Cutolo Piano Lauree Scientifiche

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PLS 2017

Nei primi incontri abbiamo parlato di aritmetica modulare, con un approccio piuttosto informale, e di alcune applicazioni (criteri di divisibilità, compilazione di un torneo con girone all'italiana), secondo le linee dell'articolo Una introduzione all'aritmetica modulare, scritto proprio per il Piano Lauree Scientifiche.

Abbiamo discusso alcuni piccoli esercizi, in particolare sul calcolo di potenze in aritmetica modulare. Quelli che seguono sono stati quasi tutti svolti in aula:

  • Calcolare del resto del numero intero $a$ nella divisione per $b$ in ciascuno di questi casi:
    • $a=867$ e $b=5$;
    • $a=-867$ e $b=5$;
    • $a=20^{20}+3^{40}$ e $b=7$;
    • $a=5^{100}(2400(7876^{23}-8765^{111})+7^{201})$ e $b=24$;
    • $a=498765432104$ e $b=9$;
    • $a=498765432104$ e $b=3$;
    • $a=498765432104$ e $b=11$;
    • $a=1470213$ e $b=7$.
  • Descrivere le “potenze di $2$ modulo $6$”; vale a dire: come possiamo calcolare il resto di $2^n$ nella divisione per $6$, per un arbitrario intero positivo $n$?
  • Supponiamo che siano le 17:15. Che ora sarà tra 120000 ore?

Altri esercizi del genere sono nelle pagine sulle attività PLS degli scorsi anni: 2015 (più centrate sulla crittografia) e 2016.

Abbiamo iniziato, nel secondo incontro, a parlare di crittografia (classica) e dell'inadeguatezza dei cifrari per sostituzione monoalfabetica (come quello di Cesare). Abbiamo allargato il discorso parlando anche del cifrario di Vigènere e delle sue debolezze. Nella pagina per il PLS 2015 si trovano diversi crittogrammi cifrati con questi sistemi, che chi ne ha voglia può divertirsi a decifrare. Spero che qualcuno si cimenti anche con il crittogramma mostrato in aula, un testo cifrato per sostituzione monoalfabetica utilizzando una permutazione casuale; le istruzioni per l'uso sono state date: la pagina contiene, oltre al crittogramma, una tabella delle frequenze percentuali (approssimate e, soprattutto, solo indicative) delle lettere dell'alfabeto italiano in un testo standard ed una tabella che riporta il numero di occorrenze e la frequenza percentuale di ogni lettera che appare nel crittogramma. Tra il crittogramma e le tabelle delle frequenze si trova un form che (in modo sufficientemente intuituivo, spero) permette la sostituzione rapida di lettere nel crittogramma. Per chi volesse strafare, c'è un altro crittogramma dello stesso genere.

Parlando di cifrari per sostituzione, abbiamo utilizzato la Tabula Recta per l'alfabeto inglese (che è, essenzialmente, la tavola di Cayley di $\Z_{26}$ rispetto all'addizione).

Nel terzo incontro abbiamo continuato a discutere di sistemi crittografici ed abbiamo comparato la crittografia simmetrica (classica) con quella asimmetrica (a chiave pubblica). Allo scopo di stabilire le basi matematiche per descrivere (nell'incontro finale) il protocollo crittografico RSA, abbiamo discusso della funzione di Eulero, del Piccolo Teorema di Fermat e del Teorema di Fermat-Eulero.

Chi ne ha voglia può divertirsi con alcuni esercizi a questo proposito; la stessa pagina presenta anche esercizi sui protocolli crittografici discussi nell'ultimo incontro.

È disponibile il file della presentazione utilizzata negli ultimi due incontri. Può anche essere utile un mio articolo sulla crittografia scritto per un progetto di ateneo destinato agli studenti delle scuole superiori (parte del materiale dell'articolo è direttamente tratta dalla presentazione).

Naturalmente sono a disposizione per chiarimenti ed ulteriori approfondimenti. I miei recapiti sono (oltre che qui, a piè di pagina) nella pagina iniziale del mio sito per la didattica.