Riporto qui le modifiche al file delle mie note per il corso di Algebra Commutativa a partire dalla sua prima versione (più o meno) completa del 24/12/2019.
Le modifiche minori (correzioni stilistiche, tipografiche o di errori di battitura, ivi comprese intere parole mancanti o ripetute) non sono specificate in dettaglio.
I numeri degli enunciati (ma anche di esercizi, sezioni etc.) sono ovviamente soggetti a cambiare con le modifiche al file. Quelli che si leggono in questa lista sono aggiornati al momento in cui la correzione è stata effettuata, quindi potrebbero non corrispondere a quelli con cui lo stesso enunciato appare nella versione corrente del file. I corrispondenti link dovrebbero invece essere sempre aggiornati (e, di regola, indicare nell'indirizzo che usano anche la numerazione corrente).
Le modifiche
- 3/3/2024
- Numerose modifiche, in punti per lo più segnalati da Mario Mascolo. Tra queste segnalo:
- corrette imprecisioni in esempio 1.C.6;
- rimossa una inutile ripetizione nell'esercizio 1.I.1;
- semplificato l'esercizio 1.I.5.
- riformulato, in modo equivalente, l'enunciato del lemma 7.3, con l'aggiunta degli esercizi 3.B.5, 3.A.3 e 1.H.3.
- 20 e 21/1/2024
- Corretti:
Grazie agli studenti che hanno segnalato i due punti.
- 9/1/2024
- Aggiunta, nell'Appendice, una sezione dedicata alla dimostrazione del teorema di Girard e Fermat sugli interi somma di due quadrati.
- 31/12/2023
- Molte piccole modifiche, qualche chiarificazione di passaggi in dimostrazioni, qualche correzione di refusi. Le aggiunte più significative sono:
- inseriti gli esercizi 1.H.3 e 3.D.8;
- nella parte iniziale della sezione 9.1, ho aggiunto una seconda formulazione equivalente alla definizione degli anelli di frazioni, in termini di prealgebre unitarie;
- estesa l'osservazione 3.A.1 per segnalare versioni (apparentemente) più generali di due lemmi: 3.2 e 3.3;
- più significativamente: aggiunti l'esercizio 6.B.5, che generalizza la proposizione 6.10 (condizione di noetherianità) e l'osservazione 8.A.9, (struttura degli anelli artiniani non necessariamente unitari, generalizza la proposizione 8.7);
- aggiunto l'esercizio 12.B.6
- 5/11/2023
- Diverse modifiche sostanziali, che hanno anche consigliato il ‘congelamento’ di una versione del file (questa)che non riporti quelle non pertinenti ai corsi tenuti negli anno accademidi precedenti. Le modifiche rilevanti sono:
- Riscrittura della sezione 1.3 (esercizi ed osservazioni incluse; questo vale anche per il punto successivo) per introdurre e discutere, insieme a quella di algebra, la nozione di prealgebra, che appariva, in precedenza, solo in un'osservazione.
- Riscrittura della sottosezione 4.2.1 su idempotenti e somme dirette di anelli, che in precedenza era limitata al caso degli anelli unitari.
- Semplificazione della dimostrazione del lemma 4.10(i).
- Inserito l'esempio 7.B.12: anelli commutativi unitari ad ideali propri tutti primari.
- 29/10/2023
- Oltre alla correzione dei soliti refusi, diverse piccole modifiche alle sottosezioni su moduli e premoduli liberi (4.3.1) e sulle algebre libere ed anelli di polinomi (4.3.2). Quelle sostanziali consistono nella correzione di qualche imprecisione a proposito di moduli o algebre libere sull'anello nullo, in particolare nella proposizione 4.16 ed a giustificazione della definizione di anello di polinomi nel caso dei polinomi sull'anello nullo. Ho aggiunto un'osservazione finale all'esercizio 4.E.3 ed ho riscritto l'esercizio 4.E.7 (che riguardava “gruppi identici liberi”) in termini di moduli liberi sull'anello nullo, più direttamente pertinenti il corso.
- 21 e 22/9/2023
- Correzione di due link (grazie a Mario Mascolo) e di qualche errore di battitura.
- 26/12/2022
- Molte piccole modifiche (ringrazio Enrico Gargiulo per diverse segnalazioni); le meno inutili da segnalare sono:
- arricchito l'enunciato del lemma 1.1, che è stato spostato poco più avanti;
- In alcuni enunciati (lemmi 2.3 e 2.4, proposizione 2.7) della sezione sul preordinamento divisibilità mancava l'ovvia ipotesi di commutatività; in 2.4 ho reso più esplicita la dimostrazione;
- nel lemma 3.9 mancava l'ovvia ipotesi che l'insieme S non fosse vuoto;
- ampliati, sia nel testo che nelle osservazioni supplementari, alcuni commenti a proposito del lemmi di Nakayama e NAK: una parte del contenuto dell'osservazione 3.D.6 a proposito del lemma NAK è stata ampliata e spostata nel testo (subito dopo il corollario 3.27) ed è stata aggiunta una chiarificazione all'osservazione 3.D.3.
