Università di Napoli Federico
II
Scuola Interuniversitaria
Campana Specializzazione all'Insegnamento (SICSI)
Laboratorio Misura
in Matematica
prof. Ulderico
Dardano, dardano@unina.it
riferimenti
bibliografici e siti consigliati
In evidenza: Paradosso di Zenone…………………………………………………………..
"La radice di 2 era preoccupata: erano passati trenta decimali
e non le veniva il periodo!
Poteva essere incinta, ma ciò era irrazionale
" (anonimo)
"A parità di
fattori la spiegazione più semplice tende ad essere quella esatta" William
of Ockham
SITI CONSIGLIATI per uso generale:
-
una
pagina generale sull'Origami
-
poligoni regolari: esercizi di
base, video
-
poliedri regolari: tetraedro
-
flexagoni: costruzione base, schema_base, costruzioni
piu' articolate ,
-
hexahexaflexagono: costruzione
, video
-
3D: costruzione(video), video2,
video
-
una pagina da non
perdere!! (ottima per iniziare)
-
una
pagina generale sul TANGRAM per la matematica (con ottima sitografia finale)
ALGEBRA generale: il quadrato del
binomio, il quadrato del trinomio, il cubo del binomio,
calcolo di radical 2, altri
radicali.xls , calcolo radici polinomi con metodo Newton con xls
-
una proposta di apprendimento cooperativo
-
PROBLEMI DI SCELTA:
programmazione lineare
(ottimizzazione). Un altro problema
di ottimizzazione
Il problema delle tariffe
telefoniche con xls
Riferimenti www-bibliografici,
equilibri
di Nash su (bi)matrice di utilita’ con xls,
Tipo di corso: si tratta
di un corso di 30 ore, con tipologia di laboratorio, rivolto a specializzandi
per la classe di insegnamento A047 (Matematica) nelle scuole secondarie
superiori. Questi sono per lo più laureati quadriennali in Matematica ma parte
non trascurabile laureati in Ingegneria. Età media dei corsisti: quasi 30
anni.
Impostazione e obiettivi:
Pensando “la matematica
come scoperta”, propone agli
specializzandi un percorso di osservazione, scoperta, definizione,
formalizzazione, applicazione, verifica, codifica di fatti matematici sul
tema della “Misura in Matematica”, ovvero sviluppasse un modello
che, con linguaggio e metodi logico-matematici, descrivesse aspetti del “mondo
reale” e conducesse all’introduzione ed uso di concetti di algebra o analisi
infinitesimale.
Obiettivo è anche quello di mostrare agli specializzandi
come le risorse matematiche, sia bibliografiche sia informatiche in rete, siano
agevolmente fruibili e permettano la self-education permanente.
Il percorso tiene presenti le indicazioni dell’Unione
Matematica Italiana in merito.
Il percorso di laboratorio
scelto -suddiviso in tappe non necessariamente dipendenti- assume solo poche
nozioni di base (sviluppate peraltro in un corrispondente corso per classe SN
A059, per la scuola media), parte
dalla “sfida” di misurare la lunghezza
della diagonale del quadrato e, attraverso passi concatenati, conduce
all’introduzione (=creazione) e all’uso di strumenti matematici come: commensurabilità,
numeri razionali, radicali, numeri reali, rappresentazione cartesiana,
algoritmo, funzioni, convergenza, continuita’, derivabilita’, integrazione.
Gli strumenti e gli oggetti matematici vengono introdotti
quale mezzo per risolvere problemi ben definiti (didattica per problemi)
o quale effetto di scoperta, talvolta anche casuale. Quale bussola per il percorso, si e’ assunto lo sviluppo
storico della matematica (dagli antichi greci al secolo XIX), ma si e’ comunque
lasciata agli specializzandi la responsabilita’ di orientare e dirigere
l’attivita’ di studio e scoperta.
Nelle lezioni, quest’attività di “ricerca”
da parte degli specializzandi (collegiale o in gruppi di 3-4 persone) è partita
sotto la guida e lo stimolo del docente, che non si e’ posto come “professore”.
A questa è seguita la preparazione di proposte di unità didattiche, per
le relative classi. Ciò dapprima in aula in maniera collettiva e poi con
approfondimento personale (a casa). In queste unità sono state accuratamente
definite: abilità interessate, obiettivi cognitivi, obiettivi operativi,
collegamenti esterni.
E’ stata adottata la tecnica del “problem posing & solving”
(senso Vigotskijiano) seguita da stimoli ad attività metacognitiva e
dato grande spazio-tempo alla possibilità di “formulare congetture” senza
eccessivo timore di sbagliare. Le unità didattiche sono state presentate (e simulate, nei limiti del possibile)
davanti ai colleghi corsisti, la cui critica collettiva e’ stata
preziosa per modificare e migliorare la proposta. Attenzione e’ stata posta
anche al livello di profondità e sostenibilità didattica (oltre che
–naturalmente- di chiarezza e correttezza).
Si e’ terrà conto quanto realizzato in altri
corsi dell’indirizzo FIM. Anche al fine di avviare i corsisti verso lo sviluppo
di tecniche individuali di “auto-aggiornamento” (nello loro vita professionale),
si propone il ricorso –critico- a risorse bibliografiche in rete www. Costante
la ricerca per l’individuazione di quanti più collegamenti fra i concetti
sviluppati, visti non solo come dato culturale imprescindibile ma anche come
stile di comunicazione attraverso mezzi condivisi con gli allievi. Ciò promuova
la ricerca di strategie per evitare uso gratuito di “lezione frontale” e
condurre invece l’insegnamento come scoperta, ricerca, sviluppo cognitivo.
In sostanza, si e’ “insegnato” agli specializzandi applicando proprio le
tecniche che si propongono (tenendo presente quindi le loro proprie aree di
sviluppo effettivo e potenziale, in maniera trasparente ed autocoscienze, vista
l’età della platea). Si e’ favorito l’esercizio della (innata) capacità di
problem posing anche lasciando agli specializzandi la maggior libertà (possibile) nella impostazione delle
unità didattiche, esortandoli a non trascurare l’aspetto ludico della
conoscenza. Attenzione e’ stata pure rivolta all’individuazione e analisi degli
“errori” più frequenti sia al fine di utilizzarli come stimolo per
l’apprendimento sia per evitare provocarli
Per gli
esperimenti numerici e l’esecuzione di algoritmi si propone, per lo più, il foglio di .xls (e
talvolta il linguaggio C). Quale mezzo di presentazione per le unità didattiche gli
specializzandi hanno sovente preferito usare il formato .ppt
Sviluppo, temi proposti, contenuti:
- il linguaggio della teoria degli Insiemi, contare con il
principio di inclusione-esclusione.
- Numeri primi (che
risultano essere infiniti). Crivello di Eratostene (quale algoritmo per la
ricerca dei numeri primi). Famiglie significative di numeri primi.
-
Numeri interi e razionali
introdotti per la modellizzazione della geometria (euclidea), ovvero strumenti
per la definizione della misura dei segmenti. Densita’ dei razionali. Aspetti
algebrici.
-
frazioni, confronto,
ordinamento e operazioni, numeri periodici e frazioni generatrici . PERIODI (file.xls)
-
proporzionalità, similitudine,
i fogli A3, A4, A5 - teoremi di Euclide sul triangolo rettangolo.
-
divisibilità, scomposizione, numeri
primi, crivello di Eratostene, MCD e mcm, (algoritmo di Euclide)
-
rapporti, proporzioni,
percentuali
-
Operazioni fra interi pari e dispari. Aritmetica modulare, criteri
divisibilità, Prova del 9,10,11. (Teorema Cinese del Resto)
- numerazione in base 2 e algoritmi per le operazioni, complessita’
computazionale.
Misura
della diagonale del quadrato. Altezza (e superficie) del triangolo
equilatero. Teorema di Pitagora ( presentazione),.
Significato geometrico. Varie dimostrazioni. Gioco del Tangram. Quadrato
(geometrico) del binomio. Terne pitagoriche.
Duplicazione del quadrato. Procedimenti empirici di approssimazione.
Scoperta segmenti
incommensurabili. Numero aureo e sue occorrenze, sue approssimazioni.
Significato di “numero irrazionale”. Duplicazione del cubo. Radice cubica.
Limiti della “calcolatrice”. Primi processi iterativi. Frazioni continue.
Concetto algebrico di radicale. Necessità dei radicali. Costruzione dei
radicali quadratici spirale di Archimede). Campo dei numeri costruibili con
squadra e compasso
Quadrato del binomio. Aspetti algebrici e geometrici. Potenza n-esima
del binomio. Coefficienti binomiali. Triangolo di Tartaglia. Proprieta’
combinatorie di questo. Cubo del binomio. Quadrato del trinomio . Potenze del
trinomio. Piramide di Tartaglia.
Soluzione delle equazioni di secondo grado. Metodi algebrici formali.
Metodi geometrici con squadra e compasso. Bisezione e trisezione dell’angolo.
Equazioni di terzo grado. Impossibilita’ della soluzione con squadra e
compasso.
Metodo della
piegatura della carta (=origami). Trisezione con origami. La radice cubica con
con origami. Campo dei numeri costruibili con origami. Origami classici e
modulari.
Concetto di misura approssimata. Metodi per l’approssimazione dei
radicali (mediante razionali). Metodo grafico. Piano cartesiano.
Rappresentazione di funzioni. Funzioni continue e teorema di Bolzano (teorema
degli zeri). Metodo di bisezione.
Concetto di algoritmo. Metodo delle secanti. Metodo di Newton. Funzioni
derivabili. Tangente e derivata. Successioni convergenti. Insiemi contigui.
Confronto sperimentale (e quindi astratto) fra i metodi. Algoritmi non
convergenti. Cenni sulla complessita’ di un algoritmo.
Numeri reali attraverso algoritmi. Successioni di razionali. Successioni
convergenti. Successioni contigue. Modelli algebrici dei numeri reali.
Corrispondenza con la retta e misura di segmenti.
Misura di superfici. Area dei poligoni regolari. Superfici particolari.
Disegni autosimili. Frattali per la descrizione di oggetti reali. Felce.
Triangolo di Serpinski.
Misura del cerchio. Quadratura del
cerchio. Primi metodi per la stima di p (fra 3 e 4) . Metodo di Archimede.
Confronto con l’8-agono e, piu’ un generale, con poligoni regolari inscritti e
circoscritti (metodo di esaustione). Similitudini nel piano.
2^n-agono regolare. Metodo di Viete. Metodo della piramide. Costruzione di
algoritmi e formule ricorsive. Determinazione di p fino alla n-esima cifra
decimale. Analisi sperimentale degli algoritmi. Concetto di numero
trascendente. Cenni su metodi di analisi infinitesimale.
Misura di generiche parti del piano. Integrale
di una funzione. Misura lunghezza di una curva. Lunghezza della circonferenza.
Lunghezza grafico di una funzione. Curve non misurabili. Merletto di Koch.
Frattali. Funzioni continue mai derivabili. Funzione di Vitali.
Il numero di Nepero.
Verifica
dell’apprendimento: La verifica e la
valutazione dell’apprendimento avvengono con la presentazione e discussione di
un elaborato riguardante la
pianificazione, organizzazione ed esposizione di un modulo didattico su un tema
toccato nel corso.