R_i$. Identificare gli elementi invertibili di $R$ e quelli nilpotenti.
2. Sotto quali condizioni l'anello delle parti di un insieme è artiniano? E quando è noetheriano?
3. Se $R$ è un anello commutativo unitario e $R[X]$ è un anello di polinomi su $R$ con un insieme non vuoto $X$ di indeterminate, $R[X]$ può essere artiniano? E se $R$ non è noetheriano, $R[X]$ può essere noetheriano?
4. Verificare in dettaglio che il prodotto diretto di anelli verifica la proprietà categoriale dei prodotti, come accade per i moduli ed i premoduli.
5. Sia $(R_i)_{i\in I}$ una famiglia di anelli, e sia $J$ una partizione di $I$. Verificare: $\prod_{i\in I}R_i\iso \prod_{K\in J}\prod_{i\in K}R_i$.

12 — 31/10

Ancora sui prodotti diretti di anelli (commutativi) ed algebre. Anelli di funzioni. Somme dirette esterne ed interne; loro ideali (si fattorizzano nel caso in cui i sommandi siano unitari; nello stesso caso: loro radicale di Jacobson e nilradicale).

Omomorfismi $A\to\prod_{i\in I}A/H_i$ indotti dagli epimorfismi canonici, dove $A$ è una prealgebra e $(H_i)_{i\in I}$ una famiglia di sue sottoprealgebre che siano ideali. Nel caso delle prealgebre unitare, condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la suriettività di questo omomorfismo.

Come applicazione di questo risultato: teorema cinese dei resti.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio l'isomorfismo tra l'anello delle parti di un insieme $S$ e l'anello di funzioni $\Z_2^S$, utilizzando la nozione di funzione caratteristica.
2. Ripetere lo stesso esercizio utilizzando un omomorfismo analogo a quello utilizzato per il teroema cinese dei resti.
3. Per quali interi positivi $n$ l'anello $\Z_n$ è somma diretta di due suoi ideali non banali?

13 — 2/11

Ancora come applicazione di risultati delle lezione scorsa: la funzione di Eulero, sua moltiplicatività, calcolo dei suoi valori.

Elementi idempotenti in un anello commutativo. Insiemi finiti di idempotenti tra loro ortogonali e loro proprietà. Qualche esempio. Per un anello commutativo unitario $R$: biezione tra gli insiemi degli insiemi finiti di ideali che descrivono una decomposizione di $R$ in somma diretta e quello degli insiemi finiti di elementi (necessariamente idempotenti) a due a due ortogonali che, sommati tra loro, dànno l'unità di $R$. Di conseguenza: $R$ è indecomponibile in somma diretta di ideali se e solo se non ha idempotenti non banali; questa condizione è necessaria anche nel caso non unitario.

Ideali primari: definizione, esempi e prime caratterizzazioni. Alcune proprietà essenziali: teorema di corrispondenza per ideali primari; sono primari gli ideali primi, gli ideali il cui radicale sia l'intero anello e, in un anello commutativo unitario (ipotesi necessaria), tutti quelli il cui radicale è un ideale massimale. Il radicale di un ideale primario è o l'intero anello oppure primo (nozione di ideale $P$-primario per un ideale $P$); l'intersezione tra due ideali $P$-primari è ancora $P$-primario, così come lo è $(Q:a)$ se $Q$ è un ideale $P$-primario e $a$ un elemento dell'anello non in $Q$.

Decomposizioni primarie e ideali decomponibili (in intersezione finita di ideali primari). Decomposizioni primarie minimali; ogni ideale decomponibile ne ha una. Decomposizioni primarie (anche minimali) nell'anello degli interi. Osservazione: nell'anello delle parti di un insieme gli ideali primari sono (massimali e) di indice $2$, quindi gli ideali di indice infinito non sono decomponibili.

Esercizi proposti:

1. In un qualsiasi anello, ogni ideale massimale è primario. Verificarlo.
2. Siano $p$ un intero positivo primo ed $A$ un $p$-gruppo abeliano elementare (cioè una somma diretta di gruppi di ordine $p$). Riguardato $A$ come spazio vettoriale sul campo $\Z_p$, e munitolo del prodotto interno costante zero, se ne consideri l'algebra accresciuta $R=A\rtimes\Z_p$. Provare che tutti gli ideali propri di $R$ sono contenuti in $A$ e se ne deduca che essi sono tutti ideali primari di $R$.
3. Siano $x$ e $y$ elementi idempotenti tra loro ortogonali in un anello commutativo unitario $R$, e sia $Q$ un ideale primario di $R$. Dimostrare che almeno uno tra $x$ e $y$ appartiene a $Q$. Dedurne che se $(R_i)_{i\in I}$ è una famiglia infinita di anelli commutativi unitari sia nel prodotto diretto che nella somma diretta (esterna) di questa famiglia l'ideale nullo non è decomponibile.
4. Esercizi 4.B.1 e 7.B.7 dalle note. Ed anche tanti altri …

14 — 7/11

Una costruzione generale di anelli commutativi locali (anche non noetheriani) i cui ideali propri sono tutti primari (e non tutti potenze di ideali primi).

Discussione dettagliata della costruzione di un esempio di anello commutativo unitaro noetheriano con un ideale primo il cui quadrato non è primario.

Ideali irriducibili per intersezione (o $\cap$-irriducibili); lo sono gli ideali primi. Sia $R$ un anello commutativo noetheriano. Allora ogni ideale proprio di $R$ è intersezione di un insieme finito di ideali $\cap$-irriducibili, ed ogni ideale $\cap$-irriducibile è primario; di conseguenza ogni ideale proprio di $R$ è decomponibile.

Un esempio di ideale primario non $\cap$-irriducibile in un anello commutativo unitario noetheriano; un esempio di ideale $\cap$-irriducibile non primario in una anello commutativo unitario (non noetheriano): l'idealizzazione del gruppo di Prüfer visto come $\Z$-modulo.

Primo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali. Ideali associati ad un ideale decomponibile.

Osservazione: l'intersezione di una qualsiasi catena non vuota di ideali primi è un ideale primo; di conseguenza, se $H$ è un ideale tale che $\var(H)\ne\vuoto$, $\var(H)$ ha elementi minimali.

Per un ideale decomponibile $H$ in un anello commutativo: ideali associati isolati e immersi; ogni ideale in $\var(H)$ contiene un ideale primo isolato; l'intersezione tra gli ideali isolati associati ad $H$ è dunque il radicale di $H$.

Enunciato del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie minimali.

Esempio, in un anello fattoriale noetheriano, di un ideale che ha infinite decomposizioni primarie minimali (vedi le note: esempio 7.C.1).

Esercizi proposti:

1. Determinare gli ideali dell'idealizzazione del gruppo di Prüfer (visto come $\Z$-modulo) e trovare in questo anello ideali $\cap$-irridicibili non primari.
2. Esercizi 7.C dalle note.
3. Nell'anello di polinomi $\Z[x]$ (che è fattoriale), decidere quali di questi ideali sono primari e determinarne i radicali: $(8,x^2)$, $(x^3)$, $(5x)$. Trovare una decomposizione primaria minimale dell'ideale $(8,x^2)\cap (x^3)\cap(5x)$.
4. Provare che, per ogni ideale decomponibile $H$ in un anello commutativo $R$, l'unione degli ideali associati ad $H$ è l'insieme degli elementi di $R$ che sono divisori dello zero modulo $H$.
5. Sotto quali condizioni l'intersezione tra due ideali primari è un ideale primario?
6. Provare che se $R$ è un anello principale, gli ideali primari di $R$ sono tutte e sole le potenze deli ideali primi ed ogni ideale ha esattamente una decomposizione primaria minimale.

15 — 9/11

Dimostrazione del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie.

Anelli artiniani. Sia $R$ un anello commutativo artiniano. Se $R$ ha un elemento cancellabile $a$ allora $R$ è unitario e $a$ è invertibile, dunque se $R$ è integro, allora $R$ è un campo e gli ideali primi di $R$ sono tutti massimali ($R$ ha dimensione 0); l'insieme degli ideali massimali di $R$ è finito; il radicale di Jacobson di $R$ è nilpotente.

Due lemmi: (1) se $M$ è un modulo sull'anello commutativo unitario $R$ ed $M$ è annullato da un prodotto di ideali massimali di $R$, allora $M$ è noetheriano se e solo se è artiniano; (2) in qualsiasi anello commutativo, gli ideali finitamente generati costituiti da elementi nilpotenti sono nilpotenti.

Teorema: se $R$ è un anello commutativo unitario, $R$ è artiniano se e solo se è noetheriano e di dimensione zero. Struttura di tali anelli: sono (in unico modo, anche in termini di somma diretta interna) prodotto diretti di un numero finito di anelli (artiniani) locali.

Ancora un lemma: se un premodulo è noetheriano, è noetheriano anche il quoziente del suo anello degli scalari rispetto all'annullatore. Il teorema dell'intersezione di Krull (per premoduli noetheriani); dimostrazione da completare.

Esercizi proposti:

1. Provare che in ogni premodulo artiniano, l'insieme dei premoduli di indice finito è finito.
2. Esercizio 8.A.4 dalle note.
3. Provare che se $R$ è un anello commutativo unitario artiniano ed ogni suo ideale massimale ha indice finito, allora $R$ è finito. L'ipotesi che $R$ sia unitario si può omettere?
4. Provare che il nilradicale $N$ di un anello commutativo unitario artiniano ènecessariamente nilpotente (Esercizio 8.A.6 nelle note; cercare anche una dimostrazione differente da quella lì suggerita: provare che $N^2$ è contenuto nel radicale di Jacobson).
5. Costruire un esempio di ideale nil (cioè costituito da elementi nilpotenti) non nilpotente.

16 — 14/11

Completamento della dimostrazione del teorema dell'intersezione di Krull. Una sua applicazione: se $J$ è il radicale di Jacobson di un anello commutativo noetheriano l'intersezione delle potenze di $J$ è l'ideale nullo; osservazioni, in particolare, sul caso degli anelli locali.

Per un anello commutativo $R$ ed una sua parte non vuota $S$, omomorfismi $S$-inversivi di dominio $R$. Omomorfismi $S$-inversivi universali ed anelli di frazioni $S^{-1}R$ (definizione alternativa come prealgebre unitarie in cui gli elementi di $S$ agiscono come automorfismi); loro unicità a meno di omomorfismi.

Parti sature in un semigruppo ed in un anello commutativi; alcuni esempi. Nel semigruppo moltiplicativo di un anello commutativo, le parti non vuote chiuse e sature sono tutti e soli i complementi delle unioni di ideali primi.

Costruzione (e quindi esistenza) degli anelli di frazioni; descrizione e proprietà dei loro elementi: nucleo dell'omomorfismo $S$-inversivo universale, identificazione delle frazioni che sono lo zero, l'unità, invertibili; quelle che sono divisori dello zero hanno per numeratore un divisore dello zero.

Espansioni e contrazioni di ideali rispetto all'omomorfismo universale $S$-inversivo da $R$ a $S^{-1}R$. Applicazioni crescenti $e$ (espansione) e $c$ (contrazione) tra gli insiemi $\I(R)$ e $\I(S^{-1}R)$ degli ideali di $R$ e di $S^{-1}R$ ordinati per inclusione. Descrizione esplicita di $e$ e di $ec$.

Avviso: come indicato nella pagina principale del corso, giovedì 16 non faremo lezione.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio la costruzione degli anelli di frazioni.
2. Esercizi 9.A dalle note.

17 — 21/11

Ancora sulle espansioni e contrazioni di ideali. Per un anello commutativo $R$ ed una sua parte $S$, l'insieme ordinato degli ideali di $S^{-1}R$ si immerge in quello degli ideali di $R$, quindi gli anelli di frazioni di anelli artiniani (risp. noetheriani), sono artiniani (risp. noetheriani). Similmente, il passaggio ad anelli di frazioni conserva le proprietà di essere ad ideali principali, domini di integrità, anelli principali (a condizione che l'anello di frazioni non sia nullo). Per un ideale $H\n R$; sono equivalenti: $H^e\ne S^{-1}R$, $H\cap S=\vuoto$, $\sqrt H\cap S= \vuoto$, $(\sqrt H)^e\ne S^{-1}R$.

Antiimmagini di ideali, ideali primi, ideali primari mediante omomorfismi di anelli commutativi. I radicali degli ideali sono conservati dall'applicazione antiimagine.

Con le stesse notazioni del penultimo paragrafo, se $H\n R$, indicando con $\varepsilon$ immagini mediante l'epimorfismo canonico $R\epi R/H$, si ha $S^{-1}R/H^e\iso (S^\varepsilon)^{-1}R^\varepsilon$. Espansioni e contrazioni di ideali primari; le applicazioni espansione e contrazione inducono isomorfismi di insiemi ordinati tra l'insieme degli ideali primi di $R$ disgiunti da $S$ e $\spec(S^{-1}R)$, tra l'insieme degli ideali primari di $R$ disgiunti da $S$ e quello degli ideali primari di $S^{-1}R$ e, per ogni $P\in\spec(R)$ tale che $P\cap S=\vuoto$, tra l'insieme degli ideali $P$-primari di $R$ e quello degli ideali $P^e$-primari di $S^{-1}R$.

Localizzazioni di un anello commutativo unitario. Esempio: le localizzazioni di $\Z$ ed i loro ideali. Se $P$ è un ideale primo dell'anello commutativo $R$, il campo residuo della localizzazione $R_P$, cioè $R_P/P^e$, è isomorfo al campo dei quozienti di $R/P$.

Se $R$ è un anello commutativo unitario, $K$ ne è un campo dei quozienti e, per ogni $M\maxid R$, $R_M$ è la localizzazione $R[s^{-1}\mid s\in R\setminus M]$ di $R$ ad $M$ contenuta come sottoanello in $K$, allora $\bigcap\set{R_M\mid M\maxid R}=R$.

L'applicazione espansione conserva le intersezioni finite. Decomposizioni primarie minimali di $H^e$ e $H^{ec}$ per un ideale decomponibile $H$. Dimostrazione alternativa del secondo teorema di unicità per decomposizioni primarie.

Sequenze di omomorfismi di moduli. Quasi esattezza ed esattezza; complessi di catene e sequenze esatte. Estensioni di moduli come sequenze esatte corte.

Per un fissato anello commutativo unitario $R$ ed $R$-moduli $A$ e $B$, il modulo $\Hom_R(A,B)$ (come sottomodulo di $B^A$). Per un $R$-modulo $M$, il funtore $\Hom_R(M,-)$.

Esercizi proposti:

1. Verificare in dettaglio la correttezza della definizione della struttura di modulo per i moduli di omomorfismi.
2. Esercizi 9.B (in particolare il numero 4) dalle note.
3. Esercizi 9.C.4, 11.B.3 e 11.B.4 dalle note.

18 — 23/11

Estensioni spezzate; caratterizzazione tramite mono spezzante. Esattezza a sinistra (ma, in generale, non a destra) dei funtori covarianti Hom. Moduli proiettivi; varie caratterizzazioni. Una somma diretta di moduli è proiettiva se e solo se ogni sommando è proiettivo. Se $A$ e $B$ sono sottomoduli di uno stesso modulo, allora esiste un'estensione $A\cap B\mono A\oplus B\epi A+B$. Se $A+B$ è proiettivo, allora $A\oplus B\iso (A\cap B)\oplus(A+B)$ e quindi $A$ e $B$ sono proiettivi se e solo se $A\cap B$ è proiettivo. Il lemma della base duale.

Ideali frazionari di un dominio di integrità unitario $R$ in un suo campo dei quozienti $K$ (le notazioni per $K$ e $R$ restano fissate per il resto di questo resoconto). Se $A$ e $B$ sono ideali frazionari di $R$, sono ideali frazionari i sottomoduli non nulli di $A$ ed anche $A\cap B$, $AB$, $A+B$ e $(A:B)_K$. Di conseguenza, gli $R$-sottomoduli non nulli finitamente generati sono ideali frazionari.

Il monoide $\F(R)$ degli ideali frazionari ed il suo sottomonoide $\I^*(R)$ degli ideali interi.

Esercizi proposti:

1. Dalle note: esercizi 11.A.1, 11.C.1, 11.D.1, 2 e 3.

19 — 28/11

Richiami su divisibilità e fattorialità in monoidi commutativi. Per un monoide commutativo $M$: il massimo quoziente $\widetilde M$ di $M$ ordinato per divisibilità; $M$ è fattoriale se e solo se è cancellativo e $\widetilde M$ è un reticolo a condizione minimale.

Fissati (per l'intero resoconto) un dominio di integrità unitario $R$ ed un suo campo dei quozienti $K$, epimorfismo $K^*\epi \F_p(R)$ e suo nucleo. Ideali frazionari invertibili. Un ideale frazionario è invertibile se e solo se è proiettivo; in questo caso è finitamente generato.

Anelli di Dedekind; definizione e prime osservazioni: tali anelli sono noetheriani; gli anelli principali sono di Dedekind. Se $I$ e $J$ sono ideali interi di $R$, se $I$ divide $J$ allora $I\supseteq J$; vale il viceversa se $I$ è invertibile. Teorema: se $R$ è di Dedekind il suo monoide degli ideali non nulli è fattoriale ed i suoi elementi irriducibili sono gli ideali primi non nulli; questi sono tutti massimali. Conseguenze: se $R$ è di Dedekind gli ideali primari in $R$ sono le potenze degli ideali primi (escluso $R$); descrizione delle decomposizioni primarie in $R$. Il gruppo degli ideali frazionari di un anello di Dedekind è abeliano libero, con l'insieme degli ideali primi non nulli come base.

Teorema: l'insieme degli ideali non proiettivi di $R$ è induttivo ed ogni suo elemento massimale è un ideale primo, quindi $R$ è di Dedekind se e solo se i suoi ideali primi sono proiettivi. Come corollario: sono equivalenti per $R$ le proprietà di avere tutti gli ideali primi principali, di essere principale, di essere fattoriale e di Dedekind, di essere fattoriale con dimensione al più 1.

Lemma: unicità (a meno dell'ordine) delle fattorizzazioni di un ideale di un anello commutativo unitario in prodotto di ideali primi cancellabili.

Esercizi proposti:

1. Fornire un esempio di dominio di integrità unitario noetheriano che non sia di Dedekind.
2. Provare che se $R$ è un anello di Dedekind, ogni suo quoziente proprio ha solo un numero finito di ideali.
3. Provare, usando ciò che si è dimostrato oggi, che gli anelli di Dedekind locali sono principali.
4. Dalle note: esercizi 12.A (escluso il quinto) e 12.B.

20 — 30/11

Teorema: sono equivalenti, per un dominio di integrità unitario $R$, (1) $R$ è di Dedekind; (2) ogni ideale proprio di $R$ è prodotto di ideali primi; (3) in $R$, ogni ideale principale proprio è prodotto di ideali primi ed ogni ideale primo invertibile è massimale. Come conseguenza del teorema: gli anelli di frazioni non nulli degli anelli di Dedekind sono essi stessi di Dedekind.

Anelli di Bézout. Definizione e caratterizzazione elementare tramite MCD; menzionati alcuni esempi. Per un anello di Bézout sono equivalenti le proprietà di essere noetheriani, principali, fattoriali.

Anelli di valutazione. Caratterizzazioni elementari. Gli anelli di valutazione sono tutti e soli gli anelli locali di Bézout. Esempi. Cenni alla nozione di valutazione in un campo ed a quella di anello di una valutazione. Esempio: per un numero intero primo $p$, la valutazione $p$-adica in $\Q$, con anello $\Q_{p'}$. Gli anelli di Dedekind locali sono di valutazione e principali. Teorema: in ogni campo, le coppie della forma $(H,R)$ dove $R$ è un sottoanello unitario ed $H$ un suo ideale proprio formano un insieme induttivo (rispetto all'inclusione 'componente per componente') i cui elementi massimali sono costituiti da un anello di valutazione e dal suo ideale massimale.

Interi su un anello. Prime osservazioni; una caratterizzazione: dati un anello commutativo unitario $A$ un suo sottoanello unitario $R$ e $c\in A$, $c$ è intero su $R$ se e solo se l'anello $R[c]$ è finitamente generato come $R$-modulo, ovvero se e solo se $R[c]$ ammette un modulo fedele che sia finitamente generato come $R$-modulo (per restrizione degli scalari). Inoltre, se $c$ è un elemento invertibile di $A$, $c$ è intero su $R$ se e solo se $c\in R[c^{-1}]$.

Esercizi proposti:

1. Verificare che gli anelli di frazioni degli anelli di valutazione sono o nulli o di valutazione.
2. Dalle note: leggere l'esempio 10.B.2 leggere le osservazioni e svolgere gli esercizi in 10.C.

21 — 5/12

Ampliamenti interi (o integrali). Siano $A$ un anello commutativo unitario ed $R$ un suo sottoanello unitario. Se $A$ è finitamente generata come $R$-modulo, allora $A$ è un ampliamento intero di $R$; inoltre gli $A$-moduli finitamente generati sono anche $R$-moduli finitamente generati. Se $A=R[c_1,c_2,\dots,c_n]$ e ciascuno dei $c_i$ è intero su $R[c_1,c_2,\dots,c_{i-1}]$, allora $A$ è finitamente generato come $R$-modulo. Chiusura intera di un anello commutativo unitario in un suo sopraanello unitario; transitività dell'integralità. Domini di integrità integralmente chiusi; lo sono gli anelli fattoriali ma, ad esempio, non $\Z[\sqrt 5]$.

Sia $A$ un ampliamento intero di un anello commutativo unitario $R$. Se $P$ e $Q$ sono ideali di $A$ tali che $P$ sia primo, $P\sseq Q$ e $P\cap R=Q\cap R$, allora $P=Q$. Di conseguenza: la dimensione di $A$ non eccede quella di $R$. Inoltre: se $A$ è integro, $A$ è un campo se e solo se $R$ è un campo.

La chiusura integrale di un dominio di integrità $R$ nel suo campo dei quozienti $K$ è l'intersezione tra i sottoanelli di valutazione di $K$ contenenti $R$.

Teorema di E. Noether: per un dominio di integrità unitario noetheriano $R$ sono equivalenti: (i) $R$ è dei Dedekind; (ii) ogni localizzazione di $R$ ad un ideale massimale è di valutazione (principale); (iii) $R$ è integralmente chiuso e $\dim R\le 1$.

Se $R$ è un anello di Dedekind, ogni quoziente proprio di $R$ ha solo un numero finito di ideali, e in $(\I^*(R),\cdot)$ le operazioni binarie di somma ed intersezione coincidono con le operazioni binarie MCD e mcm.

Esercizi proposti:

1. $\Z[\sqrt 5]$ è fattoriale?
2. Verificare in dettaglio che se $M$ è un monoide fattoriale, nel quoziente $M/{\sim}$ di $M$ rispetto alla relazione 'essere elementi associati' le due operazioni MCD e mcm sono reciprocamente distributive (vale a dire: il reticolo $M/{\sim}$, ordinato per divisibilità, è distributivo).
3. Dalle note: esercizi ed osservazioni 10.A, esercizio 12.A.5.

22 — 7/12

Alcune proprietà di tipo aritmetico degli ideali in un anello di Dedekind $R$: per ogni $I, J, L\in\I^*(R)$ si ha $I\cap(J+L)=(I\cap J)+(I\cap L)$, $I+(J\cap L)=(I+J)\cap(I+L)$, $I(J\cap L)=IJ\cap IL$ e $(I\cap J)(I+J)=IJ$ (cenno agli anelli di Prüfer ed al fatto che queste formule li caratterizzano). Lemmi: per ogni $I,H\in\I^*(R)$,

• se $\P$ è un sottoinsieme finito di $\spec(R)$, allora $H\supset\bigcup\set{HP\mid P\in\P}$;
• esiste $L\n R$ tale che $LH$ sia principale e $L+I=R$;
• tutti gli ideali di $R/H$ è sono principali;
• per ogni $a\in H\setminus 0$, esiste $b\in H$ tale che $H=aR+bR$;
• $H/IH\iso_R R_R/I$ e quindi $|R/IH|=|R/I|\,|R/H|$
• se $R$ è semilocale, allora $R$ è principale.

Applicazioni alla teoria dei numeri. Il gruppo additivo dei numeri algebrici (cioè quello della chiusura algebrica di $\Q$) è periodico modulo quello degli interi algebrici. Se $R$ è un anello fattoriale, $K=Q(R)$ e $F$ una chiusura algebrica di $K$, allora gli elementi di $F$ che siano interi su $R$ sono quelli il cui polinomio minimo su $K$ sia a coefficienti in $R$; di conseguenza i numeri complessi algebrici sono interi algebrici se e solo se il loro polinomio minimo su $\Q$ è in $\Z[x]$.

Qualche rapido cenno storico sull'emergere delle proprietà degli anelli degli interi algebrici in campi di numeri. Per un campo di numeri $K$ (cioè un'estensione finita del campo razionale), l'anello $Z_K$ degli interi algebrici in $K$ è integralmente chiuso ed ha dimensione 1. Richiami essenziali alla teoria di Galois. Per una $\Q$-base (ordinata) $B$ di $K$ (matrice e) discriminante della base (questo è un numero razionale non nullo); se $B\sseq Z_K$ questo discriminante è intero.

Esercizi proposti:

1. Estendere le proprietà di tipo aritmetico viste per gli ideali interi in un anello di Dedekind al caso degli ideali frazionari ed al caso dei trasportatori. Trovare controesempi alle stesse formule nel caso di anelli (possibilmente domini di integrità unitari) non di Dedekind.
2. Dalle note: leggere l'osservazione 12.C.1.

23 — 12/12

Completata la dimostrazione del fatto che per ogni campo di numeri (ovvero estensione finita del campo razionale) $K$, l'anello $Z_K$ degli interi algebrici in $K$ è di Dedekind. Osservazioni generali sulle applicazioni di questo risultato in teoria dei numeri. Il gruppo delle classi di questo anello. Senza dimostrazione: teoremi di Kummer e di Claborn (il gruppo delle classi di $Z_K$ è finito per ogni campo di numeri $K$, è totalmente arbitrario per anelli di Dedekind arbitrari) e teorema degli invertibili di Dirichlet. Come conseguenza: struttura del gruppo moltiplicativo di un campo di numeri.

Norme (e, senza approfondimenti, tracce) di elementi di $K$ e di $Z_K$; determinazione degli invertibili e condizioni di irriducibilità a partire dalle norme di elementi interi algebrici.

Osservazione generale: in un dominio di integrità noetheriano ogni elemento non nullo e non invertibile è prodotto di irriducibili.

Determinazione degli anelli degli interi dei campi quadratici (cioè delle estensioni di grado due del campo razionale).

Esercizi proposti:

1. Per ogni intero negativo $d$ libero da quadrati, determinare utti gli elementi invertibili dell'anello degli interi del campo $\Q[\sqrt d]$.
2. Trovare qualche esempio di elemento invertibile di periodo infinito in qualche anello degli interi di un campo quadratico.
3. $2$ è irriducibile in $\Z[i]$?

24 — 14/12

Nell'anello degli interi di un campo di numeri $K$, ogni quoziente proprio è finito. Si ha anche che ogni ideale principale non nullo ha per indice il valore assoluto della norma di un suo generatore (questo secondo fatto è stato dimostrato solo nel caso in cui $K$ sia di Galois su $\Q$).

Una panoramica, senza dimostrazioni, sulle proprietà note degli anelli di interi algebrici delle estensioni ciclotomiche di $\Q$ e sulla (infrequente) fattorialità di questi, sulle questioni (per lo più non risolte) legate alla cardinalità del gruppo delle classi degli anelli di interi quadratici, su argomenti correlati.

Due esempi di determinazione delle fattorizzazioni (uniche) di ideali in prodotti di ideali primi, negli anelli $\Z[\sqrt{-5}]$ e $\Z[\sqrt{-17}]$, e utilizzo di queste fattorizzazioni per descrivere i divisori di elementi degli stessi anelli, ottenendo al contempo qualche informazione sul gruppo delle classi.

Determinazione degli invertibili e degli irriducibili nell'anello (euclideo) degli interi di Gauss. Come conseguenza: teorema di Girard-Fermat sulla somma di due quadrati di interi.

Esercizi proposti:

1. Trovare un intero positivo che sia, in due modi essenzialmente diversi, somma di due quadrati di interi. Vale a dire: trovare in $\Z[i]$ elementi tra loro non associati ma con la stessa norma.
2. Come facciamo a sapere che se $K$ è un'estensione quadratica di $\Q$ contenuta in $\R$ l'anello degli interi di $K$ ha infiniti invertibili?
3. In anelli non fattoriali come $\Z[\sqrt{-6}]$ o $\Z[\sqrt{10}]$, trovare tutte le fattorizzazioni in prodotti di primi di qualche ideale principale non primo e tutti i divisori di un generatore di questo ideale.