- corretto un refuso nell'esercizio 5.D.3;
- apportate diverse piccole modifiche alla sezione 9.1 sugli anelli di frazioni: corrette alcune inconsistenze, evitata qualche ripetizione, modificate alcune notazioni (parte chiusa generata e saturazione). Piccole alterazioni conseguenti anche nella sezione successiva.
- riscritta in modo più diretto la dimostrazione del lemma 7.7;
- corretto un refuso (A per A∩B nella sequenza esatta corta) nell'enunciato del corollario 11.10;
- piccola modifica per rendere marginalmente più diretta la parte finale della dimostrazione del lemma 12.14.
- 16/10/2022
- Oltre a correzioni minori:
- ampliata la presentazione della nozione di algebra su un anello unitario, descritta ora, in analogia a quanto fatto per i (pre)moduli, anche in termini di omomorfismi di anelli (azioni di algebre), oltre che di operazione esterna. Questo ha portato a modifiche nella prima parte della sezione 1.3 ed alle osservazioni 1.I.1 e … [P.S. con le modifiche del 5/11/2023 questa sezione è stata quasi del tutto riscritta ed alcuni dei riferimenti forniti non esistono più nel file. Per ricostruire le modifiche conviene fare riferimento a quanto nella pagina delle modifiche della versione pre-2023 delle note a questa stessa data.]
- una correzione nell'esercizio 1.G.2;
- Sezione 3.1: aggiunta dei termini trasportatore e conduttore per indicare ideali divisione.
- 18/3/2022
- Ancora altri refusi corretti, grazie ad Antonella Zaccardo, nella sezione 7.2, nei lemmi 11.4 e 11.5 e nelle dimostrazioni di proposizione 8.3, lemma 9.1 e proposizione 11.6.
- 17 e 25/1/2022
- Correzione di ulteriori refusi segnalati da Stefano Flora in lemma 3.14 e esercizio 4.F.5 (17/1) ed in proposizione 11.2.
- 9/1/2022
- Correzione di diversi refusi (ringraziamenti a Stefano Flora) e una piccola semplificazione nella dimostrazione della proposizione 11.6.
- 18/12/2021
- Correzione di errori tipografici minori.
- 6/12/2021
- Correzione di errori tipografici e sviste nella dimostrazione della proposizione 11.2 e nell'esercizio 11.D.2.
- 23/11/2021 e 2/12/2021
- Correzione di errori di battitura e poco più.
- 17/11/2021
- In conseguenza di modifiche del 9/11, semplificata la dimostrazione del lemma 8.8.
- 15/11/2021
- Piccole modifiche (ed una correzione) agli esercizi 7.C.4, e 7.C.5.
- 14/11/2021
- Precisata e modificata la dimostrazione del lemma 3.14, aggiornata la proposizione 8.10.
- 9/11/2021
-
- In due enunciati (4.20 e 7.12), ho eliminato un riferimento ad anelli unitari, residuo di vecchie versioni delle note.
- Per evitare ripetizioni ho modificato la trattazione di moduli ciclici, premoduli semplici e ideali massimali, anticipando al primo capitolo il lemma 1.21, che appariva al terzo capitolo come lemma 3.4, ho scritto una versione più generale della proposizione 1.24 ed ho così abbreviato la dimostrazione dela caratterizzazione degli ideali massimali (lemma 3.7).
- Modifiche, alcune minori, altre più sostanziali, alla sezione su algebre libere ed anelli di polinomi. Tralasciando le minori: ho sostituito la dimostrazione del lemma 4.22. Una dimostrazione alternativa è stata inserita come osservazione 4.F.4, sostituendo alla stessa posizione un esercizio rimosso perché il suo contenuto è stato inserito nel testo (cosa è un anello di polinomi sull'insieme vuoto di indeterminate?). La dimostrazione precedente era in qualche modo intermedia tra queste due.
- Piccola modifica alla dimostrazione del teorema della base per anelli di serie di potenze (6.14).
- 8/1/2021
- Modificato, in forma equivalente, l'enunciato del lemma 12.14, aggiunti alcuni chiarimenti nella sua dimostrazione e, conseguentemente, modificata la nota che segue. Corretti numerosi errori tipografici (grazie a Luigi Iorio).
- 19/11/2020
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- La descrizione dei prodotti tra ideali in termini dei generatori dei fattori nella sezione 3.1 è stata estesa al caso non unitario.
- Corretto l'enunciato del lemma 7.6
- Piccole modifiche alla dimostrazione del secondo teorema di unicità (7.16)
- 1/11/2020
- Diverse correzioni tipografiche minori ed una correzione nella dimostrazione del teorema della base di Hilbert (6.12).
- 8/7/2020
- Corretti due errori tipografici nelle dimostrazioni delle proposizioni 4.4 e 4.24.
- 12/2/2020
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- Estesa la definizione del simbolo (N:X)R al caso in cui N non sia un sottopremodulo di un R-premodulo.
- Aggiunta una nota alla dimostrazione del lemma 10.17
- 8/1/2020
- Oltre a poche correzioni minori, corretto l'esercizio 7.C.4
- 3/1/2020
- Oltre a diverse correzioni minori: